Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : loi binomiale et concentration (Terminale spécialité)

Q: Quelles conditions faut-il vérifier pour utiliser une loi binomiale ?

Quatre. L'expérience élémentaire doit n'avoir que deux issues, elle doit être répétée un nombre fixé de fois, la probabilité de succès doit rester la même à chaque répétition, et les répétitions doivent être indépendantes. C'est cette dernière condition qui pose problème : un tirage sans remise dans une petite population la rend fausse.

Q: Pourquoi un tirage sans remise ne suit-il pas une loi binomiale ?

Parce que la composition de l'urne change après chaque tirage, donc la probabilité de succès n'est plus la même et les épreuves ne sont plus indépendantes. Le modèle binomial reste acceptable seulement si la population est très grande devant le nombre de tirages, et les énoncés le précisent alors explicitement.

Q: Quelle est la variance d'une loi binomiale ?

Elle vaut le nombre d'épreuves multiplié par la probabilité de succès et par la probabilité d'échec. Elle n'est donc pas égale à l'espérance, qui ne contient que les deux premiers facteurs. Comme la probabilité d'échec est inférieure à un, la variance est toujours strictement plus petite que l'espérance, ce qui donne un contrôle immédiat.

Q: Comment calculer une probabilité du type au moins deux succès ?

On passe par l'événement contraire : au moins deux revient à un moins la probabilité d'en avoir au plus un. Attention au décalage d'une unité, qui vient de ce que la variable ne prend que des valeurs entières. La calculatrice donne directement la probabilité cumulée jusqu'à une valeur donnée.

Q: À quoi sert l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Elle majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance de plus d'une valeur choisie, en utilisant seulement la variance. Elle vaut pour n'importe quelle loi, ce qui la rend très générale mais aussi très grossière. Elle donne un majorant, jamais la probabilité exacte, et sert surtout à dimensionner un échantillon.

Q: Que dit la loi des grands nombres ?

Que la moyenne observée sur un grand échantillon se rapproche de la probabilité théorique. Plus précisément, la probabilité que cette moyenne s'écarte de plus d'une valeur fixée est majorée par une expression qui tend vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente. C'est ce qui justifie l'usage des sondages et des fréquences observées.

La loi binomiale est la seule loi de probabilité que le programme de Terminale demande de maîtriser complètement, et elle tombe presque chaque année. Sa formule est courte, ses paramètres sont donnés par l'énoncé, et la calculatrice fait les calculs. Ce qui se perd, ce sont les quatre conditions d'application, et surtout l'indépendance.

Cette fiche liste les huit endroits où les points partent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre des conditions à vérifier avant d'écrire la moindre probabilité, la traduction des inégalités en probabilités cumulées, et un problème de contrôle qualité décortiqué ligne par ligne.

Le fil du chapitre

La loi binomiale ne se reconnaît pas au vocabulaire de l'énoncé mais à quatre conditions : deux issues, $n$ répétitions, des épreuves IDENTIQUES et surtout INDÉPENDANTES. C'est la dernière qui saute, et avec elle toute la question.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Probabilités et échantillonnageSeconde
2Probabilités conditionnellesPremière
3Les variables aléatoiresPremière
4Combinatoire et dénombrement
5Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième

Notions couvertes

Épreuve de Bernoulli
Schéma de Bernoulli
Loi binomiale
Coefficient binomial
Indépendance des épreuves
Espérance d'une variable aléatoire
Variance et écart type
Probabilités cumulées
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Inégalité de concentration
Loi des grands nombres

L'essentiel

Quatre conditions, et une seule qui saute vraiment

• Une épreuve de Bernoulli n'a que DEUX issues : succès de probabilité $p$ , échec de probabilité $1-p$ .
• Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves IDENTIQUES et INDÉPENDANTES. Le nombre de succès $X$ suit alors la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ .
• Les quatre conditions à écrire sur la copie : deux issues, $n$ répétitions, même probabilité $p$ à chaque fois, indépendance.
• $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ pour $k$ entier compris entre $0$ et $n$ .

