Exercices corrigés : ratios, partages, échelles et pourcentages (Quatrième)

1) Le ratio $3:5$ découpe le club en $3+5=8$ parts, dont $3$ pour les filles. Les filles représentent donc $\dfrac{3}{8}$ des membres, et les garçons $\dfrac{5}{8}$. Le dénominateur d'une fraction du total est TOUJOURS la somme des termes du ratio.

2) $12$ et $18$ ont pour plus grand diviseur commun $6$ : $12:18=2:3$. Un ratio se simplifie exactement comme une fraction, en divisant les deux termes par un même nombre.

3) Première façon : $4:6=2:3$ et $10:15=2:3$, les deux formes simplifiées coïncident. Seconde façon, les produits en croix : $4\times 15=60$ et $6\times 10=60$, ils sont égaux, donc les ratios le sont.

4) Le second terme du ratio est $7$ et vaut $42$, donc une part vaut $42\div 7=6$. Alors $a=2\times 6=12$. Vérification : $12:42=2:7$ après division par $6$.

5) Le mélange compte $5+2=7$ parts, dont $2$ de ciment : le ciment représente $\dfrac{2}{7}$ du mélange, soit environ $28{,}6$ pour cent. La réponse $\dfrac{2}{5}$ serait le rapport du ciment au sable, pas au mélange.

6) Parce que $3:5$ compare les filles aux GARÇONS, alors qu'une fraction du groupe compare une partie au TOUT. Trois cinquièmes de $8$ parts feraient $4{,}8$ parts, ce qui n'a aucun sens ici. La confusion entre ces deux lectures est l'erreur numéro un du chapitre, et elle fausse ensuite tout le partage.

1) Le ratio compte $3+4=7$ parts. Une part vaut $560\div 7=80$ dollars. Les deux parts valent donc $3\times 80=240$ dollars et $4\times 80=320$ dollars. Vérification : $240+320=560$.

2) $2+5=7$ parts, une part vaut $210\div 7=30$ centimètres, donc $60$ centimètres et $150$ centimètres. Vérification : $60+150=210$ et $60:150=2:5$ après division par $30$.

3) L'ÉCART entre les deux parts vaut $7-3=4$ parts, et cet écart vaut $2\,100$ dollars. Une part vaut donc $2\,100\div 4=525$ dollars, et le total, qui compte $10$ parts, vaut $10\times 525=5\,250$ dollars. Vérification : les parts sont $3\,675$ et $1\,575$ dollars, dont la différence est bien $2\,100$ dollars. La donnée était un écart, pas un total : c'est le point délicat de la question.

4) $5+7=12$ parts, une part vaut $84\div 12=7$ millimètres, donc $35$ millimètres et $49$ millimètres. Vérification : $35+49=84$.

5) La plus petite part correspond au terme $4$, donc une part vaut $76\div 4=19$. La plus grande vaut $9\times 19=171$. Le total serait $13\times 19=247$.

6) Parce qu'un ratio ne contient aucune quantité : $3:4$ décrit exactement la même répartition pour $560$ dollars que pour $7$ dollars ou pour $70\,000$ dollars. La valeur d'une part est le seul endroit où la quantité réelle entre dans le calcul ; tout ce qui vient avant n'est que du comptage de parts.

1) $2+3+7=12$ parts. Une part vaut $144\div 12=12$ billes. Les trois lots comptent donc $2\times 12=24$, $3\times 12=36$ et $7\times 12=84$ billes. Vérification : $24+36+84=144$.

2) Le premier lot occupe les deux premières parts de la bande, le deuxième les trois suivantes et le troisième les sept dernières. La bande rend visible ce que le calcul dit : le dernier lot occupe à lui seul plus de la moitié du total, puisque $\dfrac{7}{12}>\dfrac{1}{2}$.

3) $2+3+6=11$ parts. Une part vaut $3\,300\div 11=300$ dollars. Les trois personnes reçoivent $600$, $900$ et $1\,800$ dollars. Vérification : $600+900+1\,800=3\,300$.

4) La plus grande part correspond au terme $5$, donc une part vaut $85\div 5=17$. Le ratio compte $1+2+5=8$ parts, donc le total vaut $8\times 17=136$. Les trois parts sont $17$, $34$ et $85$.

5) $1+2+4=7$ parts, une part vaut $350\div 7=50$ kilogrammes, donc le sable, qui compte $2$ parts, pèse $100$ kilogrammes. Le ciment en pèse $50$ et le gravier $200$.

