Exercices corrigés : relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle (math TS, secondaire 4)

a) L'hypoténuse est la somme de ses deux morceaux : $BC=BH+CH=4+9=13$ cm. Cette première ligne paraît évidente, mais c'est elle qui rend toutes les autres possibles : trois des quatre relations font intervenir $BC$ en entier, et non l'un de ses morceaux.

b) La relation de la hauteur : $AH^{2}=BH\times CH=4\times 9=36$, donc $AH=6$ cm. On prend la racine POSITIVE, une longueur ne pouvant pas être négative. Cette relation est la plus facile à retenir, parce qu'elle ne fait intervenir que les deux morceaux : la hauteur est la moyenne géométrique des deux.

c) Pour le côté $AB$, on prend le morceau ADJACENT, c'est-à-dire $BH$, et l'hypoténuse ENTIÈRE : $AB^{2}=BH\times BC=4\times 13=52$, donc $AB=\sqrt{52}\approx 7{,}21$ cm. De même $AC^{2}=CH\times BC=9\times 13=117$, donc $AC=\sqrt{117}\approx 10{,}82$ cm. L'erreur classique est de multiplier les deux MORCEAUX, ce qui donnerait la hauteur au carré et non le côté au carré.

d) $AB\times AC=\sqrt{52}\times\sqrt{117}=\sqrt{52\times 117}=\sqrt{6084}=78$, et $BC\times AH=13\times 6=78$. L'égalité tient exactement. Elle n'a rien de mystérieux : les deux membres valent le DOUBLE DE L'AIRE du triangle, calculée une fois avec les deux côtés de l'angle droit, une fois avec l'hypoténuse et sa hauteur.

e) $AB^{2}+AC^{2}=52+117=169$, et $BC^{2}=13^{2}=169$. Pythagore est vérifié. Remarquez que les deux premières relations métriques le redonnent immédiatement : en les additionnant, $AB^{2}+AC^{2}=BH\times BC+CH\times BC=BC(BH+CH)=BC\times BC$. Le théorème de Pythagore est donc une conséquence des relations métriques, et pas seulement leur voisin.

a) L'angle $\alpha$ a pour côté opposé le $5$ et pour côté adjacent le $12$. Donc $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$ et $\tan\alpha=\dfrac{5}{12}$. La tangente ne fait pas intervenir l'hypoténuse : c'est le rapport des deux côtés de l'angle droit, et c'est ce qui en fait l'outil des pentes.

b) Pour $\beta$, les rôles s'échangent : le $12$ devient l'opposé et le $5$ l'adjacent. Donc $\sin\beta=\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac{5}{13}$ et $\tan\beta=\dfrac{12}{5}$. L'hypoténuse, elle, ne bouge pas : elle reste le $13$ dans les deux cas.

c) Le sinus de l'un est le cosinus de l'autre, et réciproquement. Les deux tangentes, elles, sont INVERSES l'une de l'autre : $\dfrac{5}{12}$ et $\dfrac{12}{5}$. C'est la conséquence du fait que les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : ils totalisent $90$ degrés, et chacun voit comme opposé ce que l'autre voit comme adjacent.

d) $\alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{5}{13}\right)\approx 22{,}6$ degrés et $\beta=\arcsin\!\left(\dfrac{12}{13}\right)\approx 67{,}4$ degrés. Leur somme vaut $90$ degrés, ce qui est le contrôle attendu : les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours complémentaires, puisque le troisième prend déjà $90$ des $180$ degrés.

e) Parce que « opposé » et « adjacent » sont des positions RELATIVES à un angle aigu, alors que l'hypoténuse est définie par rapport à l'ANGLE DROIT : c'est le côté qui lui fait face, et c'est toujours le plus long. Elle sert de référence commune, ce qui explique que le sinus et le cosinus soient toujours compris entre $0$ et $1$ : leur numérateur est un côté plus court que leur dénominateur.

a) Les deux angles aigus sont complémentaires : $C=90-32=58$ degrés. C'est gratuit, et cela double immédiatement les outils disponibles pour la suite.

