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Fiche de révision : la fonction logarithmique

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction logarithmique du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : asymptote verticale, domaine, recherche de la règle, équations et inéquations, réciproque.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le logarithme est la réciproque de l'exponentielle, donc tout s'échange. L'asymptote HORIZONTALE devient VERTICALE, le domaine devient l'image, et le paramètre $k$ de l'une devient le paramètre $h$ de l'autre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
3Les logarithmes et le changement de baseSecondaire 4 TS
4La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
5La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
6La fonction exponentielleSecondaire 4 TS
7La fonction logarithmiqueSecondaire 4 TS
8Les paramètres des fonctions
9Les fonctions exponentielles

L'essentiel

L'asymptote verticale, et le domaine qui suit

• Forme canonique : $f(x)=a\log_{c}\!\left(b(x-h)\right)+k$ . Asymptote VERTICALE $x=h$ , et image $\mathbb{R}$ tout entier, quels que soient les paramètres.
• Le domaine est le côté où le contenu du logarithme est strictement POSITIF, et son crochet est toujours OUVERT en $h$ .
• Le signe de $b$ retourne le domaine : positif, la courbe est à droite de l'asymptote ; négatif, elle est à gauche.
• L'ORDONNÉE À L'ORIGINE N'EXISTE PAS TOUJOURS : elle demande que $0$ appartienne au domaine, ce qui se vérifie avant tout calcul.

Les deux courbes ont la même forme ; celle de droite est la première translatée de trois unités, et son asymptote a suivi.

Le paramètre b devient une translation verticale

• Par la loi du produit, $\log_{c}(bx)=\log_{c}b+\log_{c}x$ : multiplier l'argument revient à AJOUTER une constante. Un facteur positif est donc un $k$ déguisé.
• Il ne déplace JAMAIS l'asymptote : celle-ci est là où le contenu s'annule, et un facteur ne change pas ce zéro.
• Si $a$ multiplie le logarithme, il multiplie AUSSI la constante sortie : $2\log_{10}(100x)=2\log_{10}x+4$ , et non $+2$ .
• Le point où le CONTENU vaut $1$ est toujours sur la courbe, à la hauteur $k$ : c'est le repère de tracé le plus utile après l'asymptote.

Résoudre, et surveiller le domaine

• On isole le logarithme, on passe à la forme exponentielle, et l'on VÉRIFIE que la solution appartient au domaine.
• REGROUPER DEUX LOGARITHMES FABRIQUE DES RACINES ÉTRANGÈRES : on écrit le domaine AVANT, et l'on rejette les solutions qui n'y sont pas.
• Pour une inéquation, le sens passe à l'argument si la base est supérieure à $1$ , et il s'INVERSE si elle est comprise entre $0$ et $1$ .
• SENS DE VARIATION : croissante si $a$ et $b$ sont de MÊME signe, décroissante sinon. C'est la même règle de deux signes que pour l'exponentielle.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Fermer le crochet du domaine

1 point à chaque occurrence

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le domaine de $\log_{2}(x-3)$ est $[3\,;+\infty[$

Ce qu'il faut écrire

$]3\,;+\infty[$ , crochet ouvert

Pourquoi : En $x=3$ , l'argument vaut zéro, et le logarithme de zéro n'existe pas. La borne du domaine est l'asymptote, et une asymptote n'est jamais atteinte. C'est exactement l'inverse de la racine carrée, dont la borne appartient au domaine.

2. Calculer une ordonnée à l'origine qui n'existe pas

1 à 2 points, et un nombre inventé

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $\log_{2}(x-3)$ , l'ordonnée à l'origine vaut $\log_{2}(-3)$

Ce qu'il faut écrire

Elle n'existe pas : $0$ n'appartient pas au domaine

Pourquoi : Un logarithme n'accepte aucun argument négatif. Le réflexe est de vérifier que $0$ appartient au domaine AVANT de calculer. Pour $3\log_{10}(x+5)-6$ , il y appartient, et l'ordonnée vaut environ $-3{,}903$ ; pour l'autre, la courbe ne coupe jamais l'axe vertical.

3. Croire que le paramètre b déplace l'asymptote

2 points, et un domaine faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{3}\!\left(9(x-2)\right)$ a une asymptote différente de $\log_{3}(x-2)$

Ce qu'il faut écrire

Les deux ont l'asymptote $x=2$ ; le facteur $9$ est une translation VERTICALE de $2$

Les deux courbes partent de la même asymptote et restent séparées d'exactement deux unités : le facteur sous le logarithme est une translation verticale.