6) Non. Le partage compte $12$ parts et $100$ n'est pas un multiple de $12$, puisque $100=12\times 8+4$. Une part vaudrait $\dfrac{100}{12}\approx 8{,}33$, et les trois lots vaudraient environ $16{,}67$, $25$ et $58{,}33$ : seul le deuxième serait entier. Pour un partage entier, il faut que le total soit un multiple du nombre de parts.

1) Elle signifie que $1$ centimètre sur le plan représente $200$ centimètres en réalité, soit $2$ mètres. Toute longueur réelle est $200$ fois la longueur correspondante sur le plan.

2) $2{,}5\times 200=500$ centimètres, soit $5$ mètres, et $3{,}5\times 200=700$ centimètres, soit $7$ mètres. Le salon mesure donc $5$ mètres sur $7$ mètres.

3) Aire réelle : $5\times 7=35$ mètres carrés. Vérification à partir du plan : l'aire y vaut $2{,}5\times 3{,}5=8{,}75$ centimètres carrés, et une aire se multiplie par le CARRÉ de l'échelle, soit $200^{2}=40\,000$. On obtient $8{,}75\times 40\,000=350\,000$ centimètres carrés, c'est-à-dire $35$ mètres carrés puisque $1$ mètre carré vaut $10\,000$ centimètres carrés. Multiplier l'aire par $200$ aurait donné $1\,750$ centimètres carrés, un résultat deux cents fois trop petit.

4) $6$ mètres valent $600$ centimètres, donc la longueur sur le plan est $600\div 200=3$ centimètres. On DIVISE, puisqu'on va du réel vers le plan.

5) $8{,}5\times 25\,000=212\,500$ centimètres, soit $2\,125$ mètres, soit $2{,}125$ kilomètres. La conversion se fait à la fin, une seule fois : $1$ kilomètre vaut $100\,000$ centimètres.

6) L'échelle $\dfrac{4}{1}$ vaut $4$, elle est supérieure à $1$ : c'est un AGRANDISSEMENT, comme sur le dessin d'une pièce d'horlogerie. Le détail de $0{,}3$ millimètre y mesure $0{,}3\times 4=1{,}2$ millimètre. Une échelle inférieure à $1$ réduit, une échelle supérieure à $1$ agrandit, et une échelle égale à $1$ conserve les dimensions.

1) $\dfrac{18}{100}\times 450=0{,}18\times 450=81$. On multiplie par le taux écrit en décimal, jamais par $18$.

2) On divise la partie par le tout : $\dfrac{63}{180}=0{,}35$, soit $35$ pour cent. L'ordre compte : diviser $180$ par $63$ donnerait environ $2{,}86$, qui n'est pas un pourcentage de répartition.

3) Le nombre cherché vérifie $0{,}35\times x=91$, donc $x=\dfrac{91}{0{,}35}=260$. Vérification : $0{,}35\times 260=91$. On remonte au tout en DIVISANT par le taux.

4) $\dfrac{7}{28}=0{,}25$, soit $25$ pour cent des élèves. Le quart de la classe.

5) Payer après une remise de $15$ pour cent, c'est payer $85$ pour cent du prix : $80\times 0{,}85=68$ dollars. On peut aussi calculer la remise, $80\times 0{,}15=12$ dollars, puis soustraire : $80-12=68$ dollars. Le premier chemin est plus court et se généralise aux évolutions successives.

6) Augmenter de $3{,}5$ pour cent, c'est multiplier par $1{,}035$ : $2\,400\times 1{,}035=2\,484$ dollars. La hausse elle-même vaut $84$ dollars. Écrire $2\,400\times 1{,}35$ serait une hausse de $35$ pour cent, dix fois trop forte : la virgule du coefficient mérite une relecture systématique.

1) $\dfrac{276-240}{240}=\dfrac{36}{240}=0{,}15$, soit une HAUSSE de $15$ pour cent. Le coefficient multiplicateur correspondant est $1{,}15$, et l'on vérifie $240\times 1{,}15=276$.

2) $\dfrac{126-150}{150}=\dfrac{-24}{150}=-0{,}16$, soit une BAISSE de $16$ pour cent. Le signe négatif porte l'information ; le coefficient est $0{,}84$ et $150\times 0{,}84=126$.

