Math TS, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la géométrie analytique

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de géométrie analytique du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire, qui s'arrête aux droites et aux demi-plans.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une droite se reconnaît à un seul nombre, sa pente ; une inéquation, elle, décrit tout un côté du plan, et un simple point-test dit lequel.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les systèmes d'équations Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Les points : distance, milieu, partage

• DISTANCE : $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ . C'est Pythagore, et les écarts étant au carré, l'ordre des points n'a aucune influence.
• MILIEU : la moyenne des coordonnées, $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\,;\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ .
• POINT DE PARTAGE de rapport $m:n$ : on avance de la fraction $\dfrac{m}{m+n}$ du déplacement total. Le rapport $1:3$ donne donc le QUART, et non le tiers.
• On ADDITIONNE les deux nombres du rapport pour obtenir le dénominateur : c'est la seule chose à retenir, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
• Sur la figure, $P$ est au quart et $Q$ aux trois quarts : avec le milieu, ils découpent le segment en quatre parts égales de $2{,}5$ unités.

Le segment

[AB]

et ses points remarquables :

P

au quart,

M

au milieu,

Q

aux trois quarts. Chaque part mesure

2{,}5

, soit le quart de

AB=10

Les droites : pente, position, écriture

• PENTE : $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , ou directement $-\dfrac{A}{B}$ sur la forme générale $Ax+By+C=0$ .
• POSITION RELATIVE : pentes différentes, les droites sont SÉCANTES ; pentes égales et ordonnées à l'origine différentes, PARALLÈLES DISTINCTES ; tout égal, CONFONDUES.
• PERPENDICULAIRES : le PRODUIT des pentes vaut $-1$ . Deux pentes simplement opposées, comme $2$ et $-2$ , ne le sont pas.
• TROIS FORMES : fonctionnelle $y=ax+b$ pour tracer et comparer, générale $Ax+By+C=0$ pour répondre, symétrique $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}=1$ pour lire les deux points de rencontre avec les axes.
• UNE DROITE VERTICALE n'a pas de forme fonctionnelle ni de pente : elle s'écrit $x=k$ , et ce n'est pas une fonction.
• ÉCRIRE UNE ÉQUATION, toujours en trois temps : trouver la pente, substituer le point pour obtenir $b$ , vérifier sur un point qui n'a pas servi au calcul.

Les demi-plans, et l'intersection de deux droites

• UNE INÉQUATION décrit un DEMI-PLAN : la frontière est la droite obtenue en remplaçant l'inégalité par une égalité.
• FRONTIÈRE EN TRAIT PLEIN si l'inégalité est LARGE, en POINTILLÉ si elle est STRICTE. La convention est notée en évaluation.
• POINT-TEST : on substitue un point simple, souvent l'origine. S'il vérifie l'inéquation, la région est de son côté. Un seul point suffit, une droite ne laissant que deux côtés.
• SI LA FRONTIÈRE PASSE PAR L'ORIGINE, le point $(0\,;0)$ ne dit rien : on en choisit un autre, par exemple $(1\,;0)$ .
• UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS donne l'INTERSECTION des demi-plans. Un point n'appartient à la région que s'il vérifie TOUTES les inéquations, sans exception.
• L'INTERSECTION DE DEUX DROITES est un système d'équations : une solution si elles sont sécantes, aucune si elles sont parallèles distinctes, une infinité si elles sont confondues.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Placer un point de partage

toute la question, et un point placé au mauvais endroit

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le point de partage $1:3$ est au tiers du segment

Ce qu'il faut écrire

Il est au QUART : le rapport compte $1+3=4$ parts

Pourquoi : Le rapport $1:3$ compare $AP$ à $PB$ , et non $AP$ à $AB$ . Le segment est donc coupé en quatre parts et le point se trouve après la première. Le contrôle est immédiat : les distances $AP$ et $PB$ doivent être dans le rapport annoncé, ici $2{,}5$ et $7{,}5$ pour un segment de $10$ .

2. Reconnaître deux perpendiculaires

toute la question, et une équation fausse ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les pentes valent $2$ et $-2$ , donc les droites sont perpendiculaires

Ce qu'il faut écrire

Le produit vaut $-4$ : il faudrait une pente de $-\dfrac{1}{2}$

Pourquoi : Le test est un PRODUIT égal à $-1$ , pas un simple changement de signe. La pente perpendiculaire s'obtient en RENVERSANT la fraction ET en changeant son signe : $\dfrac{2}{1}$ devient $-\dfrac{1}{2}$ . Deux pentes opposées donnent seulement deux droites symétriques par rapport à une horizontale.