b) Le côté $AC$ est OPPOSÉ à l'angle $B$ et $AB$ lui est ADJACENT : c'est donc la tangente qu'il faut, $\tan 32=\dfrac{AC}{8{,}4}$, d'où $AC=8{,}4\tan 32\approx 5{,}25$ cm. Pour $BC$, l'hypoténuse, on emploie le cosinus de $B$ : $\cos 32=\dfrac{8{,}4}{BC}$, donc $BC=\dfrac{8{,}4}{\cos 32}\approx 9{,}91$ cm. On aurait pu utiliser Pythagore une fois $AC$ connu, mais partir des données de l'énoncé évite de propager un arrondi.

c) L'aire donne la hauteur en une ligne : $\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{BC\times AH}{2}$, donc $AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}=\dfrac{8{,}4\times 5{,}2489}{9{,}9051}\approx 4{,}45$ cm. C'est la quatrième relation métrique, et c'est de loin le chemin le plus court : la trigonométrie donnerait la même chose en deux étapes.

d) Les deux premières relations métriques : $BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{70{,}56}{9{,}9051}\approx 7{,}12$ cm et $CH=\dfrac{AC^{2}}{BC}=\dfrac{27{,}551}{9{,}9051}\approx 2{,}78$ cm. Contrôle : $7{,}12+2{,}78=9{,}90$, ce qui est bien $BC$ à l'arrondi près. Ce contrôle est gratuit et il attrape les inversions de morceaux.

e) Angles complémentaires pour a), parce qu'on ne demandait qu'un angle. Tangente puis cosinus pour b), parce que ces deux rapports utilisent la donnée de l'énoncé, $AB$, sans passer par un résultat calculé. Relation de l'aire pour c), parce qu'elle relie directement ce qu'on vient d'obtenir. Relations métriques pour d), parce qu'elles vont de l'hypoténuse entière à ses morceaux. La règle générale : choisir l'outil qui emploie les valeurs les plus SÛRES, c'est-à-dire celles de l'énoncé.

a) $\theta=\arctan\!\left(\dfrac{3}{7}\right)=\arctan(0{,}428571\ldots)\approx 23{,}1986$, soit $23{,}2$ degrés. On tape la FRACTION dans la calculatrice, pas sa valeur décimale arrondie : c'est exactement ce que la question d) va mesurer.

b) $\theta=\arccos(0{,}62)\approx 51{,}6843$, soit $51{,}7$ degrés. Contrôle de vraisemblance : $\cos 60=0{,}5$ et $\cos 45\approx 0{,}707$, donc un cosinus de $0{,}62$ doit donner un angle entre $45$ et $60$ degrés. C'est le cas.

c) $\theta=\arcsin(0{,}94)\approx 70{,}0517$, soit $70{,}1$ degrés. Contrôle : un sinus proche de $1$ correspond à un angle proche de $90$ degrés, et $0{,}94$ en est assez proche.

d) Avec $0{,}43$ : $\arctan(0{,}43)\approx 23{,}2677$ degrés, soit $23{,}3$ degrés au dixième. L'écart d'angle n'est que de $0{,}07$ degré, ce qui paraît négligeable. Mais sur une base de $50$ mètres, la hauteur calculée passe de $50\tan(23{,}1986)\approx 21{,}4286$ m à $50\tan(23{,}2677)=21{,}5$ m : l'écart atteint $7{,}1$ centimètres. Sur un chantier, cela peut suffire à rater un raccord.

e) On garde toutes les décimales de la calculatrice pendant tout le calcul, en utilisant la mémoire ou la touche « réponse », et l'on n'arrondit qu'à la DERNIÈRE ligne, à la précision demandée par l'énoncé. Si un résultat intermédiaire doit être écrit sur la copie, on l'écrit arrondi mais on continue avec la valeur complète, et l'on signale l'arrondi par le signe « environ ».