La loi

\mathcal{B}(10\,;0{,}3)

: les barres montent jusqu'au voisinage de

np=3

puis retombent. L'espérance n'est pas la valeur la plus probable par définition, mais elle en est toujours voisine.

L'indépendance est la seule des quatre qui puisse être fausse sans que rien ne le signale dans l'énoncé. Un tirage SANS REMISE dans une population de taille finie la détruit : la probabilité change à chaque tirage.

Espérance, variance, écart type

• $E(X)=np$ : c'est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions de l'expérience entière.
• $V(X)=np(1-p)$ , et surtout PAS $np$ . L'écart type est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ .
• La variance est maximale pour $p=0{,}5$ et tend vers $0$ quand $p$ s'approche de $0$ ou de $1$ : une pièce truquée est plus prévisible qu'une pièce équilibrée.
• $E$ et $V$ se calculent sans aucune somme : ce sont deux produits, et l'énoncé les demande souvent avant tout calcul de probabilité.

Contrôle de cohérence : $V(X)$ est toujours strictement inférieure à $E(X)$ , puisque $1-p<1$ . Une variance supérieure à l'espérance signale immédiatement l'oubli du facteur $(1-p)$ .

Traduire une inégalité en probabilité cumulée

• La calculatrice donne $P(X\le k)$ , la probabilité cumulée. Tout le reste s'en déduit, à condition de traduire correctement.
• $P(X<k)=P(X\le k-1)$ , parce que $X$ ne prend que des valeurs ENTIÈRES. C'est le décalage qui coûte le plus de points.
• $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ et $P(X>k)=1-P(X\le k)$ .
• $P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)$ : la borne basse se décale, la borne haute non.

Sur TI, la fonction est binomFRép; sur Casio, BinomialCD. La probabilité individuelle $P(X=k)$ s'obtient par binomFdp ou BinomialPD. Confondre les deux menus est une erreur fréquente en examen.

Concentration : Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P\bigl(|X-E(X)|\ge\delta\bigr)\le\frac{V(X)}{\delta^{2}}$ , valable pour TOUTE variable aléatoire ayant une variance.
• Inégalité de concentration, pour la moyenne $M_{n}$ de $n$ variables identiques et indépendantes de variance $V$ : $P\bigl(|M_{n}-p|\ge\delta\bigr)\le\frac{V}{n\delta^{2}}$ .
• Loi des grands nombres : ce majorant tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini, donc la moyenne observée se concentre autour de $p$ .
• Ces inégalités donnent un MAJORANT, jamais une valeur : elles sont souvent très grossières, et un majorant supérieur à $1$ ne dit simplement rien.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise

toute la question, avec des probabilités visiblement fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On tire $3$ boules sans remise dans une urne de $10$ dont $3$ rouges; le nombre de rouges suit $\mathcal{B}(3\,;0{,}3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sans remise, la probabilité de tirer une rouge change à chaque tirage : les épreuves ne sont pas indépendantes, donc $X$ ne suit PAS une loi binomiale. Le modèle binomial n'est acceptable que si la population est très grande devant le nombre de tirages. »

Pour chaque nombre de boules rouges, deux barres : le modèle binomial à gauche, le vrai tirage sans remise à droite. L'écart atteint

0{,}08

dès

k=1

, sur une expérience à trois tirages seulement.

Pourquoi : L'indépendance est la condition la plus fragile des quatre. Sur une petite population, elle est franchement fausse : ici $P(X=0)$ vaut $0{,}292$ dans la réalité contre $0{,}343$ avec le modèle binomial, et $P(X=3)$ vaut $0{,}008$ contre $0{,}027$ .

