Math TS, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction polynomiale du second degré

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction du second degré du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : les trois formes de l'équation, les propriétés, la recherche de la règle, les équations et inéquations, et la réciproque.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une parabole s'écrit de trois façons, et chacune répond à une question différente. La canonique donne le sommet, la factorisée donne les zéros, la générale donne l'ordonnée à l'origine. Choisir la bonne forme AVANT de calculer est tout le chapitre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
4Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
5La factorisationSecondaire 4 TS
6La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
7La complétion du carré et la formule quadratique

L'essentiel

Trois formes, trois usages

• CANONIQUE $a(x-h)^{2}+k$ : le sommet $(h\,;k)$ se lit, donc l'extremum, l'axe de symétrie et l'image aussi.
• FACTORISÉE $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ : les zéros se lisent, et l'abscisse du sommet est leur MILIEU.
• GÉNÉRALE $ax^{2}+bx+c$ : l'ordonnée à l'origine se lit, c'est $c$ , et le discriminant se calcule.
• Le coefficient $a$ est le même dans les trois écritures, et c'est le seul élément commun. Il ne s'oublie jamais en passant de l'une à l'autre.

Ce que chaque paramètre décide

• $h$ et $k$ TRANSLATENT, ils ne changent pas la forme. Deux paraboles de même $a$ sont superposables par glissement.
• $|a|$ décide de l'OUVERTURE : plus il est grand, plus la parabole est resserrée. Son SIGNE décide du sens, et donc de la nature de l'extremum.
• IMAGE : $[k\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;k]$ si $a<0$ . Le crochet est FERMÉ, le sommet étant atteint.
• L'abscisse du sommet vaut $-\dfrac{b}{2a}$ , et son ordonnée s'obtient en évaluant la fonction en cette abscisse : c'est plus rapide que la seconde formule.

La translatée garde exactement la forme de la parabole de base ; la pointillée garde son sommet mais se resserre. Translation et étirement ne se confondent pas.

Résoudre sans discriminant

• De $a(x-h)^{2}+k=m$ , on ISOLE le carré : $(x-h)^{2}=\dfrac{m-k}{a}$ , puis on passe par la valeur absolue, ce qui garantit les DEUX solutions.
• L'équation a deux solutions, une seule ou aucune selon que $\dfrac{m-k}{a}$ est positif, nul ou négatif : autrement dit, selon que $m$ appartient à l'image.
• INÉQUATION avec $a>0$ : on est ENTRE les solutions pour « plus petit », en DEHORS pour « plus grand ». Avec $a<0$ , c'est l'inverse.
• La RÉCIPROQUE exige une restriction, à partir du sommet. Elle donne une fonction racine carrée, et $h$ et $k$ échangent leurs rôles.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre $k$ et l'ordonnée à l'origine

1 à 2 points, et un tracé décalé

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $y=2(x-3)^{2}-8$ , l'ordonnée à l'origine vaut $-8$

Ce qu'il faut écrire

Elle vaut $y(0)=2\times 9-8=10$

Pourquoi : $k$ est l'ordonnée du SOMMET, pas celle du point d'abscisse zéro. Les deux ne coïncident que si $h=0$ . Le contrôle : évaluer la fonction en $x=0$ , ce qui prend cinq secondes et donne la vraie valeur.

2. Prendre $a$ pour une translation

1 à 2 points, et un tracé faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=5x^{2}$ est $y=x^{2}$ remontée de $5$ »

Ce qu'il faut écrire

Même sommet, l'origine ; la parabole est simplement cinq fois plus resserrée

Pourquoi : Les deux courbes passent par l'origine, donc rien n'a été déplacé. Chaque ordonnée est multipliée par $5$ : à $x=2$ , on passe de $4$ à $20$ . Le test tient en un point, celui où la translation se verrait.

3. Chercher une forme factorisée qui n'existe pas

le temps d'un exercice, et une réponse inventée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$y=x^{2}-6x+13$ se factorise, il suffit de trouver les bons nombres

Ce qu'il faut écrire

$\Delta=-16<0$ : aucun zéro réel, donc aucune forme factorisée

Les deux paraboles ont le même

a

et le même axe ; seule la hauteur du sommet change, et elle décide de l'existence des zéros.

Pourquoi : La forme canonique le montre mieux que le discriminant : $(x-3)^{2}+4$ vaut au moins $4$ , donc la parabole ne touche jamais l'axe. Un produit de deux facteurs du premier degré s'annulerait, elle non.

