Math TS, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction partie entière

Q: Comment calcule-t-on la partie entière d'un nombre négatif ?

On prend le plus grand entier qui reste inférieur ou égal au nombre, donc on descend vers la gauche sur la droite numérique. Pour un nombre situé entre deux entiers négatifs, c'est celui du bas qu'il faut retenir, pas celui du haut. C'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se corrige en visualisant la droite plutôt qu'en pensant arrondi.

Q: Pourquoi la longueur d'une marche est-elle l'inverse du paramètre ?

Parce que ce paramètre compte le nombre de marches par unité. Quatre marches par unité signifie des marches d'un quart d'unité chacune. Plus il est grand, plus les marches sont courtes, ce qui est l'inverse de l'intuition et ce qui explique la moitié des erreurs de lecture graphique.

Q: Comment distinguer une facturation à l'unité entamée d'une facturation à l'unité complète ?

Par le vocabulaire de l'énoncé, et par lui seul. « Toute tranche commencée est due » compte l'unité entamée, « par tranche complète » compte l'unité révolue. Les deux formules donnent exactement le même résultat aux multiples exacts de la tranche, donc la différence n'apparaît jamais sur les exemples ronds : il faut tester une valeur intermédiaire.

Q: Pourquoi la solution d'une équation en escalier est-elle un intervalle ?

Parce que toute une marche donne la même valeur. Tous les nombres d'une marche ont la même image, donc tous sont solutions. L'intervalle obtenu est fermé du côté du point plein et ouvert de l'autre, exactement comme la marche elle-même. Donner un seul nombre revient à n'écrire qu'une partie de la réponse.

Q: Un escalier prend-il toutes les valeurs entières ?

Non. Il ne prend que les valeurs obtenues en ajoutant un multiple de la hauteur de marche à la constante. Avec des marches de hauteur deux et une constante impaire, par exemple, seules les valeurs impaires sont prises. Vérifier qu'une valeur appartient à cet ensemble avant de résoudre évite de chercher une solution qui n'existe pas.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction partie entière du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : forme canonique, marches, image, équations et inéquations, modèles par tranches.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Un escalier se décrit par quatre nombres. La LONGUEUR d'une marche vaut $\dfrac{1}{|b|}$ , sa HAUTEUR vaut $|a|$ , et le couple $(h\,;k)$ place le point de départ d'une marche. Tout le reste se déduit de ces quatre nombres.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
3Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
4Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
5Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
6La factorisationSecondaire 4 TS
7La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
8La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
9Les fonctions définies par partiesSecondaire 4 TS
10La fonction partie entièreSecondaire 4 TS
11Les paramètres des fonctions

L'essentiel

Les quatre nombres d'un escalier

• Forme canonique : $f(x)=a\left[b(x-h)\right]+k$ , les crochets désignant la partie entière, c'est-à-dire le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL.
• LONGUEUR d'une marche : $\dfrac{1}{|b|}$ , jamais $b$ . Plus $b$ est grand, plus les marches sont COURTES.
• HAUTEUR d'une marche : $|a|$ . Les deux paramètres sont indépendants : un escalier n'a pas de pente, il a une longueur et une hauteur.
• Le point $(h\,;k)$ est une EXTRÉMITÉ de marche, et il appartient à la courbe. La valeur $k$ est donc réellement prise, contrairement au $k$ d'une exponentielle.

Chaque marche est fermée à gauche et ouverte à droite, parce que

b

est positif. Le point

(1\,;1)

est le couple

(h\,;k)

, et il est sur la courbe.

Le sens du crochet et le sens de l'escalier

• POINT PLEIN À GAUCHE si $b>0$ , À DROITE si $b<0$ . C'est ce qui décide de la valeur exacte aux points de saut.
• L'escalier MONTE si le produit $a\,b$ est positif, il DESCEND sinon. Deux signes à combiner, jamais un seul.
• UNITÉ RÉVOLUE : $\left[x\right]$ , avec $b>0$ . UNITÉ ENTAMÉE : $-\left[-x\right]$ , avec $b<0$ . Les deux coïncident aux multiples exacts de la tranche et divergent partout ailleurs.
• Chez les NÉGATIFS, la partie entière descend : $\left[-2{,}3\right]=-3$ , jamais $-2$ . On va toujours vers la gauche sur la droite numérique.

