Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : la programmation linéaire et l'optimisation

Cette fiche de révision accompagne le chapitre d'optimisation du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : système de contraintes, polygone, fonction économique, solutions avantageuses et solutions optimales.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

L'optimum d'une fonction économique se trouve toujours sur le BORD du polygone, et presque toujours en un sommet. Le presque est le sujet du chapitre : quand la fonction économique est parallèle à un côté, tout le côté est optimal.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
2Les logarithmes et le changement de baseSecondaire 4 TS
3Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
4La factorisationSecondaire 4 TS
5Les équations et les inéquationsSecondaire 4 TS
6Les systèmes d'équationsSecondaire 4 TS
7La complétion du carré et la formule quadratique
8Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue
9Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan

L'essentiel

Traduire, et le sens de chaque inégalité

• Une RESSOURCE limitée donne un $\le$ : « disponible », « au plus », « il reste ». Une EXIGENCE donne un $\ge$ : « au moins », « il faut », « pas moins de ».
• Chaque contrainte concerne UNE ressource et prend un coefficient dans chaque colonne de produit. Lire un tableau en diagonale, c'est mélanger deux machines dans une même inéquation.
• Les contraintes de non-négativité $x\ge 0$ et $y\ge 0$ s'écrivent toujours : sans elles, le polygone n'est pas fermé et deux sommets manquent.
• Une contrainte de minimum, comme $y\ge 40$ , coupe le polygone par le BAS et déplace deux sommets ; elle ne se traite pas autrement que les autres.

Le polygone, ses sommets, la table

• Les sommets se CALCULENT, en résolvant le système des deux frontières qui s'y croisent. Le graphique sert seulement à savoir LESQUELLES se croisent.
• Sur un axe, on garde la PLUS PETITE des deux ordonnées à l'origine dans un problème de maximum : c'est la contrainte la plus serrée qui décide.
• La table des sommets s'écrit EN ENTIER, une ligne par sommet, même pour un sommet visiblement mauvais. C'est elle qui justifie la réponse, et le barème la compte.
• Le théorème : une fonction économique linéaire atteint son extremum sur le BORD, et un sommet au moins le réalise. Tester quatre points remplace donc l'examen d'une infinité.

Avantageuse, optimale, et le cas du côté entier

• Une solution OPTIMALE donne la meilleure valeur. Une solution AVANTAGEUSE atteint seulement un SEUIL fixé : l'ensemble des solutions avantageuses est une RÉGION, pas un point.
• La pente de la fonction économique $ax+by$ vaut $-\dfrac{a}{b}$ . Comparée aux pentes des côtés, elle prévoit le sommet optimal AVANT toute table.
• Si cette pente égale celle d'un côté, tout le côté est optimal : deux sommets voisins donnent la même valeur, et la réponse est un SEGMENT.
• Une contrainte est ACTIVE quand elle est saturée à l'optimum. Seule une contrainte active vaut la peine d'être desserrée, et une contrainte inactive peut être retirée sans rien changer.

La droite de niveau en pointillé est parallèle au côté supérieur : les deux sommets marqués donnent la même valeur, et tout le segment qui les joint est optimal.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Traduire une ressource avec un $\ge$

toute la question : le polygone est du mauvais côté, donc tous les sommets sont faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La découpeuse est disponible 600 minutes » donne $2x+y\ge 600$

Ce qu'il faut écrire

$2x+y\le 600$

Pourquoi : « Disponible » plafonne : on ne peut pas utiliser plus de temps qu'il n'y en a. Le test tient en un point : le couple $(0\,;0)$ , qui n'utilise aucune machine, doit être réalisable ; avec un $\ge$ , il ne le serait pas, ce qui est absurde.

2. Mélanger les colonnes d'un tableau

toute la question, et l'erreur est invisible ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2$ min de découpe par support et $3$ min de soudure par console donnent $2x+3y\le 600$

Ce qu'il faut écrire

La découpe prend $2$ min par support et $1$ min par console : $2x+y\le 600$

Pourquoi : Une contrainte porte sur UNE ressource, donc elle lit une LIGNE du tableau, pas une diagonale. Le contrôle : chaque inéquation doit contenir le temps des deux produits pour la même machine, et le second membre doit être la capacité de cette machine-là.

3. Lire les sommets sur le dessin

2 à 3 points, et un profit faux de quelques dizaines de dollars

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le sommet est à peu près $(175\,;245)$ »

Ce qu'il faut écrire

On résout $2x+y=600$ et $x+3y=900$ , ce qui donne exactement $(180\,;240)$

Pourquoi : Sur un graphique à pas de $60$ , aucune lecture n'est fiable au-delà de la dizaine. Le graphique dit QUELLES frontières se croisent ; le système donne les coordonnées. Avec $(175\,;245)$ , le profit annoncé serait $2835$ dollars au lieu de $2820$ , et le point n'est même pas réalisable.

