Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : les systèmes semi-linéaires et les régions du plan

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de systèmes du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : systèmes semi-linéaires, intersection d'une droite et d'une conique, et représentation des inéquations dans le plan cartésien.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Dès qu'une des deux équations est du second degré, la substitution ramène tout à UNE équation à UNE inconnue, et c'est son discriminant qui dit combien de points communs existent : deux, un seul en cas de tangence, ou aucun.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
2Les logarithmes et le changement de baseSecondaire 4 TS
3Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
4La factorisationSecondaire 4 TS
5Les équations et les inéquationsSecondaire 4 TS
6Les systèmes d'équationsSecondaire 4 TS
7La complétion du carré et la formule quadratique
8Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue

L'essentiel

Semi-linéaire veut dire substitution

• Un système est SEMI-LINÉAIRE quand une équation est du premier degré et l'autre du second. La réduction n'y sert à rien : additionner les deux équations ne fait disparaître aucune inconnue.
• On isole une variable dans l'équation du PREMIER degré, on la remplace dans l'autre, et il reste une équation du second degré à une inconnue.
• Peu importe la variable isolée : $x=y^{2}-3$ et $x=2y$ se traitent exactement comme deux $y$ isolés, en égalant les deux expressions de $x$ .
• Une solution est un COUPLE : après avoir trouvé la première coordonnée, on calcule toujours la seconde, puis on vérifie dans l'équation qui n'a PAS servi au report.

Le discriminant compte les points communs

• $\Delta>0$ : deux points d'intersection. $\Delta=0$ : un seul, la droite est TANGENTE. $\Delta<0$ : aucun point commun, et c'est un résultat, pas une erreur.
• Un discriminant nul signifie que la différence des deux expressions est un carré parfait, donc de signe CONSTANT : la droite reste du même côté et touche sans traverser.
• Une droite coupe une conique en DEUX points au plus, parce que la substitution donne toujours une équation du second degré : le coefficient dominant $1+m^{2}$ n'est jamais nul.
• Une question « pour quelle valeur du paramètre y a-t-il tangence » se résout en posant $\Delta=0$ , jamais en traçant.

Les trois droites ont la même pente. La plus haute coupe la parabole en deux points, celle du milieu la touche en un seul,

\Delta=0

, et la plus basse ne la rencontre jamais.

Les régions du plan

• Une inéquation à deux variables a pour ensemble-solution un DEMI-PLAN. La frontière est la droite d'équation correspondante.
• Trait PLEIN pour $\le$ et $\ge$ , POINTILLÉ pour $<$ et $>$ : le trait joue le rôle du crochet d'un intervalle.
• Le point test se choisit HORS de la frontière. $(0\,;0)$ est le plus commode, mais il ne sert à rien quand la droite passe par l'origine.
• Une frontière peut être une COURBE : $y\ge x^{2}-4$ et $y\le x+2$ décrivent la région comprise entre une parabole et une droite, et un point de la région doit vérifier les DEUX conditions.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la réduction à un système semi-linéaire

la moitié de la question, voire toute si la seconde solution manque

Ce qu'il ne faut pas écrire

$y=x^{2}-4$ et $y=x+2$ : on soustrait, donc $0=x^{2}-x-6$ et $x=3$ , réponse $x=3$

Ce qu'il faut écrire

La soustraction est légitime, mais elle ne dispense ni du second zéro, $x=-2$ , ni du calcul des ordonnées

Pourquoi : Sur deux expressions déjà isolées, égaler revient à soustraire, et c'est correct. Le piège est ailleurs : la réduction de deux DROITES élimine une inconnue et donne une solution unique, alors qu'ici l'équation restante est du second degré et en donne deux. Ce qui s'applique sans réfléchir à deux droites ne s'applique jamais tel quel ici.

2. Oublier la seconde coordonnée

1 à 2 points par question, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les solutions de $y=x^{2}-4x+5$ et $y=x+1$ sont $1$ et $4$

Ce qu'il faut écrire

Les solutions sont les couples $(1\,;2)$ et $(4\,;5)$

Pourquoi : Résoudre un système à deux inconnues, c'est donner des couples. La valeur trouvée après substitution n'est que la première coordonnée ; la seconde se calcule en reportant dans l'équation la plus simple, et la vérification se fait dans l'AUTRE.

3. Prendre l'absence de solution pour une erreur de calcul

le temps d'un exercice, et parfois une copie non terminée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$x^{2}=-1$ : on recommence le calcul, il doit y avoir une faute

Ce qu'il faut écrire

Aucun réel n'a un carré négatif : le système n'a pas de solution, la droite ne coupe pas la parabole

Pourquoi : Une droite et une parabole peuvent parfaitement ne pas se rencontrer. Le résultat se rédige tel quel, en une phrase, et il vaut tous les points. Le même réflexe vaut pour un discriminant négatif après substitution.

