Exercices corrigés : le rôle des paramètres a, b, h et k (math TS, secondaire 5)

a) La parenthèse s'écrit déjà $(x-3)$, donc $h=3$ : le signe se lit tel quel parce que la forme canonique contient un moins. Le coefficient devant le carré est $a=2$, il n'y a rien devant le $x$ dans la parenthèse donc $b=1$, et le terme constant donne $k=-5$. Le sommet est $(3\,;-5)$.

b) Le radicande est $-(x-4)$, qu'on lit $b(x-h)$ avec $b=-1$ et $h=4$. Le coefficient devant le radical est $a=-\dfrac{1}{2}$ et le terme constant $k=1$. Deux signes négatifs et deux rôles différents : le $b$ négatif retourne la courbe vers la gauche, le $a$ négatif la retourne vers le bas. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

c) La fonction de base est $\dfrac{1}{x}$. On lit $\dfrac{3}{x+2}-1=\dfrac{3}{(x-(-2))}-1$, donc $a=3$, $b=1$, $h=-2$ et $k=-1$. Le $+2$ au dénominateur donne un $h$ NÉGATIF : c'est la conséquence directe du moins de la forme canonique, et le contrôle est immédiat, l'asymptote verticale est bien en $x=-2$.

d) La fonction de base est $2^{x}$. L'exposant $3(x-1)$ se lit $b(x-h)$ avec $b=3$ et $h=1$, le coefficient devant la puissance donne $a=4$ et le terme constant $k=5$. Attention : si l'exposant avait été écrit $3x-3$, il aurait fallu METTRE $3$ EN ÉVIDENCE avant de lire $h$, sinon on lirait $h=3$ au lieu de $h=1$. La mise en évidence du $b$ est un geste obligatoire, pas une présentation.

a) $h=3$ donne une translation de $3$ unités vers la DROITE, $k=-2$ une translation de $2$ unités vers le bas. Le sommet passe de $(0\,;0)$ à $(3\,;-2)$. La forme de la parabole est identique : $a$ vaut toujours $1$, donc l'ouverture n'a pas bougé d'un millimètre. On peut superposer les deux courbes par simple glissement, ce que la figure montre.

b) Le sommet ne bouge pas : $h$ et $k$ valent toujours zéro, donc il reste $(0\,;0)$. En revanche $|a|$ passe de $1$ à $2$ : la parabole se RESSERRE, chaque ordonnée est doublée. À $x=2$, on passe de $4$ à $8$. Dire qu'elle « monte plus vite » est juste ; dire qu'elle « est déplacée vers le haut » est faux, et c'est la confusion qui coûte le plus cher entre $a$ et $k$.

c) L'asymptote verticale suit $h$ : elle passe de $x=0$ à $x=1$. L'asymptote horizontale suit $k$ : elle passe de $y=0$ à $y=3$. Le paramètre $a=5$ ne déplace aucune des deux, il ne fait que modifier l'écartement de la courbe par rapport à elles. Vérification numérique : à $x=101$, $\dfrac{5}{100}+3=3{,}05$, tout près de $3$ ; à $x=1{,}001$, la valeur est énorme, la courbe longe bien la verticale.

d) Seul $h$. L'asymptote verticale d'une rationnelle sous forme canonique est $x=h$, quelle que soit la valeur de $a$, de $b$ ou de $k$. Le paramètre $b$ étire horizontalement AUTOUR de cette asymptote, donc il change la vitesse à laquelle la courbe s'en éloigne, mais pas sa position : $\dfrac{1}{b(x-h)}$ s'annule au dénominateur exactement quand $x=h$, et $b$ n'y peut rien.

a) $y=-\sqrt{x}$ a $a=-1$ : la courbe est retournée vers le BAS, elle part de l'origine et descend en allant vers la droite, son domaine reste $[0\,;+\infty[$. $y=\sqrt{-x}$ a $b=-1$ : la courbe est retournée vers la GAUCHE, elle part de l'origine et monte en allant vers la gauche, son domaine devient $]-\infty\,;0]$. Le domaine est le meilleur test pour les distinguer : seul $b$ le retourne.

