Sixième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Ce chapitre se corrige presque toujours sur les mêmes trois lignes : l'élève écrit « est un multiple de » alors que c'est l'inverse, il annonce un reste de dans une division par , et il répond autocars là où il en faut parce qu'il a oublié ce que devenait le reste.
Cette fiche laisse le cours dans le cahier. Elle rassemble ce qui rapporte des points : la seule égalité qui porte tout le vocabulaire, la condition qui décide du quotient, et le mot de l'énoncé qui dit s'il faut chercher les diviseurs communs ou les multiples communs.
Le fil du chapitre
En Sixième, les points ne se perdent pas sur la table de multiplication : ils se perdent sur le SENS des deux mots, multiple et diviseur, sur un reste qu'on laisse plus grand que le diviseur, et sur le mot de l'énoncé qui décide entre diviseurs communs et multiples communs.
Le repère qui ne trompe pas, hors du cas de : un multiple est toujours au moins aussi grand que le nombre dont il est multiple. Si votre phrase fait du petit nombre un multiple du grand, elle est à l'envers.
Une égalité juste ne suffit pas. est exact et pourtant faux comme division euclidienne : il faut écrire .
Les critères de , et regardent le DERNIER CHIFFRE ; ceux de et regardent la SOMME. Appliquer le mauvais des deux est l'erreur la plus rentable à supprimer.
Écrire la liste dans l'ordre croissant est le seul moyen de voir qu'on n'a rien sauté. Un carré parfait comme a un nombre IMPAIR de diviseurs, parce que sa dernière paire est .
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Puisque , le nombre est un multiple de . »
Ce qu'il faut écrire
« est un diviseur de , et est un multiple de , car . »
Pourquoi : Le multiple est le résultat du produit, donc le grand nombre. Dire que est un multiple de reviendrait à trouver un entier tel que , ce qui est impossible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc le quotient est et le reste . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc le quotient est et le reste , et l'on a bien . »
Pourquoi : L'égalité de départ est exacte, mais un reste de contient encore un paquet de entier. La condition n'est pas une coquetterie, c'est elle qui rend le quotient unique.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« se termine par , donc est divisible par . »
Ce qu'il faut écrire
« , et n'est pas dans la table de , donc n'est pas divisible par . »
Pourquoi : Seuls les critères de , et se lisent sur le chiffre des unités. Ceux de et de passent par la somme des chiffres, jamais par le dernier.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est divisible par et par , donc il est divisible par . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc n'est pas divisible par . La règle ne vaut que pour et , qui n'ont aucun diviseur commun autre que : est bien divisible par . »
Pourquoi : Le facteur est déjà compté dans le : on ne peut pas le compter deux fois. Le croisement de deux critères n'est autorisé que si les deux nombres ne partagent aucun diviseur autre que .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les diviseurs de sont , , , , et . »
Ce qu'il faut écrire
« Les diviseurs de sont , , , , , , et , soit huit diviseurs. »
Pourquoi : est une paire comme les autres. L'oubli se voit tout de suite si l'on écrit les diviseurs par paires au lieu de les chercher au hasard.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux bus partent toutes les et minutes, donc ils repartent ensemble au bout de minutes. »
Ce qu'il faut écrire
« Les multiples communs de et sont , , ... Le premier non nul est : ils repartent ensemble au bout de minutes. »
Pourquoi : Le produit est toujours UN multiple commun, mais il n'est le plus petit que si les deux nombres ne partagent aucun diviseur autre que . Ici et partagent , ce qui divise le résultat d'autant.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc il faut autocars. »
Ce qu'il faut écrire
« : autocars sont pleins et il reste élèves, il faut donc réserver autocars. »
Pourquoi : Le quotient répond à « combien d'autocars pleins », pas à « combien d'autocars il faut ». Dès que le reste n'est pas nul, on ajoute un.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« divise , donc on peut faire paquets identiques avec crayons et gommes. »
Ce qu'il faut écrire
« divise mais : ne divise pas , donc paquets sont impossibles. Le nombre de paquets doit être un diviseur COMMUN de et de . »
Pourquoi : La condition porte sur les deux marchandises à la fois. Il suffit qu'elle échoue sur une seule pour que la répartition soit impossible.