Pourquoi : Le contenu s'annule au même endroit, quel que soit le facteur positif. La loi du produit le montre : $\log_{3}9+\log_{3}(x-2)=2+\log_{3}(x-2)$ . Seul $h$ déplace l'asymptote, et seul le SIGNE de $b$ retourne le domaine.

4. Appliquer la loi du produit à une somme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{c}(A+B)=\log_{c}A+\log_{c}B$

Ce qu'il faut écrire

La loi porte sur un PRODUIT : $\log_{c}(AB)=\log_{c}A+\log_{c}B$

Pourquoi : Contre-exemple en deux nombres : $\log_{2}(4+4)=\log_{2}8=3$ , alors que $\log_{2}4+\log_{2}4=4$ . C'est la même erreur que de distribuer une racine sur une somme, et elle se détecte toujours avec deux nombres bien choisis.

5. Croire l'image limitée

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'image de $-2\log_{3}x+5$ est bornée par $5$ »

Ce qu'il faut écrire

Elle est $\mathbb{R}$ tout entier

Pourquoi : Un logarithme monte sans limite et descend sans limite près de son asymptote : aucun coefficient ni aucune constante n'y change quoi que ce soit. C'est le DOMAINE d'un logarithme qui est limité, pas son image, et c'est l'inverse pour l'exponentielle.

6. Garder une racine étrangère après regroupement

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{3}(x-1)+\log_{3}(x-3)=1$ a pour solutions $0$ et $4$

Ce qu'il faut écrire

$x=4$ seulement : le domaine impose $x>3$

Pourquoi : Le regroupement par la loi du produit élargit le domaine : le produit $(x-1)(x-3)$ est positif aussi pour $x<1$ , alors que chaque logarithme pris séparément exige $x>3$ . Le domaine s'écrit AVANT le regroupement, et il tranche à la fin.

7. Oublier d'inverser le sens avec une base inférieure à 1

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{0{,}5}(x)>2$ donne $x>0{,}25$

Ce qu'il faut écrire

$0<x<0{,}25$

Pourquoi : Une base comprise entre $0$ et $1$ donne un logarithme DÉCROISSANT : l'inégalité s'inverse en passant à l'argument. Contrôle : $\log_{0{,}5}(0{,}125)=3$ , qui est bien supérieur à $2$ , et $0{,}125$ est inférieur à $0{,}25$ .

Quelle méthode choisir

Que lire, et dans quel ordre

Une fonction $a\log_{c}\!\left(b(x-h)\right)+k$

Si On demande le DOMAINE → Résoudre $b(x-h)>0$ : le signe de $b$ donne le côté, $h$ donne la borne, toujours ouverte

Exemple : $\log_{2}\!\left(-(x-4)\right)$ a pour domaine $]-\infty\,;4[$
Si On demande l'IMAGE → C'est $\mathbb{R}$ , toujours, sans calcul

Exemple : $-2\log_{3}x+5$ prend toutes les valeurs réelles
Si On demande le ZÉRO → Isoler le logarithme, passer à la forme exponentielle, vérifier le domaine

Exemple : $3\log_{10}(x+5)-6=0$ donne $x=95$
Si L'équation contient DEUX logarithmes → Écrire le domaine d'abord, regrouper par la loi du produit, puis rejeter ce qui sort du domaine

Exemple : $\log_{3}(x-1)+\log_{3}(x-3)=1$ donne $x=4$ seulement
Si La BASE est inférieure à $1$ → Le logarithme décroît : toute inéquation s'inverse en passant à l'argument

Exemple : $\log_{0{,}5}x>2$ donne $0<x<0{,}25$

Le point où le CONTENU vaut $1$ est toujours sur la courbe, à la hauteur $k$ . Avec l'asymptote, ces deux repères suffisent à tracer.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une équation logarithmique

Quand l'utiliser : Chaque fois que l'inconnue apparaît dans un ou plusieurs logarithmes

1 Écrire le DOMAINE, en imposant que chaque argument soit strictement positif.
2 Regrouper les logarithmes en un seul, par les lois du produit ou du quotient.
3 Isoler le logarithme, puis passer à la forme exponentielle.
4 Résoudre l'équation obtenue.
5 Confronter chaque solution au domaine écrit au début, et rejeter explicitement celles qui n'y sont pas.

