Math TS, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction exponentielle

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction exponentielle du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : asymptote déplacée, zéro, recherche de la règle, équations et inéquations, réciproque.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Déplacer l'asymptote change tout. Une exponentielle d'asymptote nulle ne s'annule jamais ; dès que $k$ n'est plus nul, un zéro peut apparaître, et c'est lui que les problèmes demandent.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
4Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
5La factorisationSecondaire 4 TS
6La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
7La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
8La fonction exponentielleSecondaire 4 TS
9Les paramètres des fonctions

L'essentiel

L'asymptote déplacée, et le zéro qui en découle

• Forme canonique : $f(x)=a\,c^{b(x-h)}+k$ , avec $c>0$ et $c\neq 1$ . Asymptote horizontale $y=k$ , domaine $\mathbb{R}$ .
• IMAGE : $]k\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;k[$ si $a<0$ . Le crochet est TOUJOURS ouvert : la valeur $k$ n'est jamais atteinte.
• UN ZÉRO EXISTE si et seulement si $a$ et $k$ sont de SIGNES CONTRAIRES. Avec $k=0$ , comme en quatrième secondaire, il n'y en a jamais.
• SENS DE VARIATION : deux signes à combiner. Croissante si $a>0$ et $c>1$ , ou si $a<0$ et $c<1$ ; décroissante dans les deux autres cas.

La courbe du haut ne coupe jamais l'axe ; celle du bas, descendue de six unités, le coupe en

x=1

. Déplacer l'asymptote fait apparaître un zéro.

Ce qui s'absorbe et ce qui ne s'absorbe pas

• $h$ S'ABSORBE DANS $a$ : $c^{x-h}=c^{x}\cdot c^{-h}$ , donc une translation horizontale est une multiplication déguisée. $5\cdot 2^{x-3}=0{,}625\cdot 2^{x}$ .
• $b$ S'ABSORBE DANS LA BASE : $c^{bx}=\left(c^{b}\right)^{x}$ , donc $4\cdot 2^{3x}=4\cdot 8^{x}$ . Changer $b$ revient à changer de base.
• $k$ NE S'ABSORBE PAS : il s'ajoute, et aucune loi des exposants ne transforme une somme de puissances en puissance. C'est la vraie nouveauté de l'année.
• Conséquence pratique : toute exponentielle s'écrit $A\,c^{x}+k$ , avec trois inconnues seulement. Il faut donc TROIS renseignements pour la déterminer.

Résoudre et modéliser

• ON ISOLE LA PUISSANCE AVANT TOUT : on passe $k$ de l'autre côté, on divise par $a$ , et SEULEMENT ensuite on compare les exposants ou l'on passe au logarithme.
• Un logarithme ne s'applique jamais à une SOMME : $\log(3\cdot 2^{x}-6)$ ne se sépare pas.
• LE RAISONNEMENT MULTIPLICATIF PORTE SUR L'ÉCART À L'ASYMPTOTE : c'est $f(x)-k$ qui est multiplié par $c$ à chaque pas, jamais $f(x)$ .
• DIVISER PAR UN LOGARITHME NÉGATIF RENVERSE LE SENS d'une inéquation, ce qui arrive dès que la base est inférieure à $1$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déclarer qu'une exponentielle n'a jamais de zéro

toute la question, et souvent le problème entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3\cdot 2^{x}-6$ ne peut pas s'annuler, une exponentielle est toujours positive »

Ce qu'il faut écrire

Elle s'annule en $x=1$

Pourquoi : La PUISSANCE est toujours positive, pas la fonction : le $-6$ la fait descendre sous l'axe. Le critère est simple : un zéro existe si et seulement si $a$ et $k$ sont de signes contraires, et il se vérifie en deux secondes.

2. Fermer le crochet sur l'asymptote

1 point à chaque occurrence

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'image de $3\cdot 2^{x}+5$ est $[5\,;+\infty[$

Ce qu'il faut écrire

$]5\,;+\infty[$ , crochet ouvert

Pourquoi : Une puissance de base positive ne vaut jamais zéro, donc la valeur $5$ n'est jamais atteinte. C'est la différence avec la racine carrée, dont le point de départ appartient bien à la courbe.

3. Lire le sens de variation sur la seule base

toute la question, et un tracé retourné

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La base vaut $0{,}5$ , donc la fonction décroît »

Ce qu'il faut écrire

$-40\cdot 0{,}5^{x}+50$ CROÎT, de $10$ vers $50$

Les deux courbes ont la même base, inférieure à

1

. Celle dont le coefficient est négatif monte vers son asymptote ; l'autre descend vers la sienne.

