Exercices corrigés : l'écart moyen et l'écart type (math TS, secondaire 4)

a) La somme vaut $12+15+14+18+11+16+13+17=116$, et il y a $8$ données : la moyenne est $\dfrac{116}{8}=14{,}5$. On garde cette valeur EXACTE pour toute la suite : l'arrondir ici fausserait les huit écarts.

b) On soustrait la moyenne de chaque donnée : $-2{,}5$, $0{,}5$, $-0{,}5$, $3{,}5$, $-3{,}5$, $1{,}5$, $-1{,}5$, $2{,}5$. Leur somme vaut exactement $0$. Ce n'est pas un hasard : les écarts à la moyenne s'annulent TOUJOURS, par définition de la moyenne, et c'est le premier contrôle à faire.

c) Les valeurs absolues : $2{,}5$, $0{,}5$, $0{,}5$, $3{,}5$, $3{,}5$, $1{,}5$, $1{,}5$, $2{,}5$. Leur somme vaut $16$. On remarque qu'elles vont par paires ici, la série étant symétrique autour de sa moyenne.

d) L'écart moyen est la moyenne de ces distances : $\dfrac{16}{8}=2$. Interprétation : en moyenne, une donnée de cette série se trouve à $2$ unités de $14{,}5$. L'écart moyen s'exprime dans la MÊME UNITÉ que les données, et il faut l'écrire avec elle.

e) Parce que sans valeur absolue, la somme vaut zéro et la moyenne aussi, pour TOUTE série : la mesure ne dirait rien. Les écarts négatifs compensent exactement les positifs. En prenant les distances, on ne mesure plus le CÔTÉ mais l'ÉLOIGNEMENT, qui est ce qu'on cherche. L'écart type, au prochain exercice, règle le même problème autrement, en élevant les écarts au carré.

a) On élève chaque écart au carré : $6{,}25$, $0{,}25$, $0{,}25$, $12{,}25$, $12{,}25$, $2{,}25$, $2{,}25$, $6{,}25$. Les signes ont disparu, comme avec la valeur absolue, mais les GRANDS écarts ont été amplifiés : $3{,}5$ est devenu $12{,}25$. La somme vaut $42$.

b) La variance est la moyenne de ces carrés : $\dfrac{42}{8}=5{,}25$. Attention à son unité : si les données sont en millimètres, la variance est en millimètres CARRÉS, ce qui la rend difficile à interpréter telle quelle.

c) L'écart type est la racine carrée de la variance : $\sigma=\sqrt{5{,}25}\approx 2{,}29$. On revient ainsi à l'unité des données, et le nombre redevient comparable à elles.

d) L'écart moyen valait $2$, l'écart type vaut $2{,}29$ : il est un peu PLUS GRAND. C'est presque toujours le cas, parce que le passage au carré donne plus de poids aux données éloignées. Les deux mesures racontent la même histoire, mais l'écart type réagit plus fort aux extrêmes, ce que l'exercice 4 va exploiter.

e) Parce que la variance est dans une unité au carré, donc incomparable aux données. La racine ramène la mesure dans l'unité de départ : un écart type de $2{,}29$ se compare directement à une moyenne de $14{,}5$, alors qu'une variance de $5{,}25$ ne se compare à rien. C'est la seule raison de cette dernière étape, et c'est aussi pourquoi l'écart type est la mesure retenue partout en industrie.

a) La somme de B vaut $5+10+14+15+15+18+19+20=116$, comme celle de A, et il y a également $8$ données : la moyenne est $\dfrac{116}{8}=14{,}5$. Les deux séries sont donc indiscernables si l'on ne regarde que la moyenne, alors que la figure montre deux nuages très différents.

b) Les écarts valent $-9{,}5$, $-4{,}5$, $-0{,}5$, $0{,}5$, $0{,}5$, $3{,}5$, $4{,}5$ et $5{,}5$. La somme de leurs valeurs absolues vaut $29$, donc l'écart moyen est $\dfrac{29}{8}=3{,}625$.

c) Les carrés valent $90{,}25$, $20{,}25$, $0{,}25$, $0{,}25$, $0{,}25$, $12{,}25$, $20{,}25$ et $30{,}25$, de somme $174$. La variance est $\dfrac{174}{8}=21{,}75$ et l'écart type $\sqrt{21{,}75}\approx 4{,}66$.