2. Confondre la variance et l'espérance

1 point, et toutes les inégalités de concentration qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}03)$ , donc $E(X)=1{,}5$ et $V(X)=1{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E(X)=np=50\times 0{,}03=1{,}5$ et $V(X)=np(1-p)=50\times 0{,}03\times 0{,}97=1{,}455$ , donc $\sigma(X)=\sqrt{1{,}455}\approx 1{,}21$ . »

Pourquoi : Le facteur $(1-p)$ est ce qui distingue les deux formules. Il rend toujours la variance strictement inférieure à l'espérance, ce qui donne un contrôle immédiat.

3. Traduire une inégalité stricte sans décaler l'entier

1 point, et une probabilité trop grande d'un terme entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X<4)=P(X\le 4)$ , que la calculatrice donne directement. »

Ce qu'il faut écrire

« $X$ ne prend que des valeurs entières, donc $P(X<4)=P(X\le 3)$ . C'est cette valeur qu'il faut demander à la calculatrice. »

Pourquoi : Le décalage change le résultat de $P(X=4)$ exactement, ce qui peut représenter plusieurs dixièmes. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est invisible sur la copie puisque le calcul suivant est juste.

4. Oublier le coefficient binomial dans la formule

toute la question, avec une probabilité ridiculement petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X=2)=p^{2}(1-p)^{n-2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X=2)=\binom{n}{2}p^{2}(1-p)^{n-2}$ : le coefficient compte le nombre de FAÇONS d'obtenir deux succès parmi $n$ épreuves. »

Pourquoi : $p^{2}(1-p)^{n-2}$ est la probabilité d'UNE séquence précise, par exemple succès aux deux premières épreuves. Le coefficient binomial compte toutes les séquences qui donnent le même nombre de succès.

5. Prendre le majorant de Bienaymé-Tchebychev pour la probabilité elle-même

1 point, et une affirmation fausse sur un ordre de grandeur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'inégalité donne $\frac{V(X)}{\delta^{2}}=0{,}36$ , donc $P\bigl(|X-E(X)|\ge\delta\bigr)=0{,}36$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'inégalité donne $P\bigl(|X-E(X)|\ge\delta\bigr)\le 0{,}36$ : c'est un MAJORANT. La probabilité réelle est souvent bien plus petite, et l'inégalité ne permet pas de la calculer. »

Pourquoi : Bienaymé-Tchebychev vaut pour toute variable aléatoire, quelle que soit sa loi : elle est donc nécessairement grossière. Elle sert à MAJORER un risque ou à trouver une taille d'échantillon, jamais à calculer une probabilité.

6. Chercher un seuil sans encadrer par les deux entiers voisins

1 point, et la réponse est décalée d'une unité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X\ge 1)\ge 0{,}95$ donne $n\ge 98{,}35$ , donc $n=98$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n\ge 98{,}35$ et $n$ est entier, donc le plus petit convenable est $n=99$ . Contrôle : $1-0{,}97^{99}\approx 0{,}9515\ge 0{,}95$ et $1-0{,}97^{98}\approx 0{,}9500$ . »

Pourquoi : Un seuil demande le plus PETIT entier qui convient : on arrondit toujours vers le haut, quel que soit le chiffre après la virgule. Les deux calculs de contrôle prouvent que la valeur trouvée est bien la première.

7. Prendre le nombre d'épreuves pour la probabilité de succès

0,5 point, et la calculatrice renvoie une erreur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur $50$ pièces dont $3\,\%$ sont défectueuses, $X$ suit $\mathcal{B}(0{,}03\,;50)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}03)$ : le premier paramètre est le NOMBRE d'épreuves, le second la probabilité de succès, qui est toujours comprise entre $0$ et $1$ . »

Pourquoi : L'ordre des paramètres est une convention, mais elle est universelle : $n$ d'abord, $p$ ensuite. Le contrôle est immédiat, puisque $p$ est nécessairement entre $0$ et $1$ et $n$ nécessairement entier.

8. Définir le succès sans le dire, puis changer d'avis

toute la question, et l'erreur se propage à tout l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses. $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}97)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Soit $X$ le nombre de pièces DÉFECTUEUSES; le succès est donc « la pièce est défectueuse », de probabilité $p=0{,}03$ , et $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}03)$ . »

Pourquoi : Le mot « succès » n'a rien à voir avec une réussite : c'est l'issue que la variable COMPTE. Nommer explicitement le succès en début de question est ce qui empêche l'inversion, et cela fait partie du barème.

