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Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : la complétion du carré et la factorisation par la formule quadratique

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de factorisation du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : la complétion du carré, le passage à la forme canonique et la factorisation d'un trinôme par la formule quadratique.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Un trinôme se factorise dès que son discriminant est positif ou nul, même quand les zéros ne tombent pas juste. La complétion du carré le démontre, la formule quadratique en est le raccourci, et le facteur aa ne s'oublie jamais.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
  2. 2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
  3. 3Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
  4. 4La factorisationSecondaire 4 TS

L'essentiel

Compléter le carré : la moitié, au carré, ajoutée et retranchée

  • • x2+bx=(x+b2)2−b24x^{2}+bx=\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4}. On ajoute le carré de la MOITIÉ du coefficient de xx, et on le retranche aussitôt : la valeur de l'expression ne change pas, seule son écriture change.
  • • La moitié vient du DOUBLE PRODUIT : dans (x+m)2=x2+2mx+m2(x+m)^{2}=x^{2}+2mx+m^{2}, le terme en xx vaut 2m2m, donc mm est la moitié de bb. C'est la seule chose à comprendre, le reste suit.
  • • Un coefficient impair donne une fraction, et on la garde : x2−9xx^{2}-9x devient (x−92)2−814\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^{2}-\dfrac{81}{4}. Arrondir à ce stade fausse le sommet.
  • • La figure donne la preuve en aires : les deux bandes de largeur b2\dfrac{b}{2} laissent un coin carré vide, exactement (b2)2\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}.
x²(b/2)x(b/2)x(b/2)²xb/2
Le coin qui manque pour fermer le carré de côté x+b2x+\dfrac{b}{2} a pour aire (b2)2\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} : c'est exactement ce qu'on ajoute, et qu'on retranche aussitôt.

Quand le coefficient dominant n'est pas 1

  • • On met aa en évidence sur les DEUX PREMIERS termes seulement : ax2+bx+c=a(x2+bax)+cax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a}x\right)+c. Le terme constant reste dehors.
  • • On complète dans la parenthèse, puis on redistribue. Le nombre retranché à l'intérieur sort MULTIPLIÉ PAR aa : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle déplace le sommet.
  • • Exemple complet : 3x2+12x+5=3(x2+4x)+5=3[(x+2)2−4]+5=3(x+2)2−73x^{2}+12x+5=3(x^{2}+4x)+5=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+5=3(x+2)^{2}-7. Le −4-4 est devenu −12-12.
  • • Contrôle immédiat : évaluer les deux écritures en x=0x=0. Elles doivent donner le même nombre, ici 55.

La formule quadratique factorise autant qu'elle résout

  • • Si x1x_{1} et x2x_{2} sont les zéros, alors ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}). Le facteur aa n'est pas décoratif : sans lui, le coefficient dominant du produit est 11.
  • • On répartit ensuite aa dans les parenthèses pour obtenir des coefficients entiers : 2(x−3)(x−12)=(x−3)(2x−1)2\left(x-3\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=(x-3)(2x-1).
  • • Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac. Carré parfait, les zéros sont rationnels ; positif sans être un carré parfait, ils sont irrationnels et la factorisation contient des radicaux ; nul, le trinôme vaut a(x−x1)2a(x-x_{1})^{2} ; négatif, aucune factorisation réelle.
  • • Forme canonique et forme factorisée disent la même chose : x2−6x+4=(x−3)2−5=(x−3−5)(x−3+5)x^{2}-6x+4=(x-3)^{2}-5=\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right).

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Ajouter b2b^{2} au lieu de (b2)2\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}

toute la question, parce que le sommet trouvé ensuite est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2+6x+36=(x+6)2x^{2}+6x+36=(x+6)^{2}

Ce qu'il faut écrire

x2+6x+9=(x+3)2x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}

Pourquoi : Développement de contrôle : (x+6)2=x2+12x+36(x+6)^{2}=x^{2}+12x+36, et le terme en xx est le double de celui qu'on voulait. Le coefficient de xx vaut TOUJOURS le double du nombre dans la parenthèse, donc ce nombre est la moitié, jamais le coefficient lui-même.

2. Oublier de multiplier par aa ce qui sort de la parenthèse

2 points, et un sommet faux qui contamine tout le reste du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

3x2+12x+5=3(x+2)2−4+5=3(x+2)2+13x^{2}+12x+5=3(x+2)^{2}-4+5=3(x+2)^{2}+1

Ce qu'il faut écrire

3x2+12x+5=3(x+2)2−12+5=3(x+2)2−73x^{2}+12x+5=3(x+2)^{2}-12+5=3(x+2)^{2}-7

Pourquoi : Le −4-4 est À L'INTÉRIEUR de la parenthèse, donc il est multiplié par 33 en sortant. Contrôle en dix secondes : évaluer en x=0x=0. L'écriture fausse donne 3×4+1=133\times 4+1=13, l'expression de départ donne 55. Un seul nombre testé suffit à trancher.

