Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre linéaire

Fiche de révision : les vecteurs

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des vecteurs du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : composantes, opérations, colinéarité, produit scalaire, projection orthogonale et décomposition.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Un vecteur n'est pas un point. Un point dit OÙ l'on est, un vecteur dit DE COMBIEN et DANS QUEL SENS on se déplace. Deux flèches tracées à des endroits différents représentent le même vecteur si elles ont les mêmes composantes, et c'est ce qui permet de les déplacer pour les additionner.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les logarithmes et le changement de baseSecondaire 4 TS
2La factorisationSecondaire 4 TS
3Les équations et les inéquationsSecondaire 4 TS
4Les systèmes d'équationsSecondaire 4 TS
5La similitude et l'isométrie des trianglesSecondaire 4 TS
6Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS
7L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS
8La géométrie analytiqueSecondaire 4 TS
9Le cercle trigonométrique

L'essentiel

Décrire un vecteur

• COMPOSANTES : $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A})$ , l'EXTRÉMITÉ moins l'origine, jamais l'inverse.
• NORME : $\|\vec{u}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ . ORIENTATION : l'angle depuis l'axe des abscisses positives, dans le sens antihoraire, avec correction de quadrant si besoin.
• Dans l'autre sens : $a=\|\vec{u}\|\cos\theta$ et $b=\|\vec{u}\|\sin\theta$ . Les SIGNES obtenus doivent correspondre au quadrant annoncé.
• VECTEUR UNITAIRE : on divise chaque composante par la norme. Le contrôle est que la somme des carrés vaut $1$ .

Le triangle

6

4{,}5

7{,}5

est le

3

4

5

agrandi de moitié. La norme est l'hypoténuse, les composantes sont les deux cathètes.

Opérations, colinéarité, produit scalaire

• ADDITION, SOUSTRACTION et MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE : composante par composante, et le scalaire multiplie les DEUX composantes.
• COLINÉARITÉ : $(a\,;b)$ et $(c\,;d)$ sont colinéaires si $ad=bc$ . Trois points sont alignés si deux vecteurs issus du MÊME point le sont.
• PRODUIT SCALAIRE : $a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}$ , ou $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ . C'est un NOMBRE, et son signe donne la nature de l'angle.
• ORTHOGONALITÉ : produit scalaire NUL. On obtient un vecteur perpendiculaire en ÉCHANGEANT les composantes et en changeant un signe.

Projeter et décomposer

• LONGUEUR de la projection de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ : $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ . Elle peut être NÉGATIVE, ce qui signale un angle obtus.
• VECTEUR projeté : $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}$ . Norme SIMPLE pour une longueur, norme au CARRÉ pour un vecteur.
• DÉCOMPOSER $\vec{r}$ sur deux directions revient à résoudre un système de deux équations, une par composante. C'est possible si et seulement si les deux directions ne sont PAS colinéaires.
• Les composantes d'un vecteur ne sont rien d'autre que ses projections sur les deux axes : c'est la bonne façon de comprendre la notion.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Soustraire dans le mauvais sens

toute la question, le vecteur pointant à l'envers

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\vec{AB}=(x_{A}-x_{B}\,;y_{A}-y_{B})$

Ce qu'il faut écrire

$(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A})$

Pourquoi : Avec $A(1\,;2)$ et $B(7\,;6{,}5)$ , l'ordre fautif donne $(-6\,;-4{,}5)$ , qui est $\vec{BA}$ . Le moyen de ne plus se tromper : on part de $A$ et on ARRIVE en $B$ , donc c'est l'arrivée qui vient en premier dans la soustraction.

2. Traiter le produit scalaire comme un vecteur

1 à 2 points, et une expression qui n'a pas de sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}$

Ce qu'il faut écrire

$(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}$ , une multiplication par un scalaire

Pourquoi : Le produit scalaire de deux vecteurs est un NOMBRE, d'où son nom. Le produit scalaire d'un nombre et d'un vecteur n'est pas défini. L'associativité du produit ordinaire ne se transporte donc pas aux vecteurs, et l'écriture doit le refléter.

