Math TS, secondaire 5 à Montréal • Géométrie du cercle

Fiche de révision : Les relations métriques dans le cercle

Q: Comment savoir quelle formule utiliser pour un angle dans un cercle ?

Tout dépend de la position du sommet. Au centre, l'angle vaut l'arc intercepté. Sur le cercle, il vaut la moitié de cet arc. À l'intérieur, à l'intersection de deux cordes, il vaut la demi-somme des deux arcs interceptés. À l'extérieur, il vaut la demi-différence, le grand arc moins le petit. Repérez le sommet avant d'écrire quoi que ce soit.

Q: Quelle est la différence entre un angle au centre et un angle inscrit ?

L'angle au centre a son sommet au centre du cercle et il mesure exactement l'arc qu'il intercepte. L'angle inscrit a son sommet sur le cercle et il mesure la moitié de ce même arc. Autrement dit, l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit qui regarde le même arc, et cela ne dépend pas de l'endroit où se trouve le sommet inscrit.

Q: Comment trouver le rayon d'un arc quand on connaît la corde et la flèche ?

On appelle r le rayon, on trace la perpendiculaire du centre à la corde, et on écrit Pythagore avec la demi-corde, la distance au centre qui vaut r moins la flèche, et le rayon comme hypoténuse. Les r au carré se simplifient et il reste une équation du premier degré. Avec une corde de 16 et une flèche de 4, on obtient un rayon de 10.

Q: Qu'est-ce que la puissance d'un point par rapport à un cercle ?

C'est le produit des deux distances du point aux points où une droite qui passe par lui coupe le cercle. Ce produit ne dépend pas de la droite choisie, seulement du point. Pour un point intérieur il vaut le rayon au carré moins la distance au centre au carré, pour un point extérieur c'est l'inverse, et il vaut aussi le carré de la tangente.

Q: Les relations métriques dans le cercle sont-elles au programme de la SN ?

Non. Ce chapitre appartient à la séquence Technico-sciences de cinquième secondaire. La séquence Sciences naturelles ne l'étudie pas, et la séquence Culture, société et technique non plus. C'est l'un des trois chapitres qui distinguent réellement la TS des deux autres séquences, avec les transformations géométriques et les matrices.

Cette fiche ne refait pas le cours : elle traite ce qui coûte réellement des points en évaluation de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire. Le chapitre est propre à la séquence TS, il n'existe ni en Sciences naturelles ni en Culture, société et technique, et c'est celui pour lequel un élève trouve le moins de corrigés en français.

Presque toutes les pertes de points viennent d'un seul geste manquant : on écrit une formule avant d'avoir regardé où est le sommet de l'angle. Quatre positions, quatre formules, et la figure est exactement la même dans les quatre cas.

Le fil du chapitre

Sur une figure de cercle, c'est la POSITION DU SOMMET qui décide de la formule d'un angle, et la position du point par rapport au cercle qui décide de la formule d'une longueur. La figure ne dit rien toute seule : on repère d'abord où est le sommet, ensuite seulement on écrit une formule.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4

Notions couvertes

Angle au centre
Angle inscrit
Arc intercepté
Angle intérieur au cercle
Angle extérieur au cercle
Angle tangente-corde
Quadrilatère inscrit
Puissance d'un point
Relation des deux cordes
Relation sécante-sécante
Relation tangente-sécante
Flèche d'une corde

L'essentiel

Quatre positions du sommet, quatre formules

• Sommet AU CENTRE : l'angle vaut l'arc intercepté, sans division. C'est le seul cas sans division.
• Sommet SUR le cercle, angle inscrit : l'angle vaut la MOITIÉ de l'arc intercepté. Un côté peut être une tangente, la règle ne change pas.
• Sommet DEDANS, deux cordes sécantes : l'angle vaut la DEMI-SOMME des deux arcs interceptés, celui que l'angle regarde et celui que regarde son opposé par le sommet.
• Sommet DEHORS, deux sécantes, deux tangentes ou une de chaque : l'angle vaut la DEMI-DIFFÉRENCE des deux arcs interceptés, le lointain moins le proche.
• Conséquence à retenir pour se contrôler : pour un même arc, l'angle est le plus grand quand le sommet est dedans, moyen quand il est sur le cercle, le plus petit quand il est dehors.