Quelle méthode choisir

La variable suit-elle vraiment une loi binomiale

Quatre conditions à vérifier dans l'ordre, avant d'écrire la moindre probabilité. Une seule qui manque, et le modèle tombe.

Si l'expérience élémentaire a plus de deux issues intéressantes → regrouper en succès et échec, ou changer de modèle si l'énoncé distingue trois catégories

Exemple : un dé à six faces devient une épreuve de Bernoulli si l'on ne s'intéresse qu'à « obtenir un six »
Si l'énoncé dit « avec remise », ou « la production est très importante », ou « on suppose les tirages indépendants » → l'indépendance est assurée : la loi binomiale s'applique

La phrase « la production est assez grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise » est la formule consacrée des sujets : elle donne l'indépendance.
Si l'énoncé dit « sans remise » dans une population de taille comparable au nombre de tirages → les épreuves ne sont PAS indépendantes : la loi binomiale ne s'applique pas, et il faut un arbre ou un dénombrement
Si la probabilité de succès change d'une épreuve à l'autre → les épreuves ne sont pas identiques : hors du programme, il faut un arbre pondéré

Exemple : un tireur qui progresse d'un essai à l'autre
Si les quatre conditions sont réunies → écrire « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\dots$ et $p=\dots$ » en NOMMANT le succès

Cette phrase vaut à elle seule un point sur la première question de presque tous les sujets.

La question « justifier que $X$ suit une loi binomiale » attend les quatre conditions énumérées, pas une formule. Une copie qui écrit directement $P(X=k)$ perd le point de justification même si le calcul est juste.

Quelle probabilité demander à la calculatrice

On traduit d'abord l'énoncé en inégalité sur $X$ , puis l'inégalité en probabilité cumulée. Les deux traductions se font séparément.

Si « exactement $k$ succès » → $P(X=k)$ , avec binomFdp sur TI ou BinomialPD sur Casio

Exemple : exactement $2$ pièces défectueuses
Si « au plus $k$ », « pas plus de $k$ », « $k$ succès ou moins » → $P(X\le k)$ , directement avec binomFRép

Exemple : au plus $3$ défauts se lit $P(X\le 3)$
Si « moins de $k$ », inégalité STRICTE → $P(X\le k-1)$ : on décale d'une unité car $X$ est entière

Exemple : moins de $4$ défauts se lit $P(X\le 3)$
Si « au moins $k$ », « $k$ succès ou plus » → $1-P(X\le k-1)$

Exemple : au moins $2$ défauts se lit $1-P(X\le 1)$
Si « plus de $k$ », inégalité stricte → $1-P(X\le k)$ , sans décalage cette fois
Si « entre $a$ et $b$ inclus » → $P(X\le b)-P(X\le a-1)$ : seule la borne basse se décale

Exemple : entre $2$ et $5$ se lit $P(X\le 5)-P(X\le 1)$

Le contrôle qui rattrape toutes ces traductions : la probabilité obtenue doit être comprise entre $0$ et $1$ , et « au moins $1$ » doit toujours être plus grand que « exactement $1$ ».

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Justifier qu'une variable suit une loi binomiale

Quand l'utiliser : La première question de presque tout exercice de probabilités au baccalauréat.

1 Nommer la variable et ce qu'elle compte : « $X$ est le nombre de pièces défectueuses dans le lot de $50$ ».
2 Identifier l'épreuve élémentaire et ses deux issues : « prélever une pièce est une épreuve de Bernoulli, dont le succès est « la pièce est défectueuse » ».
3 Donner la probabilité de succès et dire d'où elle vient : « $p=0{,}03$ , taux de défaut annoncé par l'énoncé ».
4 Justifier la répétition IDENTIQUE et INDÉPENDANTE, en citant la phrase de l'énoncé qui l'autorise : « la production est assez importante pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise ».
5 Conclure avec les deux paramètres explicités.