Pourquoi : Deux signes se combinent : celui de $a$ et la position de la base par rapport à $1$ . La fonction croît quand $a>0$ et $c>1$ , ou quand $a<0$ et $c<1$ . Un seul des deux ne suffit jamais.

4. Appliquer le taux à la valeur au lieu de l'écart

toute une question de modélisation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans $3\cdot 2^{x}-6$ , les valeurs doublent à chaque pas »

Ce qu'il faut écrire

Ce sont les ÉCARTS à l'asymptote qui doublent : $f(2)=6$ et $f(3)=18$ , ce qui triple

Pourquoi : $f(x)+6=3\cdot 2^{x}$ double à chaque pas, la fonction elle-même non. Dans toute exponentielle à asymptote déplacée, le comportement multiplicatif porte sur la différence avec l'asymptote.

5. Passer au logarithme avant d'isoler la puissance

toute la question, la séparation étant impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

$3\cdot 2^{x}-6=42$ donne $\log(3\cdot 2^{x}-6)=\log 42$ , puis on sépare

Ce qu'il faut écrire

$3\cdot 2^{x}=48$ , donc $2^{x}=16$ et $x=4$

Pourquoi : Les lois du logarithme transforment un PRODUIT en somme, jamais une somme en autre chose. Isoler la puissance d'abord rend souvent le logarithme inutile, comme ici où $16$ est une puissance de $2$ .

6. Chercher la règle avec deux points seulement

toute la question, avec une réponse non unique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux points suffisent, comme pour une droite »

Ce qu'il faut écrire

Trois inconnues, donc trois renseignements ; l'asymptote en est un

Pourquoi : La règle $a\,c^{x}+k$ compte trois inconnues. Les points $(0\,;5)$ et $(2\,;14)$ sont compatibles avec $3\cdot 2^{x}+2$ comme avec $4\,c^{x}+1$ pour un $c$ bien choisi. L'asymptote est le troisième renseignement, et c'est elle qu'on lit en premier.

7. Oublier de renverser le sens en divisant par un logarithme négatif

toute la question, la réponse étant exactement le contraire

Ce qu'il ne faut pas écrire

$0{,}85^{t}<0{,}5$ donne $t<\dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85}$

Ce qu'il faut écrire

$t>\dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85}\approx 4{,}27$

Pourquoi : $\ln 0{,}85$ est NÉGATIF, donc diviser par lui renverse l'inégalité. Le contrôle est immédiat : à $t=0$ , la puissance vaut $1$ , qui n'est pas inférieur à $0{,}5$ , donc les petits $t$ ne conviennent pas.

Quelle méthode choisir

Que lire, et dans quel ordre

Une fonction exponentielle sous forme canonique ou une situation à modéliser

Si On demande l'IMAGE → Regarder le signe de $a$ : ouverte vers le haut ou vers le bas à partir de $k$ , crochet ouvert

Exemple : $-2\cdot 3^{x+1}+6$ a pour image $]-\infty\,;6[$
Si On demande le ZÉRO → Vérifier d'abord que $a$ et $k$ sont de signes contraires, puis isoler la puissance

Exemple : $-4\cdot 3^{x-1}+36$ s'annule en $x=3$
Si On donne l'ASYMPTOTE et deux points → Retrancher $k$ de chaque ordonnée, puis diviser les deux résultats pour éliminer $a$

Exemple : Asymptote $2$ , points $(0\,;5)$ et $(2\,;14)$ donnent $3\cdot 2^{x}+2$
Si On donne un TAUX en pourcentage → La base est $1+\text{taux}$ pour une hausse, $1-\text{taux}$ pour une baisse

Exemple : Une baisse de $15\%$ par an donne une base de $0{,}85$
Si On demande un TEMPS de doublement ou de demi-vie → Poser la puissance égale à $2$ ou à $0{,}5$ : la valeur initiale disparaît du calcul

Exemple : $1{,}06^{t}=2$ donne $t\approx 11{,}9$ ans, quelle que soit la population de départ

Dans un modèle à asymptote déplacée, tout raisonnement multiplicatif porte sur l'ÉCART à l'asymptote. C'est la première question à se poser avant d'appliquer un taux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche de la règle

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on donne une asymptote et deux points, ou un taux et une valeur initiale

1 Lire $k$ sur l'asymptote, et le dire.
2 Retrancher $k$ de chaque ordonnée pour se ramener à une exponentielle pure.
3 Si une abscisse vaut zéro, elle donne $a$ directement ; sinon, diviser les deux valeurs pour éliminer $a$ .
4 Trouver la base, en extrayant la racine si l'exposant n'est pas $1$ .
5 Écrire la règle et la vérifier sur les DEUX points donnés.

