Math TS, secondaire 5 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la loi des sinus et la loi des cosinus

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la loi des sinus et de la loi des cosinus du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : choix de la loi, résolution complète d'un triangle, cas ambigu et angles obtus.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le choix de la loi se fait sur ce qu'on CONNAÎT, jamais sur ce qu'on cherche. La loi des sinus exige une PAIRE complète, un côté et l'angle qui lui fait face ; la loi des cosinus se passe de paire, mais elle exige un angle COMPRIS entre deux côtés connus, ou les trois côtés.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
2La similitude et l'isométrie des trianglesSecondaire 4 TS
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS
4L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS

L'essentiel

Les deux lois, et ce que chacune exige

• LOI DES SINUS : $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ . Elle exige une PAIRE complète, un côté et l'angle qui lui fait face, plus une troisième donnée.
• LOI DES COSINUS : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ . Elle sert dans deux cas seulement, deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux, ou bien les trois côtés.
• L'angle et le côté qui portent la même lettre se FONT FACE : $A$ est l'angle opposé au côté $a$ . Toute la notation du chapitre tient dans cette convention.
• Pythagore est le CAS PARTICULIER de la loi des cosinus pour un angle droit : son cosinus est nul, et le terme correctif $-2bc\cos A$ disparaît.

Chaque côté minuscule fait face à l'angle majuscule de la même lettre. Le côté

c

est opposé à l'angle

C

, et c'est cette paire que la loi des sinus met en rapport.

Choisir la loi, en regardant les données

• Deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle OPPOSÉ à l'un d'eux : LOI DES SINUS.
• Deux côtés et l'angle COMPRIS, ou trois côtés : LOI DES COSINUS.
• Le réflexe faux est de choisir selon l'inconnue. On choisit selon les DONNÉES, et c'est la seule règle qui ne se trompe jamais.
• Après un premier calcul, les données changent : une loi des cosinus peut ouvrir la porte à une loi des sinus pour la suite, et c'est souvent le chemin le plus court.

Le cas ambigu et l'angle obtus

• CAS AMBIGU : deux côtés et un angle AIGU non compris peuvent donner DEUX triangles, un seul, ou aucun. C'est le seul cas de figure ambigu du chapitre.
• La calculatrice ne rend jamais qu'un angle AIGU pour un sinus donné. Le second candidat est son supplémentaire, $180^{\circ}-\theta$ , et il faut le tester.
• Un candidat est à rejeter si la somme des angles dépasse $180$ degrés. C'est le test, et il se fait en une soustraction.
• AVEC LA LOI DES COSINUS, aucune ambiguïté : le cosinus d'un angle obtus est NÉGATIF, donc le signe du résultat tranche tout seul.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir la loi sur ce qu'on cherche

toute la question, et un blocage en plein calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je cherche un angle, donc j'utilise la loi des sinus »

Ce qu'il faut écrire

On regarde les DONNÉES : trois côtés connus imposent la loi des cosinus

Pourquoi : Avec trois côtés et aucun angle, la loi des sinus n'a aucune paire complète à mettre en rapport : elle contiendrait deux inconnues. Le choix se fait toujours sur ce qu'on connaît, et la relecture des données prend cinq secondes.

2. Oublier le second candidat du cas ambigu

la moitié de la question quand les deux triangles existent

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin B=0{,}6$ donne $B\approx 36{,}9^{\circ}$ , point final

Ce qu'il faut écrire

$B\approx 36{,}9^{\circ}$ OU $B\approx 143{,}1^{\circ}$ , à tester

Le même côté issu du sommet du haut rencontre la base en DEUX points : les angles en

B_1

et en

B_2

sont supplémentaires, et les deux triangles respectent les données.

Pourquoi : Le sinus prend la même valeur pour un angle et son supplémentaire, et la calculatrice ne rend que le premier. Il faut donc toujours écrire les deux candidats, puis éliminer par la somme des angles. Ne rien écrire du second revient à affirmer qu'il n'existe pas.

3. Perdre l'angle obtus avec la loi des sinus

toute la résolution, tous les résultats suivants étant faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans un triangle nettement aplati, garder l'angle aigu rendu par la calculatrice

Ce qu'il faut écrire

Tester le supplémentaire, et regarder si le côté opposé est le plus grand

Pourquoi : Le plus grand côté fait face au plus grand angle. Si l'angle trouvé est aigu alors que son côté est le plus long du triangle, c'est le supplémentaire qu'il fallait prendre. Ce contrôle coûte une comparaison et il attrape l'erreur à coup sûr.

