Math TS, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : l'aire d'un triangle par la trigonométrie

Cette fiche de révision accompagne le dernier chapitre de géométrie du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : l'aire d'un triangle calculée par la trigonométrie.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le demi-produit par le sinus n'est que la formule de la base et de la hauteur, où la hauteur a été remplacée par ce qui la fabrique : de là vient l'exigence de l'angle compris.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Aire et volume des solidesSecondaire 3
2Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
3La similitude et l'isométrie des triangles
4Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

L'essentiel

La formule, et d'où elle vient

• $\mathcal{A}=\dfrac{a\,b\sin C}{2}$ , où $a$ et $b$ sont deux côtés et $C$ l'angle qu'ils FORMENT.
• Elle se démontre en une ligne : la hauteur relative à la base $a$ vaut $b\sin C$ , dans le petit triangle rectangle que la hauteur découpe. On retrouve donc $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ .
• DE LÀ VIENT L'EXIGENCE : seul l'angle compris entre les deux côtés fabrique la hauteur relative à la base choisie. Un angle pris ailleurs donne un nombre qui ne mesure rien.
• AVEC UN ANGLE DROIT, $\sin 90=1$ : la formule redonne le demi-produit des deux côtés de l'angle droit, qui sont justement la base et la hauteur.
• LA CALCULATRICE DOIT ÊTRE EN DEGRÉS. Le contrôle préalable est $\sin 30=0{,}5$ .

La hauteur issue de

C

vaut

b\sin A

: en la remplaçant dans la formule de la base et de la hauteur, on obtient le demi-produit par le sinus.

Ce que le sinus autorise, et ce qu'il cache

• LE SINUS D'UN ANGLE OBTUS EST POSITIF : la formule vaut pour tous les triangles. C'est le cosinus qui change de signe après $90$ degrés.
• $\sin(180-x)=\sin x$ : deux triangles de mêmes côtés et d'angles supplémentaires ont la même aire, bien qu'ils n'aient pas la même forme.
• CONSÉQUENCE : quand on remonte de l'aire à l'angle, il y a TOUJOURS deux réponses, une aiguë et une obtuse, sauf si la figure ou l'énoncé tranche. On écrit les deux.
• QUAND ON REMONTE À UN CÔTÉ, en revanche, il n'y a qu'une réponse : l'équation est du premier degré.
• UN SINUS SUPÉRIEUR À $1$ signale qu'aucun triangle ne convient : c'est une réponse acceptable, et il faut la dire.

Trois chemins vers une aire, et les figures composées

• HAUTEUR DONNÉE : formule élémentaire, $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ .
• DEUX CÔTÉS ET L'ANGLE COMPRIS : demi-produit par le sinus.
• TROIS CÔTÉS ET AUCUN ANGLE : on fabrique une hauteur par Pythagore, comme au chapitre précédent. La formule de Héron n'est pas au programme de la TS 4.
• DEUX ANGLES CONNUS débloquent souvent la situation : le troisième se déduit des $180$ degrés, et c'est lui qui est compris entre les côtés donnés.
• UN QUADRILATÈRE se coupe par une diagonale, et les deux aires s'additionnent. Quatre côtés seuls ne suffisent jamais : un quadrilatère se déforme, contrairement au triangle.
• UN PARALLÉLOGRAMME vaut le double du triangle : $\mathcal{A}=a\,b\sin\theta$ , avec n'importe lequel de ses deux angles, qui sont supplémentaires.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir l'angle

toute la question, et un nombre parfaitement crédible qui ne mesure rien

Ce qu'il ne faut pas écrire

Deux côtés de $8$ et $11$ et un angle de $65$ degrés opposé au côté de $8$ : l'aire vaut $44\sin 65$

Ce qu'il faut écrire

Non calculable en TS 4 : l'angle n'est pas COMPRIS entre les deux côtés

Pourquoi : Le sinus de l'angle compris fabrique la hauteur relative à la base formée par les deux côtés. Un angle pris ailleurs ne fabrique pas cette hauteur, et le produit obtenu n'a aucun sens géométrique. Trouver l'angle compris demanderait la loi des sinus, au programme de la cinquième secondaire : la réponse attendue est de le dire.

2. Remonter de l'aire à l'angle

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin C\approx 0{,}7143$ , donc $C\approx 45{,}58$ degrés

Ce qu'il faut écrire

$C\approx 45{,}58$ degrés OU $C\approx 134{,}42$ degrés

Deux côtés de

9

cm, deux angles supplémentaires, deux formes très différentes et pourtant la même aire : c'est pourquoi l'aire ne suffit pas à retrouver l'angle.