4. Résoudre une inéquation du mauvais côté

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2(x-3)^{2}-8\le 0$ donne $x\le 1$ ou $x\ge 5$

Ce qu'il faut écrire

$[1\,;5]$

Pourquoi : Avec $a>0$ , la parabole est SOUS l'axe entre ses zéros et au-dessus à l'extérieur. Un croquis de dix secondes suffit à trancher, et un test en $x=3$ aussi : la fonction y vaut $-8$ , donc $3$ appartient à la solution, ce que la réponse fausse exclut.

5. Donner la réciproque sans restriction

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

La réciproque de $y=(x-2)^{2}+1$ est $y=2+\sqrt{x-1}$

Ce qu'il faut écrire

Sur $[2\,;+\infty[$ oui ; sur $]-\infty\,;2]$ , c'est $y=2-\sqrt{x-1}$

Pourquoi : Une parabole complète échoue au test de la droite horizontale, donc sa réciproque n'est pas une fonction. Il faut couper au sommet et le DIRE. Le contexte d'un problème choisit ensuite la branche.

6. Oublier le facteur $a$ en passant à la forme factorisée

toute la question, l'expression écrite n'étant pas la bonne

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2x^{2}-12x+10$ a pour zéros $1$ et $5$ , donc il vaut $(x-1)(x-5)$

Ce qu'il faut écrire

$2(x-1)(x-5)$

Pourquoi : Le produit proposé commence par $x^{2}$ , le trinôme par $2x^{2}$ : il vaut la moitié. Le contrôle en deux secondes est de comparer les coefficients dominants, et il attrape cette erreur à tout coup.

7. Chercher l'abscisse du sommet par une moyenne quand il n'y a pas de zéro

du temps perdu, et parfois une question abandonnée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pas de zéros, donc pas de sommet calculable sans compléter le carré »

Ce qu'il faut écrire

$h=-\dfrac{b}{2a}$ fonctionne toujours, zéros ou pas

Pourquoi : La formule $-\dfrac{b}{2a}$ ne dépend pas de l'existence des zéros : elle sort de la complétion du carré faite avec des lettres. Pour $x^{2}-6x+13$ , elle donne $h=3$ , puis $k=13-18+9=4$ , sans aucune complétion à écrire.

Quelle méthode choisir

Quelle forme utiliser, selon ce qu'on donne

Une question sur une fonction du second degré

Si On donne le SOMMET et un point → Forme canonique : $h$ et $k$ sont lus, le point donne $a$

Exemple : Sommet $(4\,;-5)$ et $(6\,;3)$ donnent $y=2(x-4)^{2}-5$
Si On donne les DEUX ZÉROS et un point → Forme factorisée : les zéros sont lus, le point donne $a$

Exemple : Zéros $-2$ et $6$ , ordonnée à l'origine $-12$ , donnent $y=(x+2)(x-6)$
Si On donne TROIS POINTS quelconques → Forme générale et système de trois équations, dont une gratuite si un point est sur l'axe des ordonnées

Exemple : $(0\,;1)$ , $(1\,;-2)$ , $(2\,;-3)$ donnent $y=x^{2}-4x+1$
Si On demande le SIGNE, un MAXIMUM ou un MINIMUM → Forme canonique, et l'on conclut par « un carré est positif ou nul »

Exemple : $x^{2}-8x+20=(x-4)^{2}+4$ , toujours strictement positif
Si On demande les ZÉROS d'une forme générale → Discriminant, ou complétion du carré si le sommet est aussi demandé

Exemple : $2x^{2}-12x+10$ a pour zéros $1$ et $5$

L'abscisse du sommet est toujours le MILIEU des deux zéros quand ils existent. Ce contrôle est gratuit et il attrape la plupart des erreurs de calcul.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une étude complète de parabole

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande de décrire, de tracer ou d'étudier une fonction du second degré

1 Donner la forme canonique, en montrant la complétion du carré ou la formule $-\dfrac{b}{2a}$ .
2 Annoncer le sommet et la nature de l'extremum, en citant le signe de $a$ .
3 Donner le domaine, l'image et l'axe de symétrie.
4 Chercher les zéros, ou justifier qu'il n'y en a pas.
5 Donner l'ordonnée à l'origine et son point symétrique.
6 Conclure par le tracé, avec les cinq points.

