Exercices corrigés : nuage de points, corrélation et droites de régression (math TS, secondaire 4)

Le lien est POSITIF, puisque la température augmente quand le régime augmente. Il est LINÉAIRE : les points s'alignent le long d'une droite, sans courbure visible. Et il est FORT : les points sont très resserrés autour de cette direction. Les trois mots sont attendus, dans cet ordre, et chacun répond à une question différente.

Le coefficient est proche de $0{,}98$ ou $0{,}99$. On l'estime à l'oeil en regardant l'épaisseur du nuage : très mince et montant, donc proche de $+1$ ; épais, on descendrait vers $0{,}7$ ; informe, vers $0$. Ici un point s'écarte à peine de l'alignement, ce qui empêche d'annoncer exactement $1$, réservé à un alignement parfait.

Non, aucune. Tous les points suivent la même tendance, et aucun ne s'écarte franchement des autres. Une donnée aberrante se repère justement parce qu'elle sort du nuage, pas parce qu'elle est grande ou petite : la valeur $70$ est la plus grande, mais elle est parfaitement dans l'alignement.

Non, une corrélation ne prouve jamais une causalité à elle seule. Ici, cependant, il existe une raison PHYSIQUE indépendante : plus le régime est élevé, plus les frottements dissipent de chaleur. C'est cette explication, et non le coefficient, qui autorise à parler de cause. La statistique mesure le lien, la physique l'explique.

Entre $1000$ et $2400$ tours par minute, c'est-à-dire l'intervalle des données observées. À l'intérieur, on INTERPOLE et l'estimation est raisonnable ; au-delà, on EXTRAPOLE et rien ne garantit que le lien reste linéaire. À très haut régime, la température plafonne ou le palier casse : le modèle linéaire n'a plus aucun sens.

Lien POSITIF et TRÈS FORT : quand une variable augmente, l'autre augmente aussi, et les points sont presque alignés. Une droite résumera très bien ce nuage, et les prévisions faites à l'intérieur de l'intervalle observé seront fiables.

Lien NÉGATIF et FORT : quand une variable augmente, l'autre diminue. Le signe moins ne veut pas dire « mauvais » ni « faible » : il indique seulement le SENS. Une valeur absolue de $0{,}82$ reste une corrélation forte, plus forte que beaucoup de liens réels.

Lien POSITIF mais TRÈS FAIBLE, à peu près inexploitable : le nuage est informe, et tracer une droite dedans n'aurait aucun intérêt. On conclut qu'il n'y a pas de lien linéaire apparent, ce qui n'exclut pas un lien d'une autre forme.

Que c'est impossible : le coefficient est TOUJOURS compris entre $-1$ et $1$, bornes comprises. Une valeur hors de cet intervalle signale une erreur de calcul ou de saisie à la calculatrice, souvent une liste de mauvaise longueur. On vérifie donc toujours cet encadrement avant d'interpréter.

Il confond la VALEUR et le SIGNE. Un coefficient de $-0{,}99$ est aussi fort qu'un coefficient de $0{,}99$ : c'est la valeur absolue qui mesure la force. Le signe moins dit simplement que les deux variables varient en sens contraire, par exemple la dureté d'un acier et la durée de son revenu. C'est l'erreur d'interprétation la plus fréquente du chapitre.

On range les données selon $x$, ce qui est déjà fait, puis on coupe en deux groupes de cinq. Groupe 1, les abscisses $1$ à $5$ : la moyenne des $x$ vaut $3$ et celle des $y$ vaut $\dfrac{4+7+9+12+14}{5}=\dfrac{46}{5}=9{,}2$. Groupe 2, les abscisses $6$ à $10$ : la moyenne des $x$ vaut $8$ et celle des $y$ vaut $\dfrac{110}{5}=22$. Les deux points moyens sont $P_{1}(3\,;9{,}2)$ et $P_{2}(8\,;22)$.

La pente se calcule entre ces deux points moyens : $a=\dfrac{22-9{,}2}{8-3}=\dfrac{12{,}8}{5}=2{,}56$.

On substitue l'un des deux points, par exemple $P_{1}$ : $9{,}2=2{,}56\times 3+b=7{,}68+b$, donc $b=1{,}52$. La droite de Mayer est $y=2{,}56x+1{,}52$. Vérification sur $P_{2}$ : $2{,}56\times 8+1{,}52=20{,}48+1{,}52=22$, c'est juste.

