Math TS, secondaire 5 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : les figures et les solides équivalents

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des figures et des solides équivalents du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : les trois sens du mot, la recherche d'une mesure manquante, la similitude et les unités.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

« Équivalent » n'a pas un sens mais TROIS, selon l'objet : même AIRE pour deux figures planes, même VOLUME pour deux solides, même AIRE TOTALE pour deux solides dits de même aire. Aucun n'implique les autres, et la première ligne d'une résolution doit dire lequel des trois l'énoncé demande.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Aire et volume des solidesSecondaire 3
2Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
3La similitude et l'isométrie des trianglesSecondaire 4 TS
4Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS

L'essentiel

Les trois sens du mot

• FIGURES ÉQUIVALENTES : même AIRE. Rien n'est dit du périmètre, qui diffère presque toujours.
• SOLIDES ÉQUIVALENTS : même VOLUME. Rien n'est dit de l'aire totale.
• SOLIDES DE MÊME AIRE : même AIRE TOTALE. Rien n'est dit du volume.
• Aucune des trois notions n'implique les autres, et la première ligne d'une résolution doit dire laquelle l'énoncé demande.

Deux figures équivalentes, et pourtant deux périmètres différents. À aire fixée, c'est le carré qui a le plus petit périmètre parmi les rectangles.

Retrouver une mesure manquante

• L'inconnue est une LONGUEUR d'un solide : on isole le cube, entièrement, puis on prend la racine CUBIQUE. La touche de racine carrée donne un résultat absurde, détectable d'un coup d'oeil.
• L'équivalence s'ajoute à un PÉRIMÈTRE : les deux dimensions sont les racines de $x^{2}-sx+p=0$ , où $s$ est la demi-somme du périmètre et $p$ l'aire.
• Un DISCRIMINANT NÉGATIF signifie qu'aucun rectangle ne convient. La géométrie le confirme : à périmètre fixé, l'aire ne peut pas dépasser celle du carré.
• À VOLUME fixé, la sphère a l'AIRE MINIMALE. À AIRE fixée, elle a le VOLUME MAXIMAL. C'est la même propriété lue dans les deux sens.

Similitude, apothème et unités

• SIMILITUDE de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ . Deux solides semblables sont équivalents seulement si $k=1$ .
• ÉQUIVALENT n'est PAS semblable : un cube et un cylindre de même volume sont équivalents sans avoir la même forme.
• APOTHÈME contre HAUTEUR : la hauteur sert au VOLUME, l'apothème à l'AIRE latérale, et Pythagore relie les deux. Dans une pyramide, l'apothème se calcule avec la DEMI-base.
• UNITÉS : le facteur entre deux unités de volume est le CUBE du facteur entre les unités de longueur. Un litre vaut $1000$ cm³, un mètre cube vaut $1\,000\,000$ cm³.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Croire que l'équivalence impose le même périmètre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Ces deux figures ont la même aire, donc le même périmètre »

Ce qu'il faut écrire

$36$ cm² chacune, mais $24$ cm et $26$ cm

Pourquoi : L'équivalence ne porte que sur l'AIRE. Contre-exemple : un carré de $6$ cm de côté et un rectangle de $4$ sur $9$ . À aire fixée, le périmètre varie beaucoup, et il est minimal pour le carré parmi les rectangles, pour le cercle parmi toutes les figures.

2. Prendre une racine carrée au lieu d'une racine cubique

toute la question, et un solide quarante fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

$a^{3}=1696{,}46$ donne $a=41{,}19$

Ce qu'il faut écrire

$a\approx 11{,}93$

Pourquoi : La calculatrice offre la racine carrée en touche directe, la cubique demande un geste de plus. Le contrôle est immédiat : $41{,}19^{3}$ vaut près de $70\,000$ , quarante fois le volume cherché. Un ordre de grandeur se vérifie toujours avant d'écrire la réponse.

3. Utiliser la hauteur à la place de l'apothème

toute la question d'aire

Ce qu'il ne faut pas écrire

Aire latérale d'un cône $=\pi r h$

Ce qu'il faut écrire

$\pi r\times\text{apothème}$

L'apothème est l'HYPOTÉNUSE du triangle rectangle formé par la hauteur et le rayon. Ici

6

8

10

: la hauteur vaut

8

et l'apothème

10

, jamais l'inverse.