Phrase de conclusion

« $y=x^{2}+10x+21=(x+5)^{2}-4$ . Sommet $(-5\,;-4)$ , minimum car $a=1>0$ . Domaine $\mathbb{R}$ , image $[-4\,;+\infty[$ , axe $x=-5$ . Zéros : $(x+5)^{2}=4$ donne $x=-3$ et $x=-7$ . Ordonnée à l'origine $21$ , symétrique en $(-10\,;21)$ . »

Le piège : Donner le sommet sans dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. La nature de l'extremum est une réponse à part entière, et elle se justifie par le signe de $a$ , pas par le dessin.

Barème : 1 point pour la forme canonique, 1 point pour le sommet, 1 point pour sa nature, 1 point pour l'image, 1 point pour les zéros, 1 point pour le tracé. Un sommet juste sans démarche visible plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le milieu des zéros

L'abscisse du sommet doit être exactement la moyenne des deux zéros. Un écart signale une erreur dans l'un ou dans l'autre.

Zéros $1$ et $5$ : le milieu vaut $3$ , ce qui doit être le $h$ de la forme canonique.
Évaluer en $x=0$ dans les deux écritures

Forme canonique et forme générale sont la même fonction : elles doivent donner le même nombre en zéro, et ce nombre est l'ordonnée à l'origine.

$2(x-3)^{2}-8$ donne $10$ , et $2x^{2}-12x+10$ donne $10$ .
Comparer les coefficients dominants

Dans une forme factorisée, le produit des coefficients de $x$ doit reproduire $a$ . C'est le contrôle du facteur oublié.

$2(x-1)(x-5)$ donne bien $2x^{2}$ en tête.
Confronter l'image et les zéros

Avec $a>0$ , un $k$ négatif impose deux zéros, un $k$ positif en interdit tout. Une contradiction signale une erreur de sommet.

$(x-3)^{2}+4$ a $k>0$ et $a>0$ : aucun zéro, et le discriminant $-16$ le confirme.

L'exercice type décortiqué

Étudier $y=-2x^{2}+12x-10$ de bout en bout

Donnez la forme canonique, le sommet et sa nature, l'image, les zéros, la forme factorisée et l'ordonnée à l'origine de $y=-2x^{2}+12x-10$ , puis résolvez $y\ge 0$ .

Les cinq points suffisent au tracé : le sommet, les deux zéros, l'ordonnée à l'origine et son symétrique par rapport à l'axe

x=3

Étape 1

$h=-\dfrac{12}{2\times(-2)}=3$ , et $k=y(3)=-18+36-10=8$ . Donc $y=-2(x-3)^{2}+8$ .

Pourquoi

La formule donne l'abscisse en une ligne, et évaluer en $h$ donne l'ordonnée plus vite qu'une seconde formule. La complétion du carré donnerait le même résultat, mais en trois lignes de plus.

Étape 2

Sommet $(3\,;8)$ , MAXIMUM car $a=-2<0$ . Image $]-\infty\,;8]$ , axe $x=3$ .

Pourquoi

La nature de l'extremum se justifie par le signe de $a$ , jamais par le dessin. Le crochet de l'image est FERMÉ, le sommet étant atteint : c'est la différence avec une asymptote.

Étape 3

Zéros : $-2(x-3)^{2}+8=0$ donne $(x-3)^{2}=4$ , donc $|x-3|=2$ et $x=1$ ou $x=5$ .

Pourquoi

On isole le carré, puis on passe par la valeur absolue : c'est ce qui garantit les DEUX solutions. Contrôle immédiat, le milieu de $1$ et $5$ vaut bien $3$ .

Étape 4

Forme factorisée : $y=-2(x-1)(x-5)$ .

Pourquoi

Le facteur $a=-2$ reste en tête. Contrôle : le produit développé commence par $-2x^{2}$ , ce qui correspond, et l'ordonnée à l'origine vaut $-2\times(-1)\times(-5)=-10$ , ce qui correspond aussi.

Étape 5

Ordonnée à l'origine : $y(0)=-10$ . Point symétrique : $(6\,;-10)$ .

Pourquoi

Le symétrique se trouve à égale distance de l'axe $x=3$ , donc en $x=6$ . Ces deux points, avec le sommet et les deux zéros, suffisent à tracer proprement.

Étape 6

$y\ge 0$ : comme $a<0$ , la parabole est au-dessus de l'axe ENTRE ses zéros. Solution $[1\,;5]$ .

Pourquoi

Le sens dépend du signe de $a$ , et il s'inverse par rapport au cas habituel. Contrôle en $x=3$ : $y=8\ge 0$ , donc $3$ est bien dans la solution.