Image, équations, sauts

• L'IMAGE est un ensemble de valeurs ISOLÉES, les $a\,n+k$ pour $n$ entier, espacées de $|a|$ . Ce n'est jamais un intervalle.
• Une ÉQUATION a pour solution une MARCHE ENTIÈRE, fermée d'un côté et ouverte de l'autre, ou l'ensemble vide si la valeur n'est pas prise.
• Les SAUTS se produisent aux abscisses $h+\dfrac{n}{|b|}$ : connaître $h$ et la longueur d'une marche donne toutes leurs positions.
• Pour une INÉQUATION, on encadre d'abord la partie entière, puis on traduit l'encadrement en intervalle sur la variable.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Arrondir un négatif du mauvais côté

toute la question dès qu'un négatif apparaît

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\left[-2{,}3\right]=-2$

Ce qu'il faut écrire

$-3$

Pourquoi : La partie entière est le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL. Or $-2$ est plus GRAND que $-2{,}3$ : il ne convient pas. Sur la droite numérique, on va toujours vers la gauche, y compris chez les négatifs, et c'est là que l'erreur se produit.

2. Confondre la longueur de marche et le paramètre

toute la description de la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans $\left[4x\right]$ , les marches mesurent $4$ unités

Ce qu'il faut écrire

Elles mesurent $\dfrac{1}{4}$

Pourquoi : Le paramètre COMPTE les marches par unité : quatre marches par unité signifie des marches de un quart. C'est l'inverse de ce que l'intuition suggère, et le contrôle tient en deux valeurs, $\left[4\times 0{,}2\right]=0$ et $\left[4\times 0{,}3\right]=1$ .

3. Lire le sens sur un seul signe

toute la question, et un tracé retourné

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a$ est négatif, donc l'escalier descend »

Ce qu'il faut écrire

$-15\left[-2t\right]$ MONTE, parce que $b$ est négatif lui aussi

Pourquoi : Le sens dépend du PRODUIT $a\,b$ . C'est la même règle de deux signes que pour la racine carrée et le logarithme, et elle se vérifie en calculant la fonction en deux points consécutifs.

4. Donner une solution isolée à une équation en escalier

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2\left[\dfrac{x-1}{2}\right]+1=5$ a pour solution $x=5$

Ce qu'il faut écrire

$[5\,;7[$ , toute une marche

La droite horizontale à la hauteur

5

rencontre toute une marche, pas un point : l'ensemble-solution est l'intervalle

[5\,;7[

Pourquoi : Toute une marche donne la même valeur : $f(5)=f(6{,}999)=5$ , et le saut n'a lieu qu'en $7$ . La solution est donc un intervalle, fermé d'un côté et ouvert de l'autre, exactement comme la marche.

5. Chercher une valeur que l'escalier ne prend pas

du temps perdu, et parfois une réponse inventée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2\left[\dfrac{x-1}{2}\right]+1=4$ doit avoir une solution

Ce qu'il faut écrire

Aucune : la fonction ne prend que des valeurs impaires

Pourquoi : L'image est l'ensemble des $2n+1$ pour $n$ entier, c'est-à-dire les nombres impairs. La valeur $4$ demanderait une partie entière égale à $1{,}5$ , ce qui est impossible. On regarde l'image AVANT de résoudre.

6. Modéliser une unité entamée comme une unité révolue

toute la question, et une facture fausse d'une tranche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Toute heure commencée est due » donne $C(t)=15\left[2t\right]$

Ce qu'il faut écrire

$C(t)=-15\left[-2t\right]$

Pourquoi : À $2{,}25$ heures, la première formule facture quatre demi-heures et la seconde cinq : $60$ dollars contre $75$ . Les deux coïncident aux multiples exacts de la tranche, donc l'erreur n'apparaît jamais sur les exemples ronds, ceux qu'on vérifie.