On repère le VERBE de l'énoncé, pas le thème du chapitre.
Si l'énoncé partage, répartit, découpe, fait des paquets identiques → chercher les DIVISEURS communs, et prendre le PLUS GRAND
Exemple : crayons et gommes : diviseurs communs , , , , , , donc au maximum paquets
les mots « au maximum », « la plus grande », « sans reste » annoncent toujours cette branche
Si l'énoncé répète un événement et demande quand il coïncide → chercher les MULTIPLES communs, et prendre le PLUS PETIT non nul
Exemple : bus toutes les min et toutes les min : ensemble au bout de min
les mots « repartent ensemble », « pour la première fois », « de nouveau » annoncent celle-ci
Si l'énoncé demande combien de paquets PLEINS on obtient → poser la division euclidienne et garder le QUOTIENT
Exemple : élèves, autocars de places : autocars pleins
Si l'énoncé demande combien il en FAUT → poser la division euclidienne, puis ajouter si le reste n'est pas nul
Exemple : , donc autocars
Le résultat des deux premières branches n'a pas le même ordre de grandeur : un diviseur commun est PLUS PETIT que les deux nombres, un multiple commun est PLUS GRAND. Un coup d'oeil au résultat suffit donc à voir qu'on s'est trompé de branche.
On regarde par quel nombre on divise, et c'est lui qui choisit l'outil.
Si par , par ou par → regarder le CHIFFRE DES UNITÉS, rien d'autre
Exemple : se termine par : divisible par , pas par ni par
Si par ou par → additionner tous les chiffres et appliquer le critère à cette somme
Exemple : : , divisible par mais pas par
Si par → vérifier les DEUX critères, celui de et celui de
Exemple : finit par et : divisible par
un seul des deux ne suffit pas, et le montre : divisible par mais impair
Si par , par ou par → aucun critère au programme, on pose la division et on regarde le reste
Exemple : divisé par donne et il reste
Le critère répond par OUI ou NON, il ne donne jamais le quotient. Si la question demande combien de fois, il faut poser la division même quand le critère a déjà répondu.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « justifier que », « montrer que est un multiple de » ou « est-il un diviseur de ».
Phrase de conclusion
« , le reste est nul, donc est un multiple de , autrement dit est un diviseur de . »
Le piège : Répondre « oui, ça tombe juste » sans écrire l'égalité : la phrase seule ne rapporte rien, c'est l'égalité qui prouve.
Barème : 0,5 point le calcul, 1 point l'égalité écrite, 0,5 point la conclusion avec le bon mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande le plus grand nombre de parts, de paquets ou de groupes identiques, sans rien laisser.
Phrase de conclusion
« Le nombre de paquets est un diviseur commun de et de . Les diviseurs communs sont , , , , et : le plus grand est . Chaque paquet contient donc crayons et gommes. »
Le piège : Se contenter des diviseurs d'un seul des deux nombres. La première phrase, celle qui dit « diviseur COMMUN », est justement celle qui empêche cette erreur.
Barème : 1 point la traduction en diviseurs communs, 1 point les deux listes, 0,5 point le maximum, 0,5 point le contenu d'un paquet.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le reste est-il plus petit que le diviseur ?
Relire la division posée et comparer les deux nombres de droite. Si le reste atteint ou dépasse le diviseur, le quotient est trop petit d'au moins .
Un reste de dans une division par signale qu'il faut encore retirer un paquet : le vrai quotient est et le reste .
Remettre le résultat dans l'égalité
Calculer et vérifier qu'on retombe sur . Ce contrôle prend cinq secondes et attrape presque toutes les erreurs de calcul.
: le compte est bon, tous les élèves sont placés.
L'ordre de grandeur de la réponse
Un diviseur commun est plus PETIT que les deux nombres de l'énoncé ; un multiple commun est plus GRAND. Un résultat du mauvais côté signale qu'on s'est trompé de branche de l'arbre.
Répondre minutes pour deux bus qui passent toutes les et minutes : c'est plus de trois heures, donc c'est faux.