Phrase de conclusion

« L'asymptote donne $k=-3$ . On retranche : $5+3=8$ et $61+3=64$ . Le point d'abscisse zéro donne $a=8$ , puis $8c^{3}=64$ , donc $c^{3}=8$ et $c=2$ . Règle : $y=8\cdot 2^{x}-3$ . Contrôle : $8\times 8-3=61$ . »

Le piège : Diviser les deux ordonnées SANS avoir retranché $k$ . Le rapport obtenu n'a alors aucun sens, puisque la partie constante ne se simplifie pas, et la base trouvée est fausse.

Barème : 1 point pour $k$ , 1 point pour le retranchement, 2 points pour la base, 1 point pour $a$ , 1 point pour la vérification. Une règle juste sans vérification plafonne aux cinq sixièmes.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester une valeur très éloignée

La fonction doit s'approcher de l'asymptote, et du bon côté selon le signe de $a$ .

$3\cdot 2^{x}-6$ en $x=-20$ vaut $-6$ à un millionième près, par au-dessus.
Vérifier le critère du zéro avant de chercher

Si $a$ et $k$ sont de même signe, il n'y a pas de zéro : inutile de résoudre.

$5\cdot 2^{x}+3$ : les deux sont positifs, donc aucun zéro, et l'image est $]3\,;+\infty[$ .
Contrôler la base par deux valeurs consécutives

Le rapport de deux écarts à l'asymptote, pris à une unité d'intervalle, doit valoir exactement la base.

Pour $3\cdot 2^{x}-6$ : les écarts valent $3$ , $6$ , $12$ , $24$ , donc la base est $2$ .
Confronter le sens de variation aux deux signes

Une fonction annoncée croissante avec $a>0$ doit avoir une base supérieure à $1$ . Une contradiction signale une erreur de lecture.

$-40\cdot 0{,}5^{x}+50$ : $a<0$ et $c<1$ , donc croissante, et les valeurs $10$ puis $30$ le confirment.

L'exercice type décortiqué

Étudier $y=-5\cdot 2^{x-2}+40$ de bout en bout

Donnez l'asymptote, le domaine, l'image, le sens de variation, le zéro et la réciproque de $y=-5\cdot 2^{x-2}+40$ , puis résolvez $y>20$ .

La courbe descend depuis son asymptote

y=40

, coupe l'axe en

x=5

et continue vers le bas : un

a

négatif place toute la courbe SOUS l'asymptote.

Étape 1

$a=-5$ , $b=1$ , $h=2$ , $k=40$ . On peut absorber $h$ : $-5\cdot 2^{x-2}=-1{,}25\cdot 2^{x}$ , donc $y=-1{,}25\cdot 2^{x}+40$ .

Pourquoi

L'absorption n'est pas obligatoire, mais elle simplifie tous les calculs qui suivent, et elle rappelle que $h$ n'est pas une vraie translation pour cette famille.

Étape 2

Asymptote $y=40$ , domaine $\mathbb{R}$ , image $]-\infty\,;40[$ .

Pourquoi

Le crochet est OUVERT parce que la puissance ne s'annule jamais. Le côté vient du signe de $a$ , négatif : la courbe reste sous l'asymptote.

Étape 3

Sens : $a<0$ et $c=2>1$ , donc DÉCROISSANTE sur $\mathbb{R}$ .

Pourquoi

Les deux signes se combinent. Contrôle : $y(0)=38{,}75$ et $y(4)=20$ , la fonction descend bien.

Étape 4

Zéro : $a=-5$ et $k=40$ sont de signes contraires, donc il existe. $5\cdot 2^{x-2}=40$ donne $2^{x-2}=8$ , donc $x-2=3$ et $x=5$ .

Pourquoi

On vérifie le critère AVANT de résoudre, puis on isole la puissance. Ici $8$ est une puissance de $2$ , donc aucun logarithme n'est nécessaire. Vérification : $-5\times 8+40=0$ .

Étape 5

Réciproque : $2^{x-2}=\dfrac{40-y}{5}$ , donc $x=2+\log_{2}\!\left(\dfrac{40-y}{5}\right)$ , et $f^{-1}(x)=2+\log_{2}\!\left(\dfrac{40-x}{5}\right)$ , de domaine $]-\infty\,;40[$ .

Pourquoi

Le domaine de la réciproque est l'image de $f$ , et l'asymptote HORIZONTALE $y=40$ devient l'asymptote VERTICALE $x=40$ . Contrôle : $f(5)=0$ et $f^{-1}(0)=2+\log_{2}8=5$ .

Étape 6

$y>20$ : $-5\cdot 2^{x-2}>-20$ , donc $2^{x-2}<4$ , ce qui RENVERSE le sens, puis $x-2<2$ et $x<4$ . Solution $]-\infty\,;4[$ .