3) La hausse correspond au coefficient $1{,}25$. Pour revenir au départ, il faut multiplier par $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$, ce qui est une baisse de $20$ pour cent. Ce n'est PAS une baisse de $25$ pour cent : $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$, soit une perte de $6{,}25$ pour cent. Le coefficient qui annule une évolution est son inverse, jamais son opposé.

4) $0{,}8\times 1{,}2=0{,}96$, ce qui correspond à une BAISSE de $4$ pour cent. Sur $1\,000$ habitants : $800$, puis $960$. Deux évolutions de même taux et de sens contraires ne se compensent jamais, parce qu'elles ne portent pas sur la même référence.

5) Hausse de $8$ pour cent : coefficient $1{,}08$. Baisse de $8$ pour cent : coefficient $0{,}92$. Leur produit vaut $0{,}9936$, ce qui confirme la conclusion de la question 4.

6) Une baisse de $30$ pour cent correspond au coefficient $0{,}7$, donc le prix initial vérifie $0{,}7\times p=98$, d'où $p=\dfrac{98}{0{,}7}=140$ dollars. Vérification : $140\times 0{,}7=98$. Ajouter $30$ pour cent à $98$ donnerait $127{,}40$ dollars, un résultat faux : le taux portait sur le prix de DÉPART, celui qu'on cherche.

1) Pour les moins de $30$ ans : $180-84-36=60$ personnes en bus. Pour les $30$ ans et plus : le total vaut $400-180=220$ personnes, le vélo $140-84=56$ et la voiture $120-36=84$, donc le bus $220-56-84=80$. Le total de la colonne bus vaut $60+80=140$. Contrôle final : $140+140+120=400$.

2) $\dfrac{140}{400}=0{,}35$, soit $35$ pour cent des personnes interrogées.

3) $\dfrac{84}{180}\approx 0{,}4667$, soit environ $46{,}7$ pour cent des moins de $30$ ans. Le TOUT est ici l'effectif de la ligne, $180$.

4) $\dfrac{84}{140}=0{,}6$, soit $60$ pour cent des cyclistes. Le TOUT est cette fois l'effectif de la colonne, $140$.

5) Parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même référence. La question 3 demande une part parmi les jeunes, la question 4 une part parmi les cyclistes. Le même effectif de $84$ personnes est comparé à $180$ dans un cas, à $140$ dans l'autre. Un pourcentage n'a de sens qu'accompagné de la phrase parmi QUOI, et c'est exactement ce que teste cette question à chaque contrôle.

6) La moitié de $400$ fait $200$ cyclistes. Il en manque $200-140=60$, qu'il faudrait prendre parmi les $164$ personnes de $30$ ans et plus qui utilisent le bus ou la voiture. C'est possible, puisque $60<164$, le nombre de non-cyclistes de cette tranche d'âge.

1) FAUX. Le ratio donne un nombre de PARTS, pas des quantités. Il y a $2+3=5$ parts, une part vaut $100\div 5=20$, donc les deux personnes reçoivent $40$ et $60$. Énoncé correct : partager $100$ selon $2:3$ donne $40$ et $60$.

2) FAUX. Les coefficients se multiplient : $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$, soit une baisse globale de $4$ pour cent. Sur $200$ dollars : $240$ dollars, puis $192$ dollars. La raison est que la baisse porte sur le prix DÉJÀ augmenté, une référence plus grande que le prix de départ. Énoncé correct : une hausse puis une baisse de même taux donnent toujours une perte.

3) FAUX. L'échelle compare des longueurs de MÊME unité : un centimètre sur la carte représente $25\,000$ centimètres, soit $250$ mètres, ou encore $0{,}25$ kilomètre. Énoncé correct : $1$ centimètre représente $250$ mètres. L'erreur d'unité multiplie la distance par cent.

4) FAUX. Le ratio $3:5$ compare les filles aux garçons. Le groupe compte $3+5=8$ parts, donc les filles représentent $\dfrac{3}{8}$, soit $37{,}5$ pour cent, et non $\dfrac{3}{5}$, soit $60$ pour cent. Énoncé correct : trois huitièmes du groupe sont des filles.

5) FAUX. Encore une fois, on multiplie les coefficients : $0{,}7\times 0{,}8=0{,}56$, soit une baisse globale de $44$ pour cent et non de $50$. Sur $100$ dollars : $70$ dollars, puis $56$ dollars. Énoncé correct : deux baisses successives de $30$ et $20$ pour cent équivalent à une baisse unique de $44$ pour cent.

