Math TS, secondaire 4 à Montréal • Statistique

Fiche de révision : nuage de points, corrélation et droites de régression

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la corrélation du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire, celui qui demande DEUX droites de régression et leur comparaison.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une droite résume un nuage, et deux méthodes ne le résument pas pareil : Mayer emploie des moyennes et se laisse tirer, la médiane-médiane emploie des médianes et résiste.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3

L'essentiel

Décrire un nuage, lire un coefficient

• TROIS MOTS pour décrire un nuage : le SENS, positif ou négatif ; la FORME, linéaire ou non ; la FORCE, selon l'épaisseur du nuage autour de sa direction.
• COEFFICIENT DE CORRÉLATION : toujours compris entre $-1$ et $1$ . Une valeur hors de cet intervalle signale une erreur de saisie.
• LE SIGNE DONNE LE SENS, LA VALEUR ABSOLUE DONNE LA FORCE : $-0{,}95$ est un lien très fort, pas un lien faible.
• REPÈRES USUELS : au-delà de $0{,}9$ en valeur absolue, très fort ; vers $0{,}7$ , fort ; vers $0{,}5$ , moyen ; sous $0{,}3$ , faible ou nul.
• CORRÉLATION N'EST PAS CAUSALITÉ : pour parler de cause, il faut une raison indépendante de la statistique, physique ou expérimentale.

Un lien positif, linéaire et très fort : le coefficient vaut ici environ

0{,}998

. La physique des frottements, et non le coefficient, autorise à parler de cause.

Les deux droites du programme

• DROITE DE MAYER : on partage en DEUX groupes d'effectifs égaux, on calcule les deux points MOYENS, la pente passe par ces deux points, puis on substitue pour trouver l'ordonnée à l'origine.
• ELLE PASSE PAR LE POINT MOYEN GÉNÉRAL du nuage : c'est le meilleur contrôle de calcul disponible, et il est gratuit.
• DROITE MÉDIANE-MÉDIANE : on partage en TROIS groupes, on calcule les trois points MÉDIANS, la pente se calcule avec le PREMIER et le TROISIÈME seulement, puis la droite passe par le point moyen des trois points médians.
• LE POINT MÉDIAN CENTRAL ne sert pas à la pente : il ajuste la HAUTEUR de la droite sans toucher à son inclinaison.
• MOYENNES POUR MAYER, MÉDIANES POUR L'AUTRE. Les deux noms se ressemblent, les deux calculs diffèrent dès la première ligne.

Résister à une donnée aberrante, et savoir jusqu'où prévoir

• DEVANT UNE DONNÉE ABERRANTE, la médiane-médiane ne bouge pas : une médiane ne regarde que les RANGS, et une valeur extrême garde le même rang. Mayer, qui emploie des moyennes, bascule.
• Sur la figure, un seul relevé passé de $27$ à $47$ fait passer la prévision de Mayer de $16{,}88$ à $19{,}28$ , alors que la médiane-médiane reste à $16{,}71$ .
• CELA NE REND PAS MAYER MAUVAISE : sur des données propres, les deux droites se valent presque, et Mayer utilise davantage l'information disponible.
• INTERPOLER, c'est prévoir DANS l'intervalle observé : l'estimation est raisonnable. EXTRAPOLER, c'est prévoir au-delà, et cela s'accompagne toujours d'une réserve écrite.
• L'ORDONNÉE À L'ORIGINE n'a pas toujours de sens concret : elle correspond souvent à une extrapolation hors du domaine des données.
• TABLEAU À DOUBLE ENTRÉE : on compare des POURCENTAGES DE LIGNE, jamais des effectifs bruts, les lignes n'ayant pas le même total.

Le même nuage avec un relevé aberrant en haut à droite. La droite de Mayer a basculé vers lui ; la médiane-médiane n'a pas bougé d'un millième.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Interpréter un coefficient négatif

toute la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

$r=-0{,}95$ : le lien est faible puisque le nombre est négatif

Ce qu'il faut écrire

Le lien est TRÈS FORT et négatif : c'est la valeur absolue qui mesure la force

Pourquoi : Le signe et la force répondent à deux questions différentes : le signe dit le SENS de la relation, la valeur absolue dit à quel point les points sont alignés. Un $-0{,}95$ est aussi fort qu'un $0{,}95$ , comme la dureté d'un acier et la durée de son revenu, liées très étroitement en sens contraire.