Conclusion rédigée

$y=-2(x-3)^{2}+8=-2(x-1)(x-5)$ , sommet $(3\,;8)$ maximum, image $]-\infty\,;8]$ , zéros $1$ et $5$ , ordonnée à l'origine $-10$ , et $y\ge 0$ sur $[1\,;5]$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Résoudre l'inéquation comme si $a$ était positif, et répondre $]-\infty\,;1]\cup[5\,;+\infty[$ . Le signe de $a$ inverse le raisonnement, et un test en $x=3$ le montre en cinq secondes.

À savoir par cœur

• Canonique pour le sommet, factorisée pour les zéros, générale pour l'ordonnée à l'origine.
• $a$ est le même dans les trois formes.
• $h=-\dfrac{b}{2a}$ , et $k$ s'obtient en évaluant en $h$ .
• L'abscisse du sommet est le MILIEU des zéros.
• L'ordonnée à l'origine n'est pas $k$ : c'est $f(0)$ .
• Image fermée en $k$ : le sommet est atteint.
• On isole le carré, puis valeur absolue : deux solutions.
• $a>0$ : entre les zéros pour « négatif », dehors pour « positif ».
• Pas de zéro n'est pas une erreur.
• Réciproque : on restreint au sommet, et $h$ et $k$ s'échangent.

Questions fréquentes

Quelle forme d'équation faut-il utiliser pour une parabole ?

Celle qui correspond à ce que l'énoncé donne. Un sommet et un point appellent la forme canonique, deux zéros et un point appellent la forme factorisée, et trois points quelconques obligent à passer par la forme générale et un système. Choisir la mauvaise forme transforme une question de deux lignes en un système de trois équations.

Pourquoi l'ordonnée à l'origine n'est-elle pas le paramètre k ?

Parce que ce paramètre est l'ordonnée du sommet, c'est-à-dire la valeur de la fonction à l'abscisse du sommet, et non à l'abscisse zéro. Les deux ne coïncident que si le sommet est sur l'axe vertical. L'ordonnée à l'origine se calcule toujours en remplaçant la variable par zéro, ce qui prend quelques secondes.

Une parabole peut-elle ne pas avoir de zéro ?

Oui, et c'est un résultat, pas une erreur. Si le sommet est au-dessus de l'axe horizontal et que la parabole s'ouvre vers le haut, elle ne le touche jamais. La forme canonique le montre d'un coup d'oeil, puisqu'elle s'écrit alors comme une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif.

Comment savoir de quel côté se trouve la solution d'une inéquation ?

Le signe du coefficient dominant décide. Quand la parabole s'ouvre vers le haut, elle est négative entre ses zéros et positive à l'extérieur ; quand elle s'ouvre vers le bas, c'est l'inverse. Un test avec un nombre situé entre les deux zéros confirme la réponse en cinq secondes.

Pourquoi la réciproque d'une parabole demande-t-elle une restriction ?

Parce qu'une parabole descend puis remonte : elle prend deux fois presque toutes ses valeurs, donc une droite horizontale la coupe en deux points. En échangeant les coordonnées, on obtiendrait deux résultats pour une même entrée, ce qui n'est pas une fonction. On coupe donc au sommet, et la branche gardée dépend du contexte.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions quadratiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

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La fonction racine carrée

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L'essentiel

Trois formes, trois usages

Ce que chaque paramètre décide

Résoudre sans discriminant

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre kkk et l'ordonnée à l'origine

2. Prendre aaa pour une translation

3. Chercher une forme factorisée qui n'existe pas

4. Résoudre une inéquation du mauvais côté

5. Donner la réciproque sans restriction

6. Oublier le facteur aaa en passant à la forme factorisée

7. Chercher l'abscisse du sommet par une moyenne quand il n'y a pas de zéro

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Quelle forme utiliser, selon ce qu'on donne

La rédaction attendue

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L'exercice type décortiqué

Étudier y=−2x2+12x−10y=-2x^{2}+12x-10y=−2x2+12x−10 de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle forme d'équation faut-il utiliser pour une parabole ?

Pourquoi l'ordonnée à l'origine n'est-elle pas le paramètre k ?

Une parabole peut-elle ne pas avoir de zéro ?

Comment savoir de quel côté se trouve la solution d'une inéquation ?

Pourquoi la réciproque d'une parabole demande-t-elle une restriction ?

Exercices corrigés : Les fonctions quadratiques

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1. Confondre $k$ et l'ordonnée à l'origine

2. Prendre $a$ pour une translation

6. Oublier le facteur $a$ en passant à la forme factorisée

Étudier $y=-2x^{2}+12x-10$ de bout en bout