Exercices corrigés : les figures et les solides équivalents (math TS, secondaire 5)

a) Aires : $6^{2}=36$ cm² et $4\times 9=36$ cm². Elles sont donc ÉQUIVALENTES. Périmètres : $4\times 6=24$ cm et $2(4+9)=26$ cm. Ils DIFFÈRENT. L'équivalence porte sur l'aire seule, jamais sur le périmètre, et c'est la première chose à comprendre du chapitre.

b) Le cube a un volume de $10^{3}=1000$ cm³. Pour le cylindre, $\pi\times 5^{2}\times h=1000$, donc $h=\dfrac{1000}{25\pi}=\dfrac{40}{\pi}\approx 12{,}73$ cm. On garde $\pi$ en exact jusqu'au dernier calcul, ce qui évite l'arrondi intermédiaire.

c) NON. Le cube de b) a une aire totale de $6\times 100=600$ cm². Le cylindre a une aire de $2\pi\times 25+2\pi\times 5\times 12{,}73\approx 157{,}08+400=557{,}08$ cm². Deux solides équivalents, deux aires différentes : le cylindre demande moins de matière que le cube pour contenir autant.

d) NON plus, et c'est la troisième notion du chapitre. Un cube de $600$ cm² d'aire totale a une arête de $10$ cm et contient $1000$ cm³ ; une sphère de $600$ cm² d'aire a un rayon de $\sqrt{\dfrac{600}{4\pi}}\approx 6{,}91$ cm et contient environ $1382$ cm³, soit trente-huit pour cent de plus. À aire totale fixée, c'est toujours la SPHÈRE qui contient le plus.

a) $A=\pi r^{2}=25\pi\approx 78{,}54$ cm². On garde la valeur exacte pour la mise en équation et on n'arrondit qu'à la fin.

b) Le périmètre donne $2(L+\ell)=40$, donc $L+\ell=20$. L'équivalence donne $L\ell=25\pi\approx 78{,}54$. Deux nombres dont on connaît la SOMME $s$ et le PRODUIT $p$ sont les racines de $x^{2}-sx+p=0$, donc de $x^{2}-20x+78{,}54=0$. Cette forme est plus rapide que la substitution, et elle évite une erreur de signe.

c) Discriminant : $\Delta=400-4\times 78{,}54=400-314{,}16=85{,}84$, dont la racine vaut $9{,}265$. Les racines sont $\dfrac{20\pm 9{,}265}{2}$, soit $14{,}63$ cm et $5{,}37$ cm. Contrôle : leur somme fait $20$ et leur produit $78{,}56$, à l'arrondi près.

d) NON. Avec un périmètre de $30$ cm, la somme vaut $15$ et le produit reste $78{,}54$ : $\Delta=225-314{,}16=-89{,}16$, NÉGATIF. Aucun rectangle de $30$ cm de périmètre n'a une aire de $78{,}54$ cm², et la raison est géométrique : à périmètre fixé, l'aire maximale est celle du CARRÉ, ici $7{,}5^{2}=56{,}25$ cm², bien en dessous de $78{,}54$. Le discriminant et la géométrie disent la même chose.

a) $V=\pi r^{2}h=\pi\times 36\times 15=540\pi\approx 1696{,}46$ cm³.

b) $a^{3}=1696{,}46$, donc $a=\sqrt[3]{1696{,}46}\approx 11{,}93$ cm. Sur une calculatrice, on utilise la touche de racine cubique ou l'exposant $\dfrac{1}{3}$, jamais la racine carrée : celle-ci donnerait $41{,}19$, une arête absurde pour un volume de moins de deux litres. Contrôle immédiat : $11{,}93^{3}\approx 1697$.

c) $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=1696{,}46$, donc $r^{3}=\dfrac{3\times 1696{,}46}{4\pi}\approx 405{,}00$ et $r\approx 7{,}40$ cm. On isole d'abord le CUBE, entièrement, avant de prendre la racine : prendre la racine cubique des deux membres trop tôt est la faute classique.

d) Cylindre : $2\pi\times 36+2\pi\times 6\times 15=72\pi+180\pi=252\pi\approx 791{,}68$ cm². Cube : $6\times 11{,}93^{2}\approx 853{,}45$ cm². Sphère : $4\pi\times 7{,}40^{2}\approx 687{,}88$ cm². C'est la SPHÈRE qui demande le moins de matière, et ce n'est pas un hasard : à volume fixé, la sphère est la forme d'aire minimale, ce qui explique la forme des gouttes et celle des réservoirs de gaz sous pression.