Phrase de conclusion

$X$ compte le nombre de succès dans la répétition de $50$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p=0{,}03$ : $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0{,}03$ .

Le piège : Écrire « donc $X$ suit une loi binomiale » sans citer l'indépendance. C'est la seule des quatre conditions que le correcteur cherche vraiment, parce que c'est la seule qui puisse être fausse.

Barème : 0,5 point pour la nature de l'épreuve, 0,5 point pour la valeur de $p$ , 1 point pour l'indépendance justifiée, 0,5 point pour les paramètres.

Déterminer une taille d'échantillon par un seuil

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le plus petit $n$ tel qu'une probabilité dépasse une valeur donnée.

1 Écrire l'inégalité demandée en probabilité : « on cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\ge 1)\ge 0{,}95$ ».
2 Passer par l'événement contraire pour obtenir une puissance : « $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0{,}97^{n}$ ».
3 Ramener à une inéquation en $q^{n}$ : « l'inégalité équivaut à $0{,}97^{n}\le 0{,}05$ ».
4 Prendre le logarithme et DIVISER par $\ln 0{,}97$ , qui est négatif, en retournant le sens.
5 Arrondir à l'entier SUPÉRIEUR, puisqu'on cherche le plus petit entier qui convient.
6 Vérifier avec $n$ et avec $n-1$ , et écrire les deux valeurs.

Phrase de conclusion

$0{,}97^{n}\le 0{,}05$ équivaut à $n\ge\frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}97}\approx 98{,}35$ ; le plus petit entier convenable est donc $n=99$ .

Le piège : Arrondir à l'entier le plus proche. Ici $98{,}35$ arrondirait à $98$ , qui ne convient pas : un seuil s'arrondit toujours vers le haut, et la vérification sur $n-1$ le prouve.

Barème : 1 point pour le passage au contraire, 1 point pour l'inéquation avec le logarithme et le changement de sens, 1 point pour l'entier et sa vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler que la variance est inférieure à l'espérance

$V(X)=np(1-p)$ est toujours strictement plus petite que $E(X)=np$ , puisque $1-p<1$ . Une variance égale ou supérieure signale l'oubli du facteur.

$E(X)=1{,}5$ et $V(X)=1{,}455$ : cohérent. $E(X)=1{,}5$ et $V(X)=1{,}5$ : le facteur $0{,}97$ a été oublié.
Vérifier qu'une probabilité reste entre zéro et un

Toute probabilité calculée doit tomber dans $[0\,;1]$ , et une probabilité cumulée doit croître avec $k$ . Un résultat négatif vient presque toujours d'un $1-P$ appliqué deux fois.

Un $P(X\ge 2)=-0{,}44$ à l'écran : la soustraction a été faite dans le mauvais sens.
Recouper les cas complémentaires

$P(X\le k)+P(X\ge k+1)$ doit valoir exactement $1$ . Deux calculs indépendants dont la somme n'est pas $1$ signalent une erreur de décalage.

$P(X\le 1)=0{,}5553$ et $P(X\ge 2)=0{,}4447$ : la somme vaut $1$ , les deux calculs se valident.
Encadrer un seuil par ses deux entiers voisins

Le $n$ trouvé doit vérifier la condition, et $n-1$ ne doit pas la vérifier. Deux calculs à la calculatrice, et le « plus petit » est démontré.

$1-0{,}97^{99}\approx 0{,}9515\ge 0{,}95$ et $1-0{,}97^{98}\approx 0{,}9500$ , tout juste en dessous : le rang $99$ est bien le premier.
Vérifier qu'un majorant de concentration a un sens

Un majorant supérieur à $1$ ne dit rien, puisque toute probabilité l'est déjà. Quand cela arrive, c'est que $\delta$ est trop petit ou $n$ trop faible.

Un majorant de $2{,}4$ annoncé comme réponse : l'inégalité est vraie mais inutile, il faut augmenter $n$ ou élargir $\delta$ .