d) La série B est nettement plus dispersée : son écart type vaut $4{,}66$ contre $2{,}29$, soit environ $2{,}04$ fois plus. Sur les écarts moyens, le rapport est de $\dfrac{3{,}625}{2}\approx 1{,}81$ : plus faible, parce que l'écart moyen amplifie moins les valeurs extrêmes que l'écart type. Les deux mesures classent les séries dans le même ordre, mais pas avec la même intensité.

e) Non. Ces deux nombres résument la série, ils ne la décrivent pas entièrement : on peut construire des séries différentes ayant exactement la même moyenne et le même écart type, par exemple en échangeant deux valeurs symétriques. Un résumé statistique perd de l'information, et c'est pourquoi on trace aussi le nuage.

a) La somme passe de $116$ à $116-18+48=146$, donc la moyenne devient $\dfrac{146}{8}=18{,}25$. Une seule donnée fausse a déplacé la moyenne de près de quatre unités, alors que sept données sur huit n'ont pas bougé.

b) Les écarts à $18{,}25$ valent, en valeur absolue : $6{,}25$, $3{,}25$, $4{,}25$, $29{,}75$, $7{,}25$, $2{,}25$, $5{,}25$ et $1{,}25$. Leur somme vaut $59{,}5$, donc l'écart moyen est $\dfrac{59{,}5}{8}=7{,}44$.

c) Les carrés de ces écarts totalisent $1039{,}5$, donc la variance vaut $\dfrac{1039{,}5}{8}=129{,}94$ et l'écart type $\sqrt{129{,}94}\approx 11{,}40$. Le seul terme de la donnée aberrante, $29{,}75^{2}\approx 885$, représente à lui seul $85$ pour cent de la somme.

d) La moyenne est passée de $14{,}5$ à $18{,}25$, soit un facteur $1{,}26$. L'écart moyen est passé de $2$ à $7{,}44$, soit un facteur $3{,}72$. L'écart type est passé de $2{,}29$ à $11{,}40$, soit un facteur $4{,}98$. Les trois mesures sont touchées, mais pas du tout dans les mêmes proportions.

e) L'ÉCART TYPE, de loin. La raison est dans le calcul : il élève les écarts au CARRÉ, donc une donnée trois fois plus éloignée pèse neuf fois plus lourd. L'écart moyen, qui se contente de la valeur absolue, réagit deux fois moins fort. En pratique, un écart type qui explose sans raison est le signal qu'il faut chercher une erreur de saisie ou un incident de production, avant de conclure quoi que ce soit.

a) En moyenne, un montage de l'atelier 1 s'écarte de $3$ secondes de la durée moyenne de $42$ secondes. La phrase attendue nomme les deux nombres et leur unité : un écart type sans unité ne veut rien dire, et un écart type sans sa moyenne non plus.

b) L'atelier 1, dont l'écart type est trois fois plus petit. Les deux ateliers mettent le même temps EN MOYENNE, mais le second est beaucoup plus irrégulier : certaines pièces y sont montées bien plus vite, d'autres bien plus lentement. Pour planifier une chaîne, c'est la régularité qui compte, parce qu'un poste lent bloque tous les suivants.

c) Un écart type nul signifie qu'AUCUNE donnée ne s'écarte de la moyenne : toutes les valeurs sont identiques. C'est le seul cas où il s'annule, puisqu'une somme de carrés ne peut être nulle que si chaque terme l'est. En production, cela n'arrive jamais vraiment, et un écart type exactement nul signale plutôt une saisie recopiée.

d) Non, jamais. C'est une racine carrée d'une moyenne de CARRÉS, donc une racine d'un nombre positif ou nul. Un écart type négatif sur une copie est le signe d'une erreur de calcul, en général un oubli de valeur absolue ou une soustraction faite à l'envers dans la variance.

e) Atelier 1 : $\dfrac{3}{42}\approx 0{,}0714$, soit $7{,}14$ pour cent. Atelier 2 : $\dfrac{9}{42}\approx 0{,}2143$, soit $21{,}43$ pour cent. Ce rapport est sans unité, donc il permet de comparer des séries qui n'ont rien à voir, par exemple des temps en secondes et des masses en grammes. Ici il confirme le classement, avec un facteur trois.