3. Perdre le facteur aa dans la forme factorisée

toute la question, l'expression écrite n'étant pas égale à celle de départ

Ce qu'il ne faut pas écrire

2x2−7x+3=(x−3)(x−12)2x^{2}-7x+3=(x-3)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)

Ce qu'il faut écrire

2x2−7x+3=2(x−3)(x−12)=(x−3)(2x−1)2x^{2}-7x+3=2(x-3)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=(x-3)(2x-1)

Pourquoi : Le produit proposé commence par x×x=x2x\times x=x^{2}, alors que le trinôme commence par 2x22x^{2} : il vaut exactement la moitié. Le contrôle tient en deux secondes, il suffit de comparer les coefficients dominants, et il attrape cette erreur à tout coup.

4. Déclarer irréductible un trinôme à zéros irrationnels

toute la question, et le temps perdu à chercher un couple d'entiers

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2−6x+4x^{2}-6x+4 : aucun couple d'entiers ne convient, donc il ne se factorise pas

Ce qu'il faut écrire

Δ=20>0\Delta=20>0, donc x2−6x+4=(x−3−5)(x−3+5)x^{2}-6x+4=\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right)

delta positifdelta nuldelta négatif
Deux zéros, un zéro double, aucun zéro : la factorisation réelle existe dans les deux premiers cas, et dans le deuxième c'est un carré.

Pourquoi : Le produit-somme ne trouve que les zéros RATIONNELS : son échec ne prouve rien. C'est le signe du discriminant qui décide de l'existence d'une factorisation réelle, et le fait qu'il soit un carré parfait qui décide de la nature des zéros. La figure sépare les trois cas.

5. Conclure qu'un discriminant nul interdit la factorisation

toute la question, alors que c'est le cas le plus simple des trois

Ce qu'il ne faut pas écrire

4x2−12x+94x^{2}-12x+9 n'a qu'un zéro, donc il ne se factorise pas

Ce qu'il faut écrire

4x2−12x+9=4(x−32)2=(2x−3)24x^{2}-12x+9=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=(2x-3)^{2}

Pourquoi : Un discriminant nul donne un zéro DOUBLE, c'est-à-dire un facteur répété deux fois. La parabole touche l'axe des xx sans le traverser. On retrouve d'ailleurs le trinôme carré parfait de la quatrième secondaire, atteint par un autre chemin.

6. Ne pas simplifier le radical avant de diviser

1 à 2 points, et une réponse fausse d'un facteur 2 sur la partie irrationnelle

Ce qu'il ne faut pas écrire

x=6±202x=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}, donc x=3±20x=3\pm\sqrt{20}

Ce qu'il faut écrire

20=25\sqrt{20}=2\sqrt{5}, donc x=6±252=3±5x=\dfrac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}

Pourquoi : On ne peut pas simplifier une somme terme par terme : 6±202\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2} ne donne 3±203\pm\sqrt{20} que si l'on divise le 66 sans diviser le radical. En extrayant d'abord le carré parfait, le 22 apparaît en facteur des DEUX termes et la simplification devient licite. Contrôle décimal : 3+5≈5,2363+\sqrt{5}\approx 5{,}236, tandis que 3+20≈7,4723+\sqrt{20}\approx 7{,}472, et seul le premier annule le trinôme.

7. Croire que compléter le carré change la valeur de l'expression

1 point, et une confusion qui revient à chaque problème de maximum

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On a ajouté 99, donc l'expression a augmenté de 99 »

Ce qu'il faut écrire

x2+6x+1=(x2+6x+9)−9+1=(x+3)2−8x^{2}+6x+1=(x^{2}+6x+9)-9+1=(x+3)^{2}-8, la valeur est inchangée

Pourquoi : On ajoute ET on retranche le même nombre : le bilan est nul. C'est une transformation d'écriture, au même titre qu'une mise en évidence. Vérification en x=1x=1 : 1+6+1=81+6+1=8 et (1+3)2−8=16−8=8(1+3)^{2}-8=16-8=8.