4. Appliquer la loi des cosinus à un angle non compris

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos B$

Ce qu'il faut écrire

L'angle de la formule est toujours celui OPPOSÉ au côté isolé, donc $\cos A$

Pourquoi : La formule met en jeu le côté isolé à gauche et l'angle qui lui FAIT FACE à droite : les deux portent la même lettre. Écrire $\cos B$ revient à mélanger deux configurations, et le résultat ne vérifie aucune des deux.

5. Arrondir un résultat intermédiaire

1 à 2 points, et parfois un écart visible sur le dernier résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

Arrondir un angle à l'unité, puis s'en servir pour calculer un côté

Ce qu'il faut écrire

Garder la valeur en mémoire et n'arrondir qu'à la toute fin

Pourquoi : Un degré d'écart sur un angle peut faire plusieurs centimètres sur un côté long. L'erreur s'amplifie à chaque étape, et le correcteur la repère immédiatement parce que le contrôle de la somme des angles ne tombe plus juste.

6. Oublier la racine carrée à la fin de la loi des cosinus

toute la question, et un triangle absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

$a^{2}=49$ donc $a=49$

Ce qu'il faut écrire

$a=7$

Pourquoi : La formule donne le CARRÉ du côté, jamais le côté. L'erreur se voit tout de suite à l'inégalité triangulaire : un côté de $49$ avec deux autres de $5$ et $8$ ne ferme aucun triangle, puisque la somme des deux plus petits doit dépasser le plus grand.

7. Calculer d'abord l'angle opposé à un petit côté

pas toujours des points, mais souvent une ambiguïté inutile

Ce qu'il ne faut pas écrire

Avec trois côtés connus, commencer par le plus petit angle

Ce qu'il faut écrire

Commencer par l'angle opposé au PLUS GRAND côté

Pourquoi : Le plus grand côté est le seul dont l'angle puisse être obtus. En le traitant d'abord par la loi des cosinus, on lève tout doute grâce au SIGNE du cosinus, et les deux angles restants sont forcément aigus : la loi des sinus s'y applique alors sans aucune ambiguïté.

Quelle méthode choisir

Quelle loi, selon les données du triangle

Un triangle quelconque, trois données connues

Si Deux angles et un côté quelconque → Loi des sinus, après avoir trouvé le troisième angle par la somme

Exemple : $A=40^{\circ}$ , $B=75^{\circ}$ , $c=10$ : on calcule $C=65^{\circ}$ puis $a$
Si Deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux → Loi des cosinus, pour le troisième côté

Exemple : $b=8$ , $c=5$ , $A=60^{\circ}$ : $a^{2}=64+25-40=49$
Si Les trois côtés → Loi des cosinus, en commençant par l'angle opposé au plus grand côté

Exemple : $a=9$ , $b=7$ , $c=5$ : on isole $\cos A$ et son signe dit si $A$ est obtus
Si Deux côtés et un angle NON compris → Loi des sinus, mais c'est le CAS AMBIGU : deux candidats à tester

Exemple : $a=6$ , $b=8$ , $A=40^{\circ}$ : $\sin B\approx 0{,}857$ , donc $59^{\circ}$ ou $121^{\circ}$

Une seule configuration est ambiguë, la dernière, et seulement quand l'angle donné est AIGU. Avec un angle obtus donné, le second candidat rendrait la somme des angles supérieure à $180$ degrés, donc il tombe tout seul.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la résolution complète d'un triangle

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on demande tous les angles et tous les côtés manquants

1 Faire un schéma et y placer les données, angles en majuscules, côtés en minuscules.
2 Nommer la loi choisie et dire pourquoi, en citant la configuration des données.
3 Poser la formule sous sa forme générale avant d'y mettre les nombres.
4 Calculer sans arrondir, en gardant la valeur en mémoire.
5 Au moindre sinus d'angle inconnu, écrire les DEUX candidats et éliminer par la somme des angles.
6 Conclure par une phrase, puis vérifier que la somme des trois angles vaut $180$ degrés et que le plus grand côté fait face au plus grand angle.