a) Dans $ABC\sim HBA$, les côtés homologues donnent $\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}$. Le produit croisé donne $AB\times BA=HB\times BC$, c'est-à-dire $AB^{2}=BH\times BC$. Avec les valeurs de l'exercice 1 : $AB^{2}=4\times 13=52$. La relation dit toujours la même chose : un côté de l'angle droit au carré vaut le produit de SON morceau par l'hypoténuse ENTIÈRE.

b) Dans $ABC\sim HAC$ : $\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}$, donc $AC^{2}=HC\times BC$. Numériquement, $AC^{2}=9\times 13=117$. C'est la même relation que la précédente, vue de l'autre côté de la hauteur : les deux morceaux et les deux côtés se correspondent, et il suffit de ne pas les mélanger.

c) Les deux petits triangles sont semblables entre eux, l'angle droit étant en $H$ dans les deux et les angles aigus s'échangeant. On obtient $\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AH}{CH}$, donc $AH^{2}=BH\times CH$. Numériquement, $AH^{2}=4\times 9=36$, donc $AH=6$. La hauteur est la moyenne géométrique des deux morceaux.

d) L'aire du triangle se calcule de deux façons : avec les deux côtés de l'angle droit, $\dfrac{AB\times AC}{2}$, ou avec l'hypoténuse et sa hauteur, $\dfrac{BC\times AH}{2}$. En égalant et en multipliant par $2$ : $AB\times AC=BC\times AH$. Numériquement, $\sqrt{52}\times\sqrt{117}=78$ et $13\times 6=78$.

e) Parce qu'elles se retrouvent toutes en une minute, à partir de la figure et du chapitre précédent : on repère les triangles semblables, on écrit une proportion dans l'ordre des sommets homologues, on fait le produit croisé. C'est la meilleure assurance contre l'erreur la plus fréquente, qui consiste à multiplier les deux morceaux entre eux pour obtenir un côté : la proportion, elle, ne se trompe jamais de longueur.

a) On applique la réciproque du théorème de Pythagore au plus grand côté : $7^{2}+9^{2}=49+81=130$, alors que $12^{2}=144$. Les deux nombres diffèrent, donc le triangle n'est PAS rectangle. Comme $130<144$, l'angle opposé au côté de $12$ est même obtus, mais cela dépasse le programme : il suffit de conclure qu'il n'y a pas d'angle droit.

b) Non. Les mots « opposé », « adjacent » et surtout « hypoténuse » n'ont de sens que dans un triangle RECTANGLE : l'hypoténuse est le côté qui fait face à l'angle droit, et il n'y en a pas ici. Écrire un rapport trigonométrique dans un triangle quelconque est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle donne un nombre qui a l'air correct.

c) On note $BH=x$, donc $CH=12-x$. La hauteur crée deux triangles rectangles, et Pythagore s'écrit dans chacun : $x^{2}+AH^{2}=49$ et $(12-x)^{2}+AH^{2}=81$. On soustrait les deux égalités, ce qui élimine $AH^{2}$ : $144-24x=32$, donc $x=\dfrac{112}{24}\approx 4{,}67$ cm. On remonte : $AH^{2}=49-4{,}6667^{2}=27{,}2222$, donc $AH\approx 5{,}22$ cm.

d) L'aire vaut $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}=\dfrac{12\times 5{,}2175}{2}\approx 31{,}30$ centimètres carrés. C'est le seul chemin disponible en quatrième secondaire pour un triangle quelconque dont on ne connaît que les côtés : la formule d'aire par la trigonométrie, elle, demande un ANGLE, et elle fait l'objet du chapitre suivant.

e) Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, et l'on y connaît maintenant tout : $\cos B=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{4{,}6667}{7}\approx 0{,}6667$, donc $B\approx 48{,}2$ degrés. C'est la méthode générale du niveau : on ne calcule jamais un angle dans un triangle quelconque, on découpe d'abord la figure en triangles rectangles avec une hauteur. La loi des cosinus, qui ferait le calcul d'un coup, est au programme de la cinquième secondaire.