3. Simplifier par un vecteur

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}$ donc $\vec{v}=\vec{w}$

Ce qu'il faut écrire

Rien ne s'ensuit

Pourquoi : Contre-exemple : $\vec{u}=(4\,;3)$ , $\vec{v}=(-3\,;4)$ et $\vec{w}=(6\,;-8)$ donnent deux produits scalaires nuls, alors que $\vec{v}$ et $\vec{w}$ n'ont même pas la même norme. La règle du produit nul de l'algèbre ne vaut pas ici : un produit scalaire nul signifie PERPENDICULAIRE.

4. Additionner les normes au lieu des composantes

toute la question, et une distance surestimée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$

Ce qu'il faut écrire

$\sqrt{50}\approx 7{,}07$ contre $10$ : différents

Le trait plein est le chemin réellement parcouru,

134

cm ; le pointillé est la résultante,

78

cm. Le second est toujours le plus court.

Pourquoi : Contre-exemple : $(4\,;3)$ et $(-3\,;4)$ ont chacun une norme de $5$ , et leur somme $(1\,;7)$ a une norme de $7{,}07$ . On a seulement l'INÉGALITÉ TRIANGULAIRE, avec égalité uniquement si les deux vecteurs ont le même sens. C'est la distinction entre la distance PARCOURUE et le DÉPLACEMENT.

5. Diviser par la norme au lieu de son carré

toute la question, avec un vecteur trop long

Ce qu'il ne faut pas écrire

Vecteur projeté $=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\,\vec{v}$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v}$

Pourquoi : Avec $\vec{u}=(4\,;5)$ et $\vec{v}=(9\,;0)$ , la formule fautive donne $(36\,;0)$ , plus long que $\vec{v}$ lui-même, alors que la projection vaut $(4\,;0)$ . La règle : norme SIMPLE pour une longueur, norme au CARRÉ pour un vecteur.

6. Rejeter une longueur de projection négative

du temps perdu, et parfois une valeur absolue injustifiée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La longueur est négative, donc j'ai fait une erreur »

Ce qu'il faut écrire

Le signe indique un angle OBTUS

Pourquoi : La longueur de projection est ALGÉBRIQUE : son signe dit de quel côté la projection pointe. Avec $\vec{u}=(4\,;5)$ et $\vec{w}=(-3\,;1)$ , elle vaut environ $-2{,}21$ , et cela signifie simplement que l'angle dépasse $90$ degrés. Mettre une valeur absolue efface cette information.

7. Décomposer sur deux directions colinéaires

du temps perdu sur un système sans solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

Écrire $(11\,;7)$ comme combinaison de $(3\,;1)$ et $(6\,;2)$

Ce qu'il faut écrire

Impossible : les deux directions sont colinéaires

Pourquoi : Toute combinaison de deux vecteurs colinéaires reste sur une même DROITE. Vérifier $ad=bc$ avant de poser le système prend cinq secondes : ici $3\times 2=1\times 6$ , donc la décomposition est impossible pour tout vecteur hors de cette droite.

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon la question posée

Un énoncé vectoriel

Si On demande si deux vecteurs sont PARALLÈLES, ou trois points ALIGNÉS → Produits croisés : colinéaires si $ad=bc$

Exemple : $(6\,;-4)$ et $(-9\,;6)$ : $36=36$ , colinéaires de facteur $-1{,}5$
Si On demande un ANGLE, ou si deux vecteurs sont PERPENDICULAIRES → Produit scalaire, puis $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$

Exemple : $(4\,;3)\cdot(-3\,;4)=0$ : perpendiculaires
Si On demande la PART UTILE d'une force, ou une ombre → Projection orthogonale : norme simple pour une longueur, norme au carré pour un vecteur

Exemple : La part de $200$ N utile au serrage à $70$ degrés vaut $187{,}9$ N
Si On demande d'ÉCRIRE un vecteur à partir de deux directions → Décomposition : un système de deux équations, une par composante

Exemple : $(11\,;7)=3(3\,;1)+2(1\,;2)$

Deux branches sont souvent confondues : la colinéarité se teste par les produits CROISÉS, l'orthogonalité par le produit SCALAIRE. Les deux tests se ressemblent à l'écrit et n'ont rien à voir, l'un donnant un parallélisme et l'autre une perpendicularité.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un problème de décomposition de force