Phrase de conclusion

« Domaine : $x-1>0$ et $x-3>0$ , donc $x>3$ . Regroupement : $\log_{3}\!\left[(x-1)(x-3)\right]=1$ , donc $(x-1)(x-3)=3$ , soit $x^{2}-4x=0$ et $x(x-4)=0$ . Candidats $0$ et $4$ . La valeur $0$ ne respecte pas $x>3$ : rejetée. Solution : $x=4$ . »

Le piège : Regrouper AVANT d'écrire le domaine. Le produit des arguments est défini plus largement que chacun d'eux, donc le regroupement fabrique des candidats, et sans le domaine écrit en tête on n'a plus de quoi les écarter.

Barème : 1 point pour le domaine, 1 point pour le regroupement, 2 points pour la résolution, 1 point pour le rejet explicite. Une solution juste sans domaine écrit plafonne aux deux tiers.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que $0$ est au domaine avant de chercher l'ordonnée à l'origine

On remplace $0$ dans l'argument : s'il est négatif ou nul, la courbe ne coupe pas l'axe vertical, et il n'y a rien à calculer.

Pour $\log_{2}(x-3)$ , l'argument vaut $-3$ en zéro : aucune ordonnée à l'origine.
Tester une valeur près de l'asymptote

La fonction doit prendre des valeurs très grandes en valeur absolue quand on s'approche de $h$ . C'est le contrôle de la position de l'asymptote.

$\log_{2}(x-3)+1$ vaut environ $-12{,}3$ en $x=3{,}0001$ .
Contrôler le gain par multiplication

Un logarithme gagne toujours la même quantité quand l'argument est multiplié par un même facteur. Un écart signale une erreur de coefficient.

$4\log_{2}x$ gagne exactement $4$ chaque fois que $x$ double : $0$ , $4$ , $8$ , $12$ , $16$ .
Revenir à l'équation de départ

Chaque solution se remplace dans l'énoncé initial, avec les logarithmes séparés, jamais dans l'équation regroupée.

Pour $x=4$ : $\log_{3}3+\log_{3}1=1+0=1$ , conforme.

L'exercice type décortiqué

Étudier $y=-2\log_{2}\!\left(x+4\right)+6$ de bout en bout

Donnez l'asymptote, le domaine, l'image, le zéro, l'ordonnée à l'origine, le sens de variation et la réciproque de $y=-2\log_{2}(x+4)+6$ , puis résolvez $y\ge 0$ .

La courbe descend sans limite vers la droite et monte sans limite près de l'asymptote : l'image est

\mathbb{R}

tout entier, malgré le coefficient négatif.

Étape 1

$x+4=x-(-4)$ , donc $h=-4$ : asymptote $x=-4$ et domaine $]-4\,;+\infty[$ .

Pourquoi

Le $+4$ donne un $h$ négatif, comme toujours. Le crochet est ouvert, l'argument devant être strictement positif. L'image est $\mathbb{R}$ , sans calcul.

Étape 2

Sens : $a=-2<0$ et $b=1>0$ , signes contraires, donc DÉCROISSANTE.

Pourquoi

Deux signes à combiner, comme pour l'exponentielle. Contrôle : $y(0)=6-2\times 2=2$ et $y(4)=6-2\times 3=0$ , la fonction descend bien.

Étape 3

Zéro : $-2\log_{2}(x+4)+6=0$ donne $\log_{2}(x+4)=3$ , donc $x+4=8$ et $x=4$ .

Pourquoi

On isole le logarithme, puis on passe à la forme exponentielle. La solution appartient au domaine, $4>-4$ , donc elle est retenue. Vérification : $-2\times 3+6=0$ .

Étape 4

Ordonnée à l'origine : $0$ appartient au domaine, donc elle existe et vaut $y(0)=-2\log_{2}4+6=-4+6=2$ .

Pourquoi

On vérifie l'appartenance de $0$ au domaine AVANT de calculer. Ici l'argument vaut $4$ , une puissance de $2$ , donc le calcul se fait de tête.

Étape 5

Réciproque : $\log_{2}(x+4)=\dfrac{6-y}{2}$ , donc $x+4=2^{(6-y)/2}$ et $f^{-1}(x)=2^{(6-x)/2}-4$ , de domaine $\mathbb{R}$ .

Pourquoi

L'asymptote VERTICALE $x=-4$ devient l'asymptote HORIZONTALE $y=-4$ de la réciproque, à la même valeur. Contrôle : $f(4)=0$ et $f^{-1}(0)=2^{3}-4=4$ .

Étape 6

$y\ge 0$ : $\log_{2}(x+4)\le 3$ , le sens s'inversant à la division par $-2$ . Donc $x+4\le 8$ , soit $x\le 4$ , et avec le domaine, $]-4\,;4]$ .