7. Croire que $k$ n'est pas atteint

1 point, et une image mal décrite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Comme pour l'exponentielle, la valeur $k$ est une limite jamais atteinte »

Ce qu'il faut écrire

$k$ est la hauteur de la marche qui démarre en $x=h$ : elle est prise

Pourquoi : Le point $(h\,;k)$ appartient à la courbe, c'est une extrémité de marche. Pour $2\left[\dfrac{x-1}{2}\right]+1$ , la fonction vaut $1$ sur tout $[1\,;3[$ . La confusion vient des familles à asymptote, où $k$ n'est effectivement jamais atteint.

Quelle méthode choisir

Quel modèle, selon le vocabulaire de l'énoncé

Une situation de facturation ou de comptage par tranches

Si « Par tranche COMPLÈTE », « toute unité révolue » → Partie entière ordinaire, $b>0$ , point plein à gauche

Exemple : $15\left[2t\right]$ pour des demi-heures complètes
Si « Toute tranche ENTAMÉE », « toute heure commencée est due » → $-\left[-x\right]$ , donc $b<0$ , point plein à droite

Exemple : $-15\left[-2t\right]$ pour des demi-heures entamées
Si Il y a un FORFAIT de départ → Il devient le paramètre $k$ , ajusté selon que la première tranche est comprise ou non

Exemple : $-120\left[-\dfrac{t}{4}\right]-40$ pour un forfait de $80$ dollars incluant la première tranche
Si On CLASSE des mesures autour d'une valeur nominale → $h$ est la valeur nominale, $\dfrac{1}{|b|}$ la largeur d'une classe

Exemple : $\left[50(d-40)\right]$ pour des classes de $0{,}02$ autour de $40$

Le vocabulaire décide seul du signe de $b$ , et l'erreur d'une tranche n'apparaît jamais sur les exemples ronds. C'est pour cela qu'un contrat doit préciser « entamée » ou « complète ».

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la lecture d'une règle sur un graphique

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un escalier est donné par sa courbe et qu'on demande sa règle

1 Mesurer la longueur d'une marche et en déduire $|b|$ , qui en est l'inverse.
2 Mesurer la hauteur d'une marche : c'est $|a|$ .
3 Lire le SENS de l'escalier, ce qui donne le signe du produit, et la position du POINT PLEIN, ce qui donne le signe de $b$ .
4 En déduire le signe de $a$ .
5 Lire un point plein : ses coordonnées sont $(h\,;k)$ .
6 Vérifier la règle en trois abscisses, dont une juste avant un saut et une au saut.

Phrase de conclusion

« Les marches mesurent $3$ de long, donc $|b|=\dfrac{1}{3}$ , et $2$ de haut, donc $|a|=2$ . L'escalier monte et le point plein est à gauche, donc $b>0$ et $a>0$ . Le point plein $(-1\,;-2)$ donne $h=-1$ et $k=-2$ . Règle : $y=2\left[\dfrac{x+1}{3}\right]-2$ . Contrôle : $y(1{,}9)=-2$ et $y(2)=0$ . »

Le piège : Lire le signe de $b$ sur le sens de l'escalier. Le sens donne le signe du PRODUIT ; c'est la position du point plein qui donne celui de $b$ , et les deux ensemble donnent celui de $a$ .

Barème : 1 point pour la longueur, 1 point pour la hauteur, 1 point pour chacun des deux signes, 1 point pour $h$ et $k$ , 1 point pour la vérification au saut. Une règle juste sans justification des signes plafonne aux deux tiers.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester juste avant et juste après un saut

Deux abscisses très proches, de part et d'autre d'un multiple de la longueur, doivent donner deux valeurs séparées de $|a|$ .

