Math TS, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie

Fiche de révision : le cercle trigonométrique et le radian

Cette fiche de révision accompagne le chapitre du cercle trigonométrique du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : radian, point image, angles coterminaux, valeurs remarquables, longueur d'arc et aire de secteur.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Un radian n'est pas une unité arbitraire comme le degré : c'est le RAPPORT de l'arc au rayon. L'angle qui intercepte un arc égal au rayon vaut un radian, et toute la suite, longueur d'arc, aire de secteur, coordonnées du point image, n'est que cette définition lue dans un sens ou dans l'autre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
2La similitude et l'isométrie des trianglesSecondaire 4 TS
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS
4L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS

L'essentiel

Le radian, et les deux formules qui en découlent

• DÉFINITION : $\theta=\dfrac{\text{arc}}{\text{rayon}}$ . Le radian est un rapport de deux longueurs, donc un nombre SANS unité.
• Le tour complet vaut $2\pi$ radians, donc $180$ degrés valent $\pi$ radians. Pour convertir en degrés, on remplace $\pi$ par $180$ , ce qui évite tout arrondi.
• LONGUEUR D'ARC : $\ell=r\theta$ . AIRE D'UN SECTEUR : $A=\dfrac{r^{2}\theta}{2}$ . Les deux n'ont de sens qu'en RADIANS.
• Ces deux formules ne sont pas à apprendre séparément : la première est la définition réécrite, la seconde est l'aire du disque multipliée par la fraction de tour.

L'arc intercepté mesure exactement le rayon : l'angle au centre vaut donc un radian, soit environ

57{,}3

degrés. Rien d'arbitraire là-dedans, c'est un rapport.

Point image, quadrant, angles coterminaux

• Le POINT IMAGE de $\theta$ a pour coordonnées $(\cos\theta\,;\sin\theta)$ sur le cercle de rayon $1$ . Le cosinus est l'ABSCISSE, le sinus l'ORDONNÉE.
• SIGNES : le cosinus est positif à DROITE, le sinus est positif en HAUT. Aucun moyen mnémotechnique n'est nécessaire.
• ANGLES COTERMINAUX : ils ont le même point image et diffèrent de $2k\pi$ . On réduit dans $[0\,;2\pi[$ en retranchant des multiples de $2\pi$ .
• PARITÉ : $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$ , ce qui est la symétrie par rapport à l'axe horizontal.

L'angle de référence, et les valeurs remarquables

• L'ANGLE DE RÉFÉRENCE est l'angle aigu formé avec l'axe HORIZONTAL, jamais avec l'axe le plus proche. Il donne les valeurs ABSOLUES des coordonnées.
• Trois valeurs suffisent : $\dfrac{\pi}{6}$ donne $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$ , $\dfrac{\pi}{4}$ donne deux fois $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , et $\dfrac{\pi}{3}$ donne $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .
• Le quadrant donne ensuite les SIGNES : les seize points du cercle se construisent, ils ne s'apprennent pas.
• $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ : c'est Pythagore sur le cercle de rayon $1$ , et c'est le contrôle le plus rapide d'un couple de coordonnées.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la formule de l'arc à un angle en degrés

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\ell=15\times 72=1080$ cm

Ce qu'il faut écrire

$\ell=15\times\dfrac{2\pi}{5}\approx 18{,}85$ cm

Pourquoi : Les deux formules du chapitre supposent l'angle en RADIANS, parce qu'elles descendent de la définition du radian. L'absurdité se voit d'un coup d'oeil : le cercle entier ne mesure que $94{,}2$ cm, donc un arc de $1080$ cm est impossible.

2. Mesurer l'angle de référence jusqu'à l'axe le plus proche

toutes les coordonnées, donc toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $100$ degrés, référence de $10$ degrés

Ce qu'il faut écrire

$180-100=80$ degrés

Le rayon de

100

degrés est presque vertical, mais la référence se lit vers la GAUCHE, jusqu'à l'axe horizontal : elle vaut

80

degrés, pas

10

Pourquoi : La référence se mesure toujours jusqu'à l'axe des ABSCISSES. L'axe vertical est parfois plus proche, mais il ne sert jamais : les valeurs remarquables sont tabulées pour des angles pris depuis l'horizontale.