4. Abréger la table des sommets

2 points de méthode, même quand la réponse est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le sommet $(180\,;240)$ est manifestement le meilleur, donc $P=2820$ dollars »

Ce qu'il faut écrire

Les quatre sommets sont évalués, puis on conclut

Pourquoi : Le barème paie la table, pas l'intuition. Et l'intuition se trompe : avec la fonction $R=30x+10y$ , c'est $(300\,;0)$ qui l'emporte, et non le sommet intérieur. Le sommet optimal dépend de la PENTE de la fonction économique, pas de la forme du polygone.

5. Confondre avantageuse et optimale

toute la question, et une mauvaise décision de gestion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le plan $(120\,;230)$ rapporte plus que le seuil, donc c'est la solution optimale »

Ce qu'il faut écrire

Il est avantageux, il rapporte $2440$ dollars ; l'optimal rapporte $2820$ dollars

Pourquoi : Un seuil n'est pas un maximum. L'ensemble des solutions avantageuses est une RÉGION, délimitée par la droite de niveau du seuil, et la solution optimale n'en est qu'un point, celui qui pousse cette droite le plus loin possible.

6. Réduire un côté optimal à un seul sommet

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le maximum de $Q=2x+6y$ est atteint en $(180\,;240)$ »

Ce qu'il faut écrire

Il est atteint en tout point du segment joignant $(0\,;300)$ à $(180\,;240)$

Pourquoi : Deux sommets voisins donnant la même valeur est le signal : la fonction économique est parallèle au côté. Ici $-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}$ , exactement la pente de la frontière $x+3y=900$ . La réponse attendue décrit le segment, et mentionne qu'il y a une infinité de plans optimaux.

7. Déclarer une région non bornée sans solution

toute la question, dans un problème de minimisation qui est pourtant classique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La région n'est pas bornée, donc il n'y a pas d'optimum »

Ce qu'il faut écrire

Le coût minimal existe et vaut $280$ dollars ; c'est le coût MAXIMAL qui n'existe pas

La région s'étend vers le haut et la droite, sans limite : aucun coût maximal. Le bord inférieur, lui, est borné par trois sommets, et il porte le minimum.

Pourquoi : Dans une région non bornée, l'extremum existe du côté où la région est FERMÉE. Avec des contraintes « au moins », la région s'ouvre vers les grandes quantités, donc le coût y croît sans limite, mais le bord inférieur est borné et porte le minimum. Il faut le dire avant de conclure.

8. Oublier de comparer le gain au coût d'une ressource louée

1 à 2 points, et la conclusion de tout un problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le profit augmente de 168 dollars, donc la location est intéressante »

Ce qu'il faut écrire

Elle coûte $150$ dollars : le gain net est de $18$ dollars

Pourquoi : Une question de rentabilité demande une DÉCISION, donc une comparaison. Le calcul par minute rend la comparaison possible entre plusieurs ressources : ici $168$ dollars pour $120$ minutes, soit $1{,}40$ dollar la minute, à comparer au prix de location par minute.

Quelle méthode choisir

Que faire, selon ce que l'énoncé demande

Un problème d'optimisation, une fois les contraintes écrites

Si On demande le MEILLEUR plan → Sommets, table complète, conclusion en une phrase du contexte

Exemple : $(180\,;240)$ pour $2820$ dollars de profit
Si On fixe un SEUIL à atteindre → Ajouter l'inéquation du seuil et décrire la RÉGION des solutions avantageuses

Exemple : $5x+8y\ge 2400$ en plus des quatre contraintes
Si Deux sommets donnent la MÊME valeur → La fonction économique est parallèle à un côté : tout le segment est optimal

Exemple : $Q=2x+6y$ vaut $1800$ en $(0\,;300)$ et en $(180\,;240)$
Si La région n'est pas BORNÉE → Vérifier de quel côté elle est fermée : le minimum existe, le maximum souvent pas

Exemple : $C=40x+30y$ vaut au minimum $280$ dollars en $(4\,;4)$
Si On peut ACHETER de la ressource → Refaire le calcul avec la contrainte desserrée, puis comparer le gain au prix

Exemple : $120$ minutes de plus rapportent $168$ dollars et coûtent $150$ dollars

Avant toute table, calculer la pente de la fonction économique et la comparer à celles des côtés : cela annonce le sommet optimal et détecte le cas du côté entier.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un problème d'optimisation complet

Quand l'utiliser : À chaque situation-problème du chapitre, c'est le format attendu de bout en bout

1 Définir les variables en toutes lettres, avec leur unité.
2 Écrire le système de contraintes, non-négativité comprise.
3 Tracer le polygone et NOMMER les frontières qui se croisent en chaque sommet.
4 Calculer chaque sommet en résolvant le système correspondant.
5 Écrire la fonction économique, puis la table complète des sommets.
6 Conclure par une phrase qui répond à la question posée, avec les unités.