a) $6a^{2}=600$ donne $a^{2}=100$ et $a=10$ cm, la racine positive seule ayant un sens. Volume : $10^{3}=1000$ cm³.

b) $4\pi r^{2}=600$ donne $r^{2}=\dfrac{150}{\pi}\approx 47{,}746$ et $r\approx 6{,}91$ cm. Volume : $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\approx 1382{,}0$ cm³. On garde $r^{2}$ en mémoire plutôt que le $r$ arrondi : sinon le volume perd un centimètre cube ou deux.

c) Avec $h=2r$, l'aire totale vaut $2\pi r^{2}+2\pi r\times 2r=6\pi r^{2}=600$, donc $r^{2}=\dfrac{100}{\pi}\approx 31{,}831$ et $r\approx 5{,}64$ cm, $h\approx 11{,}28$ cm. Volume : $\pi r^{2}h\approx 1128{,}4$ cm³. Le cylindre dont la hauteur vaut le diamètre est appelé ÉQUILATÈRE, et c'est le cylindre le plus efficace à aire fixée.

d) Sphère $1382{,}0$, puis cylindre $1128{,}4$, puis cube $1000$ cm³. La règle : à AIRE TOTALE FIXÉE, plus un solide est proche de la sphère, plus il contient. C'est l'énoncé réciproque de celui de l'exercice 3, où la sphère demandait le moins de matière à volume fixé, et les deux ne sont qu'une seule et même propriété lue dans les deux sens.

a) Les aires sont dans le rapport $k^{2}=4$, les volumes dans le rapport $k^{3}=8$. Doubler toutes les dimensions QUADRUPLE l'aire et OCTUPLE le volume : c'est pour cela qu'un modèle réduit à l'échelle un demi ne pèse qu'un huitième de l'original.

b) OUI, mais seulement si $k^{3}=1$, donc si $k=1$ : les deux solides sont alors ISOMÉTRIQUES, c'est-à-dire superposables. Deux solides semblables de rapport différent de $1$ ne peuvent jamais être équivalents, puisque leurs volumes sont dans un rapport différent de $1$.

c) NON. Ils sont ÉQUIVALENTS, puisqu'ils ont le même volume, mais ils ne sont pas semblables : la similitude exige la même FORME, et un cube n'a pas la forme d'un cylindre. L'équivalence ne dit rien de la forme, elle ne compare qu'un nombre.

d) La masse est proportionnelle au VOLUME, à matière égale, donc elle est multipliée par $1{,}2^{3}=1{,}728$ : elle augmente de $72{,}8$ pour cent. Répondre « vingt pour cent » est l'erreur classique, et elle coûte cher en conception mécanique : un agrandissement modeste des cotes alourdit lourdement la pièce.

a) L'apothème est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la hauteur et le rayon : $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ cm. C'est le triangle $6$-$8$-$10$, et il faut le reconnaître d'un coup d'oeil.

b) Aire latérale d'un cône : $\pi r\times\text{apothème}=\pi\times 6\times 10=60\pi\approx 188{,}50$ cm². Base : $\pi\times 36=36\pi$. Aire totale : $96\pi\approx 301{,}59$ cm². Volume : $\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\times 36\times 8=96\pi\approx 301{,}59$ cm³.

c) Les deux nombres sont ÉGAUX, $96\pi$, et pourtant les grandeurs n'ont rien à voir : l'une est en centimètres CARRÉS, l'autre en centimètres CUBES. C'est une coïncidence numérique due aux dimensions choisies, et elle enseigne la bonne leçon : un nombre sans unité ne veut rien dire. Une copie qui écrit « $301{,}59$ » sans préciser ne peut pas être corrigée.

d) L'apothème de la pyramide se calcule avec la DEMI-base, $6$ cm, et la hauteur : $\sqrt{36+64}=10$ cm. Aire latérale : quatre triangles de base $12$ et de hauteur $10$, soit $4\times\dfrac{12\times 10}{2}=240$ cm². Base : $144$ cm². Aire totale : $384$ cm². Volume : $\dfrac{1}{3}\times 144\times 8=384$ cm³. Même coïncidence, même leçon. Notez que l'apothème se calcule avec la DEMI-base, jamais avec le côté entier.

a) L'ORDRE DE GRANDEUR. Le cylindre contient $1696{,}46$ cm³. Un cube de $41{,}19$ cm d'arête en contiendrait $41{,}19^{3}\approx 69\,884$ cm³, soit quarante fois trop. L'élève a pris une racine carrée au lieu d'une racine cubique. L'arête correcte est $11{,}93$ cm, et on pouvait l'encadrer de tête : le cube doit être un peu plus large que le cylindre, mais du même ordre.