a) La moyenne augmente de $2$ : elle passe de $14{,}5$ à $16{,}5$. C'est immédiat sur la somme, qui augmente de $8\times 2=16$, donc la moyenne augmente de $\dfrac{16}{8}=2$.

b) L'écart type NE CHANGE PAS, il reste $2{,}29$. La raison tient en une ligne : chaque donnée augmente de $2$ et la moyenne aussi, donc chaque ÉCART à la moyenne est inchangé. Or l'écart type ne dépend que des écarts. Un décalage déplace toute la série en bloc sans l'étaler ni la resserrer.

c) La moyenne est multipliée par $3$ : $14{,}5\times 3=43{,}5$. L'écart type l'est aussi : $2{,}29\times 3\approx 6{,}87$. Ici chaque écart est bien multiplié par $3$, donc la dispersion suit. C'est ce qui se passe quand on convertit des centimètres en millimètres : les deux mesures changent ensemble, et le rapport de l'exercice 5 reste identique.

d) La variance est multipliée par $3^{2}=9$ : elle passe de $5{,}25$ à $47{,}25$. Ce n'est pas une surprise, la variance étant un carré. C'est aussi la raison pour laquelle on ne l'interprète jamais directement : son unité et son comportement ne suivent pas ceux des données.

e) NON pour l'écart type, OUI pour la moyenne. L'erreur de calibration est un DÉCALAGE constant : elle ajoute $0{,}2$ mm à chaque mesure, donc elle ajoute $0{,}2$ mm à la moyenne et ne change rien à la dispersion. Le technicien corrige donc sa moyenne en soustrayant $0{,}2$ mm et conserve son écart type tel quel. C'est exactement le genre de raisonnement qui fait gagner une demi-heure de recalculs.

a) Les deux sommes valent $48$ et il y a $8$ commandes dans chaque cas : les deux moyennes valent $\dfrac{48}{8}=6$ jours. Sur ce seul critère, les fournisseurs sont indiscernables, et c'est précisément le piège du chapitre.

b) Fournisseur 1 : les écarts absolus sont $1$, $0$, $1$, $1$, $0$, $1$, $0$, $2$, de somme $6$, donc l'écart moyen vaut $\dfrac{6}{8}=0{,}75$ jour. Fournisseur 2 : $3$, $2$, $2$, $3$, $1$, $1$, $0$, $0$, de somme $12$, donc $\dfrac{12}{8}=1{,}5$ jour, deux fois plus.

c) Fournisseur 1 : les carrés valent $1$, $0$, $1$, $1$, $0$, $1$, $0$, $4$, de somme $8$, donc la variance vaut $1$ et l'écart type $1{,}00$ jour. Fournisseur 2 : les carrés totalisent $28$, donc la variance vaut $3{,}5$ et l'écart type $\sqrt{3{,}5}\approx 1{,}87$ jour.

d) Le fournisseur 1, sans hésiter. Même délai moyen, mais une dispersion presque deux fois plus faible : ses livraisons tiennent entre $5$ et $8$ jours, alors que celles du second vont de $3$ à $9$. En production juste-à-temps, on ne planifie pas sur la moyenne mais sur le PIRE cas raisonnable : un retard bloque la chaîne, alors qu'une avance ne la fait pas avancer plus vite.

e) Non, l'argument est même un aveu. Une livraison en $3$ jours est une donnée EXCEPTIONNELLE, et c'est justement ce qui gonfle l'écart type : elle prouve l'irrégularité, pas la performance. Un atelier ne peut pas planifier sur un record, il planifie sur ce qui se répète. La bonne réponse commerciale du fournisseur 2 serait de réduire sa dispersion, pas d'exhiber son meilleur coup.

a) Faux. L'écart type est la racine carrée d'une moyenne de CARRÉS : il est positif ou nul, quels que soient les signes des données. Une série de températures hivernales, toutes négatives, a un écart type parfaitement positif. L'énoncé correct : l'écart type mesure une distance, et une distance n'est jamais négative.

b) Faux, et c'est tout l'objet du chapitre. Les séries A et B de l'exercice 3 ont la même moyenne, $14{,}5$, et des écarts types de $2{,}29$ et $4{,}66$ : l'une est deux fois plus étalée que l'autre. La moyenne dit OÙ se situe la série, jamais à quel point elle est serrée.

c) Faux. La variance est une moyenne de carrés, donc son unité est celle des données AU CARRÉ : des millimètres carrés pour des millimètres. C'est précisément pour revenir à l'unité de départ qu'on en prend la racine, et c'est le seul rôle de cette dernière étape.