4. Confondre tangence et absence de point commun

toute la question, et souvent la valeur du paramètre demandée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\Delta=0$ , donc la droite ne touche pas la courbe

Ce qu'il faut écrire

$\Delta=0$ donne UN point de contact : la droite est tangente

Pourquoi : Un discriminant nul donne un zéro double, donc une abscisse de contact, comptée deux fois. C'est précisément le cas que les questions à paramètre cherchent : « pour quelle valeur de $m$ la droite est-elle tangente » se traduit par $\Delta=0$ , et il y a souvent DEUX valeurs de $m$ , symétriques.

5. Oublier la seconde valeur d'un paramètre

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$y=mx-4$ tangente à $y=x^{2}$ : $m^{2}=16$ , donc $m=4$

Ce qu'il faut écrire

$m=4$ ou $m=-4$ : il y a deux tangentes

Pourquoi : Une équation du type $m^{2}=k$ avec $k>0$ a toujours deux solutions opposées. Géométriquement, les deux tangentes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, ce qu'un croquis rapide rend évident.

6. Tracer la frontière en trait plein pour une inégalité stricte

1 point, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

$y>2x-3$ : on trace $y=2x-3$ en trait plein et on hachure au-dessus

Ce qu'il faut écrire

Frontière en POINTILLÉ, puis on hachure au-dessus

Pourquoi : Les points de la droite vérifient $y=2x-3$ , donc pas $y>2x-3$ : ils ne font pas partie de l'ensemble-solution. Le trait dit exactement ce que dit le crochet d'un intervalle, ouvert ou fermé.

7. Tester un point qui appartient à la frontière

toute la question, le demi-plan hachuré étant le mauvais

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $y>2x$ , on teste $(0\,;0)$ : $0>0$ est faux, donc on hachure en dessous

Ce qu'il faut écrire

$(0\,;0)$ est SUR la droite : il faut un autre point test, par exemple $(0\,;1)$

Pourquoi : Un point de la frontière ne renseigne sur aucun des deux côtés : l'inégalité y est fausse pour un signe strict, quelle que soit l'orientation. Avec $(0\,;1)$ , on obtient $1>0$ , vrai, et l'on hachure au-dessus.

8. Valider un point sur une seule inéquation du système

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(3\,;1)$ vérifie $y\le x+2$ , donc il est dans la région

Ce qu'il faut écrire

Il faut vérifier les DEUX : $1\ge 3^{2}-4=5$ est faux, donc le point est hors de la région

Le point plein est dans la région, il vérifie les deux inéquations. Le point creux, en

(3\,;1)

, vérifie celle de la droite mais pas celle de la parabole : il est dehors.

Pourquoi : Un système d'inéquations est une conjonction : la région est l'INTERSECTION des demi-plans ou des zones, pas leur réunion. Un point qui satisfait une contrainte et viole l'autre est dehors, et c'est le cas le plus courant en examen.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme du système

Un système de deux équations ou de deux inéquations à deux inconnues

La substitution donne

x^{2}+x-12=0

, donc

x=3

x=-4

: les deux points marqués. L'équation reste du second degré, et c'est pourquoi il ne peut jamais y en avoir trois.

Si Les deux équations sont du PREMIER degré → Comparaison, substitution ou réduction, au choix ; trois cas de figure

Exemple : C'est le chapitre de quatrième secondaire, pas celui-ci
Si Une équation du premier degré, une du SECOND → Substitution, puis équation du second degré et discriminant

Exemple : $y=x^{2}-4x+5$ et $y=x+1$ donnent $(1\,;2)$ et $(4\,;5)$
Si Une droite et une CONIQUE, cercle ou hyperbole → Substitution encore ; l'équation obtenue reste du second degré

Exemple : $x^{2}+y^{2}=25$ et $y=x+1$ donnent $(3\,;4)$ et $(-4\,;-3)$
Si Une SOMME et un PRODUIT, ou une somme et une somme de carrés → Les deux nombres sont les racines de $t^{2}-St+P=0$ ; avec les carrés, passer par $(x+y)^{2}$

Exemple : $x+y=7$ et $xy=12$ donnent $(3\,;4)$ et $(4\,;3)$
Si Des INÉQUATIONS → Frontière, trait plein ou pointillé, point test hors frontière, puis intersection des zones

Exemple : $y\ge x^{2}-4$ et $y\le x+2$ décrivent la zone entre la parabole et la droite