Les quatre sommets regardent le même genre d'angle sur la même figure : seule leur position change, et avec elle la formule écrite sous chaque cercle.

Écrire une phrase du type « le sommet $P$ est intérieur au cercle, j'applique donc la demi-somme » avant tout calcul vaut le point de justification, même si le calcul se trompe ensuite.

L'arc intercepté est celui qui est COINCÉ entre les deux côtés

• L'arc intercepté par un angle est celui qui est compris entre ses deux côtés, jamais celui qui contient le sommet.
• Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont ÉGAUX, où que soient leurs sommets sur le reste du cercle.
• Un angle inscrit dans un demi-cercle vaut $90^\circ$ , parce qu'il intercepte un arc de $180^\circ$ .
• Dans un quadrilatère inscrit, deux angles opposés interceptent deux arcs qui se complètent à $360^\circ$ : ils sont donc SUPPLÉMENTAIRES.
• Les arcs qui se suivent autour du cercle totalisent $360^\circ$ : c'est la première vérification à faire sur toute figure.

Une seule constante pour toutes les longueurs : la puissance du point

• Deux cordes qui se coupent en un point $P$ intérieur : $AP \times PB = CP \times PD$ , et ce produit commun vaut $r^2 - OP^2$ .
• Deux sécantes issues d'un point $E$ extérieur : $EA \times EB = EC \times ED$ , en prenant chaque fois la sécante ENTIÈRE fois sa partie EXTÉRIEURE, toutes deux mesurées depuis $E$ .
• Une tangente est le cas limite d'une sécante dont les deux points se confondent : $ET^{\,2} = EA \times EB$ , et la puissance vaut $OE^2 - r^2$ .
• Le rayon est perpendiculaire à la tangente au point de contact, ce qui donne un triangle rectangle et donc Pythagore.
• La perpendiculaire abaissée du CENTRE sur une corde la coupe en son milieu : rayon, demi-corde et distance au centre forment un triangle rectangle. La flèche vaut $r$ moins cette distance.

Le mot puissance n'est pas exigible en TS, mais l'idée l'est : le produit ne dépend pas de la sécante choisie, seulement du point. C'est ce qui permet de répondre à une question sur une troisième corde sans rien construire.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Un sommet intérieur traité comme un angle inscrit

2 points, et toute la question si un autre angle en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les cordes $AC$ et $BD$ se coupent en $P$ et l'arc $AB$ vaut $90^\circ$ , donc $\angle APB = \dfrac{90}{2} = 45^\circ$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le sommet $P$ est INTÉRIEUR : $\angle APB = \dfrac{\text{arc } AB + \text{arc } CD}{2} = \dfrac{90 + 100}{2} = 95^\circ$ . »

Pourquoi : La formule de la demi-arc est celle de l'angle INSCRIT, valable seulement quand le sommet est SUR le cercle. Un sommet intérieur voit toujours plus grand, et le supplément qu'il gagne est exactement la moitié de l'arc situé dans son dos. Ici l'écart est de $50^\circ$ , soit la moitié des $100^\circ$ de l'arc $CD$ .

2. Prendre l'arc qui contient le sommet

toute la question, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\angle BDC$ intercepte l'arc $BC$ , et cet arc mesure $220^\circ$ , donc $\angle BDC = 110^\circ$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\angle BDC$ intercepte l'arc $BC$ qui NE contient PAS $D$ , soit $140^\circ$ , donc $\angle BDC = 70^\circ$ . »

Le sommet

D

est en haut : l'arc intercepté par

\angle BDC

est celui du bas,

140^\circ

, et jamais celui de

220^\circ

qui passe par

D

Pourquoi : Deux lettres désignent toujours deux arcs, dont la somme fait $360^\circ$ . L'arc intercepté est celui qui est coincé entre les deux côtés de l'angle, donc celui qui ne porte pas le sommet. L'erreur se propage à toutes les questions suivantes, et elle ne se voit pas sur la copie parce que le calcul, lui, est juste.

