Exercices corrigés : la fonction racine carrée (math TS, secondaire 5)

a) $a=3$, $b=1$, $h=4$, $k=1$. Le point de départ est $(4\,;1)$. Comme $b>0$, la courbe part vers la DROITE, donc le domaine est $[4\,;+\infty[$. Comme $a>0$, elle monte, donc l'image est $[1\,;+\infty[$. Vérification : $f(8)=3\times 2+1=7$, un point bien à droite et au-dessus du départ.

b) $a=-2$, $b=1$, $h=-5$, $k=3$, en lisant $x+5=x-(-5)$. Départ $(-5\,;3)$, vers la droite puisque $b>0$, mais vers le BAS puisque $a<0$ : domaine $[-5\,;+\infty[$ et image $]-\infty\,;3]$. Vérification : $g(-1)=-2\times 2+3=-1$.

c) Le radicande est $-(x-6)$, donc $b=-1$ et $h=6$ ; $a=1$ et $k=-2$. Départ $(6\,;-2)$, vers la GAUCHE puisque $b<0$ : domaine $]-\infty\,;6]$. Elle monte puisque $a>0$ : image $[-2\,;+\infty[$. Vérification : $p(2)=\sqrt{4}-2=0$, à gauche du départ et plus haut.

d) Il faut d'abord écrire le radicande sous la forme $b(x-h)$ : $2-x=-(x-2)$, donc $b=-1$ et $h=2$ ; $a=-1$ et $k=4$. Départ $(2\,;4)$, vers la gauche et vers le bas : domaine $]-\infty\,;2]$ et image $]-\infty\,;4]$. Lire $h=2$ directement sur $2-x$ serait une chance, pas une méthode : c'est la mise en évidence du $-1$ qui le donne, et avec $6-2x$ elle donnerait $b=-2$ et $h=3$.

a) $3x-12=3(x-4)$, donc $y=\sqrt{3(x-4)}$ : $b=3$ et $h=4$. Le point de départ est $(4\,;0)$, là où le radicande s'annule. Lire $h=12$ sur l'écriture de départ serait l'erreur type, et elle place le point de départ à huit unités de sa vraie position.

b) $9x-18=9(x-2)$, donc $y=\sqrt{9(x-2)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x-2}=3\sqrt{x-2}$. Le facteur sort du radical en prenant sa racine carrée : un $b$ de $9$ devient un $a$ de $3$. C'est pour cette raison qu'on peut toujours ramener $b$ à $\pm 1$, et que beaucoup d'énoncés le font.

c) $-4x+8=-4(x-2)$, donc $y=2\sqrt{-4(x-2)}-1$ : $a=2$, $b=-4$, $h=2$, $k=-1$. Comme $b<0$, la courbe part vers la gauche : domaine $]-\infty\,;2]$. Comme $a>0$, elle monte : image $[-1\,;+\infty[$. En sortant le facteur, $\sqrt{-4(x-2)}=2\sqrt{-(x-2)}$, donc $y=4\sqrt{2-x}-1$, une écriture équivalente et plus courte.

d) En $x=6$ : $\sqrt{54-18}=\sqrt{36}=6$, et $3\sqrt{4}=6$. En $x=11$ : $\sqrt{99-18}=\sqrt{81}=9$, et $3\sqrt{9}=9$. Les deux écritures coïncident, comme prévu. Ce contrôle sur deux points est la vérification standard après une mise en évidence : elle attrape aussi bien une erreur de $h$ qu'une erreur de facteur sorti.

a) $h=3$, $k=-1$, $b=1$ puisque la courbe part vers la droite : $y=a\sqrt{x-3}-1$. Le point $(7\,;5)$ donne $5=a\sqrt{4}-1$, donc $2a=6$ et $a=3$. La règle est $y=3\sqrt{x-3}-1$. Vérification : $y(7)=3\times 2-1=5$.