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'une force fait un angle avec une direction utile

1 Dire quelle direction est UTILE et pourquoi, en une phrase.
2 Écrire les deux composantes, perpendiculaire et parallèle, avec le bon rapport trigonométrique.
3 Calculer les deux, sans arrondir en cours de route.
4 Contrôler par Pythagore que les deux parts redonnent la force totale.
5 Répondre à la question posée, qui ne porte en général que sur UNE des deux parts.
6 Conclure par une phrase d'interprétation technique.

Phrase de conclusion

« Seule la part PERPENDICULAIRE au manche fait tourner le boulon. Elle vaut $200\sin 70^{\circ}\approx 187{,}9$ N ; la part parallèle, $200\cos 70^{\circ}\approx 68{,}4$ N, ne fait que tirer sur l'axe. Contrôle : $\sqrt{187{,}9^{2}+68{,}4^{2}}\approx 200$ N. Tirer à $90$ degrés rendrait toute la force utile. »

Le piège : Prendre le cosinus pour la part perpendiculaire. L'angle est mesuré DEPUIS le manche, donc c'est le sinus qui donne la part perpendiculaire à ce manche. Faire un schéma avant de choisir le rapport.

Barème : 1 point pour la direction utile identifiée, 2 points pour le schéma, 3 points pour les deux composantes, 2 points pour le contrôle de Pythagore, 2 points pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Pythagore sur une décomposition

Les deux composantes d'un vecteur décomposé doivent redonner sa norme par la somme des carrés. Un écart signale un rapport trigonométrique inversé.

$\sqrt{187{,}9^{2}+68{,}4^{2}}\approx 200$ N.
Le signe du produit scalaire contre le dessin

Un produit scalaire positif annonce un angle aigu, négatif un angle obtus, nul un angle droit. Le résultat doit correspondre à l'allure de la figure.

$(4\,;3)\cdot(-1\,;7)=17>0$ : l'angle de $61$ degrés est bien aigu.
La norme d'un vecteur unitaire

Après avoir divisé par la norme, la somme des carrés des composantes doit valoir exactement $1$ .

$0{,}832^{2}+0{,}555^{2}\approx 1$ .
Recalculer la somme d'une décomposition

Une fois les coefficients trouvés, on recalcule la combinaison et l'on doit retomber sur le vecteur de départ.

$3(3\,;1)+2(1\,;2)=(9\,;3)+(2\,;4)=(11\,;7)$ .

L'exercice type décortiqué

Le serrage d'un boulon, ou la part utile d'une force

Une clé dynamométrique de $45$ cm de long tourne autour de l'axe d'un boulon. Un mécanicien exerce une force de $200$ newtons dont la direction fait un angle de $70$ degrés avec le manche. Trouvez la part utile au serrage, puis comparez avec un tirage à $20$ degrés.

Le rectangle en pointillé montre les deux composantes de la force. Seule la VERTICALE, perpendiculaire au manche, fait tourner le boulon.

Étape 1

Seule la part PERPENDICULAIRE au manche fait tourner le boulon.

Pourquoi

La part parallèle tire sur l'axe sans rien serrer. Le dire en une phrase avant de calculer vaut un point, et cela oriente le choix du rapport trigonométrique.

Étape 2

Part perpendiculaire : $200\sin 70^{\circ}\approx 187{,}9$ N.

Pourquoi

L'angle étant mesuré DEPUIS le manche, c'est le sinus qui donne la composante perpendiculaire à ce manche. Un schéma rapide évite d'inverser sinus et cosinus.

Étape 3

Part parallèle : $200\cos 70^{\circ}\approx 68{,}4$ N.

Pourquoi

Cette part est entièrement perdue pour le serrage, et elle fatigue le montage. Un bon geste de mécanicien consiste précisément à la réduire.

Étape 4

Contrôle : $\sqrt{187{,}9^{2}+68{,}4^{2}}\approx 200$ N.

Pourquoi

Les deux composantes doivent redonner la force totale. Ce contrôle attrape immédiatement une inversion entre sinus et cosinus, qui laisserait la somme des carrés inchangée mais échangerait les deux parts.

Étape 5

À $20$ degrés : part utile $200\sin 20^{\circ}\approx 68{,}4$ N seulement.

Pourquoi

Presque trois fois moins pour le même effort du bras. Et la part perdue passe à $187{,}9$ N : les deux valeurs se sont exactement ÉCHANGÉES, puisque $20$ et $70$ degrés sont complémentaires.

Étape 6

Angle idéal : $90$ degrés, où la part utile vaut $200$ N et la part parallèle $0$ .

Pourquoi

C'est exactement ce que dit le produit scalaire : deux vecteurs perpendiculaires ont un produit scalaire nul, donc aucune projection l'un sur l'autre. Toute notice de serrage précise de tirer à angle droit, et voilà pourquoi.

Conclusion rédigée

$187{,}9$ N utiles à $70$ degrés, contre $68{,}4$ N seulement à $20$ degrés, et $200$ N à $90$ degrés.

L'erreur classique sur cet exercice : Multiplier la force entière par la longueur du manche. Seule la composante perpendiculaire compte, et prendre les $200$ N surestime le serrage de six pour cent à $70$ degrés, et du triple à $20$ degrés.

À savoir par cœur

• $\vec{AB}$ : l'EXTRÉMITÉ moins l'origine.
• Norme $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ; orientation depuis l'axe des $x$ positifs.
• Opérations : composante par composante.
• Colinéaires si $ad=bc$ : produits CROISÉS.
• Produit scalaire $=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}$ , un NOMBRE.
• Produit scalaire nul : PERPENDICULAIRES, pas forcément nuls.
• Projection, longueur : on divise par la norme.
• Projection, vecteur : on divise par la norme au CARRÉ.
• Une longueur de projection négative annonce un angle obtus.
• $\|\vec{u}+\vec{v}\|\le\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$ : le direct est le plus court.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un point et un vecteur ?

Un point dit où l'on se trouve, un vecteur dit de combien et dans quelle direction on se déplace. Un point est attaché à une position précise, un vecteur ne l'est pas : deux flèches tracées à des endroits différents représentent le même vecteur dès qu'elles ont les mêmes composantes. C'est cette liberté qui permet de déplacer les flèches pour les mettre bout à bout quand on les additionne.

Le produit scalaire est-il un vecteur ?

Non, c'est un nombre, et c'est précisément ce que signifie le mot scalaire. Il associe un nombre à deux vecteurs, et ce nombre porte une information sur l'angle entre eux : positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus. C'est aussi pourquoi une écriture comme le produit scalaire d'un nombre par un vecteur n'a aucun sens.

Un produit scalaire nul signifie-t-il qu'un des vecteurs est nul ?

Non, et c'est la grande différence avec un produit de nombres ordinaires. Un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires, ou bien que l'un d'eux est nul. Deux vecteurs de longueur cinq peuvent très bien avoir un produit scalaire nul s'ils forment un angle droit. La règle du produit nul de l'algèbre ne se transporte donc pas, et on ne simplifie jamais une égalité par un vecteur.

À quoi sert la projection orthogonale en pratique ?

Elle donne la part d'une grandeur qui agit vraiment dans une direction donnée. Quand on serre un boulon avec une clé, seule la part de la force perpendiculaire au manche fait tourner ; le reste tire sur l'axe sans rien serrer. Le même raisonnement sert pour une force sur une pente, pour l'ombre d'un objet, ou pour la composante utile d'un effort sur un câble. C'est l'usage le plus concret de tout le chapitre.

Pourquoi la norme d'une somme n'est-elle pas la somme des normes ?

Parce que les deux vecteurs ne pointent en général pas dans la même direction, et qu'une partie de leurs effets se compense. Additionner les longueurs reviendrait à supposer qu'on avance toujours tout droit. C'est l'inégalité triangulaire : le chemin direct est plus court que le détour, avec égalité seulement quand les deux déplacements vont exactement dans le même sens. La distance parcourue et le déplacement sont deux grandeurs différentes.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les vecteurs

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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