Pourquoi : Un angle et son supplément ont le même sinus, donc la touche inverse n'en rend qu'un sur les deux, toujours l'aigu. Les deux triangles correspondants ont la même aire et des formes très différentes. On garde les deux réponses, sauf si la figure montre un angle manifestement obtus ou si l'énoncé précise que le triangle est acutangle.

3. Traiter un angle obtus

1 à 2 points, et une aire négative livrée au correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'angle vaut $120$ degrés, donc son sinus est négatif et l'aire aussi

Ce qu'il faut écrire

$\sin 120=\sin 60\approx 0{,}866$ , et l'aire est positive

Pourquoi : C'est le COSINUS qui devient négatif entre $90$ et $180$ degrés, pas le sinus. Le sinus reste positif sur tout l'intervalle des angles d'un triangle, et il est même symétrique autour de $90$ degrés. Une aire négative est de toute façon impossible : c'est le contrôle de bon sens à faire avant d'écrire le résultat.

4. Appliquer la formule sans angle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Trois côtés de $5$ , $6$ et $7$ : l'aire vaut $\dfrac{5\times 6\times\sin 7}{2}$

Ce qu'il faut écrire

Sans angle, on fabrique une hauteur par Pythagore : l'aire vaut environ $14{,}70$

Pourquoi : La formule demande un ANGLE, et un côté n'en est pas un. Le geste correct est celui du chapitre précédent : on trace la hauteur sur la base de $7$ , on pose Pythagore dans les deux triangles rectangles obtenus, et la soustraction des deux égalités donne le pied. La formule de Héron, qui donnerait l'aire directement, arrive en cinquième secondaire.

5. Calculer l'aire d'un quadrilatère

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Un terrain à quatre côtés de $7$ , $9$ , $8$ et $6$ mètres : son aire se calcule avec les quatre côtés

Ce qu'il faut écrire

Impossible : un quadrilatère de côtés donnés se déforme. Il faut un angle ou une diagonale

Pourquoi : Trois côtés verrouillent un triangle, mais quatre côtés ne verrouillent pas un quadrilatère : il s'articule comme un cadre, et son aire varie. Avec un angle en plus, ou une diagonale, la figure se découpe en deux triangles dont les aires s'additionnent. C'est aussi pourquoi on triangule les charpentes.

6. Mélanger les unités

toute la question, et un résultat cent fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

Deux côtés de $1{,}2$ m et $90$ cm : l'aire vaut $\dfrac{1{,}2\times 90\times\sin 68}{2}$

Ce qu'il faut écrire

On convertit d'abord : $\dfrac{1{,}2\times 0{,}9\times\sin 68}{2}\approx 0{,}50$ mètre carré

Pourquoi : Les deux longueurs doivent être dans la même unité avant d'être multipliées, sans quoi le résultat n'est ni en mètres carrés ni en centimètres carrés. Dans un problème technique, on convertit tout en mètres dès la première ligne : la masse et le volume sortent alors directement dans les bonnes unités.

7. Arrondir avant la fin

1 point, et un écart qui grandit à chaque étape

Ce qu'il ne faut pas écrire

Aire $\approx 5{,}46$ mètres carrés, donc puissance $=190\times 5{,}46=1037$ watts

Ce qu'il faut écrire

On multiplie l'aire non arrondie : $190\times 5{,}4621\approx 1038$ watts

Pourquoi : Chaque arrondi intermédiaire se propage et s'amplifie quand on multiplie ensuite par de grands nombres. On garde les décimales en mémoire et l'on arrondit une seule fois, à la fin, à la précision demandée par l'énoncé.

Quelle méthode choisir

Quel chemin vers l'aire, selon les données

Un triangle ou une figure composée, et les mesures connues

Si On connaît une BASE et sa HAUTEUR → Formule élémentaire, sans trigonométrie

Exemple : $\dfrac{14\times 6}{2}=42$
Si On connaît DEUX CÔTÉS et l'ANGLE COMPRIS → Demi-produit par le sinus

Exemple : $\dfrac{9\times 13\times\sin 28}{2}\approx 27{,}46$
Si On connaît DEUX ANGLES et les deux côtés du troisième → Compléter à $180$ degrés, puis appliquer la formule

Exemple : $180-48-71=61$ , puis $54\sin 61\approx 47{,}23$
Si On connaît les TROIS CÔTÉS et aucun angle → Fabriquer une hauteur par Pythagore, puis formule élémentaire