2. Choisir la méthode nommée par l'énoncé

toute la question, puisque le calcul diffère dès la première ligne

Ce qu'il ne faut pas écrire

Droite de Mayer : on partage en trois groupes et on prend les médianes

Ce qu'il faut écrire

Mayer, ce sont DEUX groupes et des MOYENNES ; trois groupes et des médianes, c'est l'autre droite

Pourquoi : Les deux méthodes se ressemblent dans leur déroulement et diffèrent dans leurs ingrédients. Le plus simple est de retenir le nombre de groupes : DEUX pour Mayer, TROIS pour la médiane-médiane. L'ingrédient suit, moyennes dans le premier cas, médianes dans le second.

3. Calculer la pente de la médiane-médiane

toute la question, et une pente calculée sur la moitié du nuage

Ce qu'il ne faut pas écrire

On prend la pente entre le premier et le DEUXIÈME point médian

Ce qu'il faut écrire

Entre le PREMIER et le TROISIÈME : le point central ne sert qu'à la hauteur

Pourquoi : Le rôle des deux points extrêmes est de donner la DIRECTION, sur toute la largeur du nuage. Le point médian central intervient ensuite, dans le point moyen des trois, pour recentrer la droite sans toucher à son inclinaison. Employer un point voisin donnerait une direction locale, sensible au hasard.

4. Prévoir loin des données

1 à 2 points, et une planification industrielle fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le modèle donne $50{,}7$ centièmes d'usure après $2000$ pièces

Ce qu'il faut écrire

C'est une EXTRAPOLATION, deux fois au-delà des relevés : le nombre s'annonce avec une réserve

Pourquoi : Un modèle linéaire ne vaut que sur l'intervalle où il a été ajusté. Au-delà, rien ne garantit que le lien reste linéaire : une usure s'accélère, une dureté plafonne, une capacité de batterie s'effondre. Le calcul reste possible, mais la phrase de conclusion doit nommer l'extrapolation.

5. Interpréter l'ordonnée à l'origine

1 point, et une conclusion absurde défendue en justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le modèle donne $2{,}14$ centièmes d'usure pour zéro pièce usinée : l'outil est donc livré usé

Ce qu'il faut écrire

C'est une extrapolation hors du domaine : le paramètre n'a pas de sens concret ici

Pourquoi : Les relevés commencent à cent pièces : la droite n'a aucune raison d'être juste en zéro. Une ordonnée à l'origine n'est un renseignement concret que si zéro appartient au domaine des données, comme une capacité de batterie neuve, et encore faut-il le vérifier.

6. Comparer deux lignes d'un tableau

toute la question de comparaison

Ce qu'il ne faut pas écrire

La machine A a $8$ rebuts et la machine B en a $5$ : elles se valent presque

Ce qu'il faut écrire

$8$ sur $50$ font $16$ pour cent, $5$ sur $70$ font $7{,}1$ pour cent : A rebute deux fois plus

Pourquoi : Les deux lignes n'ont pas le même total, donc les effectifs bruts ne sont pas comparables. On divise chaque case par le total de SA ligne, ce qui donne des pourcentages comparables entre eux. C'est la seule lecture qui permette de conclure à un lien entre les deux variables.

7. Conclure à une cause

1 à 2 points en justification, et un raisonnement refusé

Ce qu'il ne faut pas écrire

La corrélation vaut $0{,}99$ , donc le régime cause l'échauffement

Ce qu'il faut écrire

La corrélation mesure le lien ; c'est la physique des frottements qui l'explique

Pourquoi : Un coefficient élevé peut venir d'une cause commune ou d'une coïncidence. La phrase attendue distingue les deux plans : la statistique établit le lien, une connaissance extérieure établit la cause. Ici l'explication existe, ce qui autorise la conclusion, mais elle ne vient pas du nombre.

Quelle méthode choisir

Que faire, selon ce que l'énoncé demande

Un nuage de points, un tableau à double entrée, ou une règle donnée par la calculatrice

Si On demande de DÉCRIRE le nuage → Trois mots : sens, forme, force

Exemple : Positif, linéaire et très fort
Si On demande d'ESTIMER le coefficient → Regarder l'épaisseur du nuage, et donner le signe selon le sens

Exemple : Nuage mince et montant : environ $0{,}99$
Si L'énoncé dit MAYER → Deux groupes égaux, deux points MOYENS, pente entre eux, puis substitution

Exemple : $P_{1}(3\,;9{,}2)$ et $P_{2}(8\,;22)$ donnent $y=2{,}56x+1{,}52$
Si L'énoncé dit MÉDIANE-MÉDIANE → Trois groupes, trois points MÉDIANS, pente entre le premier et le troisième, droite par le point moyen des trois