b) LA BORNE INFÉRIEURE. L'aire TOTALE d'un cône vaut au moins l'aire de sa base, $36\pi\approx 113{,}10$ cm², et même bien davantage. Mais surtout, la valeur proposée, $263{,}89$, correspond à $\pi\times 6\times 8+36\pi$, c'est-à-dire à un calcul fait avec la HAUTEUR au lieu de l'APOTHÈME. La bonne valeur est $96\pi\approx 301{,}59$ cm².

c) L'UNITÉ. Un volume s'exprime en centimètres CUBES, jamais en centimètres carrés. La valeur $2000$ est juste, puisqu'un litre vaut $1000$ cm³, mais l'unité est fausse et la réponse est comptée fausse. C'est le contrôle le plus rapide de tous, et le plus souvent oublié.

d) LE CONTRE-EXEMPLE. Un cube de $10$ cm d'arête et un cylindre de $5$ cm de rayon et $12{,}73$ cm de hauteur ont tous deux un volume de $1000$ cm³, donc ils sont équivalents. Leurs aires totales valent $600$ cm² et $557{,}08$ cm² : elles diffèrent. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale, et c'est toujours le moyen le plus court.

a) Le rayon vaut $\dfrac{300}{2}=150$ mm, donc $A=\pi\times 150^{2}=22\,500\pi\approx 70\,686$ mm². Diviser le diamètre par deux avant toute chose est la première ligne obligatoire.

b) Section équivalente : $150\times\ell=70\,686$, donc $\ell=\dfrac{70\,686}{150}\approx 471$ mm. Contrôle : $150\times 471=70\,650$ mm², à l'arrondi près. En pratique le ferblantier commanderait du $150$ sur $475$, la tôle se fabriquant par pas de $25$ mm.

c) Périmètre du rond : $\pi\times 300\approx 942{,}5$ mm. Périmètre du rectangle : $2(150+471{,}2)=1242{,}4$ mm. L'augmentation vaut $\dfrac{1242{,}4-942{,}5}{942{,}5}\approx 0{,}318$, soit $31{,}8$ pour cent. À section équivalente, le conduit plat consomme donc près d'un tiers de tôle en plus : l'équivalence des AIRES n'entraîne pas celle des PÉRIMÈTRES, et c'est le cercle qui minimise le périmètre à aire fixée.

d) En théorie oui, la section de passage étant la même. En pratique NON, pas tout à fait : le frottement de l'air dépend du périmètre mouillé, plus grand ici de trente-deux pour cent, donc la perte de charge augmente et le débit réel baisse un peu à ventilateur identique. L'équivalence mathématique est une condition nécessaire, pas suffisante, et c'est exactement ce que le technicien doit savoir dire.

a) $V=\pi\times 25\times 20=500\pi\approx 1570{,}80$ cm³. $A=2\pi r^{2}+2\pi rh=50\pi+200\pi=250\pi\approx 785{,}40$ cm². Notez, une dernière fois, que les deux nombres n'ont pas la même unité malgré leur air de famille.

b) Huit tubes semblables de même volume total : chacun contient $\dfrac{V}{8}$, donc $k^{3}=\dfrac{1}{8}$ et $k=\dfrac{1}{2}$. Les dimensions sont donc la MOITIÉ : $r=2{,}5$ cm et $h=10$ cm. Contrôle : $8\times\pi\times 6{,}25\times 10=500\pi$, le volume total est bien conservé.

c) Aire d'un tube : $2\pi\times 6{,}25+2\pi\times 2{,}5\times 10=12{,}5\pi+50\pi=62{,}5\pi$. Pour huit tubes : $500\pi\approx 1570{,}80$ cm². C'est exactement le DOUBLE de $250\pi$. Le raisonnement général : chaque tube a une aire $k^{2}=\dfrac{1}{4}$ de l'originale, et il y en a huit, donc l'aire totale est multipliée par $8\times\dfrac{1}{4}=2$, qui est bien $\sqrt[3]{8}$.

d) Avec $n$ tubes semblables de volume total constant, $k=\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}$ et l'aire totale est multipliée par $n\,k^{2}=\sqrt[3]{n}$. Pour doubler encore, il faut $\sqrt[3]{n}=4$ par rapport au cylindre unique, donc $n=64$ tubes. Diviser par huit ne double l'aire qu'une fois : c'est pourquoi un échangeur industriel compte des centaines de tubes très fins et non quelques gros, et c'est aussi pourquoi un radiateur porte des ailettes.