Phrase de conclusion

« Soit $x$ le nombre de supports et $y$ le nombre de consoles. Contraintes : $2x+y\le 600$ , $x+3y\le 900$ , $x\ge 0$ , $y\ge 0$ . Sommets : $(0\,;0)$ , $(300\,;0)$ , $(180\,;240)$ et $(0\,;300)$ . Avec $P=5x+8y$ , la table donne $0$ , $1500$ , $2820$ et $2400$ . L'atelier doit produire $180$ supports et $240$ consoles, pour un profit de $2820$ dollars par semaine. »

Le piège : Conclure par « le maximum est 2820 » sans dire de quoi il s'agit ni à quel plan il correspond. La dernière phrase doit se lire par quelqu'un qui n'a pas suivi le calcul.

Barème : 1 point pour les variables définies, 2 points pour le système, 2 points pour les sommets calculés, 2 points pour la table, 1 point pour la phrase de conclusion. Une réponse juste sans table plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester le sommet dans TOUTES les contraintes

Un sommet calculé doit satisfaire les contraintes qui n'ont pas servi à le trouver. Sinon il est hors du polygone.

$(280\,;40)$ vient de $2x+y=600$ et $y=40$ ; on vérifie la soudure, $280+120=400\le 900$ .
Comparer la pente de la fonction économique à celles des côtés

Une pente comprise entre celles de deux côtés désigne le sommet qu'ils forment. Une pente plus raide ou plus douce désigne un sommet d'axe.

Les côtés ont pour pentes $-2$ et $-\dfrac{1}{3}$ ; $P$ a pour pente $-0{,}625$ , donc l'optimum est le sommet intérieur.
Vérifier la saturation des ressources

Un optimum en sommet intérieur sature les deux contraintes qui s'y croisent. Un reste non nul signale une erreur de calcul du sommet.

En $(180\,;240)$ : découpe $600$ sur $600$ , soudure $900$ sur $900$ , rien ne reste.
Contrôler l'ordre de grandeur du résultat

Le profit optimal doit dépasser celui de chaque sommet d'axe, et rester inférieur à ce que donnerait une ressource illimitée.

$2820$ dollars dépasse bien $1500$ et $2400$ , et reste sous les $3000$ dollars que donnerait la seule contrainte de soudure.

L'exercice type décortiqué

Un polygone, deux fonctions économiques

Sur le polygone défini par $2x+y\le 600$ , $x+3y\le 900$ , $x\ge 0$ et $y\ge 0$ , comparez le plan qui maximise le profit $P=5x+8y$ et celui qui maximise le chiffre d'affaires $R=30x+10y$ .

La droite de niveau du profit optimal touche le polygone au seul sommet

(180\,;240)

: sa pente,

-0{,}625

, est comprise entre celles des deux côtés,

-2

-\dfrac{1}{3}

Étape 1

Sommets : $(0\,;0)$ , $(300\,;0)$ , $(180\,;240)$ et $(0\,;300)$ .

Pourquoi

Le sommet intérieur vient du système $2x+y=600$ et $x+3y=900$ . Les deux sommets d'axe viennent de la contrainte la plus serrée sur chaque axe, $300$ pour la découpe et $300$ pour la soudure.

Étape 2

$P$ vaut $0$ , $1500$ , $2820$ et $2400$ . Maximum $2820$ en $(180\,;240)$ .

Pourquoi

La table complète est la justification. On remarque au passage que le sommet intérieur sature les deux machines, ce qui est cohérent avec un optimum au croisement.

Étape 3

$R$ vaut $0$ , $9000$ , $7800$ et $3000$ . Maximum $9000$ en $(300\,;0)$ .

Pourquoi

Même polygone, autre fonction économique, autre sommet. C'est la démonstration que l'optimum ne dépend pas seulement de la forme de la région.

Étape 4

Pentes : $-\dfrac{5}{8}=-0{,}625$ pour $P$ , $-\dfrac{30}{10}=-3$ pour $R$ . Les côtés ont pour pentes $-2$ et $-\dfrac{1}{3}$ .

Pourquoi

La pente de $P$ est comprise entre celles des deux côtés, donc la droite de niveau sort par le coin qu'ils forment. Celle de $R$ est plus raide que $-2$ , donc elle sort par la droite, en $(300\,;0)$ . Ce raisonnement prévoit le sommet sans table.

