Exercices corrigés : la loi des sinus et la loi des cosinus (math TS, secondaire 5)

On a la paire complète $(a\,;A)$, et l'on cherche $b$, dont on connaît l'angle opposé $B$ : la loi des sinus s'applique. $\dfrac{b}{\sin 71^{\circ}}=\dfrac{12}{\sin 42^{\circ}}$, donc $b=\dfrac{12\sin 71^{\circ}}{\sin 42^{\circ}}\approx\dfrac{12\times 0{,}9455}{0{,}6691}\approx 16{,}96$ cm. Contrôle de plausibilité : $B$ est plus grand que $A$, donc $b$ doit être plus grand que $a$, ce qui est le cas.

La somme des angles vaut $180^{\circ}$, donc $C=180-42-71=67^{\circ}$. Puis $c=\dfrac{12\sin 67^{\circ}}{\sin 42^{\circ}}\approx\dfrac{12\times 0{,}9205}{0{,}6691}\approx 16{,}51$ cm. On repart toujours de la paire DONNÉE, jamais d'une valeur qu'on vient de calculer : une erreur d'arrondi ne se propage pas ainsi.

La paire complète est $(a\,;A)$, et l'on connaît $b$ : on cherche $B$. $\dfrac{\sin B}{11}=\dfrac{\sin 95^{\circ}}{15}$, donc $\sin B=\dfrac{11\times 0{,}9962}{15}\approx 0{,}7305$ et $B\approx 46{,}9^{\circ}$. L'angle $A$ étant obtus, les deux autres sont forcément aigus : la solution obtuse de $\sin B=0{,}7305$ est donc à écarter, et il n'y a pas d'ambiguïté ici.

Non. On connaît deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux, donc aucun côté n'est accompagné de son angle opposé : la loi des sinus, qui égale des rapports côté sur sinus, ne peut pas démarrer. C'est exactement le cas où la loi des cosinus prend le relais. Le test se fait en trois secondes : cherche-t-on une paire côté-angle opposé complète ?

L'angle $A$ est compris entre $b$ et $c$ : la loi s'applique directement. $a^{2}=64+121-2\times 8\times 11\times\cos 52^{\circ}=185-176\times 0{,}6157=185-108{,}36=76{,}64$, donc $a\approx 8{,}75$ cm. Contrôle : $a$ doit être compris entre $11-8=3$ et $11+8=19$, ce qui est le cas.

On cherche l'angle opposé au plus grand côté : $169=49+81-2\times 7\times 9\cos C$, donc $169=130-126\cos C$ et $\cos C=\dfrac{130-169}{126}=\dfrac{-39}{126}\approx -0{,}3095$. Un cosinus NÉGATIF annonce un angle obtus : $C\approx 108{,}0^{\circ}$. Contrôle de plausibilité : le plus grand côté fait bien face au plus grand angle.

Avec $c^{2}=130$ : $130=49+81-126\cos C=130-126\cos C$, donc $\cos C=0$ et $C=90^{\circ}$. La loi des cosinus se réduit alors à $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, c'est-à-dire au théorème de Pythagore : celui-ci n'est qu'un cas particulier, celui où le terme correctif disparaît. C'est la meilleure façon de retenir la formule.

$225=36+49-2\times 6\times 7\cos C=85-84\cos C$, donc $\cos C=\dfrac{85-225}{84}=\dfrac{-140}{84}\approx -1{,}667$. Or un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ : aucun angle ne convient, donc le triangle N'EXISTE PAS. On pouvait le voir avant tout calcul par l'inégalité triangulaire : $6+7=13$, qui est inférieur à $15$. Un cosinus hors des bornes est toujours le signe d'un triangle impossible, et c'est une vérification gratuite.

Deux angles donnent le troisième par la somme à $180$ degrés, et le côté connu est forcément accompagné de son angle opposé : on a donc une paire complète. LOI DES SINUS. C'est la configuration la plus simple, et elle a toujours exactement une solution.