3. Multiplier la corde au lieu de la sécante entière

4 points, tout le problème quand la tangente en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Depuis $E$ , la sécante coupe le cercle en $A$ puis $B$ avec $EA = 4$ et $AB = 5$ , donc la puissance vaut $EA \times AB = 20$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $EB = EA + AB = 9$ , donc la puissance vaut $EA \times EB = 4 \times 9 = 36$ , et la tangente mesure $ET = 6$ . »

Les deux facteurs partent tous les deux de

E

EA

EB

, jamais la corde

AB

qui est à l'intérieur du cercle.

Pourquoi : Depuis un point extérieur, les DEUX facteurs partent de $E$ : la sécante entière et sa partie extérieure. La corde $AB$ est la partie intérieure, elle ne sert jamais dans le produit. Le contrôle instantané : si l'un des deux facteurs ne commence pas par la lettre $E$ , la formule est fausse.

4. Croire les angles opposés d'un quadrilatère inscrit égaux

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $ABCD$ est inscrit et $\angle DAB = 100^\circ$ , donc $\angle BCD = 100^\circ$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les angles opposés d'un quadrilatère inscrit sont SUPPLÉMENTAIRES : $\angle BCD = 180 - 100 = 80^\circ$ . »

Pourquoi : Les deux angles interceptent deux arcs qui se complètent pour faire le tour du cercle, et la moitié de $360^\circ$ vaut $180^\circ$ . Ils ne sont égaux que dans le cas particulier où ils valent tous les deux $90^\circ$ . La confusion vient du parallélogramme, où les angles opposés sont bien égaux, mais un parallélogramme inscrit dans un cercle est forcément un rectangle.

5. L'angle tangente-corde pris pour l'arc entier

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tangente en $T$ et la corde $TN$ interceptent un arc de $120^\circ$ , donc l'angle qu'elles forment mesure $120^\circ$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle tangente-corde vaut la MOITIÉ de l'arc intercepté : $\angle ETN = \dfrac{120}{2} = 60^\circ$ . »

Pourquoi : La tangente est une sécante dont les deux points d'intersection se sont rejoints : le sommet est donc SUR le cercle, et c'est la règle de l'angle inscrit qui s'applique, moitié de l'arc. Contrôle interne quand $MN$ est un diamètre : les deux angles tangente-corde en $T$ doivent totaliser $\angle MTN = 90^\circ$ , ce que $30 + 60$ vérifie et ce que $60 + 120$ contredirait.

6. La flèche calculée avec le diamètre

3 points, et une réponse absurde qui n'est pas repérée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rayon vaut $13$ , la distance du centre à la corde vaut $5$ , donc la flèche vaut $26 - 5 = 21$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La flèche est la partie du RAYON comprise entre la corde et l'arc : $13 - 5 = 8$ . »

Pourquoi : La flèche est toujours comprise entre $0$ , pour une corde qui est un diamètre, et $r$ , pour une corde réduite à un point. Une flèche de $21$ dans un cercle de rayon $13$ est impossible, et ce contrôle de plausibilité prend deux secondes.

7. Une droite quelconque prise pour la perpendiculaire du centre

2 points, plus l'erreur en cascade sur le produit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite $OP$ passe par le centre, donc elle coupe la corde $AB$ en son milieu et $AP = PB$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La propriété exige la PERPENDICULAIRE abaissée du centre. Ici $OP$ n'est pas perpendiculaire à $AB$ , donc $AP = 2$ et $PB = 6$ , et le milieu n'est pas $P$ . »

Pourquoi : Deux conditions sont nécessaires, passer par le centre ET être perpendiculaire, et le théorème dit d'ailleurs que deux d'entre elles entraînent la troisième. La réciproque est vraie aussi : une droite qui passe par le centre et par le milieu d'une corde lui est perpendiculaire.