L'exercice type décortiqué

Un contrôle qualité, comme au baccalauréat

Une usine produit des pièces dont $3\,\%$ sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de $50$ pièces dans une production suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. 2. Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$ . 3. En déduire $P(X\ge 2)$ . 4. Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ . 5. Combien de pièces faut-il prélever pour que la probabilité d'y trouver au moins une pièce défectueuse dépasse $0{,}95$ ?

La loi

\mathcal{B}(50\,;0{,}03)

concentre presque toute sa masse sur

k=0

1

2

. La verticale marque l'espérance

1{,}5

, qui tombe entre deux valeurs entières et n'est donc atteinte par aucune barre.

Étape 1

Prélever une pièce est une épreuve de Bernoulli à deux issues, le succès étant « la pièce est défectueuse », de probabilité $p=0{,}03$ . L'énoncé autorise à assimiler le prélèvement à un tirage avec remise, donc les $50$ épreuves sont identiques et indépendantes. Ainsi $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;0{,}03)$ .

Pourquoi

Les quatre conditions sont citées dans l'ordre, et la phrase de l'énoncé sur la taille de la production est recopiée : c'est elle qui donne l'indépendance, et le correcteur la cherche.

Étape 2

$P(X=0)=\binom{50}{0}0{,}03^{0}\times 0{,}97^{50}=0{,}97^{50}\approx 0{,}2181$ .

Pourquoi

Le cas $k=0$ est le seul où le coefficient binomial vaut $1$ et où la formule se réduit à une puissance. C'est aussi celui qui servira à la question 5.

Étape 3

$P(X=1)=\binom{50}{1}\times 0{,}03\times 0{,}97^{49}=50\times 0{,}03\times 0{,}97^{49}\approx 0{,}3372$ .

Pourquoi

Le coefficient $\binom{50}{1}=50$ compte les $50$ positions possibles de l'unique pièce défectueuse. L'oublier diviserait le résultat par $50$ .

Étape 4

$P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr)\approx 1-0{,}5553=0{,}4447$ .

Pourquoi

« Au moins $2$ » se traduit par $1-P(X\le 1)$ , avec le décalage d'une unité. Passer par le contraire évite d'additionner les $49$ termes restants.

Étape 5

$E(X)=np=50\times 0{,}03=1{,}5$ et $V(X)=np(1-p)=50\times 0{,}03\times 0{,}97=1{,}455$ , donc $\sigma(X)=\sqrt{1{,}455}\approx 1{,}21$ .

Pourquoi

La variance est bien inférieure à l'espérance, comme toujours. L'écart type s'obtient en dernier, et l'énoncé demande souvent l'un ou l'autre sans préciser : on donne les deux.

Étape 6

Pour un lot de $n$ pièces, $P(X\ge 1)=1-0{,}97^{n}$ . L'inégalité $1-0{,}97^{n}\ge 0{,}95$ équivaut à $0{,}97^{n}\le 0{,}05$ , soit $n\ln 0{,}97\le\ln 0{,}05$ .

Pourquoi

On isole la puissance AVANT de prendre le logarithme. Prendre le logarithme de $1-0{,}97^{n}$ mènerait à un logarithme d'une différence, qui ne se décompose pas.

Étape 7

Comme $\ln 0{,}97<0$ , la division retourne l'inégalité : $n\ge\frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}97}\approx 98{,}35$ . Le plus petit entier convenable est donc $n=99$ .

Pourquoi

Le changement de sens vaut un point à lui seul. L'arrondi se fait toujours vers le HAUT sur un seuil, quel que soit le chiffre décimal.

Étape 8

Vérification : $1-0{,}97^{99}\approx 0{,}9515\ge 0{,}95$ , tandis que $1-0{,}97^{98}\approx 0{,}9500$ , tout juste en dessous du seuil. Le rang $99$ est bien le premier à convenir.