b) $h=-2$, $k=4$, $b=-1$ puisque la courbe part vers la gauche : $y=a\sqrt{-(x+2)}+4$. Le point $(-11\,;-2)$ donne $-2=a\sqrt{9}+4$, donc $3a=-6$ et $a=-2$. La règle est $y=-2\sqrt{-(x+2)}+4$. Le signe négatif de $a$ était prévisible : le point donné est plus BAS que le départ.

c) $h=5$, $k=0$, $b=1$ : $y=a\sqrt{x-5}$. Le point $(9\,;-6)$ donne $-6=a\times 2$, donc $a=-3$ et $y=-3\sqrt{x-5}$. Ici $k=0$, ce qui ne change rien à la méthode : le point de départ est simplement sur l'axe des $x$.

d) Non, c'est impossible. Une fonction racine carrée est strictement monotone sur tout son domaine : croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$. Elle ne prend donc jamais deux fois la même valeur, et une courbe qui part de l'ordonnée $2$ ne peut pas y revenir en $x=4$. Le seul cas compatible serait $a=0$, mais la fonction ne serait plus une racine carrée, seulement la constante $2$. C'est aussi ce qui garantit que sa réciproque est une fonction.

a) Le radicande impose $x+3\ge 0$, donc le domaine est $[-3\,;+\infty[$. Le point de départ est $(-3\,;-6)$ et $a=2>0$, donc l'image est $[-6\,;+\infty[$. L'ordonnée à l'origine est $f(0)=2\sqrt{3}-6\approx 3{,}464-6=-2{,}536$. Elle existe parce que $0$ appartient au domaine, ce qui n'est pas toujours le cas et doit être vérifié.

b) $2\sqrt{x+3}-6=0$ donne $\sqrt{x+3}=3$, donc $x+3=9$ et $x=6$. Vérification OBLIGATOIRE : $f(6)=2\times 3-6=0$, et $6$ appartient bien au domaine. L'élévation au carré peut fabriquer des solutions étrangères, donc on revient toujours à l'équation de départ.

c) $2\sqrt{x+3}-6=-2$ donne $\sqrt{x+3}=2$, donc $x+3=4$ et $x=1$. Vérification : $f(1)=2\times 2-6=-2$. Pour $f(x)=-8$ : $\sqrt{x+3}=-1$, impossible, une racine carrée n'est jamais négative. Aucune solution, et on le voit aussi sur l'image : $-8$ est en dessous de $-6$.

d) $f(x)\ge 0$ : la fonction est croissante et s'annule en $6$, donc elle est positive à partir de là, soit $[6\,;+\infty[$. $f(x)<4$ : on résout d'abord $f(x)=4$, ce qui donne $\sqrt{x+3}=5$, donc $x=22$. Par croissance, $f$ est inférieure à $4$ AVANT $22$, mais sans jamais sortir du domaine : la solution est $[-3\,;22[$, avec le crochet fermé en $-3$ parce que la fonction y existe. Oublier la borne du domaine et écrire $]-\infty\,;22[$ est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

a) De $y=\sqrt{x-1}+3$, on isole : $\sqrt{x-1}=y-3$, puis on élève au carré, ce qui EXIGE $y-3\ge 0$. Alors $x-1=(y-3)^{2}$ et $x=(y-3)^{2}+1$. En échangeant les noms, $f^{-1}(x)=(x-3)^{2}+1$, de domaine $[3\,;+\infty[$, qui est bien l'image de $f$. C'est la branche DROITE de la parabole de sommet $(3\,;1)$.

b) De $y=-2\sqrt{x}+5$, on isole : $\sqrt{x}=\dfrac{5-y}{2}$, ce qui exige $5-y\ge 0$, donc $y\le 5$. En élevant au carré, $x=\dfrac{(5-y)^{2}}{4}=\dfrac{(y-5)^{2}}{4}$, les deux écritures étant égales puisque le carré efface le signe. Donc $g^{-1}(x)=\dfrac{(x-5)^{2}}{4}$, de domaine $]-\infty\,;5]$ : cette fois c'est la branche GAUCHE de la parabole de sommet $(5\,;0)$.

