Math TS, secondaire 4 à Montréal • Probabilités

Fiche de révision : probabilités, dénombrement et espérance

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des probabilités du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire, celui qui ajoute le dénombrement aux outils des autres séquences.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une probabilité est un quotient de comptes : savoir compter règle presque tout le chapitre, et l'espérance n'est que la moyenne de ces comptes pondérée par leurs chances.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Dénombrement et probabilité géométriqueSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Dénombrement et probabilité géométriqueSecondaire 3

L'essentiel

Compter avant de diviser

• Une probabilité est le quotient du nombre de cas FAVORABLES par le nombre de cas POSSIBLES : tout le travail consiste à compter correctement les deux.
• FACTORIELLE : $n!$ compte les façons d'ordonner $n$ objets, et $0!=1$ par convention.
• ARRANGEMENTS, quand l'ordre COMPTE : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ . COMBINAISONS, quand il ne compte pas : $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .
• LE RAPPORT ENTRE LES DEUX EST $k!$ : chaque choix non ordonné se range de $k!$ façons. C'est ce qui permet de retrouver l'une des deux formules à partir de l'autre.
• COMPOSER DEUX CHOIX, c'est MULTIPLIER les comptes : une défectueuse parmi trois ET trois conformes parmi neuf donnent $3\times 84=252$ tirages.
• AU MOINS UN se calcule par le COMPLÉMENT, $1-P(\text{aucun})$ : un calcul au lieu de trois.

Les mots du chapitre, et ce qu'ils imposent

• INCOMPATIBLES : $P(A\cap B)=0$ , les deux ne se produisent jamais ensemble. INDÉPENDANTS : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ , l'un ne renseigne pas sur l'autre. Ce ne sont PAS des synonymes.
• RÉUNION : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , le dernier terme disparaissant seulement pour des événements incompatibles.
• CHANCES $a:b$ : $a$ cas favorables contre $b$ défavorables, donc $P=\dfrac{a}{a+b}$ . On additionne les deux nombres pour retrouver le total, et « une chance sur trois » n'est pas « des chances de $1:3$ ».
• CONDITIONNELLE : on change de TOTAL, en se restreignant à une ligne ou à une colonne du tableau. $P(A|B)$ et $P(B|A)$ répondent à deux questions différentes.
• Le tableau de la figure le montre : $P(D|A)=0{,}05$ mesure la qualité de la machine A, alors que $P(A|D)\approx 0{,}43$ sert à retrouver l'origine d'un défaut.

Les marges donnent

P(D)

P(A)

, une case donne

P(A\cap D)

, une ligne ou une colonne donne les conditionnelles. Tout le vocabulaire du chapitre se lit sur ce tableau.

L'espérance, une moyenne pondérée

• ESPÉRANCE : chaque valeur multipliée par SA probabilité, puis on additionne. Le terme nul s'écrit quand même, pour prouver qu'aucun cas n'a été oublié.
• Un jeu est ÉQUITABLE quand l'espérance NETTE est nulle, c'est-à-dire quand la mise égale l'espérance du gain.
• L'ESPÉRANCE EST UNE MOYENNE sur un grand nombre de répétitions : elle ne dit rien d'un cas particulier, et personne ne perd jamais $25$ cents en une partie.
• ELLE SERT À DÉCIDER entre deux stratégies : on compare deux coûts moyens, et l'on trouve le seuil qui les égalise en posant une équation.
• Dans la figure, l'espérance du gain vaut $10\times 0{,}10+3\times 0{,}25=1{,}75$ dollar, contre une mise de $2$ dollars : la barre la plus haute est celle du gain nul, et c'est elle qui fait la marge de l'organisateur.

La distribution des gains d'une partie. L'espérance est la moyenne de ces trois valeurs, pondérée par la hauteur des barres.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Employer le mot indépendant

toute la question, et un produit de probabilités appliqué à tort

Ce qu'il ne faut pas écrire

$A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble, donc ils sont indépendants

Ce qu'il faut écrire

Ils sont INCOMPATIBLES, donc justement DÉPENDANTS

Pourquoi : Incompatibles veut dire $P(A\cap B)=0$ ; indépendants veut dire $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ , un produit non nul dès que les deux événements sont possibles. Savoir que l'un s'est produit rend l'autre impossible : c'est le maximum de dépendance. Le test formel tranche à tous les coups, et il tient en une ligne.