Pourquoi

Deux calculs de dix secondes qui démontrent le mot « plus petit » de l'énoncé. Sans eux, rien ne prouve que $98$ ne convenait pas.

Conclusion rédigée

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0{,}03$ ; un lot de $50$ pièces contient au moins deux défauts avec une probabilité d'environ $0{,}445$ , pour une moyenne de $1{,}5$ défaut et un écart type d'environ $1{,}21$ ; et il faut prélever au moins $99$ pièces pour être sûr à $95\,\%$ d'en trouver au moins une défectueuse.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $P(X\ge 2)=1-P(X\le 2)$ en oubliant le décalage. Cela retire aussi $P(X=2)$ et donne environ $0{,}189$ au lieu de $0{,}445$ : l'écart est énorme et pourtant l'erreur tient à un seul chiffre.

À savoir par cœur

• Quatre conditions : deux issues, $n$ répétitions, même $p$ , INDÉPENDANCE. C'est la dernière qui saute.
• Un tirage sans remise dans une petite population ne suit pas une loi binomiale.
• $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ : le coefficient compte les FAÇONS d'obtenir $k$ succès.
• $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ . La variance est toujours strictement plus petite que l'espérance.
• $P(X<k)=P(X\le k-1)$ et $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ : le décalage d'une unité vient de ce que $X$ est entière.
• Bienaymé-Tchebychev donne un MAJORANT, jamais une valeur, et il est souvent très grossier.
• Inégalité de concentration : $P\bigl(|M_{n}-p|\ge\delta\bigr)\le\frac{V}{n\delta^{2}}$ , qui tend vers $0$ : c'est la loi des grands nombres.
• Un seuil s'arrondit toujours à l'entier SUPÉRIEUR, et se vérifie sur $n$ et sur $n-1$ .
• Le premier paramètre est $n$ , le second $p$ ; $p$ est toujours entre $0$ et $1$ .

Questions fréquentes

Quelles conditions faut-il vérifier pour utiliser une loi binomiale ?

Quatre. L'expérience élémentaire doit n'avoir que deux issues, elle doit être répétée un nombre fixé de fois, la probabilité de succès doit rester la même à chaque répétition, et les répétitions doivent être indépendantes. C'est cette dernière condition qui pose problème : un tirage sans remise dans une petite population la rend fausse.

Pourquoi un tirage sans remise ne suit-il pas une loi binomiale ?

Parce que la composition de l'urne change après chaque tirage, donc la probabilité de succès n'est plus la même et les épreuves ne sont plus indépendantes. Le modèle binomial reste acceptable seulement si la population est très grande devant le nombre de tirages, et les énoncés le précisent alors explicitement.

Quelle est la variance d'une loi binomiale ?

Elle vaut le nombre d'épreuves multiplié par la probabilité de succès et par la probabilité d'échec. Elle n'est donc pas égale à l'espérance, qui ne contient que les deux premiers facteurs. Comme la probabilité d'échec est inférieure à un, la variance est toujours strictement plus petite que l'espérance, ce qui donne un contrôle immédiat.

Comment calculer une probabilité du type au moins deux succès ?

On passe par l'événement contraire : au moins deux revient à un moins la probabilité d'en avoir au plus un. Attention au décalage d'une unité, qui vient de ce que la variable ne prend que des valeurs entières. La calculatrice donne directement la probabilité cumulée jusqu'à une valeur donnée.

À quoi sert l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Elle majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance de plus d'une valeur choisie, en utilisant seulement la variance. Elle vaut pour n'importe quelle loi, ce qui la rend très générale mais aussi très grossière. Elle donne un majorant, jamais la probabilité exacte, et sert surtout à dimensionner un échantillon.

Que dit la loi des grands nombres ?

Que la moyenne observée sur un grand échantillon se rapproche de la probabilité théorique. Plus précisément, la probabilité que cette moyenne s'écarte de plus d'une valeur fixée est majorée par une expression qui tend vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente. C'est ce qui justifie l'usage des sondages et des fréquences observées.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Loi binomiale et concentration

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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