6) Il faut multiplier par $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$, soit une baisse de $20$ pour cent. En général, une hausse de $t$ pour cent s'annule par une baisse dont le taux est plus petit que $t$.

1) $1+2+3=6$ parts. Une part vaut $900\div 6=150$ kilogrammes, donc $150$ kilogrammes de ciment, $300$ de sable et $450$ de gravier. Vérification : $150+300+450=900$.

2) Le ciment représente une part, donc le béton en représente six : avec $220$ kilogrammes de ciment, il peut préparer $220\times 6=1\,320$ kilogrammes de béton. Le raisonnement remonte de la part au total, on multiplie donc par le nombre de parts.

3) $12\times 50=600$ centimètres, soit $6$ mètres, et $8\times 50=400$ centimètres, soit $4$ mètres. La dalle mesure $6$ mètres sur $4$ mètres.

4) $6\times 4=24$ mètres carrés. Contrôle par l'échelle : sur le plan l'aire vaut $12\times 8=96$ centimètres carrés, et $96\times 50^{2}=96\times 2\,500=240\,000$ centimètres carrés, soit bien $24$ mètres carrés.

5) Le volume vaut $24\times 0{,}12=2{,}88$ mètres cubes, en convertissant d'abord l'épaisseur en mètres. La masse vaut donc $2{,}88\times 2\,400=6\,912$ kilogrammes. Garder l'épaisseur en centimètres aurait donné un volume cent fois trop grand.

6) Le ciment représente $\dfrac{1}{6}$ du béton, soit $6\,912\div 6=1\,152$ kilogrammes. Cela fait $1\,152\div 25=46{,}08$ sacs : il en faut donc $47$, car $46$ sacs ne pèsent que $1\,150$ kilogrammes, deux kilogrammes de moins que nécessaire. Dans un problème de conditionnement, on arrondit toujours à l'entier SUPÉRIEUR.

1) $1\,250\times 1{,}12=1\,400$ vélos.

2) $1\,400\times 0{,}85=1\,190$ vélos. On applique la baisse aux ventes de 2025, jamais à celles de 2024.

3) $1{,}12\times 0{,}85=0{,}952$. Ce coefficient est inférieur à $1$, donc il s'agit d'une baisse : le taux vaut $0{,}952-1=-0{,}048$, soit une baisse de $4{,}8$ pour cent sur les deux années. Ajouter les taux aurait donné $12-15=-3$ pour cent, un résultat faux.

4) $\dfrac{1\,190-1\,250}{1\,250}=\dfrac{-60}{1\,250}=-0{,}048$, soit la même baisse de $4{,}8$ pour cent. Les deux chemins concordent, ce qui valide les questions précédentes.

5) Le ratio compte $3+4=7$ parts et $1\,190\div 7=170$ vélos par part. Les vélos électriques en représentent trois, soit $3\times 170=510$ vélos, contre $4\times 170=680$ vélos classiques. Vérification : $510+680=1\,190$.

6) Il faut passer de $1\,190$ à $1\,250$ vélos, soit une hausse de $\dfrac{1\,250-1\,190}{1\,190}=\dfrac{60}{1\,190}\approx 0{,}0504$, c'est-à-dire environ $5{,}0$ pour cent. Ce taux est SUPÉRIEUR aux $4{,}8$ pour cent perdus, parce qu'il s'applique à une base plus petite : c'est exactement le phénomène du coefficient réciproque, $\dfrac{1}{0{,}952}\approx 1{,}0504$.

1) Une part vaut $112\div 16=7$ cm, donc la hauteur vaut $9\times 7=63$ cm.

2) Une part vaut $45\div 9=5$ cm, donc la largeur vaut $16\times 5=80$ cm.

3) Le plus grand diviseur commun de $96$ et $72$ est $24$ : $96:72=4:3$. C'est un écran de l'ancien format.

4) Oui. $1\,920\div 16=120$ et $1\,080\div 9=120$ : les deux dimensions correspondent à la même valeur d'une part, donc $1\,920:1\,080=16:9$. On peut aussi simplifier directement par $120$.

5) L'image occupe toute la hauteur, $45$ cm. Au format $4:3$, une part vaut $45\div 3=15$ cm et la largeur $4\times 15=60$ cm. Il reste $80-60=20$ cm, soit deux bandes noires de $10$ cm. Garder la largeur de $80$ cm aurait demandé une hauteur de $60$ cm, plus grande que l'écran.