Pourquoi : Contre-exemple avec $r=6$ et $h=8$ : la formule fausse donne $150{,}80$ cm², la bonne $188{,}50$ cm², l'apothème valant $10$ cm par Pythagore. La hauteur sert au VOLUME, l'apothème à l'AIRE : c'est la seule chose à retenir, et elle vaut plusieurs points par évaluation.

4. Doubler le volume quand on double les dimensions

toute la question, et une masse fausse d'un facteur quatre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Toutes les dimensions doublent, donc le volume double »

Ce qu'il faut écrire

Il est multiplié par HUIT

Pourquoi : Contre-exemple : un cube de $1$ cm d'arête contient $1$ cm³, celui de $2$ cm en contient $8$ . Avec un rapport $k$ , les aires suivent $k^{2}$ et les volumes $k^{3}$ . En conception mécanique, un agrandissement de vingt pour cent alourdit la pièce de soixante-treize pour cent.

5. Oublier le facteur mille entre les unités de volume

1 point à chaque conversion, et parfois toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un litre vaut $100$ cm³ »

Ce qu'il faut écrire

$1000$ cm³

Pourquoi : Le facteur entre deux unités de VOLUME est le CUBE du facteur entre les longueurs. Un décimètre vaut dix centimètres, donc un décimètre cube vaut mille centimètres cubes. Le contrôle : un cube de $10$ cm de côté contient exactement un litre.

6. Confondre l'amplitude du résultat et son unité

1 point, et une conclusion absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire totale et le volume valent tous deux $301{,}59$ , ils sont donc égaux »

Ce qu'il faut écrire

$301{,}59$ cm² et $301{,}59$ cm³ : deux grandeurs sans rapport

Pourquoi : Une coïncidence numérique n'est pas une égalité. Un cône de rayon $6$ et de hauteur $8$ a bien une aire totale et un volume dont les nombres coïncident, mais les unités diffèrent. Une copie sans unité ne peut pas être corrigée, et l'unité fait partie de la réponse.

7. Croire que deux solides équivalents ont la même aire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Même volume, donc même aire totale »

Ce qu'il faut écrire

Un cube de $1000$ cm³ fait $600$ cm², un cylindre équivalent $557$ cm²

Pourquoi : Les trois notions du chapitre sont indépendantes. Le contre-exemple est facile à produire, et il faut savoir le produire en évaluation : un cube de $10$ cm d'arête et un cylindre de $5$ cm de rayon et $12{,}73$ cm de hauteur ont le même volume et des aires différentes.

Quelle méthode choisir

Que calculer, selon ce que l'énoncé fixe

Deux objets dits équivalents, une mesure manquante

Si Deux FIGURES PLANES, l'aire est connue → On égale les aires et on isole la mesure manquante, au premier ou au second degré

Exemple : Un rectangle de périmètre $40$ équivalent à un disque de rayon $5$ donne $x^{2}-20x+78{,}54=0$
Si Deux SOLIDES, le volume est connu → On égale les volumes ; si l'inconnue est au cube, racine CUBIQUE

Exemple : Un cube équivalent à un cylindre de $1696{,}46$ cm³ a une arête de $11{,}93$ cm
Si L'énoncé dit MÊME AIRE pour des solides → On égale les aires TOTALES, et la question porte ensuite sur les volumes

Exemple : À $600$ cm² d'aire, le cube contient $1000$ cm³ et la sphère $1382$ cm³
Si L'énoncé parle d'AGRANDISSEMENT ou de RÉDUCTION → Similitude : $k$ pour les longueurs, $k^{2}$ pour les aires, $k^{3}$ pour les volumes

Exemple : Un facteur $1{,}2$ multiplie la masse par $1{,}728$

Le vocabulaire de l'énoncé décide seul de la branche, et il faut le citer dans la copie. « Équivalents » sans précision désigne l'aire pour des figures planes et le volume pour des solides ; « de même aire » est la seule formule qui vise l'aire totale d'un solide.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche d'une mesure manquante

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un énoncé donne deux objets équivalents et demande une dimension

1 Dire lequel des trois sens du mot équivalent est en jeu, en citant l'énoncé.
2 Écrire les deux expressions, celle de l'objet connu et celle de l'objet cherché.
3 Poser l'égalité, puis isoler l'inconnue sans arrondir.
4 Prendre la racine de l'ordre voulu, carrée ou cubique, en gardant la racine positive.
5 Arrondir une seule fois et donner l'UNITÉ.
6 Contrôler par l'ordre de grandeur, puis par un recalcul dans l'autre sens.

