Exercices corrigés : les coniques (math TS, secondaire 5)

$x^{2}+y^{2}=40$ est un cercle centré à l'origine avec $r^{2}=40$, donc $r=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6{,}32$. Piège : répondre $40$, qui est le CARRÉ du rayon.

On complète les carrés : $x^{2}+10x=(x+5)^{2}-25$ et $y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4$. L'équation devient $(x+5)^{2}+(y-2)^{2}=25+4+7=36$, donc $r=6$, et le centre est $(-5\,;2)$. Piège : oublier de reporter les $25$ et $4$ ajoutés, ce qui laisse $r^{2}=7$.

Le plus grand dénominateur, $289$, est sous $x^{2}$ : $a^{2}=289$ et $b^{2}=64$. Alors $c^{2}=289-64=225$ et $c=15$.

Le plus grand dénominateur est cette fois sous $y^{2}$ : l'axe focal est vertical, $a^{2}=100$ et $b^{2}=36$. Donc $c^{2}=100-36=64$ et $c=8$. Piège : faire $36-100$ parce que le $x^{2}$ vient en premier ; on soustrait toujours le petit du grand.

On divise par $60$ pour obtenir $1$ à droite : $\dfrac{x^{2}}{20}+\dfrac{y^{2}}{30}=1$. Le plus grand dénominateur est $30$, sous $y^{2}$, donc $c^{2}=30-20=10$ et $c=\sqrt{10}\approx 3{,}16$. Piège : lire $3$ et $2$ comme des dénominateurs ; ce sont des COEFFICIENTS, et $3x^{2}=\dfrac{x^{2}}{20}\times 60$.

$a^{2}=49$ et $b^{2}=24$, donc $c^{2}=49-24=25$, $c=5$ et $a=7$. L'excentricité vaut $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{7}\approx 0{,}714$, bien comprise entre $0$ et $1$. Piège : diviser par $b$ ou par $a^{2}$.

Le terme positif est en $x^{2}$ : $a^{2}=36$, $b^{2}=64$, et pour une hyperbole $c^{2}=36+64=100$, donc $c=10$. Piège : $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, qui donnerait $-28$ ; le signe négatif suffit à dire que la formule est la mauvaise.

Le terme positif est en $y^{2}$ : l'axe focal est vertical, avec $b^{2}=20$ sous $y^{2}$ et $a^{2}=16$ sous $x^{2}$. Toujours $c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+20=36$, donc $c=6$. Piège : $20-16=4$, la relation de l'ellipse appliquée parce que $20$ est le plus grand dénominateur ; pour l'hyperbole, la taille des dénominateurs ne décide de rien.

On divise par $784$ : $\dfrac{x^{2}}{49}-\dfrac{y^{2}}{16}=1$, donc $a=7$ et $b=4$. Les asymptotes sont $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{4}{7}x$ et la pente positive vaut $\dfrac{4}{7}\approx 0{,}57$. Piège : lire $\dfrac{16}{49}$ ou $\dfrac{7}{4}$ sur les coefficients de départ, avant d'avoir normalisé : le coefficient $16$ de $x^{2}$ devient le dénominateur de $y^{2}$.

$x^{2}=20y$ s'écrit $x^{2}=4cy$ avec $4c=20$, donc $c=5$ : le foyer est à $5$ du sommet, en $(0\,;5)$. Pour $y^{2}=-6x$, $4c=-6$ donne $c=-1{,}5$ : la parabole s'ouvre vers la GAUCHE, et la distance du sommet au foyer vaut $1{,}5$. Piège : prendre $20$ ou $6$, c'est-à-dire $4c$, pour la distance.

Le plus grand dénominateur, $41$, est sous $(y-5)^{2}$ : l'axe focal est vertical, et $c^{2}=41-16=25$, donc $c=5$. La translation ne change pas $c$, elle déplace seulement le centre en $(-3\,;5)$. Les foyers sont à $5$ au-dessus et au-dessous du centre, donc le plus haut a pour ordonnée $5+5=10$. Piège : placer les foyers en $(0\,;\pm 5)$, comme si le centre était l'origine.

On groupe et on met $4$ en facteur dans les termes en $y$ : $(x^{2}-6x)+4(y^{2}+4y)+9=0$. Puis $(x-3)^{2}-9+4\left[(y+2)^{2}-4\right]+9=0$, soit $(x-3)^{2}+4(y+2)^{2}=16$, et en divisant par $16$ : $\dfrac{(x-3)^{2}}{16}+\dfrac{(y+2)^{2}}{4}=1$. Donc $c^{2}=16-4=12$ et $c=2\sqrt{3}\approx 3{,}46$. Piège : reporter $-4$ au lieu de $-16$, en oubliant de multiplier par le $4$ sorti en facteur.

On groupe et on complète : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ et $y^{2}+8y=(y+4)^{2}-16$. L'équation devient $(x-3)^{2}-9+(y+4)^{2}-16-11=0$, soit $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=36$. Centre $(3\,;-4)$, rayon $\sqrt{36}=6$. Attention au signe : le centre est $(3\,;-4)$ et non $(-3\,;4)$, la forme canonique contenant des SOUSTRACTIONS.