Aucun côté n'est accompagné de son angle opposé : la loi des sinus ne démarre pas. En revanche, l'angle est COMPRIS entre les deux côtés connus, ce qui est exactement la forme de la loi des cosinus. LOI DES COSINUS pour le troisième côté, puis loi des sinus pour la suite, puisqu'on dispose alors d'une paire.

Aucun angle n'est connu, donc aucune paire : LOI DES COSINUS, isolée pour donner un cosinus. On calcule d'abord l'angle opposé au PLUS GRAND côté : c'est lui qui pourrait être obtus, et le connaître évite toute ambiguïté sur les deux autres, forcément aigus.

On a bien une paire complète, si l'angle connu est opposé à l'un des deux côtés : LOI DES SINUS. Mais c'est le CAS AMBIGU, traité à l'exercice 4 : la fonction sinus prend la même valeur pour un angle et son supplémentaire, donc deux triangles peuvent convenir, ou un seul, ou aucun. C'est la seule configuration où il faut discuter.

$\dfrac{\sin B}{12}=\dfrac{\sin 40^{\circ}}{9}$, donc $\sin B=\dfrac{12\times 0{,}6428}{9}\approx 0{,}8571$. Les deux angles de ce sinus sont $B_{1}\approx 59{,}0^{\circ}$ et $B_{2}=180-59{,}0=121{,}0^{\circ}$.

Premier candidat : $40+59{,}0=99{,}0$, inférieur à $180$, donc $C\approx 81{,}0^{\circ}$, triangle valide. Second candidat : $40+121{,}0=161{,}0$, encore inférieur à $180$, donc $C\approx 19{,}0^{\circ}$, triangle valide aussi. Les DEUX triangles existent, et l'énoncé doit trancher par une autre information, par exemple « le triangle est obtus » ou une longueur imposée. La figure montre les deux positions possibles du troisième sommet.

$\sin B=\dfrac{9\times 0{,}6428}{14}\approx 0{,}4132$, donc $B_{1}\approx 24{,}4^{\circ}$ ou $B_{2}\approx 155{,}6^{\circ}$. Le second donne $40+155{,}6=195{,}6$, supérieur à $180$ : impossible. Un seul triangle. La règle rapide : quand le côté opposé à l'angle connu est le PLUS GRAND des deux, il n'y a jamais d'ambiguïté.

$\sin B=\dfrac{12\times 0{,}6428}{5}\approx 1{,}5428$, ce qui dépasse $1$ : aucun angle ne convient, donc AUCUN triangle. Géométriquement, le côté $a$ est trop court pour atteindre la base depuis le sommet. Un sinus supérieur à $1$ est toujours le signe d'une configuration impossible, exactement comme un cosinus hors de $[-1\,;1]$.

Deux côtés et l'angle compris : loi des cosinus. $c^{2}=100+196-2\times 10\times 14\cos 63^{\circ}=296-280\times 0{,}4540=296-127{,}12=168{,}88$, donc $c\approx 12{,}99$ cm. On a maintenant la paire $(c\,;C)$ : $\sin A=\dfrac{10\sin 63^{\circ}}{12{,}99}\approx 0{,}6859$, donc $A\approx 43{,}3^{\circ}$, et $B=180-63-43{,}3=73{,}7^{\circ}$. Contrôle : le plus petit côté fait bien face au plus petit angle.

Trois côtés : loi des cosinus, sur le plus grand côté d'abord. $121=36+64-2\times 6\times 8\cos C=100-96\cos C$, donc $\cos C=\dfrac{100-121}{96}\approx -0{,}21875$ et $C\approx 102{,}6^{\circ}$. Puis loi des sinus : $\sin A=\dfrac{6\sin 102{,}6^{\circ}}{11}\approx 0{,}5324$, donc $A\approx 32{,}2^{\circ}$, et $B=180-102{,}6-32{,}2=45{,}2^{\circ}$.

$102{,}6+32{,}2+45{,}2=180{,}0$ degrés. La somme doit toujours tomber juste, à l'arrondi près : un écart de plus d'un dixième signale une erreur, et c'est le contrôle le plus rapide de tout le chapitre.