Exemple : $5$ , $6$ , $7$ donne $h\approx 4{,}20$ et une aire d'environ $14{,}70$
Si L'angle donné n'est PAS compris entre les deux côtés → Dire que le problème dépasse les outils du niveau

Exemple : Deux côtés et un angle opposé : loi des sinus, donc TS 5
Si On connaît l'AIRE et cherche un CÔTÉ → Équation du premier degré : une seule réponse

Exemple : $24=2b$ donne $b=12$
Si On connaît l'AIRE et cherche un ANGLE → Isoler le sinus, puis donner les DEUX angles supplémentaires

Exemple : $\sin C\approx 0{,}7143$ donne $45{,}58$ ou $134{,}42$ degrés
Si La figure est un QUADRILATÈRE ou un PARALLÉLOGRAMME → Couper par une diagonale et additionner, ou doubler le triangle

Exemple : $a\,b\sin\theta$ pour le parallélogramme

La loi des sinus, la loi des cosinus et la formule de Héron ne sont pas au programme de la TS 4 : elles arrivent en TS 5. Tout ce chapitre tient dans une seule formule et dans le choix de l'angle.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul d'aire par la trigonométrie

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande une aire avec un angle dans les données

1 Nommer les deux côtés employés et VÉRIFIER par écrit que l'angle est compris entre eux.
2 Écrire la formule littérale, puis la même avec les valeurs, sans arrondir.
3 Donner le résultat arrondi à la précision demandée, avec son unité carrée.
4 Si l'inconnue est un angle, isoler le sinus et donner les DEUX angles possibles.
5 Ajouter un contrôle : ordre de grandeur, ou comparaison avec l'aire du rectangle qui contiendrait le triangle.

Phrase de conclusion

« Les côtés $AB=7$ et $BC=9$ forment l'angle $B$ , donc la formule s'applique : $\mathcal{A}=\dfrac{7\times 9\times\sin 96{,}4}{2}\approx 31{,}31$ mètres carrés. Contrôle : c'est un peu moins que la moitié de $63$ , ce qui est cohérent avec un sinus proche de $1$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que l'angle est compris

Avant tout calcul, pointer les deux côtés et l'angle sur la figure : l'angle doit être à leur intersection.

Deux côtés de $8$ et $11$ avec un angle opposé au $8$ : la formule ne s'applique pas.
Comparer au demi-produit

L'aire ne peut jamais dépasser la moitié du produit des deux côtés, puisque le sinus ne dépasse pas $1$ .

Avec des côtés de $9$ et $13$ , l'aire reste sous $58{,}5$ centimètres carrés.
Tester le second angle

Quand on a trouvé un angle à partir de l'aire, recalculer l'aire avec son supplément : on doit retomber sur la même valeur.

$\dfrac{10\times 14\times\sin 134{,}42}{2}=50$ , comme avec $45{,}58$ degrés.
Contrôler l'unité carrée

Une aire s'exprime toujours en unités carrées, et les deux longueurs doivent avoir été converties dans la même unité avant la multiplication.

$1{,}2$ m et $90$ cm deviennent $1{,}2$ m et $0{,}9$ m, pour une aire en mètres carrés.

L'exercice type décortiqué

Le versant triangulaire d'une toiture

Un versant de toiture a la forme d'un triangle. Le relevé donne deux côtés de $5{,}4$ mètres et $4{,}8$ mètres, et deux angles seulement, l'un de $38$ degrés et l'autre de $66$ degrés, ces deux angles n'étant PAS celui que forment les côtés mesurés. Calculez l'aire du versant, puis le coût de la membrane à $24$ dollars le mètre carré, en prévoyant $10$ pour cent de recouvrement.

L'angle de

76

degrés, obtenu par la somme des angles, est bien celui que forment les deux côtés mesurés : la formule s'applique alors directement.

Étape 1

Troisième angle : $180-38-66=76$ degrés.

Pourquoi

C'est la seule ligne qui débloque le problème. Sans elle, les données donnent deux côtés et des angles qui ne sont pas entre eux, cas que la quatrième secondaire ne sait pas traiter.

Étape 2

Cet angle de $76$ degrés est celui que forment les deux côtés mesurés, donc la formule s'applique : $\mathcal{A}=\dfrac{5{,}4\times 4{,}8\times\sin 76}{2}=12{,}96\sin 76\approx 12{,}58$ mètres carrés.

Pourquoi

On écrit explicitement que l'angle est COMPRIS entre les deux côtés : c'est la justification que le correcteur cherche, et elle vaut un point à elle seule.