Les mêmes complétions donnent $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}-25+25=0$, soit $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=0$. Une somme de deux carrés est nulle seulement si les DEUX sont nuls : l'unique solution est $x=3$ et $y=-4$. L'équation décrit donc un POINT, appelé cercle dégénéré de rayon nul.

Cette fois $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=-5$. Une somme de deux carrés ne peut pas être négative : AUCUN point du plan ne convient, l'ensemble est VIDE. Il ne faut surtout pas écrire $r=\sqrt{-5}$ et conclure à un rayon imaginaire : la réponse attendue est « aucun point ».

Après complétion, si le membre de droite est STRICTEMENT POSITIF, on a un cercle de rayon sa racine ; s'il est NUL, un point unique ; s'il est NÉGATIF, l'ensemble vide. Le réflexe de prendre la racine carrée sans regarder le signe fait passer à côté des deux derniers cas, et l'examen les pose exprès.

Le plus grand dénominateur est $25$, sous le $x^{2}$ : l'axe focal est HORIZONTAL, donc $a^{2}=25$ et $a=5$, $b^{2}=9$ et $b=3$. Alors $c^{2}=25-9=16$ et $c=4$. Les sommets de l'axe focal sont $(\pm 5\,;0)$, ceux de l'axe secondaire $(0\,;\pm 3)$, et les foyers sont $(\pm 4\,;0)$, TOUJOURS sur l'axe focal.

$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$. Comme l'excentricité est proche de $1$, l'ellipse est nettement allongée : ses foyers sont éloignés du centre par rapport à sa demi-longueur. Une excentricité proche de $0$ donnerait au contraire une forme presque circulaire.

Le plus grand dénominateur est maintenant sous le $y^{2}$ : l'axe focal devient VERTICAL. On a $a^{2}=25$ et $b^{2}=9$ comme avant, mais l'axe a tourné : les sommets sont $(0\,;\pm 5)$ et les foyers $(0\,;\pm 4)$. Le repère n'a pas changé, seule l'orientation de l'ellipse, et c'est la position du plus grand dénominateur qui le dit.

Pour un cercle, $a=b$, donc $c^{2}=a^{2}-b^{2}=0$ et $c=0$ : les deux foyers sont confondus avec le centre, et $e=\dfrac{0}{a}=0$. Un cercle est donc l'ellipse d'excentricité nulle, ce qui unifie les deux courbes au lieu d'en faire deux objets sans rapport.

Le terme POSITIF est celui en $x^{2}$, donc l'axe focal est horizontal, $a^{2}=16$ et $a=4$, $b^{2}=9$ et $b=3$. Ici $c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25$, donc $c=5$ : c'est un PLUS, contrairement à l'ellipse. Sommets $(\pm 4\,;0)$ ; foyers $(\pm 5\,;0)$, plus loin que les sommets, ce qui est toujours le cas pour une hyperbole.

Les asymptotes sont $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{3}{4}x$. Elles viennent du RECTANGLE DIRECTEUR, de $2a$ de large et $2b$ de haut, centré à l'origine : les asymptotes en sont les diagonales prolongées. Pour les retrouver par le calcul, on remplace le $1$ du membre de droite par $0$, ce qui donne $\dfrac{x^{2}}{16}=\dfrac{y^{2}}{9}$, donc $y=\pm\dfrac{3}{4}x$.

La conjuguée échange les signes : $\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{16}=1$. Cette fois le terme positif est en $y^{2}$, donc l'axe focal est VERTICAL, avec $c^{2}=9+16=25$ encore, donc des foyers en $(0\,;\pm 5)$ et des sommets en $(0\,;\pm 3)$.

Elles ont les MÊMES asymptotes et le même rectangle directeur, puisque $a$ et $b$ ne changent pas. Elles ont même la même distance focale. Ce qui les distingue est l'ORIENTATION : l'une s'ouvre à gauche et à droite, l'autre vers le haut et le bas, et les deux paires de branches se logent dans les quatre régions que les asymptotes découpent.

La distance de $P$ au foyer est $\sqrt{(x-0)^{2}+(y-3)^{2}}$. La distance de $P$ à la droite horizontale $y=-3$ est $|y-(-3)|=|y+3|$. L'égalité s'écrit $\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}=|y+3|$. Écrire ces deux distances est l'étape qui vaut le plus de points, et c'est celle qu'on saute le plus souvent.

On élève au carré, ce qui est licite les deux membres étant positifs : $x^{2}+y^{2}-6y+9=y^{2}+6y+9$. Les $y^{2}$ et les $9$ disparaissent, et il reste $x^{2}=12y$. C'est bien une parabole, et la valeur absolue a disparu d'elle-même au carré.

La forme de référence est $x^{2}=4cy$, donc $4c=12$ et $c=3$ : c'est la distance du sommet au foyer, et aussi celle du sommet à la directrice. Le sommet est à mi-chemin entre les deux, donc en $(0\,;0)$. Comme $c$ est POSITIF, la parabole s'ouvre vers le HAUT, du côté du foyer.