c) Parce qu'une racine carrée est strictement monotone sur tout son domaine, croissante ou décroissante selon le signe de $a$ : aucune horizontale ne la coupe deux fois, donc sa réciproque est une fonction telle quelle. Une parabole complète, elle, descend puis remonte : elle prend deux fois presque toutes ses valeurs, et il faut couper au sommet pour la rendre monotone. La restriction est donc le prix à payer d'un extremum à l'intérieur du domaine.

d) Premier sens : $f^{-1}\!\left(f(x)\right)=\left(\sqrt{x-1}+3-3\right)^{2}+1=x-1+1=x$, pour tout $x\ge 1$. Second sens : $f\!\left(f^{-1}(x)\right)=\sqrt{(x-3)^{2}+1-1}+3=\sqrt{(x-3)^{2}}+3=|x-3|+3$, qui vaut $x-3+3=x$ POUR $x\ge 3$, c'est-à-dire sur le domaine de $f^{-1}$. Les deux composées redonnent la variable, et la valeur absolue apparue au second calcul rappelle que le domaine compte.

a) C'est la branche qui part vers la droite en montant le plus vite : $b>0$ donne le côté droit, $a=3>0$ donne la montée, et $|a|=3$ la rend trois fois plus raide que celle de $y=\sqrt{x-2}+1$. Contrôle : en $x=6$, elle vaut $3\times 2+1=7$, alors que la branche simple vaut $3$.

b) C'est la seule qui part vers la GAUCHE, puisque $b=-1<0$. Elle monte, car $a=2>0$. Le côté est toujours la première chose à regarder : il se lit sur le signe de $b$ et il élimine d'emblée trois branches sur quatre. Contrôle : en $x=-2$, elle vaut $2\times 2+1=5$.

c) Les trois fonctions à $a>0$ montent depuis $k=1$ : leur image est $[1\,;+\infty[$, quelle que soit la valeur de $a$ et quel que soit le côté. La quatrième, $y=-\sqrt{x-2}+1$, descend depuis $1$ : son image est $]-\infty\,;1]$. La valeur absolue de $a$ ne change JAMAIS l'image d'une racine carrée, elle ne change que la vitesse à laquelle la courbe s'éloigne du départ.

d) Elles valent toutes $1$ en $x=2$, le point de départ commun : le radical y est nul, donc chaque fonction vaut $k=1$, quels que soient $a$ et $b$. C'est le seul point commun aux quatre, et il ne dépend que de $h$ et $k$. Sur un graphique, repérer ce point unique est ce qui permet de lire $h$ et $k$ en une seconde.

a) On égale : $4\sqrt{x}=x+3$. En posant $t=\sqrt{x}$, avec $t\ge 0$, on obtient $4t=t^{2}+3$, soit $t^{2}-4t+3=0$, donc $(t-1)(t-3)=0$ et $t=1$ ou $t=3$. Alors $x=t^{2}$ vaut $1$ ou $9$. Les points sont $(1\,;4)$ et $(9\,;12)$. Vérification : $4\sqrt{9}=12$ et $9+3=12$. Le changement de variable évite d'élever au carré une équation à deux termes, et il supprime tout risque de racine étrangère.

b) Entre les deux points d'intersection, la racine est au-dessus : on le vérifie en un point, $x=4$, où $f(4)=8$ et $d(4)=7$. La solution est $]1\,;9[$, bornes exclues puisque l'inégalité est stricte et que les deux courbes s'y touchent.

c) L'écart est $e(x)=4\sqrt{x}-x-3$. En posant à nouveau $t=\sqrt{x}$, $e=-t^{2}+4t-3=-(t-2)^{2}+1$ : c'est une parabole en $t$, de maximum $1$ atteint pour $t=2$, c'est-à-dire $x=4$. L'écart maximal vaut donc $1$, en $x=4$, ce qui confirme le calcul de la question b). Transformer un problème de racine en problème de parabole par changement de variable est la technique la plus rentable du chapitre.