Étape 3

Contrôle : l'aire doit rester sous la moitié du produit des côtés, soit $12{,}96$ mètres carrés.

Pourquoi

Le sinus ne dépasse jamais $1$ , donc l'aire ne dépasse jamais ce demi-produit. Ici $12{,}58$ est juste en dessous, ce qui est cohérent avec un angle proche de $90$ degrés.

Étape 4

Surface à commander avec $10$ pour cent de recouvrement : $12{,}575\times 1{,}10\approx 13{,}83$ mètres carrés.

Pourquoi

Une majoration de dix pour cent se fait en multipliant par $1{,}10$ , jamais en ajoutant dix. On garde la valeur non arrondie de l'aire pour cette étape.

Étape 5

Coût : $13{,}83\times 24\approx 331{,}98$ dollars, soit environ $332$ dollars.

Pourquoi

Sans le recouvrement, on aurait commandé pour $301{,}80$ dollars et il aurait manqué de la membrane : l'oubli de la majoration se voit sur le chantier, pas sur la copie.

Conclusion rédigée

Aire d'environ $12{,}58$ mètres carrés, $13{,}83$ mètres carrés à commander et environ $332$ dollars de membrane.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est d'employer directement l'un des deux angles donnés, $38$ ou $66$ degrés, avec les deux côtés mesurés : aucun des deux n'est compris entre eux, et l'aire obtenue serait fausse de près de moitié.

À savoir par cœur

• $\mathcal{A}=\dfrac{a\,b\sin C}{2}$ , avec $C$ COMPRIS entre $a$ et $b$ .
• La hauteur vaut $b\sin C$ : la formule n'est que base fois hauteur sur deux.
• Angle non compris : on ne peut rien faire en TS 4.
• Deux angles connus : le troisième se déduit des $180$ degrés.
• Le sinus d'un angle obtus est positif ; $\sin(180-x)=\sin x$ .
• Avec $\sin 90=1$ , on retrouve le demi-produit des côtés de l'angle droit.
• Remonter à un côté : une réponse. Remonter à un angle : DEUX réponses.
• Un sinus supérieur à $1$ : aucun triangle ne convient.
• Trois côtés sans angle : on fabrique une hauteur par Pythagore.
• Quadrilatère : couper par une diagonale. Parallélogramme : $a\,b\sin\theta$ .

Questions fréquentes

Pourquoi l'angle doit-il être compris entre les deux côtés ?

Parce que c'est son sinus qui fabrique la hauteur relative à la base choisie. Dans le petit triangle rectangle découpé par la hauteur, celle-ci vaut le côté multiplié par le sinus de l'angle qu'il forme avec la base. Un angle pris ailleurs ne décrit pas cette hauteur, et le produit obtenu ne mesure aucune aire.

Pourquoi y a-t-il deux réponses quand on cherche l'angle ?

Parce qu'un angle et son supplément ont exactement le même sinus. La touche inverse de la calculatrice n'en rend qu'un, toujours l'aigu, mais l'obtus convient tout autant : les deux triangles correspondants ont la même aire et des formes différentes. On donne les deux réponses, sauf si la figure ou l'énoncé permet d'en éliminer une.

Que faire si l'on ne connaît que les trois côtés ?

On revient au chapitre précédent : on trace une hauteur, on écrit le théorème de Pythagore dans chacun des deux triangles rectangles obtenus, et la soustraction des deux égalités donne la position du pied de la hauteur. On calcule ensuite la hauteur, puis l'aire par la formule élémentaire. La formule de Héron, qui ferait ce travail d'un coup, est au programme de la cinquième secondaire.

Comment calculer l'aire d'un terrain à quatre côtés ?

En le coupant par une diagonale : on obtient deux triangles, et les deux aires s'additionnent. Encore faut-il connaître, dans chaque triangle, deux côtés et l'angle compris. Les quatre côtés seuls ne suffisent jamais, parce qu'un quadrilatère s'articule et que son aire change sans que ses côtés changent.

La formule marche-t-elle aussi pour un angle obtus ?

Oui, sans aucune modification. Le sinus reste positif entre quatre-vingt-dix et cent quatre-vingts degrés, c'est le cosinus qui devient négatif. Mieux, le sinus d'un angle et celui de son supplément sont égaux, ce qui explique que deux triangles de mêmes côtés et d'angles supplémentaires aient exactement la même aire.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'aire d'un triangle par la trigonométrie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

La loi des sinus et la loi des cosinusSecondaire 5 TS Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 TS

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