Parce qu'un triangle a AU PLUS un angle obtus, et que c'est forcément le plus grand, donc celui qui fait face au plus grand côté. En le calculant en premier par la loi des cosinus, qui distingue sans ambiguïté un angle aigu d'un angle obtus grâce au signe du cosinus, on sait ensuite que les deux autres sont aigus : la loi des sinus peut alors être employée sans aucune discussion. Commencer par un petit angle obligerait à se demander, pour le suivant, s'il est aigu ou obtus.

Dans le triangle $ABC$, on connaît $AB=9$, $BC=7$ et l'angle compris $B=118^{\circ}$ : loi des cosinus. $AC^{2}=81+49-2\times 9\times 7\cos 118^{\circ}=130-126\times(-0{,}4695)=130+59{,}15=189{,}15$, donc $AC\approx 13{,}75$ m. Le cosinus d'un angle obtus étant négatif, le terme correctif s'AJOUTE : c'est cohérent, un angle ouvert écarte les extrémités.

L'inégalité triangulaire exige que chaque côté soit inférieur à la somme des deux autres. Ici $AC\approx 13{,}75$, et $6+11=17>13{,}75$ : la condition est remplie. Il faut aussi $11<6+13{,}75=19{,}75$ et $6<11+13{,}75$, tous deux vrais. Le triangle $ACD$ est donc constructible, et l'on peut poursuivre.

Dans le triangle $ACD$, on connaît les trois côtés, $AC\approx 13{,}75$, $CD=6$ et $DA=11$ : loi des cosinus, sur l'angle $D$ qui est compris entre $CD$ et $DA$. $189{,}15=36+121-2\times 6\times 11\cos D=157-132\cos D$, donc $\cos D=\dfrac{157-189{,}15}{132}\approx -0{,}2436$ et $D\approx 104{,}1^{\circ}$. Le cosinus négatif annonçait l'angle obtus, ce que la figure confirme.

On additionne les deux aires, chacune par la formule à deux côtés et l'angle compris. Triangle $ABC$ : $\dfrac{1}{2}\times 9\times 7\times\sin 118^{\circ}\approx 31{,}5\times 0{,}8829\approx 27{,}81$ mètres carrés. Triangle $ACD$ : $\dfrac{1}{2}\times 6\times 11\times\sin 104{,}1^{\circ}\approx 33\times 0{,}9699\approx 32{,}01$ mètres carrés. Total : environ $59{,}8$ mètres carrés. Découper par une diagonale est la méthode universelle pour un quadrilatère quelconque, et elle demande les deux lois plus la formule d'aire, vue en quatrième secondaire.

Impossible. L'INÉGALITÉ TRIANGULAIRE exige que chaque côté soit inférieur à la somme des deux autres : ici $5+9=14$, qui est inférieur à $17$. Les deux côtés courts ne peuvent pas se rejoindre au-dessus du long. Ce contrôle se fait sur le PLUS GRAND côté seulement, les deux autres étant alors automatiques.

Impossible. La SOMME DES ANGLES doit valoir exactement $180$ degrés, et ici elle vaut $70+65+50=185$. L'écart de cinq degrés est trop grand pour un arrondi : c'est une erreur de calcul. Ce contrôle est le plus rapide de tous, et il devrait être fait à la fin de chaque triangle résolu.

Impossible. Dans tout triangle, LE PLUS GRAND CÔTÉ FAIT FACE AU PLUS GRAND ANGLE. Si $a$ est le plus grand côté, $A$ doit être le plus grand angle, or ici $B=95^{\circ}$ le dépasse. La correspondance des rangs est un contrôle de cohérence gratuit : on classe les trois côtés, on classe les trois angles, et les deux classements doivent coïncider.

Un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$. Deux causes possibles : une erreur de calcul, par exemple un signe oublié dans $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, ou bien des données incompatibles, c'est-à-dire un triangle qui n'existe pas, comme à l'exercice 2 d). On vérifie d'abord l'inégalité triangulaire : si elle est respectée, c'est le calcul qu'il faut reprendre.