$2\left[\dfrac{x-1}{2}\right]+1$ vaut $1$ en $2{,}9$ et $3$ en $3$ .
Vérifier la position du point plein

Au point de saut, la fonction prend la valeur de la marche du côté du point plein. C'est le contrôle du signe de $b$ .

Avec $b>0$ , $f(3)$ appartient à la marche du haut ; avec $b<0$ , il appartiendrait à celle du bas.
Confronter la valeur cherchée à l'image

Avant de résoudre une équation, on vérifie que la valeur demandée est de la forme $a\,n+k$ . Sinon, la réponse est l'ensemble vide.

L'image des $2n+1$ ne contient pas $4$ : inutile de résoudre.
Compter les marches d'un encadrement

Une inéquation qui retient plusieurs valeurs de la partie entière retient autant de marches. Leur nombre multiplié par la longueur doit égaler la largeur de l'intervalle.

Trois valeurs retenues, marches de longueur $2$ , intervalle de largeur $6$ : $[-1\,;5[$ .

L'exercice type décortiqué

Une facturation par tranches entamées, avec forfait

Un loueur facture $80$ dollars de prise en charge, la première tranche de $4$ heures étant comprise, puis $120$ dollars par tranche de $4$ heures entamée. Écrivez la fonction du coût, puis calculez le coût pour $13$ heures et la durée maximale pour un budget de $500$ dollars.

Le point plein est à DROITE de chaque marche : à quatre heures pile, on paie encore le tarif de la première tranche, et la suivante commence immédiatement après.

Étape 1

« Entamée » impose $b<0$ : le nombre de tranches entamées est $-\left[-\dfrac{t}{4}\right]$ .

Pourquoi

Le vocabulaire décide seul du signe. Avec un $b$ positif, on compterait les tranches complètes, et à $4{,}5$ heures on facturerait une tranche au lieu de deux.

Étape 2

$C(t)=80+120\left(-\left[-\dfrac{t}{4}\right]-1\right)=-120\left[-\dfrac{t}{4}\right]-40$ .

Pourquoi

La première tranche est comprise dans le forfait, d'où le $-1$ dans la parenthèse. En développant, on obtient la forme canonique, avec $a=-120$ , $b=-\dfrac{1}{4}$ , $h=0$ et $k=-40$ .

Étape 3

Contrôle des signes : $a\,b=30>0$ , l'escalier MONTE, et le point plein est à droite.

Pourquoi

Deux signes négatifs donnent un produit positif : le coût augmente bien avec la durée. Le point plein à droite est exactement ce que « entamée » signifie.

Étape 4

$C(3)=-120\left[-0{,}75\right]-40=120-40=80$ et $C(4)=-120\left[-1\right]-40=80$ dollars.

Pourquoi

Quatre heures pile restent dans la première tranche, parce que le point plein est à droite. C'est le contrôle décisif du modèle, et il distingue les deux formules.

Étape 5

$C(13)=-120\left[-3{,}25\right]-40=480-40=440$ dollars.

Pourquoi

Quatre tranches sont entamées, trois ne couvrant que douze heures. Vérification par la logique : $80$ dollars puis trois fois $120$ , soit $440$ dollars.

Étape 6

Budget : $120n-40\le 500$ donne $n\le 4{,}5$ , donc $n=4$ tranches, soit $t\le 16$ heures.

Pourquoi

Le nombre de tranches est entier, donc on descend à $4$ . Contrôle aux bornes : $C(16)=440$ dollars, sous le budget, et $C(16{,}1)=560$ dollars, au-dessus. La durée maximale est donc $16$ heures, et le budget n'est pas entièrement utilisé.

Conclusion rédigée

$C(t)=-120\left[-\dfrac{t}{4}\right]-40$ ; $440$ dollars pour $13$ heures, et $16$ heures au maximum pour un budget de $500$ dollars.

L'erreur classique sur cet exercice : Modéliser avec $\left[\dfrac{t}{4}\right]$ : à quatre heures et demie, la facture serait de $80$ dollars au lieu de $200$ , et le client paierait une tranche de moins pendant tout le contrat.