La question à se poser en premier est toujours la même : quel est le degré le plus élevé du système ? C'est lui qui interdit la réduction et qui annonce deux solutions plutôt qu'une.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une question de tangence à paramètre

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un énoncé demande pour quelle valeur d'un paramètre deux courbes se touchent, ou combien de points communs elles ont selon ce paramètre

1 Égaler les deux expressions et tout ramener d'un côté, sous la forme d'un trinôme en $x$ .
2 Écrire le discriminant en fonction du paramètre, sans le calculer numériquement.
3 Poser la condition demandée : $\Delta=0$ pour la tangence, $\Delta>0$ pour deux points, $\Delta<0$ pour aucun.
4 Résoudre en le paramètre, et donner TOUTES les valeurs trouvées.
5 Vérifier une valeur en revenant au système, et donner le point de contact.

Phrase de conclusion

« $x^{2}=mx-4$ donne $x^{2}-mx+4=0$ , de discriminant $m^{2}-16$ . Tangence si $m^{2}-16=0$ , donc $m=4$ ou $m=-4$ . Pour $m=4$ : $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}=0$ , contact en $(2\,;4)$ . »

Le piège : Calculer le discriminant avec une valeur numérique du paramètre choisie au hasard, puis conclure. Le discriminant doit rester une expression du paramètre jusqu'à la condition, sinon la question n'est pas traitée.

Barème : 1 point pour l'équation ramenée à zéro, 1 point pour le discriminant en fonction du paramètre, 1 point pour la condition posée, 1 point pour les deux valeurs. Une seule valeur donnée sur deux vaut la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier dans l'équation qui n'a pas servi

On reporte dans l'équation la plus simple pour obtenir la seconde coordonnée, donc on vérifie dans l'AUTRE. Vérifier dans celle qui a servi ne prouve rien.

Pour $(4\,;5)$ , on a calculé $y$ avec la droite ; on vérifie dans la parabole : $16-16+5=5$ .
Compter les points communs avant de les calculer

Le signe du discriminant annonce le nombre de solutions. Trouver deux points quand il est négatif, ou un seul quand il est positif, signale une erreur de substitution.

$\Delta=25>0$ annonce deux points ; une réponse à un seul couple est fausse avant relecture.
Contrôler une intersection avec un cercle par la distance au centre

Une droite coupe un cercle en deux points si sa distance au centre est inférieure au rayon, elle lui est tangente si la distance vaut le rayon.

Pour $x+y=4$ et le cercle de rayon $\sqrt{8}$ centré à l'origine : la distance vaut $\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ , donc tangence.
Tester un point de la région et un point hors de la région

Deux tests suffisent à valider un système d'inéquations : un point manifestement dedans doit vérifier toutes les conditions, un point manifestement dehors doit en violer au moins une.

$(0\,;0)$ vérifie $0\ge -4$ et $0\le 2$ ; $(3\,;1)$ échoue sur la première.

L'exercice type décortiqué

Une droite et un cercle, selon un paramètre

Le cercle a pour équation $x^{2}+y^{2}=50$ et la droite pour équation $y=x+c$ . Déterminez, selon $c$ , le nombre de points communs, puis donnez les points d'intersection pour $c=2$ .

Étape 1

Substitution : $x^{2}+(x+c)^{2}=50$ , donc $2x^{2}+2cx+c^{2}-50=0$ .

Pourquoi

La droite donne $y$ en fonction de $x$ , on la remplace dans le cercle. Le coefficient dominant vaut $2$ , il n'est pas nul : l'équation est bien du second degré, donc il y aura au plus deux points.

Étape 2

$\Delta=(2c)^{2}-4\times 2\times(c^{2}-50)=4c^{2}-8c^{2}+400=-4c^{2}+400$ .

Pourquoi

On garde $c$ comme lettre : c'est le discriminant en fonction du paramètre qui répond à la question, pas sa valeur en un point choisi au hasard.

Étape 3

$\Delta>0$ équivaut à $c^{2}<100$ , donc $-10<c<10$ : deux points. $\Delta=0$ pour $c=\pm 10$ : tangence. $\Delta<0$ pour $|c|>10$ : aucun point.

Pourquoi

L'inéquation $-4c^{2}+400>0$ se résout en divisant par $-4$ , ce qui RENVERSE le sens. Contrôle géométrique : la distance du centre à la droite vaut $\dfrac{|c|}{\sqrt{2}}$ , et elle égale le rayon $\sqrt{50}$ exactement quand $|c|=10$ .

Étape 4

Pour $c=2$ : $2x^{2}+4x-46=0$ , soit $x^{2}+2x-23=0$ , de discriminant $4+92=96$ .