b) Le radicande $-(x-4)$ doit être positif ou nul : $-(x-4)\ge 0$ donne $x-4\le 0$, donc $x\le 4$. Le domaine est $]-\infty\,;4]$. Comme $a=1>0$, la racine ajoute une quantité positive à $k=1$ : l'image est $[1\,;+\infty[$. Le point de départ, atteint quand le radical est nul, est $(4\,;1)$.

c) Le point de départ ne dépend que de $h$ et $k$ : c'est encore $(4\,;1)$. Le domaine ne dépend que du signe de $b$ et de $h$ : encore $]-\infty\,;4]$. Seule l'image change, parce que $a=-2$ est négatif : la racine, toujours positive, est multipliée par $-2$, donc elle retire quelque chose à $1$. L'image est $]-\infty\,;1]$. Vérification en $x=0$ : $-2\sqrt{4}+1=-4+1=-3$, qui est bien inférieur à $1$.

d) Le second a raison. Le point $(-4\,;2)$ appartient à $y=\sqrt{-x}$, puisque $\sqrt{4}=2$, mais $-\sqrt{-4}$ n'existe même pas. Inversement $(4\,;-2)$ appartient à $y=-\sqrt{x}$ et pas à l'autre. Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'origine, ce qui n'est pas la même chose qu'être confondues. Un seul point bien choisi suffit à trancher, et c'est la méthode à retenir devant deux règles qui se ressemblent.

a) C'est le SOMMET. On lit $h=-1$, parce que $x+1=x-(-1)$, et $k=7$ : le sommet est $(-1\,;7)$. Comme $a=-3<0$, il s'agit d'un maximum. Vérification : $y(-1)=-3\times 0+7=7$.

b) C'est le POINT DE DÉPART, ou point d'origine de la demi-courbe. On lit $h=5$ et $k=-3$ : $(5\,;-3)$. Le domaine commence exactement là, $[5\,;+\infty[$, et l'image aussi, $[-3\,;+\infty[$, puisque $a=2>0$. Une fonction racine carrée est entièrement décrite par son point de départ, le sens de son domaine et le signe de $a$.

c) C'est le CROISEMENT DES ASYMPTOTES. On lit $h=2$ et $k=6$ : le point $(2\,;6)$ n'appartient PAS à la courbe, il est le centre de symétrie autour duquel les deux branches se répartissent. Les asymptotes sont $x=2$ et $y=6$. C'est la seule famille du programme où le point de repère n'est pas sur la courbe, et c'est précisément ce que la question vérifie.

d) Non, $(2\,;4)$ n'est pas sur la courbe : $y(2)=3\cdot 5^{0}+4=3+4=7$. Pour une exponentielle, $k$ n'est pas une ordonnée atteinte, c'est l'ASYMPTOTE HORIZONTALE : la courbe s'en approche indéfiniment sans jamais la toucher, ici $y=4$. Le point de la courbe qui correspond à $x=h$ est $(h\,;a+k)$, donc $(2\,;7)$. Vérification côté asymptote : à $x=-10$, $3\cdot 5^{-12}+4$ vaut $4$ à un milliardième près.

a) Le radicande $3(x+2)$ doit être positif ou nul : $x\ge -2$, donc le domaine est $[-2\,;+\infty[$. Le paramètre $b=3$ est positif, donc la courbe s'ouvre vers la DROITE. Comme $a=1>0$, l'image part de $k=-4$ et monte : $[-4\,;+\infty[$. Une racine carrée n'a jamais d'asymptote, sa croissance est seulement de plus en plus lente.

b) Le dénominateur s'annule en $x=-3$ : le domaine est $\mathbb{R}$ privé de $-3$, et c'est l'asymptote verticale. La valeur $k=-5$ n'est jamais atteinte, puisque $\dfrac{2}{x+3}$ ne s'annule jamais : l'image est $\mathbb{R}$ privé de $-5$, et $y=-5$ est l'asymptote horizontale. Les deux exclusions sont symétriques, et c'est la signature de la fonction rationnelle.