Pourquoi

Deux points de vigilance : la division par $-2$ renverse le sens, et la solution se COUPE avec le domaine. Contrôle : $y(0)=2\ge 0$ , et $0$ est bien dans l'intervalle trouvé.

Conclusion rédigée

$y=-2\log_{2}(x+4)+6$ a pour asymptote $x=-4$ , domaine $]-4\,;+\infty[$ , image $\mathbb{R}$ , zéro en $x=4$ , ordonnée à l'origine $2$ , elle décroît, sa réciproque est $2^{(6-x)/2}-4$ , et $y\ge 0$ sur $]-4\,;4]$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier d'inverser le sens en divisant par $-2$ , et rendre $[4\,;+\infty[$ au lieu de $]-4\,;4]$ . La réponse fausse ne contient même pas l'ordonnée à l'origine, qui est pourtant positive.

À savoir par cœur

• Asymptote VERTICALE $x=h$ , image $\mathbb{R}$ toujours.
• Domaine ouvert en $h$ , du côté que le signe de $b$ décide.
• L'ordonnée à l'origine n'existe pas toujours.
• Un facteur sous le logarithme est une translation verticale.
• $a$ multiplie aussi la constante sortie.
• Le point où le contenu vaut $1$ est à la hauteur $k$ .
• Croissante si $a$ et $b$ sont de même signe.
• Base entre $0$ et $1$ : toute inéquation s'inverse.
• Regrouper fabrique des racines étrangères : domaine d'abord.
• Gain constant quand l'argument est multiplié par un même facteur.

Questions fréquentes

Pourquoi le domaine d'un logarithme est-il toujours ouvert à sa borne ?

Parce que le logarithme exige un argument strictement positif : à la borne, l'argument vaut exactement zéro, et le logarithme de zéro n'existe pas. Cette borne est l'asymptote verticale, et une asymptote n'est jamais atteinte. C'est l'inverse de la racine carrée, dont la borne appartient bien au domaine.

Un facteur placé sous le logarithme déplace-t-il la courbe horizontalement ?

Non. Par la loi du produit, multiplier l'argument revient à ajouter une constante au résultat : la courbe monte ou descend, elle ne se déplace pas latéralement. L'asymptote reste là où le contenu s'annule, et un facteur ne change pas ce point. Seul le paramètre soustrait à la variable déplace l'asymptote.

L'image d'une fonction logarithmique peut-elle être limitée ?

Non, jamais. Un logarithme monte sans limite quand l'argument grandit et descend sans limite quand il s'approche de zéro. Multiplier par un coefficient ou ajouter une constante change la vitesse et la hauteur, pas le fait que toutes les valeurs réelles soient atteintes. C'est le domaine qui est limité, pas l'image.

Pourquoi regrouper deux logarithmes peut-il créer de fausses solutions ?

Parce que le produit de deux quantités est positif quand toutes deux sont négatives, alors que chaque logarithme pris séparément exige que son propre argument soit positif. Le regroupement élargit donc le domaine et laisse passer des valeurs interdites. On écrit le domaine avant le regroupement, et on s'en sert pour trancher à la fin.

Que se passe-t-il quand la base est comprise entre zéro et un ?

La fonction devient décroissante : plus l'argument grandit, plus le résultat diminue. Toute inéquation change donc de sens au moment où l'on passe du logarithme à son argument. C'est la même situation qu'une exponentielle de base inférieure à un, et pour la même raison, puisque les deux familles sont réciproques l'une de l'autre.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions logarithmiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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L'asymptote verticale, et le domaine qui suit

Le paramètre b devient une translation verticale

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2. Calculer une ordonnée à l'origine qui n'existe pas

3. Croire que le paramètre b déplace l'asymptote

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5. Croire l'image limitée

6. Garder une racine étrangère après regroupement

7. Oublier d'inverser le sens avec une base inférieure à 1

Quelle méthode choisir

Que lire, et dans quel ordre

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L'exercice type décortiqué

Étudier y=−2log⁡2 ⁣(x+4)+6y=-2\log_{2}\!\left(x+4\right)+6y=−2log2​(x+4)+6 de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le domaine d'un logarithme est-il toujours ouvert à sa borne ?

Un facteur placé sous le logarithme déplace-t-il la courbe horizontalement ?

L'image d'une fonction logarithmique peut-elle être limitée ?

Pourquoi regrouper deux logarithmes peut-il créer de fausses solutions ?

Que se passe-t-il quand la base est comprise entre zéro et un ?

Exercices corrigés : Les fonctions logarithmiques

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