8. Additionner les arcs sans contrôler le tour complet

1 point de contrôle, mais toute la question par propagation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les arcs valent $100^\circ$ , $140^\circ$ , $60^\circ$ et $80^\circ$ , je peux commencer les calculs. »

Ce qu'il faut écrire

« La somme vaut $380^\circ$ , ce qui est impossible : un arc a été lu du mauvais côté, je reprends la figure avant tout calcul. »

Pourquoi : Les arcs qui se suivent autour du cercle totalisent exactement $360^\circ$ . Cette addition est gratuite et elle attrape l'erreur la plus fréquente du chapitre, celle du sens de lecture d'un arc, avant qu'elle ne contamine les cinq questions suivantes.

Quelle méthode choisir

Quelle formule pour un ANGLE ?

La position du sommet de l'angle par rapport au cercle

Si le sommet est le centre du cercle → angle $=$ arc intercepté

Exemple : $\angle AOB$ avec $O$ le centre

le seul cas sans division par deux
Si le sommet est SUR le cercle, les deux côtés étant des cordes → angle $=$ moitié de l'arc intercepté

Exemple : $\angle ACB$ avec $C$ sur le cercle

l'arc intercepté est celui qui ne contient pas le sommet
Si le sommet est SUR le cercle, un côté étant une tangente → angle $=$ moitié de l'arc intercepté, même règle

Exemple : $\angle ETM$ avec $ET$ tangente en $T$

la tangente compte pour une sécante dont les deux points sont confondus
Si le sommet est DEDANS, à l'intersection de deux cordes → angle $=$ demi-somme des deux arcs interceptés

Exemple : $\angle APB$ avec $P$ intérieur

le second arc est celui que regarde l'angle opposé par le sommet
Si le sommet est DEHORS, deux sécantes, deux tangentes ou une de chaque → angle $=$ demi-différence, le grand arc moins le petit

Exemple : $\angle AEC$ avec $E$ extérieur

un angle étant positif, c'est forcément l'arc lointain moins l'arc proche

Si la question porte sur un quadrilatère entier, ne pas chercher les arcs un par un : les angles opposés sont supplémentaires, ce qui donne deux angles pour le prix d'un.

Quelle relation pour une LONGUEUR ?

La position du point d'où partent les segments, et la nature des droites

Si deux cordes se coupent en un point intérieur $P$ → $AP \times PB = CP \times PD$

Exemple : $2 \times 6 = 3 \times PD$ donne $PD = 4$

on multiplie les deux morceaux d'une même corde, séparés par $P$
Si deux sécantes partent d'un point extérieur $E$ → $EA \times EB = EC \times ED$

Exemple : $4 \times 9 = 3 \times ED$ donne $ED = 12$

sécante ENTIÈRE fois partie EXTÉRIEURE, les deux mesurées depuis $E$
Si une tangente et une sécante partent d'un point extérieur $E$ → $ET^{\,2} = EA \times EB$

Exemple : $ET^{\,2} = 4 \times 9 = 36$ donne $ET = 6$

le carré signale que les deux points de la tangente se confondent
Si on connaît une corde et le rayon, ou une corde et la flèche → triangle rectangle rayon, demi-corde, distance au centre, puis Pythagore

Exemple : corde $24$ et rayon $13$ donnent une distance de $5$ et une flèche de $8$

la perpendiculaire abaissée du centre coupe la corde en son milieu
Si on cherche le rayon en ne connaissant que la corde et la flèche → poser $r^2 = \left(\dfrac{c}{2}\right)^2 + (r - f)^2$ et développer : les $r^2$ disparaissent