c) Une exponentielle est définie partout : le domaine est $\mathbb{R}$. La puissance $3^{x+1}$ est strictement positive, et $a=-2$ la rend strictement négative : l'image est donc tout ce qui est strictement INFÉRIEUR à $k=6$, soit $]-\infty\,;6[$. L'asymptote horizontale est $y=6$, approchée par en dessous. Le crochet est OUVERT, parce que la valeur $6$ n'est jamais atteinte : c'est l'erreur de crochet la plus fréquente du chapitre.

d) Un logarithme exige un argument strictement positif : $x-3>0$, donc le domaine est $]3\,;+\infty[$, crochet ouvert, et $x=3$ est l'asymptote verticale. L'image d'une fonction logarithmique est toujours $\mathbb{R}$ tout entier, quels que soient $a$ et $k$ : elle monte sans limite et descend sans limite près de l'asymptote. Vérification : $r(4)=\log_{2}1+1=1$, et $r(3{,}0001)$ vaut environ $-12{,}3$.

a) Le point de départ d'une fonction racine carrée est $(h\,;k)$, et c'est l'extremum de la fonction. Le relevé dit que la plus petite position est $-3$ mm, atteinte en $x=1$ : donc $h=1$ et $k=-3$. On ne calcule rien, on LIT la situation.

b) Avec $(5\,;5)$ : $5=a\sqrt{5-1}-3$, donc $a\sqrt{4}=8$, soit $2a=8$ et $a=4$. La règle est $y=4\sqrt{x-1}-3$. On choisit toujours un point dont l'abscisse rend le radical ENTIER, sinon on traîne une racine inutile.

c) Avec $(10\,;11)$ : $4\sqrt{9}-3=12-3=9$, or le relevé annonce $11$. Avec $(2\,;-1)$ : $4\sqrt{1}-3=1$, or le relevé annonce $-1$. Les deux couples de contrôle ne concordent PAS : la relation n'est donc pas de la forme annoncée, ou bien deux mesures sont fausses. Un modèle se valide sur des points qui n'ont pas servi à le construire, et une vérification qui échoue doit être écrite, pas dissimulée. Le technicien reprendrait ses mesures avant de programmer la machine.

d) Avec la règle construite sur les deux points retenus, $y=4\sqrt{17-1}-3=4\times 4-3=13$ millimètres. La prédiction n'a de valeur que si le modèle a été validé : ici il ne l'est pas, donc la bonne réponse complète est « $13$ mm selon la règle, mais le modèle ne rend pas compte de deux des quatre mesures ». C'est exactement ce que la compétence « raisonnement » attend.

a) Seul $k$ change, de $3$ à $-4$ : la courbe entière descend de $7$ unités. Le sommet passe de $(1\,;3)$ à $(1\,;-4)$, l'abscisse ne bouge pas. Preuve chiffrée : en $x=0$, la première vaut $5$ et la seconde $-2$, soit exactement $7$ de moins. L'ouverture est identique, $a$ valant $2$ dans les deux cas.

b) Seul $b$ change, de $1$ à $3$ : c'est une COMPRESSION horizontale d'un facteur $3$ autour de l'asymptote verticale $x=2$, qui ne bouge pas. Preuve chiffrée : la première vaut $6$ en $x=3$, la seconde vaut $6$ en $x=2{,}333$, trois fois plus près de l'asymptote. On peut aussi remarquer que $\dfrac{6}{3(x-2)}=\dfrac{2}{x-2}$ : pour une rationnelle, un changement de $b$ se confond avec un changement de $a$, et c'est une particularité de cette famille.

c) Seul $b$ change de signe : la courbe est réfléchie par rapport à l'axe des ordonnées. La première est croissante, la seconde décroissante, et les deux passent par $(0\,;1)$. Preuve chiffrée : $4^{2}=16$ tandis que $4^{-2}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$, deux valeurs inverses l'une de l'autre. L'asymptote $y=0$ est commune.