a) La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles de côtés $12$ et $5$ : $d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{169}=13$ cm. L'angle avec le grand côté a pour tangente $\dfrac{5}{12}$, donc il vaut $\arctan\!\left(\dfrac{5}{12}\right)\approx 22{,}6$ degrés. C'est le triangle de l'exercice 2, retrouvé dans une figure du quotidien.

b) On abaisse la hauteur depuis le sommet du petit côté : elle découpe un rectangle de $6$ cm de base et un triangle rectangle dont la base vaut $10-6=4$ cm et la hauteur $4$ cm. Le côté oblique est donc $\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}\approx 5{,}66$ cm, et son angle avec la grande base vaut $\arctan\!\left(\dfrac{4}{4}\right)=45$ degrés. La différence des bases est la seule donnée qui compte, et l'oublier est l'erreur classique du trapèze.

c) Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu : elles fabriquent quatre triangles rectangles dont l'hypoténuse est un côté du losange. Une demi-diagonale vaut $8$ cm, donc l'autre vaut $\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{36}=6$ cm, et la diagonale entière mesure $12$ cm. L'aire d'un losange est le demi-produit des diagonales : $\dfrac{16\times 12}{2}=96$ centimètres carrés.

d) La hauteur issue du sommet principal d'un triangle isocèle tombe au MILIEU de la base, puisqu'elle en est aussi la médiatrice. Elle crée un triangle rectangle de base $5$ cm et d'hypoténuse $13$ cm : $h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=12$ cm. L'aire vaut $\dfrac{10\times 12}{2}=60$ centimètres carrés.

e) Diagonale pour le rectangle, hauteur pour le trapèze et pour le triangle isocèle, demi-diagonales pour le losange. Ce qu'elles ont en commun : chacune FABRIQUE un angle droit là où il n'y en avait pas encore d'utilisable, et ramène la figure à des triangles rectangles, seuls outils du chapitre. C'est le réflexe à avoir devant n'importe quelle figure : chercher où tracer la ligne qui crée l'angle droit.

a) Faux. Dans un triangle rectangle, le sinus est le rapport d'un côté de l'angle droit à l'hypoténuse, et l'hypoténuse est le PLUS LONG des trois côtés : le rapport est donc toujours compris entre $0$ et $1$. Une calculatrice qui refuse un $\arcsin(1{,}2)$ ne tombe pas en panne, elle signale une donnée impossible. L'énoncé correct : $0<\sin\theta<1$ pour un angle aigu.

b) Faux. La tangente est le rapport de l'OPPOSÉ à l'ADJACENT, les deux côtés de l'angle droit : elle ne fait jamais intervenir l'hypoténuse. C'est pour cela qu'elle peut dépasser $1$, contrairement au sinus et au cosinus, et c'est elle qu'on emploie pour les pentes. L'énoncé correct : $\tan\theta=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.

c) Faux : c'est la MÉDIANE issue de l'angle droit qui vaut la moitié de l'hypoténuse, pas la hauteur. Contre-exemple immédiat avec le triangle de l'exercice 1 : l'hypoténuse mesure $13$ et la hauteur $6$, alors que la moitié vaudrait $6{,}5$. Les deux coïncident dans un seul cas, le triangle rectangle ISOCÈLE.

d) Faux. Les quatre relations métriques viennent de la hauteur issue de l'ANGLE DROIT et des trois triangles semblables qu'elle fabrique : sans angle droit, rien de tout cela n'existe. Dans un triangle quelconque, on trace une hauteur pour se ramener à deux triangles rectangles, et l'on travaille dans chacun séparément. L'énoncé correct : ces relations sont réservées au triangle rectangle.

e) Faux : il manque l'hypoténuse ENTIÈRE. La relation juste est $AB^{2}=BH\times BC$, le morceau adjacent multiplié par l'hypoténuse complète. Le produit $BH\times HC$ des deux morceaux, lui, donne le carré de la HAUTEUR. Contrôle numérique avec l'exercice 1 : $4\times 9=36=6^{2}$, et non $52$, qui est bien $4\times 13$.