Quelle méthode choisir

Que faire d'un trinôme, selon son discriminant

Un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c à factoriser, après avoir sorti tout facteur commun

  • Si Δ\Delta est un CARRÉ PARFAIT positif → Zéros rationnels : produit-somme ou formule quadratique, au choix

    Exemple : 2x2−7x+32x^{2}-7x+3, Δ=25\Delta=25, donne (x−3)(2x−1)(x-3)(2x-1)

  • Si Δ>0\Delta>0 sans être un carré parfait → Zéros irrationnels : formule quadratique obligatoire, radicaux dans la réponse

    Exemple : x2−6x+4x^{2}-6x+4, Δ=20\Delta=20, donne (x−3−5)(x−3+5)\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right)

  • Si Δ=0\Delta=0 → Zéro double : la factorisation est un carré, a(x−x1)2a(x-x_{1})^{2}

    Exemple : 4x2−12x+94x^{2}-12x+9, Δ=0\Delta=0, donne (2x−3)2(2x-3)^{2}

  • Si Δ<0\Delta<0 → Aucune factorisation réelle ; la forme canonique montre que le signe est constant

    Exemple : x2+x+1=(x+12)2+34x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}, toujours positif

Le calcul du discriminant prend dix secondes et évite de chercher un couple d'entiers qui n'existe pas. On le fait AVANT toute tentative de produit-somme.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un passage à la forme canonique

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande le sommet, un maximum, un minimum, ou la forme canonique

  1. 1 Mettre aa en évidence sur les deux premiers termes seulement, et l'écrire.
  2. 2 Calculer la moitié du coefficient de xx dans la parenthèse, l'élever au carré.
  3. 3 Écrire la parenthèse sous la forme carré moins nombre, sans rien sortir encore.
  4. 4 Redistribuer aa, en multipliant le nombre retranché, puis réduire avec le terme constant.
  5. 5 Annoncer le sommet (h ;k)(h\,;k) et dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum, selon le signe de aa.
  6. 6 Contrôler en évaluant les deux écritures en x=0x=0.

Phrase de conclusion

« −2x2+12x−13=−2(x2−6x)−13=−2[(x−3)2−9]−13=−2(x−3)2+18−13=−2(x−3)2+5-2x^{2}+12x-13=-2(x^{2}-6x)-13=-2\left[(x-3)^{2}-9\right]-13=-2(x-3)^{2}+18-13=-2(x-3)^{2}+5. Le sommet est (3 ;5)(3\,;5), et comme a=−2<0a=-2<0, c'est un maximum. Contrôle en x=0x=0 : −2×9+5=−13-2\times 9+5=-13. »

Le piège : Sauter la ligne intermédiaire, celle où le carré est encore dans la parenthèse. C'est là que le nombre à multiplier par aa est visible ; sans cette ligne, le correcteur ne peut pas donner le point de méthode, et l'élève oublie la multiplication une fois sur deux.

Barème : 1 point pour la mise en évidence correcte, 1 point pour la complétion dans la parenthèse, 1 point pour la redistribution, 1 point pour le sommet et sa nature. Un sommet juste sans démarche visible plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Factoriser 2x2+4x−12x^{2}+4x-1 et donner son minimum

Écrivez 2x2+4x−12x^{2}+4x-1 sous forme canonique, donnez son minimum, puis factorisez-le sur les réels en valeurs exactes.

-4-3-2-112-4-3-2-1123456sommet (-1 ; -3)y = 2x² + 4x - 1
Le sommet (−1 ;−3)(-1\,;-3) se lit sur la forme canonique, et les deux zéros irrationnels, −1±62-1\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}, sont les abscisses où la courbe coupe l'axe : environ −2,22-2{,}22 et 0,220{,}22.

Étape 1

2x2+4x−1=2(x2+2x)−12x^{2}+4x-1=2(x^{2}+2x)-1.

Pourquoi

On met 22 en évidence sur les deux premiers termes seulement. Le −1-1 reste dehors : le faire entrer obligerait à traîner −12-\dfrac{1}{2} sans aucun gain.

Étape 2

Dans la parenthèse, la moitié de 22 vaut 11, au carré 11 : 2[(x+1)2−1]−12\left[(x+1)^{2}-1\right]-1.

Pourquoi

C'est la ligne à ne jamais sauter. Le −1-1 retranché est encore À L'INTÉRIEUR, et c'est lui qui sera multiplié par 22 à l'étape suivante.

Étape 3

2(x+1)2−2−1=2(x+1)2−32(x+1)^{2}-2-1=2(x+1)^{2}-3. Sommet (−1 ;−3)(-1\,;-3), minimum −3-3 car a=2>0a=2>0.

Pourquoi

Le −1-1 sort multiplié par 22. Contrôle en x=0x=0 : la forme de départ vaut −1-1, et 2×1−3=−12\times 1-3=-1. Le minimum se lit alors sans calcul, un carré valant au moins zéro.

