Math TS, secondaire 4 à Montréal • Statistique

Fiche de révision : l'écart moyen et l'écart type

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des mesures de dispersion du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire, celui qui introduit l'écart type.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

La moyenne dit où se situe une série, la dispersion dit à quelle distance de cette moyenne vivent les données : deux séries de même moyenne peuvent n'avoir rien à voir.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3

L'essentiel

Les deux mesures, pas à pas

• ÉCART MOYEN : moyenne des DISTANCES à la moyenne. Quatre temps : moyenne, écarts, valeurs absolues, moyenne de ces valeurs absolues.
• SANS VALEUR ABSOLUE, la somme des écarts vaut TOUJOURS zéro : c'est la première vérification à faire, et la raison d'être de la valeur absolue.
• VARIANCE : moyenne des CARRÉS des écarts. Son unité est celle des données AU CARRÉ, donc elle ne s'interprète jamais directement.
• ÉCART TYPE : racine carrée de la variance. La racine ramène la mesure dans l'unité des données, et c'est son seul rôle.
• L'ÉCART TYPE EST PRESQUE TOUJOURS PLUS GRAND que l'écart moyen, parce que le carré donne plus de poids aux données éloignées : $2{,}29$ contre $2$ sur la série de la figure.
• Il est POSITIF OU NUL, toujours, et il ne vaut zéro que si toutes les données sont identiques.

Deux séries de moyenne

14{,}5

: la première a un écart type de

2{,}29

, la seconde de

4{,}66

. La moyenne seule ne distingue pas ces deux nuages.

Ce qui déplace la dispersion, et ce qui ne la touche pas

• UNE DONNÉE ABERRANTE gonfle l'écart type bien plus que l'écart moyen, et l'écart moyen bien plus que la moyenne : sur la série de la figure, remplacer $18$ par $48$ multiplie l'écart type par cinq et la moyenne par $1{,}26$ seulement.
• UN ÉCART TYPE QUI EXPLOSE sans raison connue est d'abord un signal d'erreur de saisie ou d'incident, avant d'être une conclusion.
• DÉCALER toutes les données d'une même quantité déplace la moyenne et laisse l'écart type INCHANGÉ : chaque écart reste le même. Une erreur de calibration se corrige donc sur la moyenne seule.
• MULTIPLIER toutes les données par un facteur multiplie la moyenne ET l'écart type par ce facteur, et la variance par son CARRÉ. C'est le cas d'un changement d'unité.
• POUR COMPARER DEUX SÉRIES D'UNITÉS DIFFÉRENTES, on rapporte l'écart type à la moyenne, ce qui donne un pourcentage sans unité.

Une seule donnée remplacée par

48

: la moyenne passe de

14{,}5

18{,}25

, l'écart moyen de

2

7{,}44

et l'écart type de

2{,}29

11{,}40

Lire et décider

• UN ÉCART TYPE SE LIT AVEC SON UNITÉ ET EN REGARD DE LA MOYENNE : $3$ secondes autour de $42$ secondes n'est pas la même chose que $3$ secondes autour de $7$ secondes.
• MÊME MOYENNE NE VEUT RIEN DIRE : entre deux fournisseurs de même délai moyen, c'est la dispersion qui décide, parce qu'on planifie sur le pire cas raisonnable et non sur la moyenne.
• EN CONTRÔLE DE PRODUCTION, on compare la tolérance à l'écart type : une limite située à trois écarts types ou plus de la moyenne est considérée comme confortable.
• UN PROCÉDÉ PEUT ÊTRE RÉGULIER ET MAUVAIS : si la moyenne dérive, les rebuts apparaissent sans que l'écart type ait bougé. On surveille toujours les DEUX.
• UNE DONNÉE EXCEPTIONNELLEMENT BONNE n'est pas un argument : elle prouve l'irrégularité, pas la performance.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer l'écart moyen

toute la question, et une mesure nulle pour n'importe quelle série

Ce qu'il ne faut pas écrire

La somme des écarts vaut $0$ , donc l'écart moyen vaut $0$

Ce qu'il faut écrire

On prend les VALEURS ABSOLUES avant de faire la moyenne : ici $\dfrac{16}{8}=2$

Pourquoi : Les écarts à la moyenne s'annulent toujours, par définition de la moyenne : c'est d'ailleurs le contrôle de la première étape. Sans valeur absolue, la mesure serait nulle pour TOUTE série, donc inutile. On mesure un ÉLOIGNEMENT, pas un côté.