3. Convertir en passant par une valeur arrondie

1 point, et une valeur fausse d'un degré entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

$1$ rad $\approx 57$ degrés, donc $\pi$ rad $\approx 179$ degrés

Ce qu'il faut écrire

$\pi$ rad $=180$ degrés exactement

Pourquoi : L'arrondi se multiplie. On utilise le rapport exact $\dfrac{180}{\pi}$ , ou mieux, on remplace $\pi$ par $180$ dans l'écriture de l'angle : $\dfrac{5\pi}{6}$ devient $\dfrac{5\times 180}{6}=150$ degrés, sans calculatrice et sans arrondi.

4. Ne donner qu'une solution à une équation trigonométrique

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ donne $\theta=\dfrac{\pi}{6}$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{\pi}{6}$ ET $\dfrac{5\pi}{6}$ , puis $+2k\pi$

Pourquoi : Toute valeur strictement comprise entre $-1$ et $1$ est atteinte DEUX fois par tour, une fois dans chacun des deux quadrants où le rapport a le bon signe. Seules les valeurs extrêmes, $1$ et $-1$ , n'en donnent qu'une.

5. Confondre le rayon et le diamètre

toute la question, avec des résultats doublés

Ce qu'il ne faut pas écrire

Utiliser $250$ mm comme rayon pour un plateau de $250$ mm de diamètre

Ce qu'il faut écrire

$r=125$ mm

Pourquoi : Les énoncés techniques donnent presque toujours un DIAMÈTRE, parce que c'est ce qu'on mesure. Les formules, elles, veulent un rayon. Écrire $r=\dfrac{d}{2}$ en première ligne, avant tout calcul, supprime l'erreur.

6. Confondre la corde et l'arc

1 à 2 points, et une pièce qui ne se mesure pas au pied à coulisse

Ce qu'il ne faut pas écrire

La distance en ligne droite entre deux trous vaut $r\theta$

Ce qu'il faut écrire

L'arc vaut $r\theta$ ; la corde se calcule par la loi des cosinus

Pourquoi : L'arc suit le cercle, la corde le coupe : la corde est toujours plus COURTE. L'écart est faible pour un petit angle, ce qui rend l'erreur difficile à voir, mais c'est la corde que mesure un instrument posé sur la pièce.

7. Oublier de réduire avant de chercher le quadrant

toute la question, signes compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{19\pi}{4}$ est au quatrième quadrant, puisque $19>16$

Ce qu'il faut écrire

On réduit d'abord : $\dfrac{19\pi}{4}-4\pi=\dfrac{3\pi}{4}$ , deuxième quadrant

Pourquoi : Un angle supérieur à un tour ne se lit pas directement. On retranche des multiples de $2\pi$ , écrit ici $\dfrac{8\pi}{4}$ pour garder le même dénominateur, jusqu'à tomber dans $[0\,;2\pi[$ . L'angle réduit est unique, ce qui en fait un bon contrôle.

Quelle méthode choisir

Que calculer, selon ce que l'énoncé donne

Un cercle, un angle au centre, un arc ou une aire

Si Rayon et angle en radians, on cherche l'arc → $\ell=r\theta$ , directement

Exemple : $r=15$ , $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ : $\ell=6\pi\approx 18{,}85$
Si Rayon et angle en DEGRÉS → On convertit d'abord en radians, puis on applique la formule

Exemple : $72$ degrés valent $\dfrac{2\pi}{5}$ radians
Si Arc et rayon, on cherche l'angle → $\theta=\dfrac{\ell}{r}$ , c'est la définition du radian

Exemple : $\ell=30$ , $r=12$ : $\theta=2{,}5$ radians
Si Aire d'un secteur et angle, on cherche le rayon → $r=\sqrt{\dfrac{2A}{\theta}}$ , racine positive seulement

Exemple : $A=50$ , $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ : $r\approx 11{,}28$

Une seule chose peut faire échouer les quatre branches : un angle laissé en degrés. On écrit donc l'angle en radians sur la première ligne de la résolution, toujours.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul d'arc ou de secteur

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un énoncé technique donne un diamètre et un angle

1 Écrire le RAYON, calculé à partir du diamètre si c'est lui qui est donné.
2 Écrire l'angle en RADIANS, avec la conversion si l'énoncé le donne en degrés.
3 Poser la formule sous sa forme générale avant d'y mettre les nombres.
4 Garder $\pi$ en valeur exacte jusqu'au dernier calcul.
5 Arrondir une seule fois, à la précision demandée, et donner l'unité.
6 Vérifier l'ordre de grandeur en comparant au cercle entier.