Les deux segments et l'angle compris : loi des cosinus. $p^{2}=5{,}2^{2}+3{,}1^{2}-2\times 5{,}2\times 3{,}1\cos 120^{\circ}=27{,}04+9{,}61-32{,}24\times(-0{,}5)=36{,}65+16{,}12=52{,}77$, donc $p\approx 7{,}26$ mètres. L'angle étant obtus, le terme correctif s'ajoute.

$p^{2}=36{,}65-32{,}24\times\cos 40^{\circ}=36{,}65-32{,}24\times 0{,}766=36{,}65-24{,}70=11{,}95$, donc $p\approx 3{,}46$ mètres. Le bras est presque replié : la portée est proche de la différence des deux segments, $5{,}2-3{,}1=2{,}1$ mètres, qui serait atteinte à zéro degré.

La portée croît avec l'angle, puisque $-\cos\theta$ croît de $-1$ à $1$ quand $\theta$ va de $0$ à $180$ degrés. Le maximum théorique est à $180$ degrés, bras tendu, et vaut $5{,}2+3{,}1=8{,}3$ mètres ; mais la plage s'arrête à $160$ degrés. Dans la plage, le maximum est donc à $160$ degrés : $p^{2}=36{,}65+32{,}24\times 0{,}9397=66{,}94$, soit $p\approx 8{,}18$ mètres. Répondre $180$ degrés sans regarder la plage est l'erreur de contexte typique.

On résout $49=36{,}65-32{,}24\cos\theta$, donc $\cos\theta=\dfrac{36{,}65-49}{32{,}24}=\dfrac{-12{,}35}{32{,}24}\approx -0{,}3831$, d'où $\theta\approx 112{,}5$ degrés. La valeur appartient bien à la plage $[40\,;160]$, donc le réglage est réalisable. Vérification : à $112{,}5$ degrés, la portée calculée redonne $7{,}00$ mètres.

Le plus grand angle fait face au plus grand côté, $560$ mm. Loi des cosinus : $560^{2}=340^{2}+410^{2}-2\times 340\times 410\cos C$, donc $313\,600=115\,600+168\,100-278\,800\cos C=283\,700-278\,800\cos C$, d'où $\cos C=\dfrac{283\,700-313\,600}{278\,800}\approx -0{,}10725$ et $C\approx 96{,}2$ degrés. Le cosinus négatif confirme l'angle obtus.

Loi des sinus : $\sin A=\dfrac{340\sin 96{,}2^{\circ}}{560}\approx 0{,}6036$, donc $A\approx 37{,}1$ degrés, et $B=180-96{,}2-37{,}1=46{,}7$ degrés. Contrôle de la somme : $96{,}2+37{,}1+46{,}7=180{,}0$ degrés. Contrôle des rangs : le côté de $410$ mm fait face à $46{,}7$ degrés et celui de $340$ mm à $37{,}1$ degrés, les classements coïncident.

La hauteur issue du sommet du plus grand angle tombe sur le côté de $560$ mm. L'aire vaut $\dfrac{1}{2}\times 340\times 410\times\sin 96{,}2^{\circ}\approx 69\,285$ mm², et aussi $\dfrac{1}{2}\times 560\times h$. Donc $h=\dfrac{2\times 69\,285}{560}\approx 247$ mm. Le gousset s'inscrit donc dans un rectangle de $560$ mm sur $247$ mm, ce qui tient dans une tôle de $600$ sur $400$ : la réponse est OUI, en posant le grand côté le long des $600$ mm.

Première méthode, deux côtés et l'angle compris : $\dfrac{1}{2}\times 340\times 410\times\sin 96{,}2^{\circ}\approx 69\,285$ mm². Seconde méthode, la formule de Héron avec $s=\dfrac{340+410+560}{2}=655$ : $\sqrt{655\times 315\times 245\times 95}\approx 69\,287$ mm². Les deux concordent à l'arrondi près, ce qui valide les angles trouvés. Disposer de deux méthodes indépendantes est le meilleur contrôle possible sur un calcul d'atelier.