2. Compter un choix non ordonné

toute la question, et un résultat des centaines de fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

Choisir $4$ personnes parmi $10$ : $\dfrac{10!}{4!}=151\,200$ équipes

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{10!}{4!\,6!}=210$ équipes

Pourquoi : La formule employée est celle des ARRANGEMENTS, qui comptent les choix ORDONNÉS : elle distingue deux équipes formées des mêmes personnes dans un autre ordre. Une équipe n'a pas d'ordre, donc on divise en plus par $4!$ . Contrôle de bon sens : il ne peut pas y avoir plus d'équipes que de façons d'ordonner dix personnes.

3. Lire des chances

toute la question, et une erreur de près de dix points de pourcentage

Ce qu'il ne faut pas écrire

Des chances de $1:3$ donnent une probabilité de $\dfrac{1}{3}$

Ce qu'il faut écrire

Elles donnent $\dfrac{1}{4}$ : un cas favorable contre trois défavorables

Pourquoi : Les chances comparent le favorable au DÉFAVORABLE, la probabilité compare le favorable au TOTAL. On passe des unes à l'autre en additionnant les deux nombres : $1+3=4$ cas en tout. En évaluation, on lit donc le mot employé avant de calculer, « chances » ou « probabilité ».

4. Inverser une conditionnelle

toute la question, et une conclusion qui accuse la mauvaise machine

Ce qu'il ne faut pas écrire

$5$ pour cent des pièces de la machine A sont mauvaises, donc $5$ pour cent des pièces mauvaises viennent de A

Ce qu'il faut écrire

$P(D|A)=0{,}05$ mais $P(A|D)\approx 0{,}43$

Pourquoi : Les deux probabilités changent de total : l'une se restreint à la ligne de la machine A, l'autre à la colonne des défectueuses. Elles répondent à deux questions différentes, la qualité d'une machine et l'origine d'un défaut, et rien ne les oblige à se ressembler. Sur le tableau, on désigne du doigt la ligne ou la colonne avant de diviser.

5. Interpréter une espérance

1 à 2 points, et une interprétation refusée en justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

Une espérance de $-0{,}25$ dollar signifie qu'on perd $25$ cents à chaque partie

Ce qu'il faut écrire

C'est une moyenne : on perd $2$ dollars ou l'on gagne $1$ ou $8$ dollars nets

Pourquoi : L'espérance est une moyenne pondérée sur un grand nombre de répétitions, jamais le résultat d'une épreuve. Aucune partie ne rapporte exactement l'espérance ici. La phrase attendue est : sur un grand nombre de parties, la perte moyenne s'approche de $25$ cents par partie.

6. Oublier un cas dans une espérance

1 point, et souvent une espérance fausse quand le cas oublié n'est pas nul

Ce qu'il ne faut pas écrire

$E=10\times 0{,}10+3\times 0{,}25=1{,}75$ , et les probabilités totalisent $0{,}35$

Ce qu'il faut écrire

Il manque le cas du gain nul, de probabilité $0{,}65$ : le total doit faire $1$

Pourquoi : Les probabilités d'une expérience totalisent toujours $1$ : c'est le contrôle à faire avant de conclure. Ici le cas manquant a un gain nul, donc il ne change pas la valeur, mais il prouve qu'aucun cas n'a été oublié. Dans un problème de coût, le cas « rien ne se passe » est justement celui qui pèse le plus lourd.

7. Calculer au premier degré dans un problème de décision

toute la question, et une décision industrielle prise à l'intuition

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les défauts sont rares, donc inutile d'inspecter

Ce qu'il faut écrire

On compare deux coûts moyens : $0{,}40$ contre $25\times 0{,}02=0{,}50$ dollar

Pourquoi : La rareté d'un événement ne suffit pas : c'est le produit de sa probabilité par son COÛT qui compte. Un défaut à $25$ dollars survenant deux fois sur cent coûte plus cher qu'une inspection à $0{,}40$ dollar systématique. On pose ensuite l'équation $25p=0{,}40$ pour trouver le seuil de rentabilité, ici $1{,}6$ pour cent.