Pourquoi

On divise par $2$ avant de résoudre, ce qui allège les nombres. Le discriminant $96$ est positif sans être un carré parfait : les points d'intersection auront des coordonnées irrationnelles, et c'est normal.

Étape 5

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{96}}{2}=\dfrac{-2\pm 4\sqrt{6}}{2}=-1\pm 2\sqrt{6}$ , puis $y=x+2=1\pm 2\sqrt{6}$ .

Pourquoi

On simplifie le radical avant de diviser, $\sqrt{96}=4\sqrt{6}$ , sinon la fraction ne se réduit pas. Les ordonnées se calculent avec la DROITE, l'équation la plus simple.

Étape 6

Points : $\left(-1+2\sqrt{6}\,;1+2\sqrt{6}\right)$ et $\left(-1-2\sqrt{6}\,;1-2\sqrt{6}\right)$ , soit environ $(3{,}90\,;5{,}90)$ et $(-5{,}90\,;-3{,}90)$ .

Pourquoi

Vérification dans le CERCLE, l'équation qui n'a pas servi au report : $3{,}90^{2}+5{,}90^{2}\approx 15{,}2+34{,}8=50$ . Les valeurs approchées servent au contrôle, les valeurs exactes vont sur la copie.

Conclusion rédigée

Deux points si $-10<c<10$ , un seul si $c=\pm 10$ , aucun sinon. Pour $c=2$ , les points sont $\left(-1+2\sqrt{6}\,;1+2\sqrt{6}\right)$ et $\left(-1-2\sqrt{6}\,;1-2\sqrt{6}\right)$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Ne donner que $c=10$ pour la tangence, en oubliant $c=-10$ , et arrondir les coordonnées au lieu de les laisser en radicaux quand l'énoncé ne demande pas de valeur approchée.

À savoir par cœur

• Semi-linéaire : substitution, jamais réduction.
• Une solution est un COUPLE : on calcule toujours la seconde coordonnée.
• On vérifie dans l'équation qui n'a PAS servi au report.
• $\Delta>0$ deux points, $\Delta=0$ tangence, $\Delta<0$ aucun point.
• Une droite coupe une conique en deux points au plus.
• Somme $S$ et produit $P$ : racines de $t^{2}-St+P=0$ .
• Avec une somme de carrés, passer par $(x+y)^{2}$ .
• Trait plein pour $\le$ et $\ge$ , pointillé pour $<$ et $>$ .
• Point test hors de la frontière, jamais dessus.
• Une région est une INTERSECTION : toutes les conditions à la fois.

Questions fréquentes

Pourquoi la méthode de réduction ne fonctionne-t-elle pas sur un système semi-linéaire ?

Parce que la réduction consiste à combiner les deux équations pour faire disparaître une inconnue, ce qui suppose que cette inconnue apparaisse au même degré dans les deux. Quand une équation contient un carré et l'autre non, aucune combinaison n'élimine quoi que ce soit. La substitution, elle, fonctionne toujours : on remplace la variable isolée et il ne reste qu'une inconnue.

Comment savoir si une droite est tangente à une courbe sans faire de graphique ?

On égale les deux expressions, on ramène tout d'un côté et on calcule le discriminant de l'équation du second degré obtenue. S'il est nul, il y a un seul point de contact, donc tangence. S'il est positif, la droite traverse en deux points, et s'il est négatif elle ne rencontre jamais la courbe. Le calcul est plus rapide et plus sûr qu'un tracé.

Un système de deux équations à deux inconnues peut-il avoir deux solutions ?

Oui, dès qu'une des équations est du second degré. Deux droites se coupent en un point, jamais deux, mais une droite et une parabole peuvent se couper en deux points, et c'est le cas le plus fréquent. La réponse comporte alors deux couples, et n'en donner qu'un fait perdre la moitié des points.

Quand trace-t-on la frontière d'une région en pointillé ?

Quand l'inégalité est stricte, c'est-à-dire lorsqu'elle utilise un signe plus petit ou plus grand sans égalité. Les points de la frontière ne font alors pas partie de la solution. Avec une inégalité large, ils en font partie et la frontière se trace en trait plein. Le trait joue exactement le rôle du crochet ouvert ou fermé d'un intervalle.

Pourquoi le point d'origine ne convient-il pas toujours comme point test ?

Parce qu'il faut tester un point qui n'est pas sur la frontière. Si la droite passe par l'origine, ce point appartient à la frontière et le test ne dit rien du côté à hachurer : l'inégalité y est fausse pour un signe strict, quelle que soit l'orientation de la région. On prend alors un autre point simple, situé clairement d'un côté.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Programmation linéaire et optimisation Les coniques

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