3. Calculer un écart avec un nombre négatif

toute la question, et une distance largement sous-estimée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$C(1\,;-4)$ et $D(6\,;8)$ : l'écart vertical vaut $8-4=4$

Ce qu'il faut écrire

Il vaut $8-(-4)=12$

Pourquoi : Soustraire un nombre négatif revient à l'AJOUTER. Le contrôle visuel est le plus sûr : un point à $-4$ et un point à $8$ sont séparés de $12$ unités sur l'axe, puisqu'il faut d'abord remonter de $4$ pour atteindre zéro. Écrire la parenthèse, $8-(-4)$ , évite l'erreur.

4. Tracer la frontière d'une inéquation

1 point par tracé, et une réponse ambiguë sur les points de la droite

Ce qu'il ne faut pas écrire

$y>2x-1$ se trace avec une frontière en trait plein

Ce qu'il faut écrire

L'inégalité est stricte : la frontière est en POINTILLÉ, elle est exclue

La région de

x\ge 0

y\ge 0

2x+3y\le 12

. Le point

(2\,;3)

donne

13

, donc il est refusé, bien qu'il soit dans le premier quadrant.

Pourquoi : Les points de la frontière vérifient l'égalité, donc ils vérifient une inégalité large et pas une inégalité stricte. Le pointillé dit au correcteur que ces points ne font pas partie de l'ensemble-solution. La convention vaut aussi pour les bornes d'un intervalle : crochet fermé ou ouvert, même logique.

5. Vérifier un point dans un système

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le point $(2\,;5)$ vérifie $x+y\le 10$ , donc il est dans la région

Ce qu'il faut écrire

Il faut vérifier TOUTES les inéquations : ici $y\le 2x$ est fausse

Pourquoi : La région d'un système est l'INTERSECTION des demi-plans : un point doit satisfaire chaque condition sans exception. Une seule inéquation violée suffit à l'exclure. On écrit donc la vérification ligne par ligne, avec sa conclusion, plutôt que de s'arrêter à la première qui convient.

6. Distinguer parallèles et confondues

toute la question, et un nombre de solutions faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

$3x-4y+8=0$ et $9x-12y+24=0$ sont parallèles, donc leur système n'a pas de solution

Ce qu'il faut écrire

Elles sont CONFONDUES : la seconde est la première multipliée par $3$

Pourquoi : Même pente ne suffit pas à conclure : il faut comparer les ordonnées à l'origine, ou vérifier si les TROIS coefficients sont proportionnels. Ici $\dfrac{9}{3}=\dfrac{-12}{-4}=\dfrac{24}{8}=3$ , donc c'est la même droite écrite deux fois, et le système a une infinité de solutions.

7. Chercher la pente d'une verticale

1 à 2 points, et une confusion avec l'horizontale

Ce qu'il ne faut pas écrire

La droite $x=4$ a pour pente $0$

Ce qu'il faut écrire

Elle n'a pas de pente : le dénominateur $\Delta x$ vaut zéro

Pourquoi : Une pente nulle décrit une HORIZONTALE, $y=k$ , dont les images ne changent pas. Une verticale, elle, a un écart d'abscisses nul et une pente impossible à calculer : elle n'est même pas une fonction. Les deux cas sont symétriques et ne se confondent que dans les copies pressées.

Quelle méthode choisir

Que calculer, selon ce que l'énoncé demande

Des points, des droites ou des inéquations dans un plan cartésien

Si On demande une LONGUEUR → Formule de la distance, c'est-à-dire Pythagore sur les deux écarts

Exemple : $\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$
Si On demande un point à une FRACTION du segment → Avancer de $\dfrac{m}{m+n}$ du déplacement total à partir du premier point

Exemple : Rapport $1:3$ : on avance du quart
Si On demande de COMPARER deux droites → Calculer les deux pentes, puis les ordonnées à l'origine si elles sont égales

Exemple : Produit des pentes $-1$ : perpendiculaires
Si On demande l'ÉQUATION d'une droite → Pente d'abord, substitution du point ensuite, vérification enfin

Exemple : Pente $\dfrac{3}{4}$ et $A(-3\,;2)$ donnent $3x-4y+17=0$
Si On demande de changer de FORME → Isoler $y$ pour la fonctionnelle, tout ramener d'un côté pour la générale, diviser pour obtenir $1$ à droite pour la symétrique