2. Terminer le calcul de l'écart type

toute la question, et une mesure deux fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

La moyenne des carrés vaut $5{,}25$ , donc l'écart type vaut $5{,}25$

Ce qu'il faut écrire

C'est la VARIANCE : l'écart type est $\sqrt{5{,}25}\approx 2{,}29$

Pourquoi : Il manque la dernière étape, la racine carrée, qui ramène la mesure dans l'unité des données. Contrôle de bon sens : l'écart type doit être du même ordre que les écarts observés, ici de $0{,}5$ à $3{,}5$ . Une valeur de $5{,}25$ dépasse le plus grand écart, ce qui est impossible.

3. Écrire l'unité

1 point, et une comparaison impossible avec la tolérance

Ce qu'il ne faut pas écrire

La variance des diamètres vaut $0{,}0003$ mm

Ce qu'il faut écrire

Elle vaut $0{,}0003$ mm CARRÉ ; c'est l'écart type qui est en mm

Pourquoi : La variance est une moyenne de carrés d'écarts, donc son unité est celle des données élevée au carré. C'est précisément pour cela qu'on en prend la racine : seul l'écart type se compare à une tolérance, à une moyenne ou à une cote.

4. Corriger un décalage de calibration

1 à 2 points, et une demi-heure de recalculs inutiles

Ce qu'il ne faut pas écrire

Toutes les mesures étaient $0{,}2$ mm trop grandes, donc il faut retirer $0{,}2$ mm à la moyenne ET à l'écart type

Ce qu'il faut écrire

L'écart type ne change pas : seuls les écarts comptent, et ils sont inchangés

Pourquoi : Un décalage déplace toutes les données ET la moyenne de la même quantité : chaque écart à la moyenne reste identique, donc la dispersion aussi. La série se déplace en bloc sans s'étaler. C'est une MULTIPLICATION, et elle seule, qui multiplierait l'écart type.

5. Comparer deux séries

toute la question, et une décision industrielle prise sur un seul nombre

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les deux fournisseurs livrent en $6$ jours en moyenne, donc ils se valent

Ce qu'il faut écrire

Leurs écarts types valent $1{,}00$ et $1{,}87$ jour : le premier est bien plus fiable

Pourquoi : La moyenne dit où se situe la série, jamais à quel point elle est serrée. En planification, c'est la dispersion qui compte : un retard bloque la chaîne, alors qu'une avance ne la fait pas avancer plus vite. La bonne réponse cite les deux nombres, la moyenne ET l'écart type.

6. Juger un procédé sur sa seule régularité

toute la question, et des pièces hors tolérance en production

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'écart type n'a pas bougé, donc le procédé reste bon

Ce qu'il faut écrire

Si la moyenne a dérivé vers la limite, les rebuts arrivent malgré une dispersion inchangée

Pourquoi : Un procédé peut être parfaitement régulier et mal CENTRÉ. Dans le problème du contrôle dimensionnel, une moyenne qui passe de $25{,}000$ à $25{,}030$ mm rapproche la limite de $2{,}89$ à $1{,}15$ écart type, sans que la dispersion ait changé d'un cheveu. On surveille toujours la moyenne et l'écart type ensemble.

7. Interpréter un écart type sans sa moyenne

1 à 2 points en justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

Un écart type de $3$ est petit

Ce qu'il faut écrire

Cela dépend de la moyenne : $3$ autour de $42$ est petit, $3$ autour de $7$ est énorme

Pourquoi : Un écart type est une grandeur absolue, dans l'unité des données : il ne signifie rien tout seul. On le rapporte à la moyenne, ce qui donne un pourcentage sans unité, $7{,}1$ pour cent dans le premier cas et $43$ pour cent dans le second. C'est ce rapport qui permet de comparer des séries d'unités différentes.

Quelle méthode choisir

Que calculer, et comment lire le résultat

Une série de données quantitatives, et une question sur sa dispersion

Si On demande l'ÉCART MOYEN → Moyenne, écarts, VALEURS ABSOLUES, puis moyenne de ces distances

Exemple : $\dfrac{16}{8}=2$ sur la série de la figure
Si On demande la VARIANCE → Moyenne des CARRÉS des écarts, dans l'unité des données au carré

Exemple : $\dfrac{42}{8}=5{,}25$
Si On demande l'ÉCART TYPE → Racine carrée de la variance, dans l'unité des données

Exemple : $\sqrt{5{,}25}\approx 2{,}29$
Si On AJOUTE une constante à toutes les données → La moyenne se décale, l'écart type NE CHANGE PAS