a) Une pente de $2$ pour cent est un rapport : $\dfrac{\text{descente}}{\text{horizontale}}=0{,}02$. Donc la descente vaut $0{,}02\times 18=0{,}36$ mètre, soit $36$ centimètres. On reconnaît la définition de la TANGENTE de l'angle : une pente en pour cent est une tangente déguisée, écrite en centièmes.

b) $\tan\theta=0{,}02$, donc $\theta=\arctan(0{,}02)\approx 1{,}15$ degré. L'angle est minuscule, et c'est normal : les pentes d'évacuation sont faibles, sans quoi l'eau s'écoulerait plus vite que les matières solides qu'elle transporte, ce qui bouche les conduites.

c) La longueur réelle est l'hypoténuse : $L=\sqrt{18^{2}+0{,}36^{2}}=\sqrt{324{,}1296}\approx 18{,}004$ mètres. L'écart avec la projection horizontale n'est que de $3{,}6$ millimètres sur $18$ mètres, soit $0{,}02$ pour cent de la longueur.

d) La hauteur disponible limite la descente totale : $0{,}25$ mètre au maximum. À $2$ pour cent, la longueur horizontale correspondante est $\dfrac{0{,}25}{0{,}02}=12{,}5$ mètres. Au-delà, il faudrait réduire la pente, et la norme du $1$ pour cent donne alors la limite absolue : $\dfrac{0{,}25}{0{,}01}=25$ mètres.

e) Parce que l'angle est très petit, et que le cosinus d'un petit angle est très proche de $1$ : ici $\cos(1{,}15\ \text{degré})\approx 0{,}9998$. La projection horizontale vaut donc $99{,}98$ pour cent de la longueur réelle, un écart inférieur à l'épaisseur d'un joint. La confusion devient inacceptable dès que la pente grandit : à $30$ degrés, la projection ne vaut plus que $87$ pour cent de la longueur.

a) Le triangle formé par le sol, le montant et le convoyeur est rectangle, l'angle droit étant au pied du montant. La hauteur est le côté OPPOSÉ à l'angle cherché et le convoyeur est l'hypoténuse : c'est donc le sinus. $\sin\theta=\dfrac{2{,}4}{7{,}5}=0{,}32$, donc $\theta\approx 18{,}66$ degrés.

b) Pythagore donne la portée : $\sqrt{7{,}5^{2}-2{,}4^{2}}=\sqrt{56{,}25-5{,}76}=\sqrt{50{,}49}\approx 7{,}11$ mètres. On pouvait aussi employer le cosinus, $7{,}5\cos(18{,}66)$, mais Pythagore n'utilise que les données de l'énoncé et évite un arrondi intermédiaire.

c) Le renfort est la HAUTEUR issue de l'angle droit, dans le triangle rectangle formé par le sol, le montant et le convoyeur. La relation de l'aire donne directement sa longueur : $\text{renfort}=\dfrac{2{,}4\times 7{,}1056}{7{,}5}\approx 2{,}27$ mètres. C'est plus court que le montant vertical, ce qui est logique : la perpendiculaire est le plus court chemin d'un point à une droite.

d) La relation métrique sur le morceau : le segment mesuré depuis le pied du convoyeur vaut $\dfrac{\text{portée}^{2}}{\text{convoyeur}}=\dfrac{50{,}49}{7{,}5}\approx 6{,}73$ mètre. L'autre morceau, du côté de la plateforme, vaut $\dfrac{2{,}4^{2}}{7{,}5}=0{,}768$ mètre. Contrôle : $6{,}732+0{,}768=7{,}5$, la longueur totale du convoyeur.

e) La relation de la hauteur : $\text{renfort}^{2}=6{,}732\times 0{,}768\approx 5{,}170$, donc le renfort vaut $\sqrt{5{,}170}\approx 2{,}27$ mètre. On retrouve exactement la réponse de la question c), obtenue par un tout autre chemin. Deux méthodes indépendantes qui concordent, c'est la meilleure vérification possible avant de couper l'acier.