Pourquoi

La division par $-5$ renverse l'inégalité : c'est le point le plus souvent perdu. Contrôle : $y(0)=38{,}75>20$ et $y(5)=0<20$ , la solution est bien du côté des petits $x$ .

Conclusion rédigée

$y=-5\cdot 2^{x-2}+40$ a pour asymptote $y=40$ , pour image $]-\infty\,;40[$ , elle décroît, s'annule en $x=5$ , a pour réciproque $2+\log_{2}\!\left(\dfrac{40-x}{5}\right)$ , et $y>20$ sur $]-\infty\,;4[$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure qu'il n'y a pas de zéro parce qu'une exponentielle est positive, et oublier de renverser l'inégalité en divisant par $-5$ . Les deux erreurs viennent du même oubli : le signe de $a$ .

À savoir par cœur

• Asymptote $y=k$ , domaine $\mathbb{R}$ , image ouverte en $k$ .
• Zéro si et seulement si $a$ et $k$ sont de signes contraires.
• Sens : $a$ et la base, deux signes à combiner.
• $h$ s'absorbe dans $a$ , $b$ dans la base, $k$ jamais.
• Trois inconnues, donc trois renseignements.
• On isole la puissance AVANT tout logarithme.
• Le taux porte sur l'ÉCART à l'asymptote.
• Base $1+$ taux pour une hausse, $1-$ taux pour une baisse.
• Diviser par un logarithme négatif renverse le sens.
• La réciproque est un logarithme, et l'asymptote change de direction.

Questions fréquentes

Une fonction exponentielle peut-elle s'annuler ?

Oui, dès que son asymptote est déplacée. La puissance elle-même reste strictement positive, mais la constante ajoutée peut faire descendre la courbe sous l'axe. Le critère est simple : un zéro existe si et seulement si le coefficient devant la puissance et la constante sont de signes contraires. Sans constante, il n'y en a jamais.

Pourquoi le crochet de l'image est-il toujours ouvert ?

Parce que la puissance ne vaut jamais zéro, quelle que soit la valeur de la variable. La fonction s'approche donc de son asymptote d'aussi près qu'on veut sans jamais l'atteindre. C'est la différence avec la racine carrée, dont le point de départ est réellement un point de la courbe.

Une base inférieure à un signifie-t-elle que la fonction décroît ?

Pas nécessairement. Il faut regarder aussi le signe du coefficient placé devant. Avec un coefficient négatif et une base inférieure à un, la fonction croît, et elle monte vers son asymptote. Deux signes se combinent, et se contenter d'un seul donne la mauvaise réponse une fois sur deux.

Pourquoi le taux de croissance s'applique-t-il à l'écart et non à la valeur ?

Parce que la partie constante n'est pas multipliée. Seule la puissance l'est, et elle représente exactement la différence entre la fonction et son asymptote. Dans un refroidissement ou une charge, c'est cette différence qui diminue de moitié à intervalles réguliers, jamais la température ou la tension elle-même.

Combien de renseignements faut-il pour trouver la règle d'une exponentielle ?

Trois, parce qu'il y a trois inconnues une fois les paramètres absorbés : le coefficient, la base et la constante. L'asymptote en fournit un, et deux points fournissent les deux autres. Avec deux points seulement, une infinité de règles conviennent, et la question n'a pas de réponse unique.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions exponentielles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

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Les fonctions logarithmiques

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L'essentiel

L'asymptote déplacée, et le zéro qui en découle

Ce qui s'absorbe et ce qui ne s'absorbe pas

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1. Déclarer qu'une exponentielle n'a jamais de zéro

2. Fermer le crochet sur l'asymptote

3. Lire le sens de variation sur la seule base

4. Appliquer le taux à la valeur au lieu de l'écart

5. Passer au logarithme avant d'isoler la puissance

6. Chercher la règle avec deux points seulement

7. Oublier de renverser le sens en divisant par un logarithme négatif

Quelle méthode choisir

Que lire, et dans quel ordre

La rédaction attendue

Rédiger la recherche de la règle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étudier y=−5⋅2x−2+40y=-5\cdot 2^{x-2}+40y=−5⋅2x−2+40 de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Une fonction exponentielle peut-elle s'annuler ?

Pourquoi le crochet de l'image est-il toujours ouvert ?

Une base inférieure à un signifie-t-elle que la fonction décroît ?

Pourquoi le taux de croissance s'applique-t-il à l'écart et non à la valeur ?

Combien de renseignements faut-il pour trouver la règle d'une exponentielle ?

Exercices corrigés : Les fonctions exponentielles

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