d) On résout $3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+2$, donc $\sqrt{x}=2$ et $x=4$. Vérification : $3\times 2=6$ et $2\times 2+2=6$. La question a l'air d'une devinette ; c'est en réalité une équation avec radical, du chapitre de l'an dernier, et elle rappelle qu'un paramètre $a$ multiplie une ORDONNÉE, jamais une abscisse.

a) $h=36$ est l'instant, en minutes, où le radical s'annule, c'est-à-dire où le bassin est vide. $k=0$ est la hauteur atteinte à cet instant, ici zéro puisque le bassin se vide complètement. Le point de repère $(36\,;0)$ est donc la FIN de la vidange, et non son début : c'est une lecture qui surprend, et c'est le signe négatif dans $-(t-36)$ qui l'impose.

b) À $t=0$, la hauteur vaut $180$ : $a\sqrt{-(0-36)}=a\sqrt{36}=6a=180$, donc $a=30$. La règle est $H(t)=30\sqrt{36-t}$, où l'on a écrit $-(t-36)=36-t$, plus lisible. Contrôle : $H(36)=0$, conforme.

c) $H(20)=30\sqrt{16}=30\times 4=120$ centimètres. Le bassin a perdu $60$ cm en $20$ minutes, soit un tiers de sa hauteur, alors qu'il a déjà écoulé $20$ de ses $36$ minutes, plus de la moitié du temps. La vidange est donc RAPIDE au début et lente à la fin, contrairement à ce qu'une lecture pressée du graphique suggère.

d) On résout $30\sqrt{36-t}=90$, donc $\sqrt{36-t}=3$, puis $36-t=9$ et $t=27$ minutes. La moitié de la hauteur est atteinte au bout de $27$ minutes, soit aux trois quarts du temps total. C'est la signature d'une racine carrée : le premier quart du temps fait tomber la hauteur de $180$ à $30\sqrt{27}\approx 156$ cm, et le dernier quart la fait tomber de $90$ à $0$. Une vanne calibrée ne vide jamais linéairement, et c'est cette forme de courbe qui le dit.

a) Le paramètre $k$ est la hauteur MOYENNE, c'est-à-dire l'axe d'oscillation : $k=\dfrac{4+28}{2}=16$ mm. L'amplitude $|a|$ est la demi-différence : $|a|=\dfrac{28-4}{2}=12$ mm. Le maximum étant atteint et non un minimum au quart de cycle, on prend $a=12$, positif. Ces deux formules, moyenne et demi-différence, sont à connaître par coeur et elles servent dans tous les problèmes de sinusoïde.

b) La période est de $360$ degrés, un cycle par tour. Pour une sinusoïde en degrés, la période vaut $\dfrac{360}{|b|}$, donc $|b|=1$. Le maximum d'une sinusoïde de base $\sin x$ est en $x=90$ degrés, et l'énoncé le place justement en $90$ degrés : aucun décalage n'est nécessaire, $h=0$. La règle est $y=12\sin x+16$. Vérification : $y(90)=12+16=28$ mm, et $y(270)=-12+16=4$ mm, les deux extrêmes annoncés.

c) $y(180)=12\sin 180^{\circ}+16=0+16=16$ millimètres. C'est la hauteur moyenne, atteinte chaque fois que le sinus s'annule, donc aussi à $0$ et à $360$ degrés. Un poussoir passe par sa position moyenne DEUX fois par tour, une fois en montant et une fois en descendant.

d) Deux cycles par tour signifie une période de $180$ degrés. Comme la période vaut $\dfrac{360}{|b|}$, il faut $|b|=2$ : seul $b$ change, et il passe de $1$ à $2$. Les hauteurs extrêmes étant inchangées, $a$ et $k$ restent à $12$ et $16$. La nouvelle règle est $y=12\sin(2x)+16$, et le maximum se produit maintenant à $45$ degrés puis à $225$ degrés. Le paramètre $b$ est le seul qui agisse sur le RYTHME, et c'est lui que l'on modifie quand on change un profil de came.