Étape 5

Le plan du comptable rapporte $7800$ dollars de chiffre d'affaires, celui du gérant $1500$ dollars de profit.

Pourquoi

Chacun perd sur le critère de l'autre, et le chiffrage rend la discussion possible. C'est ce que la compétence « raisonnement » attend : pas un choix arbitraire, mais deux nombres et une phrase.

Conclusion rédigée

Le profit est maximal en $(180\,;240)$ , à $2820$ dollars ; le chiffre d'affaires est maximal en $(300\,;0)$ , à $9000$ dollars. Le sommet optimal dépend de la pente de la fonction économique.

L'erreur classique sur cet exercice : Croire qu'un même polygone a un seul « meilleur sommet ». Le polygone décrit ce qui est possible, la fonction économique décide de ce qui est souhaitable, et changer l'une déplace l'optimum.

À savoir par cœur

• Ressource limitée : $\le$ . Exigence : $\ge$ .
• Non-négativité toujours écrite, sinon deux sommets manquent.
• Les sommets se calculent, le graphique dit seulement lesquelles se croisent.
• Table complète, une ligne par sommet, même les mauvais.
• Pente de $ax+by$ : $-\dfrac{a}{b}$ , à comparer aux pentes des côtés.
• Deux sommets à la même valeur : tout le côté est optimal.
• Avantageuse, c'est un seuil ; optimale, c'est le maximum.
• Région non bornée : le minimum existe, le maximum rarement.
• Contrainte active, c'est-à-dire saturée : la seule qu'il vaille la peine d'acheter.
• Conclure par une phrase du contexte, avec les unités.

Questions fréquentes

Pourquoi suffit-il de tester les sommets d'un polygone de contraintes ?

Parce que la fonction économique est linéaire. Le long d'un côté, elle varie de façon régulière, donc sa plus grande valeur sur ce côté est atteinte à l'une de ses deux extrémités. À l'intérieur de la région, on peut toujours se déplacer dans la direction qui la fait croître jusqu'à toucher le bord. Tester quelques sommets remplace donc l'examen d'une infinité de points.

Quelle est la différence entre une solution avantageuse et une solution optimale ?

Une solution optimale donne la meilleure valeur possible de la fonction économique. Une solution avantageuse se contente d'atteindre un objectif fixé d'avance, un seuil. Il y a donc en général une seule solution optimale et toute une région de solutions avantageuses. Une entreprise choisit souvent une solution avantageuse plutôt que l'optimale, pour des raisons que le calcul ne mesure pas.

Peut-il y avoir plusieurs solutions optimales ?

Oui, et c'est le cas dès que la fonction économique a la même pente qu'un côté du polygone. Tous les points de ce côté donnent alors exactement la même valeur, donc il y en a une infinité. Le signal est simple à repérer dans la table : deux sommets voisins affichent le même résultat. La réponse attendue décrit alors le segment entier.

Une région non bornée peut-elle avoir une solution optimale ?

Oui, du côté où elle est fermée. Un problème de minimisation avec des exigences minimales ouvre la région vers les grandes quantités : le coût y augmente sans limite, donc il n'y a pas de maximum, mais le bord inférieur est borné et porte le minimum. Il faut vérifier ce sens avant de conclure, et le dire dans la rédaction.

À quoi sert de savoir qu'une contrainte est active ?

Une contrainte active est saturée à l'optimum : la ressource correspondante est utilisée en totalité. C'est la seule qu'il vaille la peine d'augmenter, puisque desserrer une contrainte qui n'était pas atteinte ne déplace rien. Cette lecture transforme un exercice scolaire en décision d'atelier, et les questions de rentabilité en dépendent toutes.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Programmation linéaire et optimisation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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L'essentiel

Traduire, et le sens de chaque inégalité

Le polygone, ses sommets, la table

Avantageuse, optimale, et le cas du côté entier

Les pièges qui coûtent des points

1. Traduire une ressource avec un ≥\ge≥

2. Mélanger les colonnes d'un tableau

3. Lire les sommets sur le dessin

4. Abréger la table des sommets

5. Confondre avantageuse et optimale

6. Réduire un côté optimal à un seul sommet

7. Déclarer une région non bornée sans solution

8. Oublier de comparer le gain au coût d'une ressource louée

Quelle méthode choisir

Que faire, selon ce que l'énoncé demande

La rédaction attendue

Rédiger un problème d'optimisation complet

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un polygone, deux fonctions économiques

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi suffit-il de tester les sommets d'un polygone de contraintes ?

Quelle est la différence entre une solution avantageuse et une solution optimale ?

Peut-il y avoir plusieurs solutions optimales ?

Une région non bornée peut-elle avoir une solution optimale ?

À quoi sert de savoir qu'une contrainte est active ?

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1. Traduire une ressource avec un $\ge$