Le fil : un format ne donne aucune dimension ; une dimension connue fixe la valeur d'une part, et tout le reste s'en déduit.

1) $6$ m $=600$ cm, donc l'échelle vaut $\dfrac{3}{600}=\dfrac{1}{200}$.

2) $2$ km $=200\,000$ cm, donc l'échelle vaut $\dfrac{4}{200\,000}=\dfrac{1}{50\,000}$. Diviser sans convertir aurait donné $\dfrac{4}{2}=2$, un agrandissement absurde pour une carte.

3) $36$ km $=3\,600\,000$ cm, donc l'échelle vaut $\dfrac{7{,}2}{3\,600\,000}=\dfrac{1}{500\,000}$.

4) $12$ cm $=120$ mm, donc l'échelle vaut $\dfrac{120}{8}=15$ : c'est un agrandissement, noté $\dfrac{15}{1}$. Une échelle supérieure à $1$ est normale dès qu'on représente un objet minuscule.

5) Le sentier mesure réellement $12\times 25\,000=300\,000$ cm, soit $3$ km. Sur la seconde carte : $\dfrac{300\,000}{100\,000}=3$ cm. La carte au $\dfrac{1}{25\,000}$ est la plus détaillée : le même sentier y est quatre fois plus long, puisque $\dfrac{100\,000}{25\,000}=4$.

Le fil : une échelle est un quotient de deux longueurs de même unité ; on convertit d'abord, on divise ensuite.

1) $3+5=8$ parts, une part vaut $40\div 8=5$ billes : $15$ rouges et $25$ bleues.

2) $20$ rouges pour $25$ bleues : $20:25=4:5$. Le ratio a changé parce qu'une seule des deux quantités a bougé.

3) Il faut autant de bleues que de rouges, soit $15$ : on retire $25-15=10$ billes bleues.

4) Il faut deux fois plus de rouges que de bleues, soit $2\times 25=50$ rouges : on en ajoute $50-15=35$.

5) $20$ rouges pour $30$ bleues : $20:30=2:3$. Or $2:3$ n'est pas $3:5$, puisque $2\times 5=10$ et $3\times 3=9$. L'élève a tort : ajouter la même quantité aux deux termes change le ratio ; seul le fait de MULTIPLIER les deux termes par un même nombre le conserve.

Le fil : un ratio se conserve par multiplication des deux termes, jamais par addition ; chaque modification se traite en revenant aux quantités.

1) $18$ parts d'or pour $24-18=6$ parts d'autres métaux : $18:6=3:1$.

2) $\dfrac{18}{24}=0{,}75$, soit $75$ pour cent d'or pur.

3) $0{,}75\times 6=4{,}5$ g d'or pur.

4) L'or pur représente $\dfrac{14}{24}$ de la masse : une part vaut $7\div 14=0{,}5$ g et la chaîne compte $24$ parts, soit $24\times 0{,}5=12$ g.

5) Or pur : $0{,}75\times 12+4=9+4=13$ g, pour une masse totale de $16$ g. La proportion d'or vaut $\dfrac{13}{16}$, soit $\dfrac{13}{16}\times 24=19{,}5$ carats. Ce n'est pas la moyenne $21$ des deux titres, parce que la bague de $18$ carats pèse trois fois plus lourd que l'or pur ajouté.

Le fil : les carats sont un ratio sur $24$ parts ; pour mélanger deux alliages, on additionne les quantités d'or, jamais les carats.

1) $48:16=3:1$ : trois dents du plateau pour une dent du pignon, ce qui donne trois tours de roue par tour de pédale.

2) $3\times 2{,}1=6{,}3$ m par tour de pédale.

3) $80\times 6{,}3=504$ m par minute. En une heure : $504\times 60=30\,240$ m, soit une vitesse d'environ $30{,}2$ km/h.

4) $48:24=2:1$ : deux tours de roue par tour de pédale, soit $2\times 2{,}1=4{,}2$ m.

5) Pour parcourir encore $504$ m par minute, il faut $504\div 4{,}2=120$ tours de pédale par minute. Le grand pignon rend le pédalage plus facile, mais il faut tourner les jambes plus vite pour aller aussi vite.

Le fil : le ratio des dents est un rapport de tours ; il transforme un nombre de tours de pédale en distance, puis en vitesse.