Exemple : corde $16$ et flèche $4$ donnent $8r = 80$ , donc $r = 10$

c'est la manoeuvre des arches et des tunnels, où le centre n'est pas visible

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un angle sur une figure de cercle

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande la mesure d'un angle et que la figure porte un cercle

1 Additionner les arcs connus et compléter à $360^\circ$ : c'est le contrôle d'entrée, il coûte cinq secondes.
2 Nommer la position du sommet, en toutes lettres : au centre, sur le cercle, à l'intérieur, à l'extérieur.
3 Écrire la formule correspondante AVANT d'y mettre des nombres.
4 Identifier l'arc ou les deux arcs interceptés, en précisant à chaque fois qu'ils ne contiennent pas le sommet.
5 Calculer, puis contrôler l'ordre de grandeur : un angle inscrit ne peut pas dépasser $180^\circ$ , un angle extérieur est toujours plus petit que l'angle inscrit qui regarde le même arc.

Phrase de conclusion

« Le sommet $E$ est extérieur au cercle et les deux côtés sont des sécantes : $\angle AEC = \dfrac{\text{arc } BD - \text{arc } AC}{2} = \dfrac{160 - 60}{2} = 50^\circ$ . »

Le piège : Sauter la deuxième étape et écrire directement une fraction. Le correcteur ne peut alors pas distinguer une erreur de lecture d'une erreur de formule, et il retire tout.

Justifier une longueur par un produit constant

Quand l'utiliser : Deux droites coupent le cercle et l'énoncé donne trois longueurs sur quatre

1 Dire d'où partent les segments : d'un point intérieur ou d'un point extérieur.
2 Écrire l'égalité des deux produits en toutes lettres, avec les noms des points, avant de remplacer.
3 Vérifier que chaque facteur part bien du même point, et pour un point extérieur qu'aucun facteur n'est une corde.
4 Résoudre, puis contrôler la plausibilité : une corde ne dépasse jamais le diamètre.
5 Si la question enchaîne sur une tangente, réutiliser le MÊME produit sans le recalculer.

Phrase de conclusion

« Les deux sécantes partent du point extérieur $E$ , donc $EA \times EB = EC \times ED$ , soit $4 \times 9 = 3 \times ED$ , d'où $ED = 12$ cm et $CD = 12 - 3 = 9$ cm. »

Le piège : Recalculer la puissance pour chaque sécante au lieu de la réutiliser. Ce n'est pas faux, mais chaque recalcul est une occasion de se tromper, et le correcteur attend justement la phrase qui dit que le produit est le même.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des arcs vaut $360^\circ$

Additionnez les arcs qui se suivent autour du cercle, ceux de l'énoncé et celui que vous avez déduit. Le total doit tomber sur $360$ exactement.

$100 + 140 + 60 + 60 = 360$ : la figure est cohérente. Un total de $380$ signale un arc lu du mauvais côté, et il faut reprendre avant tout calcul.
L'angle décroît quand le sommet s'éloigne

Pour un même arc, comparez mentalement vos trois réponses : le sommet intérieur donne le plus grand angle, le sommet sur le cercle un angle moyen, le sommet extérieur le plus petit.

Sur l'arc $AB$ de $90^\circ$ : $95^\circ$ depuis un point intérieur, $45^\circ$ depuis le cercle, moins encore depuis un point extérieur. Une réponse extérieure plus grande qu'une réponse inscrite est forcément fausse.
Le produit est le MÊME sur les deux droites

Recalculez les deux produits séparément et comparez-les. Ils doivent donner le même nombre au dernier chiffre près.

$2 \times 6 = 12$ et $3 \times 4 = 12$ : la valeur de $PD$ est bonne. Si les deux produits diffèrent, c'est presque toujours qu'une sécante a été prise en morceaux au lieu d'être prise entière.
Une corde ne dépasse jamais le diamètre

Comparez chaque longueur de corde trouvée au double du rayon.