Phrase de conclusion

« Le plateau a un diamètre de $250$ mm, donc $r=125$ mm. Neuf trous répartis donnent $\theta=\dfrac{2\pi}{9}$ radian. Aire d'un secteur : $A=\dfrac{r^{2}\theta}{2}=\dfrac{125^{2}\times\frac{2\pi}{9}}{2}\approx 5454$ mm². Contrôle : le disque entier mesure $\pi\times 125^{2}\approx 49\,087$ mm², dont le neuvième vaut bien $5454$ mm². »

Le piège : Sauter la ligne du rayon. Un énoncé qui dit « diamètre » et une copie qui écrit directement le nombre dans la formule : le correcteur ne peut pas savoir si la division a été faite, et il retire le point.

Barème : 1 point pour le rayon, 1 point pour l'angle en radians, 2 points pour la formule posée, 2 points pour le calcul, 1 point pour l'unité, 1 point pour le contrôle d'ordre de grandeur.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des carrés des coordonnées

Elle doit valoir exactement $1$ pour tout point du cercle trigonométrique. C'est Pythagore, et le contrôle prend cinq secondes.

$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$ .
Comparer au cercle entier

Un arc ne peut pas dépasser $2\pi r$ , une aire de secteur ne peut pas dépasser $\pi r^{2}$ . Un résultat qui les dépasse signale un angle laissé en degrés.

Arc de $1080$ cm sur un cercle de $94{,}2$ cm de circonférence : impossible.
Le quadrant et les signes

Après avoir trouvé des coordonnées, on vérifie que leurs signes correspondent au quadrant annoncé.

Deuxième quadrant : abscisse négative, ordonnée positive.
Compter les solutions attendues

Une valeur strictement entre $-1$ et $1$ donne deux solutions par tour, une valeur extrême une seule, une valeur au-delà aucune. On compte avant de chercher.

$\cos\theta=1$ : une seule solution par tour, $\theta=0$ .

L'exercice type décortiqué

Un plateau diviseur, de la division angulaire à la corde

Un plateau de $250$ mm de diamètre doit recevoir $9$ trous également répartis sur un cercle de $200$ mm de diamètre. Calculez l'angle entre deux trous, la distance mesurée le long du cercle de perçage, la distance en ligne droite et l'aire d'un neuvième du plateau.

Le segment qui joint les deux trous est la CORDE,

68{,}40

mm ; l'arc de cercle qui passe par eux mesure

69{,}81

mm. Les deux ne se confondent jamais.

Étape 1

Rayons : plateau $r_p=125$ mm, cercle de perçage $r=100$ mm.

Pourquoi

Deux diamètres sont donnés, donc deux divisions par deux. Les mélanger est l'erreur la plus coûteuse de ce problème, puisque chacun sert dans une question différente.

Étape 2

Angle entre deux trous : $\dfrac{2\pi}{9}$ radian, soit $\dfrac{360}{9}=40$ degrés.

Pourquoi

Neuf trous également répartis découpent le tour complet en neuf parts égales. La division du tour est la première chose à écrire, et elle se fait aussi bien en radians qu'en degrés.

Étape 3

Arc : $\ell=100\times\dfrac{2\pi}{9}\approx 69{,}81$ mm.

Pourquoi

Le rayon à utiliser est celui du cercle de PERÇAGE. Avec celui du plateau, on obtiendrait $87{,}27$ mm, soit vingt-cinq pour cent de trop.

Étape 4

Corde : $d^{2}=100^{2}+100^{2}-2\times 100^{2}\cos 40^{\circ}\approx 4679{,}1$ , donc $d\approx 68{,}40$ mm.

Pourquoi

La distance en ligne droite n'est pas l'arc : c'est la corde, et elle se calcule par la loi des cosinus dans le triangle formé par le centre et deux trous consécutifs. Elle est toujours un peu plus courte que l'arc, ici de $1{,}4$ mm.