Phrase de conclusion

« Les deux solides sont équivalents, donc ils ont le même VOLUME. Le cylindre contient $\pi\times 36\times 15=540\pi\approx 1696{,}46$ cm³. Pour le cube, $a^{3}=1696{,}46$ , donc $a=\sqrt[3]{1696{,}46}\approx 11{,}93$ cm. Contrôle : $11{,}93^{3}\approx 1697$ cm³, et l'arête est bien du même ordre que le diamètre du cylindre. »

Le piège : Sauter la première ligne. Une copie qui pose directement une égalité sans dire de quelle équivalence il s'agit perd le point de justification, même si le calcul est exact.

Barème : 1 point pour le sens du mot équivalent, 2 points pour les deux expressions, 2 points pour l'égalité, 2 points pour l'isolement et la racine, 1 point pour l'unité, 2 points pour le contrôle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'ordre de grandeur

Une arête, un rayon ou une hauteur doit rester du même ordre que les dimensions de l'objet équivalent. Un écart d'un facteur dix signale une racine mal prise.

Une arête de $41$ cm pour un volume de $1696$ cm³ : impossible, $41^{3}$ vaut $69\,000$ .
Le recalcul dans l'autre sens

On reprend la mesure trouvée et on recalcule le volume ou l'aire : on doit retomber sur la valeur de départ.

$11{,}93^{3}\approx 1697$ , à l'arrondi près.
L'unité, et son exposant

Une longueur en cm, une aire en cm², un volume en cm³. Un exposant faux vaut une réponse fausse, même si le nombre est juste.

Un volume annoncé en cm² est compté faux.
L'inégalité triangulaire et la borne inférieure

L'aire totale d'un solide dépasse toujours l'aire de sa base ; les côtés d'un triangle vérifient l'inégalité triangulaire. Un résultat sous ces bornes est faux.

Une aire totale de cône annoncée à $100$ cm² pour une base de $113$ cm² : impossible.

L'exercice type décortiqué

Un conduit de ventilation à section équivalente

Un conduit circulaire de $300$ mm de diamètre doit être remplacé par un conduit rectangulaire de $150$ mm de hauteur, de section ÉQUIVALENTE. Trouvez la largeur du nouveau conduit, puis l'augmentation de tôle que le changement entraîne.

Les deux sections ont la même AIRE, et pourtant le contour du rectangle est bien plus long que celui du cercle : c'est cette longueur qui se paie en tôle.

Étape 1

Rayon : $r=\dfrac{300}{2}=150$ mm.

Pourquoi

L'énoncé donne un DIAMÈTRE, les formules veulent un rayon. Écrire cette ligne avant tout calcul supprime la moitié des erreurs de ce type de problème.

Étape 2

Section circulaire : $A=\pi\times 150^{2}=22\,500\pi\approx 70\,686$ mm².

Pourquoi

C'est cette aire qui doit être conservée, le débit d'air dépendant de la section de passage. « Équivalent » désigne ici l'aire de deux figures planes, premier des trois sens.

Étape 3

Largeur : $150\times\ell=70\,686$ , donc $\ell\approx 471$ mm.

Pourquoi

Une simple division, l'inconnue étant au premier degré. Contrôle : $150\times 471=70\,650$ mm², à l'arrondi près.

Étape 4

Périmètres : $\pi\times 300\approx 942{,}5$ mm pour le rond, $2(150+471{,}2)=1242{,}4$ mm pour le rectangle.

Pourquoi

Le périmètre de la section donne la largeur de tôle à développer, donc la matière. C'est là que l'équivalence des aires cesse de suffire.

Étape 5

Augmentation : $\dfrac{1242{,}4-942{,}5}{942{,}5}\approx 31{,}8$ pour cent.