Étape 4

Δ=16+8=24\Delta=16+8=24, donc x=−4±244=−4±264=−1±62x=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{6}}{4}=-1\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}.

Pourquoi

On simplifie le radical AVANT de diviser, sinon la fraction ne se réduit pas. Le discriminant est positif sans être un carré parfait : les zéros sont irrationnels, et le produit-somme n'aurait rien donné.

Étape 5

2x2+4x−1=2(x+1−62)(x+1+62)2x^{2}+4x-1=2\left(x+1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x+1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right).

Pourquoi

Le facteur 22 est en tête, comme la règle l'impose. Contrôle par développement : le produit des deux parenthèses vaut (x+1)2−64(x+1)^{2}-\dfrac{6}{4}, et en multipliant par 22 on retrouve 2(x+1)2−32(x+1)^{2}-3, c'est-à-dire la forme canonique de l'étape 3.

Conclusion rédigée

2x2+4x−1=2(x+1)2−32x^{2}+4x-1=2(x+1)^{2}-3, de minimum −3-3 en x=−1x=-1, et 2x2+4x−1=2(x+1−62)(x+1+62)2x^{2}+4x-1=2\left(x+1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x+1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right).

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire la factorisation sans le facteur 22, ou conclure que le trinôme est irréductible parce qu'aucun couple d'entiers ne donne le produit et la somme. Les deux coûtent l'ensemble de la dernière question.

À savoir par cœur

  • • On ajoute le carré de la MOITIÉ du coefficient de xx.
  • • On ajoute ET on retranche : la valeur ne change jamais.
  • • aa se met en évidence sur les DEUX PREMIERS termes seulement.
  • • Ce qui sort de la parenthèse est multiplié par aa.
  • • h=−b2ah=-\dfrac{b}{2a}, et kk se calcule en évaluant en hh.
  • • a>0a>0 donne un minimum, a<0a<0 un maximum.
  • • ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}) : le facteur aa reste.
  • • Carré parfait au discriminant, zéros rationnels ; sinon, radicaux.
  • • Δ=0\Delta=0 donne un carré, pas une absence de factorisation.
  • • On simplifie le radical avant de diviser par 2a2a.

Questions fréquentes

Pourquoi ajoute-t-on la moitié du coefficient au carré, et non le coefficient lui-même ?

Parce que le développement d'un carré fait apparaître un double produit. Quand on développe le carré d'une somme, le terme du milieu vaut deux fois le nombre placé dans la parenthèse. Pour retrouver le coefficient du terme en x de départ, ce nombre doit donc en être la moitié, et le terme constant à ajouter est son carré. Une vérification par développement prend cinq secondes et tranche immédiatement.

À quoi sert la forme canonique si on a déjà la forme générale ?

La forme générale sert à lire le terme constant et à calculer le discriminant. La forme canonique, elle, donne le sommet à la lecture, donc le maximum ou le minimum, l'axe de symétrie et le signe de l'expression. Dès qu'une question parle du plus grand ou du plus petit résultat possible, c'est elle qu'il faut, et elle répond en une ligne là où un tableau de valeurs demanderait une page.

Comment savoir si un trinôme se factorise sans essayer tous les couples de nombres ?

On calcule le discriminant. S'il est négatif, aucune factorisation réelle n'existe et il est inutile de chercher. S'il est positif ou nul, la factorisation existe toujours : elle donne des nombres entiers ou fractionnaires quand le discriminant est un carré parfait, et des nombres avec radicaux sinon. Ce calcul prend dix secondes et remplace une recherche à tâtons qui peut durer plusieurs minutes pour rien.

Pourquoi faut-il garder le coefficient devant les parenthèses d'une factorisation ?

Parce que sans lui le produit obtenu n'est pas égal à l'expression de départ. Le produit de deux parenthèses qui commencent chacune par la variable donne un terme dominant de coefficient un, alors que le trinôme peut en avoir un tout autre. Le contrôle est immédiat : on compare le coefficient du terme de plus haut degré dans les deux écritures, et toute différence signale le facteur oublié.

Un discriminant nul veut-il dire que le trinôme ne se factorise pas ?

Non, c'est même le cas le plus simple. Un discriminant nul signifie qu'il y a une seule valeur qui annule le trinôme, mais comptée deux fois : la factorisation existe et c'est un carré. Graphiquement, la parabole touche l'axe horizontal en un point sans le traverser. Répondre que rien ne se factorise dans ce cas coûte toute la question.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La complétion du carré et la formule quadratique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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