Le point moyen général a pour abscisse $\dfrac{1+2+\ldots+10}{10}=5{,}5$ et pour ordonnée $\dfrac{156}{10}=15{,}6$. Le modèle donne $2{,}56\times 5{,}5+1{,}52=14{,}08+1{,}52=15{,}6$ : la droite passe exactement par ce point. Ce n'est pas un hasard, c'est une propriété de la méthode, et c'est le meilleur contrôle de calcul disponible.

La pente vaut $2{,}56$ centième de millimètre par centaine de pièces usinées : l'outil s'use d'environ $2{,}56$ centièmes chaque fois qu'il produit cent pièces de plus. C'est l'interprétation attendue, avec les DEUX unités. Dire « la pente vaut $2{,}56$ » sans unités ne vaut aucun point.

Avec dix données, on partage en trois groupes aussi égaux que possible, soit $3$, $4$ et $3$. Groupe 1, abscisses $1$ à $3$ : médiane des $x$ égale $2$, médiane des $y$ égale $7$, donc $P_{1}(2\,;7)$. Groupe 2, abscisses $4$ à $7$ : médiane des $x$ égale $\dfrac{5+6}{2}=5{,}5$, médiane des $y$ égale $\dfrac{14+17}{2}=15{,}5$, donc $P_{2}(5{,}5\,;15{,}5)$. Groupe 3, abscisses $8$ à $10$ : $P_{3}(9\,;24)$.

La pente se calcule avec le PREMIER et le TROISIÈME point médian seulement : $a=\dfrac{24-7}{9-2}=\dfrac{17}{7}\approx 2{,}43$.

Le point moyen des trois points médians a pour abscisse $\dfrac{2+5{,}5+9}{3}=5{,}5$ et pour ordonnée $\dfrac{7+15{,}5+24}{3}=15{,}5$. Il se trouve ici confondu avec $P_{2}$, ce qui arrive quand les données sont régulières. La droite passe par ce point : $15{,}5=\dfrac{17}{7}\times 5{,}5+b$, donc $b=15{,}5-13{,}357\approx 2{,}14$, et la droite est $y\approx 2{,}43x+2{,}14$.

Mayer donnait $y=2{,}56x+1{,}52$, la médiane-médiane donne $y\approx 2{,}43x+2{,}14$. Les deux droites sont très proches : à $x=6$, elles prédisent $16{,}88$ et $16{,}71$, soit moins de deux dixièmes d'écart. C'est normal, ce jeu de données ne contient aucune valeur aberrante. L'exercice suivant montre ce qui se passe quand il y en a une.

Parce que le rôle des points extrêmes est de donner la DIRECTION, et celui du point du milieu d'ajuster la HAUTEUR. Employer les trois pour la pente reviendrait à faire une moyenne de directions, ce qui n'est pas la méthode. Le point médian central sert ensuite, dans le calcul du point moyen des trois, à recentrer la droite dans le nuage sans toucher à son inclinaison.

Le groupe 1 ne change pas : $P_{1}(3\,;9{,}2)$. Le groupe 2 devient $\dfrac{17+19+23+24+47}{5}=\dfrac{130}{5}=26$, donc $P_{2}(8\,;26)$. La pente devient $\dfrac{26-9{,}2}{5}=3{,}36$, et $b=9{,}2-3{,}36\times 3=-0{,}88$. La nouvelle droite de Mayer est $y=3{,}36x-0{,}88$ : elle a basculé, et son ordonnée à l'origine est même devenue négative.

Les trois points médians sont INCHANGÉS. Les deux premiers ne contiennent pas la donnée modifiée. Le troisième contient bien $(10\,;47)$, mais la médiane des ordonnées $23$, $24$ et $47$ reste $24$ : la valeur extrême occupe le même RANG qu'avant, et une médiane ne regarde que les rangs. On retrouve donc $P_{1}(2\,;7)$, $P_{2}(5{,}5\,;15{,}5)$ et $P_{3}(9\,;24)$.

Puisque les trois points médians sont identiques, la droite l'est aussi : $y\approx 2{,}43x+2{,}14$, exactement comme à l'exercice 4. La donnée aberrante n'a pas déplacé la droite d'un millième.

À $x=6$, avant modification : Mayer donnait $16{,}88$ et la médiane-médiane $16{,}71$. Après : Mayer donne $3{,}36\times 6-0{,}88=19{,}28$, soit $2{,}4$ centièmes de plus, alors que la médiane-médiane donne toujours $16{,}71$. Une seule donnée sur dix a donc déplacé la prévision de Mayer de $14$ pour cent.