Le mot de la conclusion
Relire la question et vérifier qu'on répond avec le mot demandé. Multiple et diviseur ne se remplacent pas, même si l'égalité écrite est la bonne.
La question demande un diviseur, la copie répond « est un multiple de » : le calcul est juste, le point est perdu.
Un couloir rectangulaire mesure cm de long et cm de large. On veut le recouvrir entièrement de dalles carrées identiques, posées entières, sans aucune découpe.
Quelle est la plus grande dalle possible, et combien en faut-il ?
Étape 1
Le côté de la dalle doit diviser pour que les dalles tombent juste dans la longueur, et diviser pour la largeur. On cherche donc un diviseur COMMUN de et de .
Pourquoi
C'est l'étape qui transforme un problème de carrelage en problème de diviseurs. Sans cette phrase, le correcteur ne voit pas que l'élève a reconnu le chapitre, et la suite ressemble à des essais au hasard.
Étape 2
On teste les candidats par paires. et : convient. On vérifie qu'aucun diviseur commun n'est plus grand : le suivant serait au moins , or .
Pourquoi
Trouver un diviseur commun ne suffit pas, l'énoncé demande le PLUS GRAND. La phrase qui écarte les candidats plus grands vaut autant que celle qui donne la réponse.
Étape 3
La plus grande dalle mesure donc cm de côté.
Pourquoi
On répond d'abord à la question posée, avec son unité. Les calculs qui suivent sont une seconde question, pas la même.
Étape 4
Dans la longueur : dalles. Dans la largeur : dalles. Au total dalles.
Pourquoi
On compte les dalles dans chaque direction avant de multiplier. Diviser directement l'aire du couloir par l'aire d'une dalle donne le même nombre ici, mais ne prouve pas que les dalles tombent juste.
Étape 5
Vérification par les aires : le couloir mesure cm², une dalle mesure cm², et cm².
Pourquoi
Ce contrôle emprunte un chemin complètement différent du raisonnement sur les diviseurs : c'est ce qui en fait une vraie vérification et non une répétition.
Conclusion rédigée
« La plus grande dalle carrée possible mesure cm de côté, et il en faut pour couvrir le couloir. »
L'erreur classique sur cet exercice : Prendre un diviseur de qui ne divise pas , comme : tombe juste, mais laisse une bande de cm à découper.
Ce sont deux lectures de la même égalité. Dans 4 fois 7 égale 28, le nombre 28 est le résultat : c'est le multiple, donc le grand nombre. Les nombres 4 et 7 sont les facteurs : ce sont les diviseurs, donc les petits. Dire que 28 est un multiple de 7 et dire que 7 est un diviseur de 28, c'est exactement la même information.
On additionne tous les chiffres du nombre, puis on regarde si cette somme est dans la table de 3. Pour 4083, la somme vaut 4 plus 0 plus 8 plus 3, soit 15, qui est bien un multiple de 3 : le nombre est divisible par 3. Attention, ce critère ne regarde jamais le dernier chiffre, contrairement à ceux de 2, de 5 et de 10.
On cherche par paires, en testant les entiers dans l'ordre à partir de 1. Chaque essai réussi donne deux diviseurs d'un coup. Pour 24 : 1 fois 24, 2 fois 12, 3 fois 8, 4 fois 6. On s'arrête quand le petit facteur rattrape le grand, puis on écrit la liste dans l'ordre croissant pour vérifier qu'aucun n'a été sauté.
On regarde le verbe de l'énoncé. Si l'on partage une quantité en parts identiques, en paquets ou en groupes, ce sont les diviseurs communs, et l'on prend le plus grand. Si un événement se répète et que l'on cherche quand deux répétitions coïncident, ce sont les multiples communs, et l'on prend le plus petit qui ne soit pas zéro.
Non, jamais. Le reste doit être positif et strictement plus petit que le diviseur. S'il est plus grand, c'est qu'il contient encore au moins un paquet entier à retirer, et donc que le quotient annoncé est trop petit. Écrire 50 égale 6 fois 7 plus 8 est une égalité exacte, mais ce n'est pas la division euclidienne de 50 par 6.