À savoir par cœur

• Partie entière : le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL.
• Chez les négatifs, on descend : $\left[-2{,}3\right]=-3$ .
• Longueur d'une marche : $\dfrac{1}{|b|}$ . Hauteur : $|a|$ .
• Point plein à gauche si $b>0$ , à droite si $b<0$ .
• L'escalier monte si le produit $a\,b$ est positif.
• Unité révolue : $\left[x\right]$ . Unité entamée : $-\left[-x\right]$ .
• L'image est un ensemble de valeurs isolées, jamais un intervalle.
• Une équation a pour solution une marche entière.
• Les sauts sont en $h+\dfrac{n}{|b|}$ .
• $(h\,;k)$ est sur la courbe, et $k$ est une valeur prise.

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on la partie entière d'un nombre négatif ?

On prend le plus grand entier qui reste inférieur ou égal au nombre, donc on descend vers la gauche sur la droite numérique. Pour un nombre situé entre deux entiers négatifs, c'est celui du bas qu'il faut retenir, pas celui du haut. C'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se corrige en visualisant la droite plutôt qu'en pensant arrondi.

Pourquoi la longueur d'une marche est-elle l'inverse du paramètre ?

Parce que ce paramètre compte le nombre de marches par unité. Quatre marches par unité signifie des marches d'un quart d'unité chacune. Plus il est grand, plus les marches sont courtes, ce qui est l'inverse de l'intuition et ce qui explique la moitié des erreurs de lecture graphique.

Comment distinguer une facturation à l'unité entamée d'une facturation à l'unité complète ?

Par le vocabulaire de l'énoncé, et par lui seul. « Toute tranche commencée est due » compte l'unité entamée, « par tranche complète » compte l'unité révolue. Les deux formules donnent exactement le même résultat aux multiples exacts de la tranche, donc la différence n'apparaît jamais sur les exemples ronds : il faut tester une valeur intermédiaire.

Pourquoi la solution d'une équation en escalier est-elle un intervalle ?

Parce que toute une marche donne la même valeur. Tous les nombres d'une marche ont la même image, donc tous sont solutions. L'intervalle obtenu est fermé du côté du point plein et ouvert de l'autre, exactement comme la marche elle-même. Donner un seul nombre revient à n'écrire qu'une partie de la réponse.

Un escalier prend-il toutes les valeurs entières ?

Non. Il ne prend que les valeurs obtenues en ajoutant un multiple de la hauteur de marche à la constante. Avec des marches de hauteur deux et une constante impaire, par exemple, seules les valeurs impaires sont prises. Vérifier qu'une valeur appartient à cet ensemble avant de résoudre évite de chercher une solution qui n'existe pas.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction partie entière

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Fiche de révision : la fonction partie entière

L'essentiel

Les quatre nombres d'un escalier

Le sens du crochet et le sens de l'escalier

Image, équations, sauts

Les pièges qui coûtent des points

1. Arrondir un négatif du mauvais côté

2. Confondre la longueur de marche et le paramètre

3. Lire le sens sur un seul signe

4. Donner une solution isolée à une équation en escalier

5. Chercher une valeur que l'escalier ne prend pas

6. Modéliser une unité entamée comme une unité révolue

7. Croire que kkk n'est pas atteint

Quelle méthode choisir

Quel modèle, selon le vocabulaire de l'énoncé

La rédaction attendue

Rédiger la lecture d'une règle sur un graphique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une facturation par tranches entamées, avec forfait

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on la partie entière d'un nombre négatif ?

Pourquoi la longueur d'une marche est-elle l'inverse du paramètre ?

Comment distinguer une facturation à l'unité entamée d'une facturation à l'unité complète ?

Pourquoi la solution d'une équation en escalier est-elle un intervalle ?

Un escalier prend-il toutes les valeurs entières ?

Exercices corrigés : La fonction partie entière

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7. Croire que $k$ n'est pas atteint