d) Faux. Un décalage augmente la moyenne de $5$ et laisse l'écart type INCHANGÉ, puisque chaque écart à la moyenne reste le même. Toute la série se déplace en bloc sans s'étaler. L'énoncé correct : c'est une MULTIPLICATION par $5$ qui multiplierait l'écart type par $5$.

e) Faux. Les deux mesures sont voisines mais différentes : sur la série A, l'écart moyen vaut $2$ et l'écart type $2{,}29$. L'écart type est presque toujours le plus grand, parce que le passage au carré donne plus de poids aux données éloignées. Elles ne coïncident que dans des cas très particuliers.

a) La somme des dix mesures vaut exactement $250{,}00$ mm, donc la moyenne est $\dfrac{250}{10}=25{,}000$ mm. Elle tombe pile sur la cible, ce qui est le meilleur cas possible pour un réglage de machine.

b) Les écarts, en millimètres, sont $0{,}02$, $-0{,}02$, $0{,}01$, $0$, $-0{,}03$, $0{,}03$, $-0{,}01$, $0$, $0{,}01$ et $-0{,}01$. La somme de leurs valeurs absolues vaut $0{,}14$, donc l'écart moyen est $\dfrac{0{,}14}{10}=0{,}014$ mm.

c) La somme des carrés vaut $0{,}0030$, donc la variance est $0{,}00030$ et l'écart type $\sqrt{0{,}00030}\approx 0{,}0173$ mm. On garde quatre décimales : sur des mesures au centième de millimètre, arrondir l'écart type au centième le réduirait à $0{,}02$ et ferait perdre toute la précision de l'analyse.

d) Oui : la mesure la plus éloignée est à $0{,}03$ mm de la cible, donc bien à l'intérieur de la tolérance de $0{,}05$ mm. La limite se trouve à $\dfrac{0{,}05}{0{,}0173}\approx 2{,}89$ écarts types de la moyenne. En contrôle industriel, on vise en général trois écarts types ou plus : le procédé est donc juste un peu trop dispersé pour le confort.

e) La limite supérieure $25{,}05$ ne se trouve plus qu'à $\dfrac{25{,}05-25{,}03}{0{,}0173}\approx 1{,}15$ écart type de la nouvelle moyenne. Le risque de produire des pièces hors tolérance devient donc beaucoup plus grand, alors que la DISPERSION n'a pas changé d'un cheveu. C'est la leçon du problème : un procédé peut être parfaitement régulier et tout de même produire des rebuts, s'il est mal centré. On surveille toujours les deux, la moyenne et l'écart type.

a) La machine A, dont l'écart type vaut $1{,}5$ mL contre $4$ mL : ses bouteilles se ressemblent beaucoup plus. C'est visible sur la figure, où son intervalle est presque trois fois plus court.

b) Machine A : $\dfrac{502-495}{1{,}5}\approx 4{,}67$ écarts types. Machine B : $\dfrac{500-495}{4}=1{,}25$ écart type. La machine B produit donc des bouteilles refusées de temps en temps, alors que la machine A n'en produit pratiquement jamais, bien que son réglage soit à peine plus généreux.

c) Deux millilitres par bouteille sur cent mille bouteilles font $200\,000$ mL, c'est-à-dire $200$ litres offerts. À l'échelle d'une production annuelle, ce surremplissage coûte cher, et c'est la raison pour laquelle on cherche à régler la moyenne au plus près du seuil.

d) Avec une moyenne de $501$ mL, le seuil se trouve à $\dfrac{501-495}{1{,}5}=4$ écarts types : la marge reste très confortable, la norme industrielle usuelle étant de trois. On économise $1$ mL par bouteille, soit $100$ litres sur cent mille bouteilles, sans augmenter le risque de refus de façon sensible.

e) Parce que la machine B est trop dispersée. Même en la réglant sur $501$ mL, le seuil ne serait qu'à $\dfrac{501-495}{4}=1{,}5$ écart type, une marge insuffisante : les bouteilles refusées coûteraient plus que le produit économisé. Pour la machine B, la seule voie est de réduire l'ÉCART TYPE, par un entretien ou un remplacement, et non de déplacer la moyenne. On ne compense jamais une mauvaise régularité par un réglage.