Quelle méthode choisir

Que compter, selon la question

Une expérience aléatoire, et une question sur ses résultats

Si L'ORDRE des objets choisis compte → Arrangements : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Exemple : $3$ outils sur un support ordonné parmi $7$ : $210$
Si L'ORDRE ne compte pas → Combinaisons : $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Exemple : $3$ outils dans une caisse parmi $7$ : $35$
Si On combine DEUX choix indépendants → On MULTIPLIE les deux comptes

Exemple : $1$ défectueuse parmi $3$ et $3$ conformes parmi $9$ : $3\times 84$
Si La question dit AU MOINS UN → Complément : $1-P(\text{aucun})$

Exemple : $1-\dfrac{126}{495}\approx 0{,}7455$
Si La question dit OU → $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , le dernier terme étant nul si les événements sont incompatibles

Exemple : $\dfrac{12}{52}+\dfrac{13}{52}-\dfrac{3}{52}$
Si La question dit SACHANT QUE → On change de total : ligne ou colonne du tableau

Exemple : $P(D|A)=\dfrac{6}{120}=0{,}05$
Si La question donne ou demande des CHANCES → $a:b$ donne $P=\dfrac{a}{a+b}$ , et réciproquement $P:(1-P)$

Exemple : Chances de $7:2$ contre : $P=\dfrac{2}{9}$
Si La question parle de GAIN MOYEN, de COÛT MOYEN ou de DÉCISION → Espérance : chaque valeur fois sa probabilité, puis on additionne

Exemple : $25\times 0{,}02=0{,}50$ dollar de coût moyen par pièce

Le dénombrement, avec la factorielle, les arrangements et les combinaisons, est l'entrée du devis de la TS 4 que les autres séquences n'ont pas : c'est lui qui distingue ce chapitre de celui de la CST.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une probabilité obtenue par dénombrement

Quand l'utiliser : Dès qu'on tire plusieurs objets d'un lot, sans ordre et sans remise

1 Dire si l'ordre compte, et nommer l'outil choisi, arrangement ou combinaison.
2 Compter les cas POSSIBLES et écrire ce calcul en entier.
3 Compter les cas FAVORABLES, en multipliant les choix composés.
4 Diviser, et donner le résultat à la précision demandée, en fraction ou en décimal.
5 Contrôler que la probabilité est bien comprise entre $0$ et $1$ , et qu'elle est cohérente avec le bon sens.

Phrase de conclusion

« L'ordre ne compte pas : il y a $\dfrac{12!}{4!\,8!}=495$ tirages possibles. Les tirages sans défectueuse sont au nombre de $\dfrac{9!}{4!\,5!}=126$ . Donc $P=\dfrac{126}{495}\approx 0{,}2545$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Additionner les probabilités

Les probabilités de tous les cas d'une expérience doivent totaliser exactement $1$ .

$0{,}10+0{,}25+0{,}65=1$ : aucun cas n'a été oublié.
Vérifier les marges du tableau

Chaque ligne et chaque colonne doit redonner son total, et la somme des totaux doit donner l'effectif complet.

$6+114=120$ , $8+72=80$ , et $120+80=200$ .
Comparer arrangement et combinaison

Le nombre d'arrangements doit valoir exactement $k!$ fois le nombre de combinaisons.

$210=6\times 35$ , et $6=3!$ .
Situer une probabilité entre $0$ et $1$

Une probabilité supérieure à $1$ ou négative signale une erreur de comptage, souvent un total pris à la mauvaise ligne.

$\dfrac{252}{495}\approx 0{,}51$ : plausible pour « exactement une défectueuse ».

L'exercice type décortiqué

Le tirage au sort de l'équipe de nuit

Un atelier compte $9$ employés, dont $4$ sont formés sur la machine à commande numérique. On tire au sort $2$ employés pour le quart de nuit. Quelle est la probabilité que les deux soient formés ? Qu'au moins un le soit ? Et combien d'employés formés l'atelier peut-il espérer dans ce quart ?

Les neuf employés : quatre formés, marqués

F

, et cinq non formés, marqués

N

. Toutes les probabilités du problème se comptent sur cette grille.

Étape 1

L'ordre ne compte pas : il y a $\dfrac{9!}{2!\,7!}=\dfrac{9\times 8}{2}=36$ tirages possibles.

Pourquoi

Deux employés tirés forment une paire, pas une liste ordonnée : ce sont donc des combinaisons. On calcule ce dénominateur une seule fois, il servira aux trois questions.

Étape 2

Les deux formés : $\dfrac{4!}{2!\,2!}=6$ paires favorables, donc $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$ .

Pourquoi

On choisit les deux employés parmi les QUATRE formés seulement. Le numérateur se compte dans le même langage que le dénominateur, sinon le quotient n'a aucun sens.