Dans un cercle de rayon $5$ , une corde de $12$ est impossible, le maximum est $10$ . Une corde de $9$ passe le contrôle.
La flèche reste entre $0$ et le rayon

Vérifiez que la flèche trouvée est bien plus petite que le rayon, et que la distance du centre à la corde vaut le rayon moins la flèche.

Rayon $13$ , distance $5$ , flèche $8$ : on a bien $5 + 8 = 13$ . Une flèche de $21$ dans le même cercle est absurde.

L'exercice type décortiqué

La voûte du tunnel : de la flèche à la hauteur libre

La voûte d'un tunnel est un arc de cercle. Sa portée au sol mesure $16$ m et sa hauteur au sommet, mesurée au milieu, vaut $4$ m. Le centre du cercle n'est pas visible : il est sous la chaussée.

On demande le rayon de la voûte, l'angle au centre qu'elle intercepte, la longueur de l'arc, puis si un camion de $10$ m de large et de $3$ m de haut peut passer en restant centré.

La corde de

16

m et la flèche de

4

m sont les deux seules données. Ni le centre ni le rayon n'apparaissent : ce sont eux qu'il faut reconstituer.

Étape 1

On appelle $r$ le rayon. La demi-corde vaut $8$ m et la distance du centre à la corde vaut $r - 4$ , puisque le sommet est à $4$ m au-dessus de la corde et à $r$ du centre.

Pourquoi

Nommer l'inconnue et exprimer la distance au centre EN FONCTION d'elle est le geste qui débloque le problème. Sans lui, on cherche indéfiniment une donnée qui n'existe pas.

Étape 2

Pythagore dans le triangle rectangle rayon, demi-corde, distance : $r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$ , soit $r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$ . Les $r^2$ se simplifient et il reste $8r = 80$ , donc $r = 10$ m.

Pourquoi

Le degré $2$ disparaît tout seul : c'est la signature de cette configuration, et c'est pourquoi on ne redoute pas l'équation. Un élève qui garde les $r^2$ perd deux minutes et souvent le fil.

Étape 3

Contrôle : la distance du centre à la corde vaut $10 - 4 = 6$ m, et $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ .

Pourquoi

Le triplet $6$ , $8$ , $10$ referme le calcul. Cette vérification vaut souvent un point à elle seule, et elle protège la suite du problème, qui utilise trois fois le rayon.

Étape 4

Angle au centre : $\sin(\theta) = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$ , donc $\theta \approx 53{,}13^\circ$ et l'angle complet de la voûte vaut environ $106{,}26^\circ$ .

Pourquoi

On travaille dans la moitié de la figure, puis on double. Contrôle gratuit : $\cos(\theta) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ donne le même angle, et $0{,}8^2 + 0{,}6^2 = 1$ .

Étape 5

Longueur de l'arc : $\dfrac{106{,}26}{360} \times 2\pi \times 10 \approx 0{,}2952 \times 62{,}83 \approx 18{,}55$ m.

Pourquoi

Un arc est toujours plus long que la corde qui le sous-tend : $18{,}55 > 16$ . Une réponse inférieure à $16$ signalerait une fraction d'angle mal posée.

Étape 6

Hauteur libre à $x$ mètres de l'axe : $h(x) = \sqrt{10^2 - x^2} - 6$ . Pour $x = 5$ : $h(5) = \sqrt{75} - 6 \approx 8{,}66 - 6 = 2{,}66$ m.

Pourquoi

On vérifie la formule aux deux bouts avant de s'en servir : $h(0) = 10 - 6 = 4$ m, la flèche, et $h(8) = 6 - 6 = 0$ , l'appui. Une formule contrôlée aux bornes ne se trompe pas au milieu.

Étape 7

Le camion mesure $10$ m de large, donc ses bords sont à $5$ m de l'axe, là où la hauteur libre vaut $2{,}66$ m. Comme $2{,}66 < 3$ , il NE passe PAS.