Exemple : $+2$ donne une moyenne de $16{,}5$ et le même $2{,}29$
Si On MULTIPLIE toutes les données par un facteur → Moyenne et écart type multipliés par ce facteur, variance par son carré

Exemple : $\times 3$ donne $43{,}5$ et $6{,}87$
Si On compare DEUX SÉRIES de même unité → On compare directement les écarts types, après avoir vérifié les moyennes

Exemple : $1{,}00$ jour contre $1{,}87$ jour
Si On compare deux séries d'UNITÉS DIFFÉRENTES → On rapporte chaque écart type à sa moyenne, en pour cent

Exemple : $\dfrac{3}{42}=7{,}1$ pour cent contre $\dfrac{9}{42}=21{,}4$ pour cent
Si Une donnée semble ABERRANTE → Recalculer avec et sans : si l'écart type bascule, chercher une erreur de saisie

Exemple : $2{,}29$ devient $11{,}40$ quand $18$ devient $48$

Le diagramme à tige et à feuilles, le rang centile et le diagramme de quartiles ne sont pas au devis de la TS 4 : sa section de dispersion compte deux entrées, l'écart moyen et l'écart type.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul d'écart type

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande la dispersion d'une série

1 Calculer la moyenne et l'écrire EXACTE, sans arrondir.
2 Dresser les écarts à la moyenne et vérifier que leur somme est nulle.
3 Élever chaque écart au carré et additionner.
4 Diviser par l'effectif pour obtenir la variance, en nommant son unité au carré.
5 Prendre la racine, arrondir à la précision demandée, et écrire l'unité des données.

Phrase de conclusion

« La moyenne vaut $14{,}5$ . La somme des écarts est nulle, ce qui valide l'étape. La somme des carrés vaut $42$ , donc la variance vaut $5{,}25$ unité carrée et l'écart type $\sqrt{5{,}25}\approx 2{,}29$ unité. »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Sommer les écarts

Avant tout autre calcul, vérifier que la somme des écarts à la moyenne vaut exactement zéro.

$-2{,}5+0{,}5-0{,}5+3{,}5-3{,}5+1{,}5-1{,}5+2{,}5=0$ .
Comparer l'écart type au plus grand écart

L'écart type est toujours inférieur au plus grand écart observé, et supérieur au plus petit.

Écarts de $0{,}5$ à $3{,}5$ : un écart type de $2{,}29$ est plausible, un de $5{,}25$ ne l'est pas.
Vérifier le signe

Un écart type ou une variance négatifs sont impossibles : c'est le signe d'une soustraction faite à l'envers ou d'une valeur absolue oubliée.

Une racine de moyenne de carrés est toujours positive ou nulle.
Contrôler l'unité

L'écart moyen et l'écart type sont dans l'unité des données, la variance dans son carré.

$0{,}0173$ mm pour l'écart type, $0{,}0003$ mm carré pour la variance.

L'exercice type décortiqué

Les temps de cycle d'une presse

Un technicien chronomètre huit cycles d'une presse, en secondes : $42$ , $45$ , $41$ , $44$ , $43$ , $46$ , $42$ , $43$ . Calculez la moyenne, l'écart moyen et l'écart type, puis dites ce que cette dispersion implique pour une cadence annoncée à $83$ pièces à l'heure.

Les huit cycles autour de leur moyenne. L'écart type,

1{,}56

seconde, mesure la largeur typique de ce nuage.

Étape 1

Moyenne : $\dfrac{42+45+41+44+43+46+42+43}{8}=\dfrac{346}{8}=43{,}25$ secondes.

Pourquoi

On garde la valeur exacte, avec ses deux décimales : arrondir à $43$ ici fausserait les huit écarts et l'écart type de plusieurs centièmes.

Étape 2

Écarts : $-1{,}25$ , $1{,}75$ , $-2{,}25$ , $0{,}75$ , $-0{,}25$ , $2{,}75$ , $-1{,}25$ , $-0{,}25$ . Leur somme vaut $0$ .

Pourquoi

La somme nulle valide la moyenne : si elle ne tombe pas, c'est la moyenne qui est fausse, et tout le reste le serait aussi.

Étape 3

Écart moyen : la somme des valeurs absolues vaut $10{,}5$ , donc $\dfrac{10{,}5}{8}=1{,}3125$ seconde.

Pourquoi

En moyenne, un cycle s'écarte d'environ $1{,}3$ seconde des $43{,}25$ secondes moyennes. C'est déjà une information exploitable en planification.