La MÉDIANE-MÉDIANE, sans hésiter. Elle repose sur des médianes, qui ne regardent que le rang des valeurs et ignorent leur amplitude ; Mayer repose sur des moyennes, que toute valeur extrême tire à elle. On dit que la médiane-médiane est RÉSISTANTE. Cela ne veut pas dire qu'elle est toujours meilleure : sur des données propres, les deux se valent, et Mayer utilise davantage l'information disponible.

$650$ pièces, c'est $x=6{,}5$ : $y\approx 2{,}43\times 6{,}5+2{,}14\approx 17{,}93$ centièmes de millimètre. C'est une INTERPOLATION, puisque $6{,}5$ se situe entre $1$ et $10$, l'intervalle des relevés. L'estimation est donc raisonnable.

$2000$ pièces, c'est $x=20$ : $y\approx 2{,}43\times 20+2{,}14\approx 50{,}7$ centièmes. Mais c'est une EXTRAPOLATION, deux fois au-delà de la dernière observation : rien ne garantit que l'usure reste linéaire aussi loin. En pratique, un outil très usé se dégrade de plus en plus vite, donc le modèle sous-estime probablement. Le nombre se calcule, mais il s'accompagne d'une réserve.

On résout $2{,}43x+2{,}14=30$, donc $2{,}43x=27{,}86$ et $x\approx 11{,}47$ centaines, soit environ $1147$ pièces. Là encore on extrapole légèrement, mais de peu : l'estimation sert de repère pour planifier le changement d'outil, et l'atelier la vérifiera par une mesure réelle vers la millième pièce.

L'ordonnée à l'origine vaut environ $2{,}14$ centièmes de millimètre : selon le modèle, un outil n'ayant usiné AUCUNE pièce serait déjà usé de deux centièmes. C'est physiquement faux, et cela ne rend pas le modèle mauvais : cela rappelle qu'un modèle linéaire ne vaut que dans l'intervalle observé, et que ses paramètres n'ont pas tous une signification concrète.

Que le modèle ne s'applique PAS. Il a été construit sur un acier précis, et la dureté de la matière est justement le facteur qui gouverne l'usure : l'exercice 5 l'a montré, un seul lot plus dur a fait bondir la mesure. Pour un autre acier, il faut refaire des relevés. Un modèle statistique ne vaut que dans les conditions où les données ont été recueillies.

On additionne chaque ligne : la machine A a produit $30+12+8=50$ pièces et la machine B $56+9+5=70$ pièces. Contrôle : $50+70=120$, et la somme des colonnes donne aussi $86+21+13=120$. Ce double contrôle se fait avant toute interprétation.

On divise chaque case par le total de SA ligne, ici $50$ : $\dfrac{30}{50}=60{,}0$ pour cent de conformes, $\dfrac{12}{50}=24{,}0$ pour cent à reprendre et $\dfrac{8}{50}=16{,}0$ pour cent de rebuts. Les trois pourcentages totalisent bien $100$.

Sur un total de $70$ : $\dfrac{56}{70}=80{,}0$ pour cent de conformes, $\dfrac{9}{70}\approx 12{,}9$ pour cent à reprendre et $\dfrac{5}{70}\approx 7{,}1$ pour cent de rebuts.

OUI, et il est net. La machine B produit $80$ pour cent de pièces conformes contre $60$ pour cent pour la machine A, et elle rebute deux fois moins, $7{,}1$ contre $16{,}0$ pour cent. La finition dépend donc bien de la machine. Le point de méthode est essentiel : on compare des POURCENTAGES DE LIGNE, jamais les effectifs bruts, puisque les deux machines n'ont pas produit le même nombre de pièces.

$\dfrac{13}{120}\approx 10{,}8$ pour cent de la production part au rebut. C'est une proportion calculée sur le total général, et elle ne se compare à aucun des pourcentages de ligne : elle mêle les deux machines, dans les proportions où elles ont produit.

Faux. C'est la VALEUR ABSOLUE qui mesure la force, et $0{,}95$ est très élevé : le lien est très fort. Le signe moins indique seulement que les deux variables varient en sens contraire, comme la dureté d'un acier et la durée de son revenu. L'énoncé correct : lien négatif et très fort.

Faux : la droite de MAYER emploie les MOYENNES de deux groupes, et c'est la droite MÉDIANE-MÉDIANE qui emploie les médianes de trois groupes. Cette confusion de noms coûte toute la question, puisque les deux calculs diffèrent dès la première ligne. Moyennes pour Mayer, deux groupes ; médianes pour l'autre, trois groupes.

Faux. Une corrélation mesure un lien, elle n'en donne jamais la cause. Les deux variables peuvent dépendre d'une troisième, ou le lien peut être fortuit. Pour parler de cause, il faut une raison INDÉPENDANTE de la statistique, physique ou expérimentale, comme les frottements qui expliquent l'échauffement d'un palier.

Faux. À l'intérieur de l'intervalle des données observées, on INTERPOLE et l'estimation est raisonnable. Au-delà, on EXTRAPOLE, et rien ne garantit que le lien reste linéaire : l'usure d'un outil s'accélère, la dureté d'un acier plafonne. L'énoncé correct : une prévision hors de l'intervalle s'accompagne toujours d'une réserve explicite.

Faux. Les lignes n'ont en général pas le même total, donc les effectifs bruts ne sont pas comparables : $8$ rebuts sur $50$ pièces est pire que $5$ sur $70$, bien que $8$ soit proche de $5$. On compare des POURCENTAGES DE LIGNE, c'est-à-dire chaque case divisée par le total de sa ligne.

Le lien est NÉGATIF, LINÉAIRE et TRÈS FORT : la dureté baisse régulièrement quand la durée augmente, et les six points s'alignent presque parfaitement. Le coefficient de corrélation vaut environ $-0{,}998$, mais son signe ne doit pas faire croire à un lien faible.

Deux groupes de trois. Groupe 1 : moyenne des $x$ égale $2$, moyenne des $y$ égale $\dfrac{58+55+53}{3}=\dfrac{166}{3}\approx 55{,}33$. Groupe 2 : moyenne des $x$ égale $5$, moyenne des $y$ égale $\dfrac{143}{3}\approx 47{,}67$. La pente vaut $\dfrac{47{,}67-55{,}33}{5-2}\approx -2{,}56$, et $b\approx 55{,}33+2{,}56\times 2\approx 60{,}44$. La droite est $y\approx -2{,}56x+60{,}44$.

Pour $x=4{,}5$ : $y\approx -2{,}56\times 4{,}5+60{,}44\approx 48{,}9$ unités Rockwell. C'est une interpolation, entre $1$ et $6$ heures, donc l'estimation est fiable, et elle se situe bien entre les duretés mesurées à $4$ et à $5$ heures.

On résout $-2{,}56x+60{,}44=52$, donc $2{,}56x=8{,}44$ et $x\approx 3{,}3$ heures. En atelier, on programmerait donc un revenu d'environ trois heures et vingt minutes, puis on contrôlerait la dureté réelle avant de lancer la série.

Non. Le modèle donnerait $-2{,}56\times 12+60{,}44\approx 29{,}7$, mais c'est une extrapolation au double de la durée observée. Physiquement, la dureté d'un acier revenu ne baisse pas indéfiniment : elle tend vers un palier propre à l'alliage. La droite reste un bon résumé entre une et six heures, et rien de plus.

La pente vaut $-0{,}42$ point de pourcentage par mois : la batterie perd environ $0{,}42$ pour cent de sa capacité chaque mois d'utilisation. Le signe négatif traduit une perte, et l'interprétation doit nommer les deux unités, les points de pourcentage et les mois.

L'ordonnée à l'origine vaut $96{,}3$ : selon le modèle, une batterie neuve, à zéro mois, n'aurait déjà que $96{,}3$ pour cent de sa capacité. Ce n'est PAS cohérent avec la définition d'une batterie neuve, qui est à $100$ pour cent. L'explication tient à l'extrapolation : les relevés commencent à $3$ mois, donc la droite n'a aucune raison d'être juste en zéro, et l'on sait que la perte est plus rapide les premières semaines.

Pour $x=24$ : $y=-0{,}42\times 24+96{,}3=-10{,}08+96{,}3=86{,}22$ pour cent. C'est une interpolation, $24$ mois se situant dans l'intervalle des relevés : l'estimation est fiable.

On résout $-0{,}42x+96{,}3=80$, donc $0{,}42x=16{,}3$ et $x\approx 38{,}8$ mois, soit un peu moins de $39$ mois. Attention : cette valeur dépasse les $30$ mois observés, donc c'est déjà une extrapolation, et elle doit s'annoncer comme telle.

Moyennement. À $36$ mois, le modèle prévoit $-0{,}42\times 36+96{,}3=81{,}18$ pour cent, soit à peine plus d'un point au-dessus du seuil garanti, et ce par extrapolation. Avec une corrélation de $-0{,}93$, le nuage n'est d'ailleurs pas parfaitement aligné : certaines batteries seront sous la droite. Le fabricant devrait prolonger ses relevés au-delà de $30$ mois avant de s'engager, plutôt que de se fier à une droite ajustée sur une plage plus courte.