Pourquoi

Le point critique est le BORD du véhicule, jamais le milieu, où la hauteur atteint $4$ m. Un camion plus étroit, de $8$ m, aurait ses bords à $4$ m de l'axe, où $h(4) = \sqrt{84} - 6 \approx 3{,}17$ m : celui-là passerait.

Conclusion rédigée

« La voûte a un rayon de $10$ m et intercepte un angle au centre d'environ $106{,}26^\circ$ , pour une longueur d'arc d'environ $18{,}55$ m. À $5$ m de l'axe, la hauteur libre vaut $\sqrt{75} - 6 \approx 2{,}66$ m : le camion, large de $10$ m et haut de $3$ m, NE peut PAS passer. »

À savoir par cœur

• Sommet AU CENTRE : angle $=$ arc. Sommet SUR le cercle : angle $=$ arc $\div\, 2$ . Sommet DEDANS : demi-SOMME. Sommet DEHORS : demi-DIFFÉRENCE.
• L'arc intercepté est celui qui ne contient PAS le sommet. Deux arcs portent les mêmes lettres et leur somme fait $360^\circ$ .
• Angle inscrit dans un demi-cercle : $90^\circ$ . Quadrilatère inscrit : angles opposés SUPPLÉMENTAIRES.
• Angle tangente-corde : moitié de l'arc intercepté, exactement comme un angle inscrit.
• Deux cordes en $P$ intérieur : $AP \times PB = CP \times PD = r^2 - OP^2$ .
• Depuis $E$ extérieur : $EA \times EB = EC \times ED = ET^{\,2} = OE^2 - r^2$ , chaque facteur partant de $E$ .
• Rayon $\perp$ tangente au point de contact. Perpendiculaire du centre $\Rightarrow$ milieu de la corde.
• Corde $c$ , flèche $f$ , rayon $r$ : $r = \dfrac{\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 + f^2}{2f}$ , et la distance du centre à la corde vaut $r - f$ .

Questions fréquentes

Comment savoir quelle formule utiliser pour un angle dans un cercle ?

Tout dépend de la position du sommet. Au centre, l'angle vaut l'arc intercepté. Sur le cercle, il vaut la moitié de cet arc. À l'intérieur, à l'intersection de deux cordes, il vaut la demi-somme des deux arcs interceptés. À l'extérieur, il vaut la demi-différence, le grand arc moins le petit. Repérez le sommet avant d'écrire quoi que ce soit.

Quelle est la différence entre un angle au centre et un angle inscrit ?

L'angle au centre a son sommet au centre du cercle et il mesure exactement l'arc qu'il intercepte. L'angle inscrit a son sommet sur le cercle et il mesure la moitié de ce même arc. Autrement dit, l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit qui regarde le même arc, et cela ne dépend pas de l'endroit où se trouve le sommet inscrit.

Comment trouver le rayon d'un arc quand on connaît la corde et la flèche ?

On appelle r le rayon, on trace la perpendiculaire du centre à la corde, et on écrit Pythagore avec la demi-corde, la distance au centre qui vaut r moins la flèche, et le rayon comme hypoténuse. Les r au carré se simplifient et il reste une équation du premier degré. Avec une corde de 16 et une flèche de 4, on obtient un rayon de 10.

Qu'est-ce que la puissance d'un point par rapport à un cercle ?

C'est le produit des deux distances du point aux points où une droite qui passe par lui coupe le cercle. Ce produit ne dépend pas de la droite choisie, seulement du point. Pour un point intérieur il vaut le rayon au carré moins la distance au centre au carré, pour un point extérieur c'est l'inverse, et il vaut aussi le carré de la tangente.

Les relations métriques dans le cercle sont-elles au programme de la SN ?

Non. Ce chapitre appartient à la séquence Technico-sciences de cinquième secondaire. La séquence Sciences naturelles ne l'étudie pas, et la séquence Culture, société et technique non plus. C'est l'un des trois chapitres qui distinguent réellement la TS des deux autres séquences, avec les transformations géométriques et les matrices.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les relations métriques dans le cercle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Voir aussi

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