Exemple : $P_{1}(2\,;7)$ , $P_{2}(5{,}5\,;15{,}5)$ , $P_{3}(9\,;24)$ donnent $y\approx 2{,}43x+2{,}14$
Si Une donnée semble ABERRANTE → Préférer la médiane-médiane, et dire pourquoi : elle est résistante

Exemple : Mayer passe de $16{,}88$ à $19{,}28$ , l'autre ne bouge pas
Si On demande une PRÉVISION → Substituer, puis dire si l'on interpole ou si l'on extrapole

Exemple : $x=6{,}5$ est dans $[1\,;10]$ : interpolation
Si On demande à partir de QUAND un seuil est atteint → Résoudre l'équation, puis vérifier si la solution sort de l'intervalle observé

Exemple : $2{,}43x+2{,}14=30$ donne $x\approx 11{,}47$ , donc une extrapolation
Si Les données sont dans un TABLEAU À DOUBLE ENTRÉE → Compléter les totaux, puis comparer des pourcentages de LIGNE

Exemple : $60$ pour cent de conformes contre $80$ pour cent

La TS 4 est la seule séquence de quatrième secondaire à demander les DEUX droites, celle de Mayer et la médiane-médiane, et leur comparaison : c'est ce qui distingue ce chapitre de son voisin en CST.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la construction d'une droite médiane-médiane

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé nomme cette droite, ou signale une donnée douteuse

1 Ranger les couples selon $x$ et annoncer le partage en trois groupes, en donnant leurs effectifs.
2 Donner les trois points médians, en précisant que les médianes des $x$ et des $y$ se calculent SÉPARÉMENT.
3 Calculer la pente avec le premier et le troisième point médian seulement.
4 Calculer le point moyen des trois points médians, puis l'ordonnée à l'origine.
5 Écrire l'équation, puis interpréter la pente avec les DEUX unités du contexte.

Phrase de conclusion

« Les trois points médians sont $P_{1}(2\,;7)$ , $P_{2}(5{,}5\,;15{,}5)$ et $P_{3}(9\,;24)$ . La pente vaut $\dfrac{24-7}{9-2}=\dfrac{17}{7}\approx 2{,}43$ . La droite passe par $(5{,}5\,;15{,}5)$ , donc $b\approx 2{,}14$ et $y\approx 2{,}43x+2{,}14$ : l'outil s'use d'environ $2{,}43$ centièmes de millimètre par centaine de pièces. »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Faire passer Mayer par le point moyen

La droite de Mayer passe toujours par le point moyen général du nuage : on le calcule et on substitue.

$2{,}56\times 5{,}5+1{,}52=15{,}6$ , qui est bien l'ordonnée moyenne.
Comparer les deux droites

Sur des données propres, Mayer et la médiane-médiane doivent donner des prévisions très voisines. Un écart important signale une donnée aberrante ou une erreur.

$16{,}88$ contre $16{,}71$ à $x=6$ : cohérent.
Situer la prévision dans l'intervalle

Avant de conclure, comparer la valeur de $x$ employée aux bornes des données observées.

$x=20$ alors que les relevés s'arrêtent à $10$ : extrapolation, donc réserve.
Contrôler le signe de la pente

La pente doit avoir le même signe que le coefficient de corrélation et que la tendance visible du nuage.

Nuage descendant, $r=-0{,}93$ , pente $-0{,}42$ : tout concorde.

L'exercice type décortiqué

Le débit d'une pompe selon l'ouverture de la vanne

Un technicien relève le débit d'une pompe, en litres par minute, selon le nombre de tours d'ouverture d'une vanne. Tours : $1$ à $9$ . Débits : $12$ , $18$ , $23$ , $30$ , $34$ , $41$ , $45$ , $52$ , $56$ . Construisez la droite médiane-médiane, puis estimez le débit à $6{,}5$ tours.

Les trois points médians, en blanc, et la droite qu'ils déterminent. La pente vient des deux extrêmes, la hauteur de leur point moyen.

Étape 1

Trois groupes de trois. Groupe 1 : $(1\,;12)$ , $(2\,;18)$ , $(3\,;23)$ , donc $P_{1}(2\,;18)$ . Groupe 2 : $P_{2}(5\,;34)$ . Groupe 3 : $(7\,;45)$ , $(8\,;52)$ , $(9\,;56)$ , donc $P_{3}(8\,;52)$ .

Pourquoi

Les médianes des abscisses et des ordonnées se calculent SÉPARÉMENT. Un point médian n'a aucune raison d'appartenir au nuage : il est construit, pas relevé.