Exemple : $5x+2y-10=0$ devient $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{5}=1$
Si On demande de représenter une INÉQUATION → Tracer la frontière, pleine ou pointillée, puis employer un point-test

Exemple : $(0\,;0)$ dans $2x+3y\le 12$ : vrai, donc la région contient l'origine
Si On demande si un point est dans une RÉGION → Substituer dans CHAQUE inéquation du système, sans en sauter une

Exemple : $(2\,;5)$ vérifie la portée mais pas la butée : refusé
Si On demande l'INTERSECTION de deux droites → Résoudre le système par comparaison, substitution ou réduction

Exemple : $(0{,}96\,;2{,}72)$ pour $3x-4y+8=0$ et $4x+3y-12=0$

Le cercle, la médiatrice et la bissectrice comme lieux, la distance d'un point à une droite et les coniques ne sont pas au programme de la TS 4 : ils arrivent en TS 5. Ici tout se joue sur des droites et des demi-plans.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche de l'équation d'une droite

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande une équation à partir de points ou d'une direction

1 Annoncer d'où vient la pente : deux points, une pente donnée, ou une droite parallèle ou perpendiculaire.
2 Calculer la pente et l'écrire sous forme de fraction irréductible ou de décimal exact.
3 Écrire $y=ax+b$ avec cette pente, puis substituer les coordonnées du point connu.
4 Résoudre pour $b$ , puis écrire l'équation sous la forme demandée, à coefficients entiers si c'est la forme générale.
5 Vérifier avec un point qui n'a pas servi au calcul, ou avec la droite de référence.

Phrase de conclusion

« La pente vaut $\dfrac{8-2}{5-(-3)}=\dfrac{3}{4}$ . Avec $A(-3\,;2)$ : $2=\dfrac{3}{4}(-3)+b$ , donc $b=4{,}25$ et $y=\dfrac{3}{4}x+4{,}25$ , soit $3x-4y+17=0$ . Vérification avec $B$ : $15-32+17=0$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier sur le point non utilisé

Substituer dans l'équation trouvée les coordonnées du second point : le membre de gauche de la forme générale doit valoir zéro.

$3\times 5-4\times 8+17=0$ : l'équation tient.
Contrôler la somme des parts

Après un point de partage, vérifier que les deux morceaux redonnent la longueur totale et respectent le rapport annoncé.

$2{,}5$ et $7{,}5$ font $10$ , et leur rapport est bien $1:3$ .
Tester un point de chaque côté

Pour une inéquation, substituer un point de part et d'autre de la frontière : l'un doit la vérifier, l'autre non.

$(0\,;0)$ donne $0\le 12$ , vrai ; $(6\,;4)$ donne $24\le 12$ , faux.
Prévoir le nombre de solutions

Avant de résoudre un système de deux droites, comparer les pentes : cela annonce une solution, aucune, ou une infinité.

Pentes égales et ordonnées à l'origine différentes : inutile de calculer, il n'y a aucune solution.

L'exercice type décortiqué

L'implantation d'une clôture

Sur un plan de chantier gradué en mètres, deux piquets d'angle sont implantés en $A(12\,;8)$ et $B(60\,;32)$ . Calculez la longueur de la clôture, la position du piquet intermédiaire placé au milieu, l'équation de l'alignement, puis dites si un piquet prévu en $C(36\,;22)$ est sur cet alignement.

L'alignement

AB

et le piquet

C

prévu au-dessus : à l'abscisse

36

, la clôture passe à

20

mètres, et non à

22

Étape 1

Écarts : $60-12=48$ m et $32-8=24$ m. Longueur : $\sqrt{48^{2}+24^{2}}=\sqrt{2304+576}=\sqrt{2880}\approx 53{,}67$ mètres.

Pourquoi

On calcule les deux écarts AVANT de les élever au carré, en écrivant les parenthèses : c'est là que se logent les erreurs de signe quand une coordonnée est négative.

Étape 2

Milieu : $\left(\dfrac{12+60}{2}\,;\dfrac{8+32}{2}\right)=(36\,;20)$ .

Pourquoi

La moyenne des coordonnées, sans autre calcul. Contrôle : les deux moitiés mesurent chacune environ $26{,}83$ m, et leur somme redonne la longueur totale.

Étape 3

Pente : $\dfrac{24}{48}=0{,}5$ . Avec $A$ : $8=0{,}5\times 12+b=6+b$ , donc $b=2$ et l'alignement est $y=0{,}5x+2$ .