Pourquoi

Près d'un tiers de tôle en plus pour la même section : à aire fixée, c'est le CERCLE qui minimise le périmètre, et toute autre forme coûte plus cher en matière.

Étape 6

Conclusion technique : le débit théorique est conservé, le débit réel baisse un peu.

Pourquoi

Le frottement de l'air dépend du périmètre mouillé, plus grand de trente-deux pour cent. L'équivalence mathématique est une condition nécessaire, pas suffisante, et c'est exactement ce que le technicien doit savoir dire.

Conclusion rédigée

Un conduit de $150$ sur $471$ mm environ, au prix de $31{,}8$ pour cent de tôle en plus et d'une légère perte de débit réel.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que le conduit rectangulaire coûte la même chose parce que la section est identique. L'aire est conservée, le périmètre ne l'est pas, et c'est le périmètre qui décide de la matière.

À savoir par cœur

• Figures équivalentes : même AIRE. Solides équivalents : même VOLUME.
• Solides de même aire : même AIRE TOTALE. Trois notions indépendantes.
• L'équivalence ne dit rien du périmètre ni de l'aire totale.
• Somme $s$ et produit $p$ : racines de $x^{2}-sx+p=0$ .
• Discriminant négatif : aucun rectangle ne convient.
• Racine CUBIQUE pour une longueur de solide, jamais carrée.
• À volume fixé, la sphère a l'aire minimale ; à aire fixée, le volume maximal.
• Similitude $k$ : longueurs $k$ , aires $k^{2}$ , volumes $k^{3}$ .
• Hauteur pour le volume, APOTHÈME pour l'aire latérale.
• Un litre vaut $1000$ cm³ : le facteur des volumes est le CUBE.

Questions fréquentes

Deux figures équivalentes ont-elles le même périmètre ?

Non, presque jamais. L'équivalence ne porte que sur l'aire, et deux figures de même aire peuvent avoir des contours très différents. Un carré de six centimètres de côté et un rectangle de quatre sur neuf ont tous deux trente-six centimètres carrés, mais leurs périmètres valent vingt-quatre et vingt-six centimètres. À aire fixée, le périmètre est minimal pour le cercle, puis pour le carré parmi les rectangles.

Quelle est la différence entre équivalent et semblable ?

Équivalent veut dire de même mesure, semblable veut dire de même forme. Un cube et un cylindre peuvent contenir exactement le même volume sans se ressembler du tout : ils sont équivalents et non semblables. À l'inverse, deux cubes de tailles différentes sont semblables sans être équivalents. Les deux notions ne coïncident que dans un seul cas, celui où le rapport de similitude vaut un, c'est-à-dire des solides superposables.

Pourquoi le volume est-il multiplié par huit quand les dimensions doublent ?

Parce qu'un volume se construit à partir de trois longueurs, et que chacune est doublée. Deux fois deux fois deux font huit. Le même raisonnement donne quatre pour les aires, qui ne dépendent que de deux longueurs. C'est la raison pour laquelle un modèle réduit au demi ne pèse qu'un huitième de l'original, et pourquoi un léger agrandissement d'une pièce alourdit beaucoup plus que prévu.

Pourquoi l'apothème et la hauteur ne servent-ils pas à la même chose ?

La hauteur est mesurée perpendiculairement à la base, elle sert donc à calculer le volume, qui est un empilement de couches parallèles à la base. L'apothème se mesure le long de la surface latérale, donc il donne la vraie longueur de cette surface quand on la déroule, et c'est lui qui entre dans l'aire. Les deux sont reliés par le théorème de Pythagore, avec le rayon ou la demi-base comme troisième côté.

Pourquoi la sphère revient-elle toujours dans ce chapitre ?

Parce qu'elle est la forme optimale dans les deux sens. À volume donné, c'est elle qui demande le moins de surface, donc le moins de matière. À surface donnée, c'est elle qui contient le plus. Ce sont en fait deux façons d'énoncer la même propriété, et elle explique des choses très concrètes, la forme des gouttes, celle des réservoirs de gaz sous pression, ou le fait qu'un animal compact perde moins de chaleur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Figures et solides équivalents

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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