Étape 4

Variance : la somme des carrés vaut $19{,}5$ , donc $\dfrac{19{,}5}{8}=2{,}4375$ seconde carrée. Écart type : $\sqrt{2{,}4375}\approx 1{,}56$ seconde.

Pourquoi

L'écart type dépasse l'écart moyen, comme toujours, parce que les deux cycles les plus longs pèsent au carré. On écrit l'unité au carré pour la variance : c'est ce qui rappelle qu'elle ne s'interprète pas.

Étape 5

Cadence : $\dfrac{3600}{43{,}25}\approx 83{,}2$ pièces à l'heure. Mais un cycle à la moyenne plus deux écarts types dure $43{,}25+2\times 1{,}56\approx 46{,}4$ secondes, ce qui ramène la cadence à $77{,}6$ pièces à l'heure.

Pourquoi

Annoncer $83$ pièces à l'heure, c'est promettre la moyenne. Une planification sérieuse retient une cadence un peu inférieure, précisément parce que la dispersion existe : c'est tout l'usage industriel de l'écart type.

Conclusion rédigée

Moyenne de $43{,}25$ s, écart moyen de $1{,}31$ s, écart type d'environ $1{,}56$ s : la cadence moyenne de $83$ pièces à l'heure tombe à environ $78$ dès qu'on tient compte de la dispersion.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de s'arrêter à la variance, $2{,}4375$ , et de l'annoncer comme écart type : le nombre serait en secondes CARRÉES et une fois et demie trop grand.

À savoir par cœur

• Écart moyen : moyenne des valeurs absolues des écarts.
• Sans valeur absolue, la somme des écarts vaut zéro.
• Variance : moyenne des carrés des écarts, unité au carré.
• Écart type : racine de la variance, unité des données.
• L'écart type dépasse presque toujours l'écart moyen.
• Toujours positif ou nul ; nul seulement si toutes les données sont égales.
• Une donnée aberrante gonfle surtout l'écart type.
• Décaler : la moyenne bouge, l'écart type non.
• Multiplier par $k$ : moyenne et écart type par $k$ , variance par $k^{2}$ .
• Même moyenne ne veut rien dire : c'est la dispersion qui décide.

Questions fréquentes

Pourquoi prend-on la valeur absolue dans l'écart moyen ?

Parce que la somme des écarts à la moyenne vaut toujours zéro : les écarts négatifs compensent exactement les positifs. Sans valeur absolue, la mesure serait nulle pour n'importe quelle série et ne dirait rien. On mesure un éloignement, pas un côté. L'écart type règle le même problème autrement, en élevant les écarts au carré.

Quelle différence entre variance et écart type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts, et l'écart type est sa racine carrée. La première s'exprime dans l'unité des données au carré, ce qui la rend inutilisable telle quelle ; la seconde revient à l'unité des données et se compare donc à la moyenne, à une tolérance ou à une cote. C'est pour cela que la racine est la dernière étape du calcul.

Pourquoi l'écart type est-il plus grand que l'écart moyen ?

Parce que le passage au carré amplifie les grands écarts : un écart deux fois plus grand compte quatre fois plus. Les données éloignées pèsent donc davantage dans l'écart type que dans l'écart moyen. Les deux mesures classent les séries dans le même ordre, mais pas avec la même intensité, et l'écart type réagit beaucoup plus à une valeur aberrante.

Que devient l'écart type si toutes les données augmentent de la même quantité ?

Il ne change pas. La moyenne augmente de cette quantité, donc chaque écart à la moyenne reste identique et la dispersion aussi : la série s'est déplacée en bloc. C'est le cas d'une erreur de calibration, qui se corrige sur la moyenne seule. En revanche, multiplier toutes les données par un facteur multiplie aussi l'écart type.

À quoi sert l'écart type en atelier ?

À juger la régularité d'un procédé et à la comparer à une tolérance. On regarde à combien d'écarts types les limites se trouvent de la moyenne : trois ou plus est considéré comme confortable. Il sert aussi à choisir entre deux fournisseurs ou deux machines de même moyenne, et à repérer une dérive, car un procédé bien réglé peut produire des rebuts si sa moyenne se déplace.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'écart moyen et l'écart type

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Nuage de points, corrélation et droites de régression

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices corrigés du chapitre Fiche : nuage de points et corrélation Tous les chapitres de TS 4 Tuteur au secondaire à Montréal

Vous cherchez un tuteur en math Technico-sciences à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On travaille sur des exercices du niveau réel des évaluations de quatrième secondaire, en séquence Technico-sciences.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli