Math TS, secondaire 5 à Montréal • Géométrie analytique

Fiche de révision : les coniques

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des coniques du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : cercle, ellipse, hyperbole, parabole, coniques translatées et intersection avec une droite.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une conique n'est pas une formule à reconnaître, c'est un LIEU GÉOMÉTRIQUE, l'ensemble des points qui vérifient une condition de distance. La complétion du carré ne fait que rendre cette condition lisible, et c'est pour cela qu'elle est le premier geste de tout exercice du chapitre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
2Les logarithmes et le changement de baseSecondaire 4 TS
3Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
4La factorisationSecondaire 4 TS
5Les équations et les inéquationsSecondaire 4 TS
6Les systèmes d'équationsSecondaire 4 TS
7La géométrie analytiqueSecondaire 4 TS
8La complétion du carré et la formule quadratique
9Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue
10Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan

L'essentiel

Les quatre équations de référence

• CERCLE : $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ . On lit les signes À L'ENVERS, $y+4$ donnant $k=-4$ .
• ELLIPSE : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , avec $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ , un MOINS. L'axe focal est celui du PLUS GRAND dénominateur.
• HYPERBOLE : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , avec $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , un PLUS. L'axe focal est celui du terme POSITIF, quelle que soit la taille des dénominateurs.
• PARABOLE : $x^{2}=4cy$ , où $c$ est la distance du sommet au foyer, égale à celle du sommet à la directrice. Une SEULE variable est au carré.

Les FOYERS d'une ellipse sont toujours à l'INTÉRIEUR, entre le centre et les sommets :

c

est plus petit que

a

. Pour une hyperbole ce serait l'inverse.

Reconnaître, et les cas dégénérés

• UNE SEULE variable au carré : parabole. DEUX carrés de signes OPPOSÉS : hyperbole. DEUX carrés de MÊME signe : ellipse, et cercle si les coefficients sont égaux.
• APRÈS COMPLÉTION DU CARRÉ, le membre de droite décide : positif, un cercle ; NUL, un point unique ; NÉGATIF, l'ensemble vide.
• Ne jamais écrire un rayon imaginaire. La réponse attendue au cas négatif est « aucun point ».
• On COMPLÈTE toujours avant de conclure : la forme générale cache tout, la forme canonique donne centre, demi-axes et orientation d'un coup d'oeil.

Excentricité, asymptotes, tangence

• EXCENTRICITÉ $e=\dfrac{c}{a}$ : nulle pour un cercle, entre $0$ et $1$ pour une ellipse, supérieure à $1$ pour une hyperbole. Elle mesure l'aplatissement.
• ASYMPTOTES d'une hyperbole : $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ , obtenues en remplaçant le $1$ par $0$ . Ce sont les diagonales du RECTANGLE DIRECTEUR.
• HYPERBOLE CONJUGUÉE : on échange les signes. Mêmes asymptotes, même rectangle directeur, axe focal perpendiculaire.
• DROITE ET CONIQUE : on substitue, puis le DISCRIMINANT décide. Positif, deux points ; NUL, TANGENCE ; négatif, aucun point.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le centre sans inverser les signes

toute la question, foyers et sommets compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le centre de $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=36$ est $(-3\,;4)$

Ce qu'il faut écrire

$(3\,;-4)$

Pourquoi : La forme canonique contient des SOUSTRACTIONS : $y+4$ s'écrit $y-(-4)$ . Le contrôle est immédiat : au vrai centre le membre de gauche vaut $0$ , son minimum, alors qu'en $(-3\,;4)$ il vaut $100$ .

2. Prendre la racine sans regarder le signe

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=-5$ donne un rayon $\sqrt{-5}$

Ce qu'il faut écrire

Aucun point : l'ensemble est vide

Pourquoi : Une somme de deux carrés ne peut pas être négative. Après complétion, le membre de droite doit être examiné AVANT de prendre la racine : positif donne un cercle, nul un point unique, négatif rien du tout. L'examen pose ces deux cas exprès.

3. Appliquer le moins de l'ellipse à l'hyperbole

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ , $c=\sqrt{16-9}$

Ce qu'il faut écrire

$c=\sqrt{16+9}=5$

Pourquoi : Moins pour l'ellipse, PLUS pour l'hyperbole. La raison est géométrique : les foyers d'une ellipse sont entre le centre et les sommets, donc $c<a$ ; ceux d'une hyperbole sont au-DELÀ des sommets, donc $c>a$ . Si le $c$ trouvé est plus petit que $a$ sur une hyperbole, c'est faux.

4. Chercher l'axe focal d'une hyperbole sur la taille des dénominateurs

toute la question, foyers et sommets inversés

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{16}=1$ a son axe focal horizontal, $16$ étant le plus grand

Ce qu'il faut écrire

Il est VERTICAL : c'est le terme POSITIF qui porte l'axe

Le rectangle directeur mesure

2a

sur

2b

. Ses diagonales prolongées SONT les asymptotes, et elles sont les mêmes pour l'hyperbole et sa conjuguée.

Pourquoi : La règle du plus grand dénominateur ne vaut que pour l'ELLIPSE. Pour une hyperbole, c'est le SIGNE qui décide, et les dénominateurs peuvent être dans n'importe quel ordre. Le contrôle : poser $x=0$ ; si l'on trouve des solutions, l'axe focal est vertical.

5. Ramener les foyers à zéro sur une conique translatée

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les foyers de $\dfrac{(x-2)^{2}}{9}+\dfrac{(y+1)^{2}}{4}=1$ sont $(\pm\sqrt{5}\,;0)$

Ce qu'il faut écrire

$(2\pm\sqrt{5}\,;-1)$

Pourquoi : Tout se décale de $(h\,;k)$ , y compris les foyers, les sommets et les asymptotes. L'ordonnée des foyers est celle du CENTRE, donc $-1$ ici. On part toujours du centre et on avance de $c$ le long de l'axe focal.

6. Oublier de multiplier la constante par le coefficient mis en facteur

toute la mise sous forme canonique

Ce qu'il ne faut pas écrire

$4(x^{2}-4x)=4\left[(x-2)^{2}-4\right]$ donne $4(x-2)^{2}-4$

Ce qu'il faut écrire

$4(x-2)^{2}-16$

Pourquoi : Le crochet est multiplié par $4$ EN ENTIER, donc le $-4$ devient $-16$ . C'est l'erreur la plus fréquente de la complétion du carré avec coefficient, et elle se détecte en développant le résultat pour retrouver l'équation de départ.

7. Donner une abscisse au lieu d'un point

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'intersection est $x=-4$ et $x=3$ »

Ce qu'il faut écrire

$(-4\,;-3)$ et $(3\,;4)$

Pourquoi : Un point d'intersection a DEUX coordonnées. Après avoir résolu l'équation en $x$ , on remonte dans l'équation de la droite, la plus simple des deux, pour obtenir les ordonnées. Oublier cette remontée est une perte gratuite.

Quelle méthode choisir

Quelle conique, et que faire ensuite

Une équation du second degré en deux variables

Si UNE SEULE variable au carré → Parabole : on isole la variable au carré et on identifie $4c$

Exemple : $x^{2}=12y$ donne $c=3$ , foyer $(0\,;3)$ , directrice $y=-3$
Si Deux carrés, coefficients ÉGAUX et de même signe → Cercle : on complète le carré, puis on regarde le SIGNE du membre de droite

Exemple : $x^{2}+y^{2}-6x+8y-11=0$ donne un cercle de centre $(3\,;-4)$ et de rayon $6$
Si Deux carrés, coefficients de MÊME signe mais différents → Ellipse : on divise pour obtenir un $1$ à droite, puis $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

Exemple : $4x^{2}+9y^{2}=36$ donne $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$
Si Deux carrés, coefficients de signes OPPOSÉS → Hyperbole : le terme POSITIF porte l'axe focal, et $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Exemple : $4x^{2}-9y^{2}=36$ a son axe focal horizontal et $c=\sqrt{13}$

Les quatre branches supposent qu'on a d'abord tout ramené d'un même côté et complété les carrés. Un cas dégénéré n'apparaît qu'à ce moment-là, et il ne concerne que les deux branches à deux carrés de même signe.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une intersection droite-conique

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on demande les points communs, ou une condition de tangence

1 Isoler une variable dans l'équation de la DROITE, la plus simple des deux.
2 Substituer dans l'équation de la conique et développer.
3 Ramener à une équation du second degré sous forme standard.
4 Calculer le DISCRIMINANT et annoncer le nombre de points AVANT de résoudre.
5 Résoudre, puis REMONTER dans l'équation de la droite pour les ordonnées.
6 Vérifier chaque point dans les DEUX équations.

Phrase de conclusion

« Je substitue $y=x+1$ dans $x^{2}+y^{2}=25$ : $2x^{2}+2x-24=0$ , soit $x^{2}+x-12=0$ . Discriminant $1+48=49>0$ , donc DEUX points. Les racines sont $x=-4$ et $x=3$ , d'où, en remontant dans $y=x+1$ , les points $(-4\,;-3)$ et $(3\,;4)$ . Vérification : $16+9=25$ et $9+16=25$ . »

Le piège : Résoudre sans annoncer le discriminant. Le correcteur attend le nombre de points AVANT les points eux-mêmes, parce que c'est ce qui distingue une méthode d'un tâtonnement.

Barème : 1 point pour la substitution, 2 points pour l'équation obtenue, 2 points pour le discriminant et la conclusion sur le nombre de points, 2 points pour les racines, 2 points pour la remontée aux ordonnées, 1 point pour la vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Substituer un point trouvé dans les deux équations

Un point d'intersection doit satisfaire la droite ET la conique. Un seul des deux ne suffit pas.

$(3\,;4)$ : $3+1=4$ pour la droite, $9+16=25$ pour le cercle.
Comparer $c$ et $a$

Pour une ellipse, $c<a$ ; pour une hyperbole, $c>a$ . Un résultat qui viole cette inégalité signale un signe faux dans la relation.

Hyperbole avec $a=4$ : $c=5$ est cohérent, $c=\sqrt{7}$ ne l'est pas.
Développer la forme canonique obtenue

On redéveloppe et on doit retrouver l'équation générale de départ. C'est le contrôle de la complétion du carré avec coefficient.

$4(x-2)^{2}+9(y+1)^{2}=36$ redonne bien $4x^{2}+9y^{2}-16x+18y-11=0$ .
Tester un point sur la conique

On choisit un sommet annoncé et on vérifie qu'il satisfait l'équation. Un sommet qui ne tombe pas dessus signale une erreur de centre ou de demi-axe.

Sommet $(5\,;-1)$ dans $\dfrac{(x-2)^{2}}{9}+\dfrac{(y+1)^{2}}{4}=1$ : $1+0=1$ .

L'exercice type décortiqué

Une tour de refroidissement, de l'équation aux cotes

Le profil d'une tour de refroidissement suit $\dfrac{x^{2}}{900}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , où $x$ est le rayon et $y$ la hauteur comptée depuis le col, en mètres. Le col a $30$ m de rayon, et à $60$ m au-dessus du col le rayon vaut $42$ m. Trouvez $b$ , le diamètre à $50$ m sous le col, et la hauteur à laquelle le rayon atteint $50$ m.

Le col, à hauteur nulle, est l'endroit le plus étroit : c'est le SOMMET de l'hyperbole. Les pointillés sont les asymptotes, que la paroi approche de plus en plus haut.

Étape 1

Pour $y=0$ : $\dfrac{x^{2}}{900}=1$ , donc $x=30$ m.

Pourquoi

Le col est le SOMMET de l'hyperbole, là où les deux branches sont les plus proches. Cette vérification confirme que le repère est bien centré sur le col.

Étape 2

Avec $x=42$ et $y=60$ : $\dfrac{1764}{900}-\dfrac{3600}{b^{2}}=1$ , donc $\dfrac{3600}{b^{2}}=0{,}96$ et $b^{2}=3750$ .

Pourquoi

On substitue le point connu et on isole le paramètre inconnu. Le $b$ d'une hyperbole n'est pas une dimension visible de la tour : c'est lui qui règle la vitesse d'évasement.

Étape 3

$b=\sqrt{3750}\approx 61{,}24$ m.

Pourquoi

On garde $b^{2}$ en mémoire pour la suite : toutes les formules l'utilisent au carré, et repasser par le $b$ arrondi ferait perdre de la précision.

Étape 4

À $50$ m sous le col, $y=-50$ : $\dfrac{x^{2}}{900}=1+\dfrac{2500}{3750}=\dfrac{5}{3}$ , donc $x^{2}=1500$ et $x\approx 38{,}73$ m, soit un diamètre de $77{,}46$ m.

Pourquoi

Le carré efface le signe de $y$ : un point situé $50$ m plus haut aurait exactement le même rayon. L'hyperbole est symétrique par rapport au col, et la tour aussi, à ceci près qu'elle est tronquée différemment en haut et en bas.

Étape 5

Rayon de $50$ m : $\dfrac{2500}{900}-1=\dfrac{y^{2}}{3750}$ , donc $y^{2}\approx 6666{,}67$ et $y\approx 81{,}65$ m.

Pourquoi

On garde la racine POSITIVE, la question demandant la hauteur au-dessus du col. La racine négative donne le point symétrique, tout aussi réel mais hors sujet ici.

Étape 6

Asymptotes : pente $\pm\dfrac{61{,}24}{30}\approx\pm 2{,}04$ , soit $26{,}1$ degrés avec la verticale.

Pourquoi

C'est le cône dont la tour se rapproche sans jamais l'atteindre. Très haut au-dessus du col, la paroi devient pratiquement rectiligne, et c'est ce qui permet de la construire en barres droites inclinées.

Conclusion rédigée

$b\approx 61{,}24$ m ; un diamètre de $77{,}46$ m à $50$ m sous le col ; et un rayon de $50$ m atteint à $81{,}65$ m au-dessus du col.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $b$ pour une dimension mesurable de la tour. Ce paramètre ne correspond à aucune cote visible : il règle seulement la vitesse d'évasement, et c'est $a$ , le rayon du col, qui se mesure.

À savoir par cœur

• Cercle : $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ , signes lus à l'envers.
• Après complétion : positif un cercle, nul un point, négatif rien.
• Ellipse : $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ , un MOINS ; $c<a$ toujours.
• Hyperbole : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , un PLUS ; $c>a$ toujours.
• Ellipse : l'axe focal est celui du plus GRAND dénominateur.
• Hyperbole : l'axe focal est celui du terme POSITIF.
• Asymptotes : $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ , diagonales du rectangle directeur.
• Parabole : $x^{2}=4cy$ , foyer et directrice à la distance $c$ du sommet.
• Excentricité $e=\dfrac{c}{a}$ : $0$ , entre $0$ et $1$ , ou plus grand que $1$ .
• Droite et conique : on substitue, le discriminant décide.

Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on de lieu géométrique pour une conique ?

Parce que chaque conique se définit par une condition de distance, avant toute équation. Un cercle est l'ensemble des points à distance fixe d'un centre, une parabole l'ensemble des points à égale distance d'un point et d'une droite, une ellipse l'ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est constante. L'équation n'est que la traduction algébrique de cette condition, obtenue en écrivant les distances puis en simplifiant.

Pourquoi le signe change-t-il entre l'ellipse et l'hyperbole ?

Parce que les foyers ne sont pas placés de la même façon. Pour une ellipse, ils sont entre le centre et les sommets, donc la distance focale est plus petite que le demi-grand axe, ce qui donne une soustraction. Pour une hyperbole, ils sont au-delà des sommets, donc la distance focale est plus grande, ce qui donne une addition. Comparer la distance focale au demi-axe est d'ailleurs le meilleur contrôle d'un calcul.

Une équation du second degré décrit-elle toujours une vraie courbe ?

Non. Après avoir complété les carrés, le membre de droite peut être nul ou négatif. S'il est nul, la seule solution est le centre, donc l'ensemble se réduit à un point. S'il est négatif, aucun point du plan ne convient et l'ensemble est vide, puisqu'une somme de carrés ne peut pas être négative. Ces deux situations s'appellent des cas dégénérés, et les évaluations les posent volontiers.

À quoi servent les asymptotes d'une hyperbole ?

À tracer la courbe rapidement et à comprendre son comportement lointain. On dessine d'abord le rectangle formé par les demi-axes, on prolonge ses diagonales, et les deux branches viennent se loger dans les régions ainsi découpées en s'en approchant sans jamais les toucher. Dans un contexte technique, elles décrivent la forme limite que l'objet approche, par exemple le cône dont une tour de refroidissement se rapproche vers le haut.

Comment savoir si une droite touche une conique sans résoudre ?

On substitue l'équation de la droite dans celle de la conique, ce qui donne une équation du second degré à une seule inconnue, puis on calcule son discriminant sans aller plus loin. S'il est positif il y a deux points d'intersection, s'il est nul la droite est tangente, s'il est négatif elle passe à côté. C'est la méthode générale, et elle vaut pour toutes les coniques, alors que le calcul de la distance au centre ne fonctionne que pour un cercle.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les coniques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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