Pour $x=6$ : $36=12y$, donc $y=3$. Le point est $(6\,;3)$. Distance au foyer $(0\,;3)$ : $\sqrt{36+0}=6$. Distance à la directrice $y=-3$ : $|3+3|=6$. Les deux coïncident, la définition est vérifiée. On remarque au passage que ce point est à la hauteur du foyer, et que la corde horizontale qui y passe mesure $12$, soit $4c$.

Deux carrés, coefficients de MÊME signe et DIFFÉRENTS : c'est une ELLIPSE. En divisant par $36$ : $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$, donc $a=3$ et $b=2$, axe focal horizontal.

Deux carrés, coefficients de signes OPPOSÉS : c'est une HYPERBOLE. En divisant par $36$ : $\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=1$, axe focal horizontal puisque le terme positif est celui en $x^{2}$.

Deux carrés, coefficients de même signe et ÉGAUX : c'est un CERCLE. En divisant par $4$ : $x^{2}+y^{2}=9$, centre à l'origine et rayon $3$. Le cercle est bien un cas particulier d'ellipse, celui où les deux dénominateurs coïncident.

Une SEULE variable au carré : c'est une PARABOLE, ici $x^{2}=9y$, ouverte vers le haut. La règle en trois lignes : une seule variable au carré donne une parabole ; deux carrés de signes opposés donnent une hyperbole ; deux carrés de même signe donnent une ellipse, qui devient un cercle si les coefficients sont égaux. Il reste à vérifier les cas dégénérés après complétion du carré, comme à l'exercice 1.

Centre $(h\,;k)=(2\,;-1)$, en lisant les signes à l'envers : $x-2$ donne $h=2$, et $y+1$, qui s'écrit $y-(-1)$, donne $k=-1$. Le plus grand dénominateur est $9$, sous le $x$, donc $a=3$ et $b=2$, axe focal HORIZONTAL. Alors $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx 2{,}236$.

On part du centre et on avance de $a$ le long de l'axe focal : sommets $(2-3\,;-1)=(-1\,;-1)$ et $(5\,;-1)$. Sommets secondaires : $(2\,;-3)$ et $(2\,;1)$. Foyers : $(2-\sqrt{5}\,;-1)\approx(-0{,}236\,;-1)$ et $(4{,}236\,;-1)$. L'ordonnée des foyers est celle du CENTRE, jamais zéro : c'est l'erreur la plus fréquente sur les coniques translatées.

On groupe et on met en facteur avant de compléter : $4(x^{2}-4x)+9(y^{2}+2y)=11$. Puis $4\left[(x-2)^{2}-4\right]+9\left[(y+1)^{2}-1\right]=11$, soit $4(x-2)^{2}-16+9(y+1)^{2}-9=11$, donc $4(x-2)^{2}+9(y+1)^{2}=36$. En divisant par $36$ : $\dfrac{(x-2)^{2}}{9}+\dfrac{(y+1)^{2}}{4}=1$. Le piège est d'oublier de MULTIPLIER par le coefficient sorti en facteur quand on reporte la constante.

C'est exactement la MÊME ellipse. Les deux écritures décrivent la même courbe : la forme générale cache tout, la forme canonique donne le centre, les demi-axes et l'orientation en un coup d'oeil. C'est pourquoi la complétion du carré est le premier geste de tout exercice sur les coniques, avant même de se demander de quelle courbe il s'agit.

On substitue : $x^{2}+(x+1)^{2}=25$, donc $2x^{2}+2x+1=25$, soit $2x^{2}+2x-24=0$, ou encore $x^{2}+x-12=0$ après division par $2$. Cela se factorise en $(x+4)(x-3)=0$, donc $x=-4$ ou $x=3$. On remonte à la droite pour les ordonnées : $(-4\,;-3)$ et $(3\,;4)$. Il faut TOUJOURS remonter, une abscisse seule n'est pas un point.

Avec $y=x+k$ : $x^{2}+(x+k)^{2}=25$, donc $2x^{2}+2kx+k^{2}-25=0$. Le discriminant vaut $\Delta=4k^{2}-8(k^{2}-25)=-4k^{2}+200$. La tangence exige $\Delta=0$, donc $k^{2}=50$ et $k=\pm\sqrt{50}=\pm 5\sqrt{2}\approx\pm 7{,}071$. Deux droites conviennent, une de chaque côté du cercle.

Pour $k=10$ : $\Delta=-4\times 100+200=-200$, NÉGATIF. Aucun point commun, la droite passe à côté du cercle. On le savait sans calculer : $10$ dépasse $7{,}071$, donc la droite est plus éloignée que la position de tangence.

La distance du centre $(0\,;0)$ à la droite $x-y+k=0$ vaut $\dfrac{|0-0+k|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}$. La tangence signifie que cette distance égale le rayon : $\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}=5$, donc $|k|=5\sqrt{2}\approx 7{,}071$. Même résultat, par un chemin entièrement géométrique. Les deux méthodes se contrôlent l'une l'autre, et la seconde ne marche que pour le CERCLE : pour les autres coniques, seul le discriminant est disponible.