Étape 5

Aire d'un secteur du plateau : $A=\dfrac{125^{2}\times\frac{2\pi}{9}}{2}\approx 5454$ mm².

Pourquoi

Ici c'est le rayon du PLATEAU qui sert, la question portant sur le plateau et non sur le cercle de perçage. Relire à quel objet la question se rapporte fait partie du calcul.

Étape 6

Contrôle : $\pi\times 125^{2}\approx 49\,087$ mm², dont le neuvième vaut $5454$ mm².

Pourquoi

Deux méthodes indépendantes, la formule du secteur et la fraction du disque, donnent le même nombre : le résultat tient. C'est le contrôle à écrire, il vaut un point.

Conclusion rédigée

$40$ degrés entre deux trous, $69{,}81$ mm d'arc, $68{,}40$ mm de corde et $5454$ mm² par secteur de plateau.

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser le rayon du plateau pour l'arc entre deux trous. Le résultat, $87{,}27$ mm, est trop grand d'un quart, et il place les trous hors du cercle demandé.

À savoir par cœur

• Un radian est un RAPPORT : arc divisé par rayon.
• $180$ degrés valent $\pi$ radians ; pour convertir, on remplace $\pi$ par $180$ .
• $\ell=r\theta$ et $A=\dfrac{r^{2}\theta}{2}$ , en RADIANS seulement.
• Point image : $(\cos\theta\,;\sin\theta)$ sur le cercle de rayon $1$ .
• Cosinus positif à droite, sinus positif en haut.
• Coterminaux : ils diffèrent de $2k\pi$ , on réduit dans $[0\,;2\pi[$ .
• Angle de référence : jusqu'à l'axe HORIZONTAL, jamais le plus proche.
• Trois valeurs à savoir : $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
• $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ : Pythagore sur le cercle.
• Un diamètre donné veut dire $r=\dfrac{d}{2}$ en première ligne.

Questions fréquentes

Pourquoi utiliser les radians plutôt que les degrés ?

Parce que le radian est un rapport de longueurs, donc un nombre sans unité, et que cela rend les formules simples. La longueur d'un arc devient le produit du rayon par l'angle, sans aucun coefficient de conversion, et l'aire d'un secteur suit la même logique. Avec des degrés, il faudrait traîner un facteur dans chaque calcul. Le degré reste commode pour parler d'une inclinaison, le radian pour calculer.

Qu'est-ce qu'un angle de référence exactement ?

C'est l'angle aigu formé entre le rayon qui porte le point et l'axe horizontal, jamais l'axe le plus proche. Il sert à retrouver les valeurs absolues des coordonnées du point image, puisque ces valeurs sont les mêmes que pour l'angle aigu correspondant. Le quadrant se charge ensuite des signes. Cette méthode en deux temps évite d'apprendre par coeur les seize points remarquables du cercle.

Comment reconnaître deux angles coterminaux ?

Deux angles sont coterminaux quand ils aboutissent au même point du cercle, c'est-à-dire quand leur différence est un nombre entier de tours. Pour le vérifier, on calcule cette différence et on regarde si elle est un multiple de deux pi. Dans l'autre sens, pour ramener un grand angle dans un tour, on retranche des tours complets jusqu'à obtenir une valeur comprise entre zéro et un tour, et cette valeur réduite est unique.

Quelle est la différence entre un arc et une corde ?

L'arc suit le cercle, la corde le traverse en ligne droite. La corde est donc toujours plus courte que l'arc qu'elle sous-tend, et l'écart grandit avec l'angle. C'est une distinction très concrète en atelier : la corde est ce que mesure un instrument posé sur la pièce, alors que l'arc est ce que parcourt un outil qui suit le contour. Les confondre fausse toute vérification dimensionnelle.

Pourquoi une équation trigonométrique a-t-elle deux solutions par tour ?

Parce que deux points différents du cercle partagent la même ordonnée, ou la même abscisse. Pour une ordonnée donnée strictement comprise entre les extrêmes, il existe un point à gauche et un point à droite de l'axe vertical, donc deux angles. Seules les valeurs extrêmes correspondent à un point unique, le sommet ou le bas du cercle, et ne donnent donc qu'une solution par tour.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le cercle trigonométrique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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