Étape 3

Au moins un formé : on passe par le complément. Aucun formé donne $\dfrac{5!}{2!\,3!}=10$ paires, donc $P=1-\dfrac{10}{36}=\dfrac{26}{36}\approx 0{,}7222$ .

Pourquoi

Le complément évite d'additionner les cas « exactement un » et « exactement deux ». Contrôle : $6+20+10=36$ , les trois cas couvrent bien tous les tirages.

Étape 4

Espérance du nombre de formés : chaque employé tiré a une probabilité $\dfrac{4}{9}$ d'être formé, donc $E=2\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{9}\approx 0{,}89$ employé.

Pourquoi

On peut aussi l'obtenir par la définition, $0\times\dfrac{10}{36}+1\times\dfrac{20}{36}+2\times\dfrac{6}{36}=\dfrac{32}{36}$ , soit le même nombre. Les deux chemins concordent.

Étape 5

Conclusion : une chance sur six d'avoir deux formés, près de trois chances sur quatre d'en avoir au moins un, et $0{,}89$ formé en moyenne.

Pourquoi

Le nombre moyen n'est pas un nombre d'employés possible : c'est une moyenne sur un grand nombre de tirages, et elle sert à comparer des politiques de tirage, pas à prédire une nuit.

Conclusion rédigée

$P(\text{deux formés})=\dfrac{1}{6}$ , $P(\text{au moins un})=\dfrac{13}{18}\approx 0{,}7222$ , et $0{,}89$ employé formé en moyenne.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de compter $9\times 8=72$ tirages, ce qui suppose un ordre : la probabilité obtenue serait juste par hasard si le numérateur était compté de la même façon, mais elle devient fausse dès qu'on mélange les deux langages.

À savoir par cœur

• Probabilité = cas favorables sur cas possibles : compter d'abord.
• $n!$ ordonne, $0!=1$ . Arrangements $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ , combinaisons $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ .
• Le rapport des deux vaut $k!$ .
• Deux choix composés : on MULTIPLIE les comptes.
• Au moins un : $1-P(\text{aucun})$ .
• Incompatibles : $P(A\cap B)=0$ . Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
• Chances $a:b$ : $P=\dfrac{a}{a+b}$ , et l'on additionne pour trouver le total.
• Conditionnelle : on change de total ; $P(A|B)\neq P(B|A)$ .
• Espérance : valeur fois probabilité, somme. C'est une moyenne, pas un résultat.

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut un arrangement ou une combinaison ?

On se demande si deux choix formés des mêmes objets, mais rangés autrement, comptent pour un seul ou pour deux. Une équipe, une main de cartes ou une caisse d'outils n'ont pas d'ordre : ce sont des combinaisons. Un podium, un mot de passe ou une suite d'emplacements numérotés en ont un : ce sont des arrangements.

Incompatibles et indépendants, quelle différence ?

Incompatibles veut dire que les deux événements ne se produisent jamais ensemble : leur intersection est vide. Indépendants veut dire que savoir que l'un s'est produit ne change pas la probabilité de l'autre. Deux événements incompatibles sont donc au contraire très dépendants, puisque l'un exclut l'autre.

Des chances de cinq contre trois, c'est quelle probabilité ?

Cinq cas favorables contre trois défavorables, donc huit cas en tout et une probabilité de cinq huitièmes. On additionne toujours les deux nombres des chances pour retrouver le total. L'expression « une chance sur huit », elle, décrirait directement une probabilité, et non des chances.

Pourquoi les deux probabilités conditionnelles diffèrent-elles ?

Parce qu'elles ne se calculent pas sur le même total. L'une se restreint à la ligne d'une machine et mesure sa qualité ; l'autre se restreint à la colonne des pièces défectueuses et cherche leur origine. Ce sont deux questions distinctes, et les confondre mène à des conclusions fausses, y compris dans la vie courante.

À quoi sert l'espérance mathématique en atelier ?

À décider. On calcule le coût moyen de chaque stratégie, par exemple inspecter toutes les pièces ou dédommager les défauts livrés, et l'on choisit la moins chère en moyenne. On trouve aussi le seuil de rentabilité en posant l'égalité des deux coûts. L'espérance ne dit jamais ce qui arrivera à une pièce précise, seulement ce que coûte un grand nombre de pièces.

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Exercices corrigés : Probabilités, dénombrement et espérance

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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