Phrase de conclusion

« Les trois côtés sont connus, donc loi des cosinus, et je commence par l'angle opposé au plus grand côté. $9^{2}=7^{2}+5^{2}-2\times 7\times 5\cos A$ , donc $\cos A=\dfrac{49+25-81}{70}=-0{,}1$ : l'angle est OBTUS, $A\approx 95{,}7^{\circ}$ . Les deux autres sont donc aigus et la loi des sinus s'applique sans ambiguïté. »

Le piège : Écrire « loi des cosinus » sans dire pourquoi. Le correcteur attend la justification par les données, et elle vaut un point à elle seule.

Barème : 1 point pour le schéma, 1 point pour la loi nommée et justifiée, 2 points pour la mise en équation, 2 points pour le calcul sans arrondi intermédiaire, 1 point pour le traitement des deux candidats, 1 point pour la vérification finale. Un résultat juste sans justification de la loi plafonne aux trois quarts.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des trois angles

Elle doit valoir $180$ degrés à l'arrondi près. C'est le contrôle le plus rapide d'une résolution complète.

$95{,}7+50{,}7+33{,}6=180{,}0$ : la résolution tient.
Le plus grand côté fait face au plus grand angle

On classe les trois côtés et les trois angles, et les deux classements doivent coïncider.

Côtés $9$ , $7$ , $5$ et angles $95{,}7$ , $50{,}7$ , $33{,}6$ degrés : même ordre.
L'inégalité triangulaire

La somme des deux plus petits côtés doit dépasser le plus grand, sinon le triangle n'existe pas et un calcul est faux.

$5+7=12>9$ : le triangle ferme.
Le signe du cosinus

Un cosinus négatif annonce un angle obtus, un cosinus positif un angle aigu. Le résultat de la calculatrice doit être cohérent avec ce signe.

$\cos A=-0{,}1$ et un angle rendu à $95{,}7$ degrés : cohérent.

L'exercice type décortiqué

Une résolution complète, avec le cas ambigu levé

Dans un triangle, $a=6$ cm, $b=8$ cm et l'angle $A$ mesure $40$ degrés. Résolvez complètement le triangle, en discutant tous les cas.

Les deux triangles ont le même sommet supérieur et le même côté oblique de gauche : seule la position du troisième sommet change, et les deux angles en ce point sont supplémentaires.

Étape 1

Données : deux côtés et un angle NON compris entre eux. C'est le cas ambigu.

Pourquoi

L'angle $A$ fait face au côté $a$ , donc la paire est complète : la loi des sinus s'applique. Mais l'angle donné est AIGU et le côté opposé, $6$ , est plus court que $8$ : il faut s'attendre à deux solutions.

Étape 2

$\dfrac{6}{\sin 40^{\circ}}=\dfrac{8}{\sin B}$ donne $\sin B=\dfrac{8\sin 40^{\circ}}{6}\approx 0{,}8570$ .

Pourquoi

On isole le sinus inconnu. La valeur est comprise entre $-1$ et $1$ , donc au moins un triangle existe : si elle avait dépassé $1$ , la réponse aurait été qu'aucun triangle ne convient.

Étape 3

Deux candidats : $B_1\approx 58{,}99^{\circ}$ et $B_2=180-58{,}99\approx 121{,}01^{\circ}$ .

Pourquoi

La calculatrice ne rend que le premier. Le second est son supplémentaire, et il a exactement le même sinus : rien dans l'équation ne permet de le rejeter à ce stade.

Étape 4

Test du premier : $C_1=180-40-58{,}99\approx 81{,}01^{\circ}$ , positif. Test du second : $C_2=180-40-121{,}01\approx 18{,}99^{\circ}$ , positif aussi.

Pourquoi

Les DEUX candidats passent le test de la somme, donc les deux triangles existent réellement. C'est le vrai cas ambigu, et la réponse doit présenter les deux.

Étape 5

Premier triangle : $c_1=\dfrac{6\sin 81{,}01^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx 9{,}22$ cm. Second : $c_2=\dfrac{6\sin 18{,}99^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx 3{,}04$ cm.

Pourquoi

On réutilise la loi des sinus avec la paire connue $a$ et $A$ , qui reste valable dans les deux cas. Les deux troisièmes côtés sont très différents, ce qui montre que l'ambiguïté n'est pas une subtilité de calcul : ce sont deux triangles franchement distincts.