d) Parce que leurs vitesses de croissance ne se comparent pas. Sur $[0\,;1]$, la racine gagne $4$ unités ; sur $[100\,;101]$, elle n'en gagne que $0{,}2$. La droite, elle, gagne toujours exactement $1$ par unité. Dès que le gain de la racine passe sous celui de la droite, l'écart se referme puis s'inverse définitivement. C'est la raison pour laquelle aucun modèle en racine carrée ne peut dépasser durablement un modèle linéaire, et c'est une observation à faire avant tout calcul.

a) Le radical s'annule pour $F=1$, et $D(1)=6$ : le point de départ est $(1\,;6)$. Il signifie qu'un câble de $6$ millimètres suffit pour la charge la plus faible du tableau. Ce point est le début du domaine utile, et il n'a rien d'arbitraire : c'est le diamètre minimal fabriqué.

b) $D(26)=4\sqrt{25}+6=4\times 5+6=26$ millimètres. La coïncidence entre $26$ kilonewtons et $26$ millimètres est un hasard de l'énoncé, pas une règle : il ne faut surtout pas en tirer une proportionnalité.

c) On résout $4\sqrt{F-1}+6=30$, donc $4\sqrt{F-1}=24$, puis $\sqrt{F-1}=6$ et $F-1=36$, soit $F=37$ kilonewtons. Vérification : $4\times 6+6=30$, et $37$ appartient bien à l'intervalle $[1\,;50]$. Résoudre l'équation revient à utiliser la fonction réciproque, $F=\left(\dfrac{D-6}{4}\right)^{2}+1$, qui donne la même chose et qui serait la formule à programmer dans un tableur.

d) $D(5)=4\times 2+6=14$ millimètres et $D(10)=4\times 3+6=18$ millimètres. Doubler la charge n'a donc PAS doublé le diamètre : il a augmenté de $4$ millimètres, soit environ $29$ pour cent. C'est la signature d'une racine carrée : la réponse croît de moins en moins vite. Physiquement, c'est cohérent, puisque la résistance dépend de la section, qui varie comme le CARRÉ du diamètre : pour doubler la section, il suffit de multiplier le diamètre par $\sqrt{2}$, soit environ $1{,}41$.

a) $\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{\pi}}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{A}$, donc $a=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\approx 0{,}564$. La fonction est une racine carrée de point de départ l'origine : $h=0$ et $k=0$, le cas le plus simple, celui de la TS 4.

b) Le domaine est imposé par la machine : $[100\,;5000]$ centimètres carrés. Comme $r$ est croissante, l'image se lit aux bornes : $r(100)=\dfrac{10}{\sqrt{\pi}}\approx 5{,}6$ cm et $r(5000)\approx 39{,}9$ cm. L'image est donc environ $[5{,}6\,;39{,}9]$ centimètres. Une fonction monotone donne toujours son image par ses deux bornes, sans tableau de valeurs.

c) On inverse : $A=\pi r^{2}=\pi\times 625\approx 1963{,}50$ centimètres carrés. On vérifie que cette aire appartient bien au domaine de la machine, ce qui est le cas. La réciproque de $r(A)$ est donc la formule de l'aire du disque, ce qui n'a rien d'étonnant : on a simplement relu la même relation dans l'autre sens.

d) Par QUATRE. Sans chiffres : $r$ varie comme $\sqrt{A}$, donc $A$ varie comme $r^{2}$ ; multiplier $r$ par $2$ multiplie $r^{2}$, donc $A$, par $4$. Vérification : $r(400)=\dfrac{20}{\sqrt{\pi}}\approx 11{,}28$ cm, et $r(1600)=\dfrac{40}{\sqrt{\pi}}\approx 22{,}57$ cm, soit exactement le double pour une aire quadruplée. C'est la même observation qu'au problème du câble, et elle se généralise : dans une racine carrée, doubler la sortie coûte quatre fois plus d'entrée.