Étape 2

Pente : $a=\dfrac{52-18}{8-2}=\dfrac{34}{6}\approx 5{,}67$ .

Pourquoi

Seuls le premier et le troisième point médian interviennent : ils donnent la direction sur toute la largeur du nuage. Le point central servira à la hauteur.

Étape 3

Point moyen des trois points médians : abscisse $\dfrac{2+5+8}{3}=5$ , ordonnée $\dfrac{18+34+52}{3}\approx 34{,}67$ .

Pourquoi

C'est une moyenne des trois points médians, et non une médiane : c'est la seule étape de la méthode qui emploie une moyenne, et elle recentre la droite dans le nuage.

Étape 4

Ordonnée à l'origine : $34{,}67=5{,}67\times 5+b$ , donc $b\approx 6{,}33$ , et la droite est $y\approx 5{,}67x+6{,}33$ .

Pourquoi

On substitue le point moyen des médians, jamais un point du nuage : c'est ce qui distingue cette droite d'un simple trait tracé entre deux relevés.

Étape 5

À $6{,}5$ tours : $y\approx 5{,}67\times 6{,}5+6{,}33\approx 43{,}2$ litres par minute. C'est une interpolation, entre $1$ et $9$ tours.

Pourquoi

La pente s'interprète avec les deux unités : environ $5{,}67$ litres par minute gagnés par tour d'ouverture. Le résultat se situe bien entre les relevés à $6$ et à $7$ tours, ce qui est le contrôle attendu.

Conclusion rédigée

Droite $y\approx 5{,}67x+6{,}33$ , soit environ $5{,}67$ litres par minute par tour, et un débit estimé à $43{,}2$ litres par minute pour $6{,}5$ tours.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de calculer la pente entre $P_{1}$ et $P_{2}$ : on obtiendrait $\dfrac{34-18}{5-2}\approx 5{,}33$ , une direction établie sur la moitié gauche du nuage seulement.

À savoir par cœur

• Décrire un nuage : sens, forme, force.
• Coefficient entre $-1$ et $1$ : signe pour le sens, valeur absolue pour la force.
• Mayer : DEUX groupes, points MOYENS, pente entre eux.
• Mayer passe par le point moyen général : contrôle gratuit.
• Médiane-médiane : TROIS groupes, points MÉDIANS.
• Sa pente vient du PREMIER et du TROISIÈME point médian.
• Sa droite passe par le point moyen des trois points médians.
• Donnée aberrante : la médiane-médiane résiste, Mayer bascule.
• Interpoler, c'est dedans ; extrapoler, c'est dehors, avec réserve.
• Tableau à double entrée : pourcentages de LIGNE, jamais les effectifs.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la droite de Mayer et la médiane-médiane ?

Le nombre de groupes et l'ingrédient. Mayer partage les données en deux groupes et emploie leurs points moyens ; la médiane-médiane les partage en trois et emploie leurs points médians, la pente étant calculée avec le premier et le troisième seulement. Les deux droites résument le même nuage, mais la seconde résiste aux valeurs extrêmes.

Pourquoi la médiane-médiane résiste-t-elle à une donnée aberrante ?

Parce qu'une médiane ne regarde que les rangs, jamais l'amplitude. Si la plus grande valeur d'un groupe devient encore plus grande, elle reste la plus grande : la médiane du groupe ne bouge pas. Une moyenne, au contraire, est tirée par cette valeur, ce qui fait basculer la droite de Mayer.

Un coefficient négatif signifie-t-il un lien faible ?

Non. Le signe indique seulement le sens de la relation : négatif veut dire que l'une des variables diminue quand l'autre augmente. La force se lit sur la valeur absolue, donc moins zéro virgule quatre-vingt-quinze est un lien très fort, aussi fort que son opposé positif.

Jusqu'où peut-on utiliser une droite de régression pour prévoir ?

À l'intérieur de l'intervalle des données observées, sans problème : c'est une interpolation. Au-delà, on extrapole, et rien ne garantit que le lien reste linéaire. Le calcul reste possible, mais la conclusion doit le signaler, parce qu'une usure s'accélère et qu'une dureté finit par plafonner.

Comment lire un tableau à double entrée ?

On complète d'abord les totaux de lignes et de colonnes, puis on transforme chaque ligne en pourcentages de son propre total. Ce sont ces pourcentages que l'on compare d'une ligne à l'autre. Comparer des effectifs bruts n'a aucun sens quand les lignes n'ont pas le même nombre d'individus.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Nuage de points, corrélation et droites de régression

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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