Pourquoi

La pente d'abord, la substitution ensuite : c'est la méthode unique du chapitre. Le paramètre $b$ n'a pas de sens physique ici, le plan ne s'étendant pas jusqu'à l'axe, mais l'équation reste valide.

Étape 4

Forme générale à coefficients entiers : on multiplie par $2$ , $2y=x+4$ , donc $x-2y+4=0$ . Vérification sur $B$ : $60-64+4=0$ .

Pourquoi

On vérifie sur le point qui n'a PAS servi à trouver $b$ . C'est la seule vérification qui prouve quelque chose, et elle prend cinq secondes.

Étape 5

Pour $C$ : $y=0{,}5\times 36+2=20$ , alors que le plan annonce $22$ . Le piquet n'est donc pas aligné, il est $2$ mètres trop haut.

Pourquoi

On substitue l'ABSCISSE et l'on compare l'ordonnée obtenue à celle du plan. Remarquez que $C$ a la même abscisse que le milieu : l'écart de deux mètres se lit donc directement entre $(36\,;20)$ et $(36\,;22)$ .

Conclusion rédigée

Longueur d'environ $53{,}67$ m, piquet intermédiaire en $(36\,;20)$ , alignement $x-2y+4=0$ , et le piquet $C$ est hors alignement de $2$ mètres.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de conclure que $C$ est aligné parce qu'il paraît proche du trait sur le plan. Seule la substitution dans l'équation tranche, et elle donne ici un écart net de deux mètres.

À savoir par cœur

• Distance : Pythagore sur les deux écarts, l'ordre des points n'y change rien.
• Milieu : la moyenne des coordonnées.
• Partage $m:n$ : on avance de $\dfrac{m}{m+n}$ du déplacement.
• Pente : $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , ou $-\dfrac{A}{B}$ sur la forme générale.
• Perpendiculaires : PRODUIT des pentes égal à $-1$ .
• Même pente : comparer les ordonnées à l'origine pour trancher.
• Verticale : pas de pente, pas de forme fonctionnelle.
• Équation : pente, substitution, vérification sur un point inutilisé.
• Inégalité large, frontière pleine ; inégalité stricte, frontière pointillée.
• Point-test pour le côté ; dans un système, TOUTES les inéquations comptent.

Questions fréquentes

Comment placer un point de partage de rapport un pour trois ?

On additionne les deux nombres du rapport, ce qui donne quatre parts, et l'on avance d'un quart du déplacement total à partir du premier point. Le rapport compare les deux morceaux entre eux, et non le premier morceau au segment entier : c'est la source de l'erreur la plus fréquente, qui consiste à avancer du tiers.

Comment reconnaître deux droites perpendiculaires ?

En multipliant leurs pentes : le produit doit valoir moins un. Autrement dit, la pente de l'une est l'inverse de l'autre avec le signe changé. Deux pentes simplement opposées, comme deux et moins deux, donnent des droites symétriques par rapport à une horizontale, mais pas perpendiculaires.

Quelle forme d'équation faut-il donner en réponse ?

Celle que l'énoncé demande. À défaut de précision, la forme générale à coefficients entiers est la plus sûre : elle accepte toutes les droites, verticales comprises, et elle évite les fractions. La forme fonctionnelle reste utile pour tracer et pour comparer deux droites, et la forme symétrique pour lire les deux points de rencontre avec les axes.

Comment savoir de quel côté se trouve la région d'une inéquation ?

On choisit un point simple hors de la frontière, souvent l'origine, et on le substitue dans l'inéquation. S'il la vérifie, la région est de son côté ; sinon, elle est de l'autre. Un seul point suffit, parce qu'une droite ne laisse que deux demi-plans. Si la frontière passe par l'origine, on prend un autre point, par exemple celui de coordonnées un et zéro.

Combien de solutions a un système de deux droites ?

Cela dépend de leur position relative, et la comparaison des pentes suffit à le prévoir. Deux droites sécantes se coupent en un point unique, deux parallèles distinctes n'ont aucune solution, et deux droites confondues en ont une infinité. Ce sont les trois cas du chapitre des systèmes d'équations, vus du côté du plan cartésien.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La géométrie analytique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente L'aire d'un triangle par la trigonométrie Fiche suivante Probabilités, dénombrement et espérance

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les coniquesSecondaire 5 TS Les vecteursSecondaire 5 TS Les transformations géométriquesSecondaire 5 TS

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