Étape 6

Contrôles : $40+58{,}99+81{,}01=180$ et $40+121{,}01+18{,}99=180$ ; dans chaque triangle, le plus grand côté fait bien face au plus grand angle.

Pourquoi

Dans le premier, $c_1=9{,}22$ est le plus long et $C_1=81{,}01^{\circ}$ le plus grand angle. Dans le second, $b=8$ est le plus long et $B_2=121{,}01^{\circ}$ le plus grand : les deux classements coïncident, les deux solutions tiennent.

Conclusion rédigée

Deux triangles conviennent : l'un avec $B\approx 59{,}0^{\circ}$ , $C\approx 81{,}0^{\circ}$ et $c\approx 9{,}22$ cm, l'autre avec $B\approx 121{,}0^{\circ}$ , $C\approx 19{,}0^{\circ}$ et $c\approx 3{,}04$ cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Donner un seul triangle. La question demande de discuter tous les cas, et une réponse unique perd la moitié des points même si ses valeurs sont exactes.

À savoir par cœur

• Loi des sinus : $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .
• Loi des cosinus : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ .
• Le côté minuscule fait face à l'angle majuscule de la même lettre.
• On choisit la loi sur les DONNÉES, jamais sur l'inconnue.
• Sinus : il faut une paire complète, côté et angle opposé.
• Cosinus : angle compris, ou trois côtés.
• Pythagore est la loi des cosinus avec un angle droit.
• Un sinus donne deux candidats : $\theta$ et $180^{\circ}-\theta$ .
• Un cosinus négatif annonce un angle obtus, sans ambiguïté.
• Trois côtés : commencer par l'angle opposé au plus grand.

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut la loi des sinus ou la loi des cosinus ?

On regarde ce que l'énoncé donne, jamais ce qu'il demande. Si l'on dispose d'un côté et de l'angle qui lui fait face, la loi des sinus s'applique. Sinon, il reste deux configurations, deux côtés avec l'angle situé entre eux, ou les trois côtés, et dans les deux cas c'est la loi des cosinus. Cette lecture des données prend quelques secondes et elle ne se trompe jamais, contrairement au réflexe de choisir selon l'inconnue.

Qu'est-ce que le cas ambigu ?

C'est la situation où l'on connaît deux côtés et un angle aigu qui n'est pas situé entre eux. Les données peuvent alors correspondre à deux triangles différents, à un seul, ou à aucun. Il faut donc calculer les deux angles possibles, celui que rend la calculatrice et son supplémentaire, puis vérifier pour chacun que la somme des trois angles ne dépasse pas cent quatre-vingts degrés. Ceux qui passent le test correspondent à de vrais triangles, et la réponse doit tous les présenter.

Pourquoi la calculatrice ne donne-t-elle jamais l'angle obtus ?

Parce que la fonction inverse du sinus ne peut rendre qu'une valeur, et la convention veut que ce soit celle comprise entre moins quatre-vingt-dix et quatre-vingt-dix degrés. Or deux angles supplémentaires ont exactement le même sinus. C'est à celui qui résout de proposer le second candidat et de l'éliminer s'il ne convient pas. Avec la loi des cosinus, le problème ne se pose pas, puisque le cosinus distingue les deux par son signe.

Peut-on encore utiliser Pythagore dans ce chapitre ?

Oui, et il faut le préférer quand le triangle est rectangle, parce qu'il est plus rapide. C'est d'ailleurs un cas particulier de la loi des cosinus : quand l'angle mesure quatre-vingt-dix degrés, son cosinus est nul et le terme correctif disparaît, ce qui laisse exactement la relation de Pythagore. Utiliser la loi générale sur un triangle rectangle n'est pas une faute, c'est seulement un détour.

Pourquoi commencer par l'angle opposé au plus grand côté ?

Parce que c'est le seul angle du triangle qui puisse être obtus, les deux autres étant forcément aigus. En le calculant d'abord avec la loi des cosinus, on lève toute ambiguïté grâce au signe du cosinus. Les deux angles restants peuvent ensuite se calculer avec la loi des sinus sans aucun risque de se tromper de candidat, puisqu'on sait déjà qu'ils sont aigus. C'est l'ordre de résolution le plus sûr et le plus rapide.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La loi des sinus et la loi des cosinus

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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