Exercices corrigés : la fonction polynomiale du second degré (math TS, secondaire 5)

Le sommet se lit directement : $(3\,;-8)$. Pour la forme générale, on développe : $2\left(x^{2}-6x+9\right)-8=2x^{2}-12x+18-8=2x^{2}-12x+10$. Vérification en $x=0$ : la forme canonique donne $2\times 9-8=10$, et la générale donne $10$, ce qui est bien l'ordonnée à l'origine.

On résout $2x^{2}-12x+10=0$, soit $x^{2}-6x+5=0$, donc $(x-1)(x-5)=0$ : les zéros sont $1$ et $5$. La forme factorisée est $y=2(x-1)(x-5)$, avec le facteur $a=2$ en tête. Contrôle : le milieu des zéros vaut $\dfrac{1+5}{2}=3$, ce qui est bien l'abscisse du sommet. Cette symétrie est le contrôle gratuit le plus utile du chapitre.

Les zéros se lisent : $-1$ et $5$. Le sommet a pour abscisse leur milieu, $\dfrac{-1+5}{2}=2$, et pour ordonnée $y(2)=-(3)(-3)=9$ : sommet $(2\,;9)$. L'ordonnée à l'origine est $y(0)=-(1)(-5)=5$. On n'a développé à aucun moment.

$x^{2}-6x+13=(x^{2}-6x+9)+4=(x-3)^{2}+4$. Le sommet est $(3\,;4)$, et comme $a=1>0$, la parabole s'ouvre vers le haut à partir d'une hauteur de $4$ : elle ne touche jamais l'axe des $x$. Il n'y a donc aucun zéro réel, et la forme factorisée n'existe pas. Le discriminant le dit aussi, $36-52=-16<0$, mais la forme canonique le MONTRE.

Sommet $(2\,;-12)$. Comme $a=3>0$, la parabole s'ouvre vers le haut : $-12$ est un MINIMUM et l'image est $[-12\,;+\infty[$. L'axe de symétrie est la verticale $x=2$. La fonction décroît sur $]-\infty\,;2]$ puis croît sur $[2\,;+\infty[$, et l'on écrit les intervalles fermés en $2$, les deux se touchant au sommet.

Sommet $(-4\,;6)$, en lisant $x+4=x-(-4)$. Comme $a=-\dfrac{1}{2}<0$, la parabole s'ouvre vers le bas : $6$ est un MAXIMUM et l'image est $]-\infty\,;6]$. Axe $x=-4$. Elle croît sur $]-\infty\,;-4]$ puis décroît. Le coefficient $\dfrac{1}{2}$ en valeur absolue indique une parabole plus ÉVASÉE que la parabole de base, mais cela ne change ni le sommet ni l'image.

On complète le carré : $x^{2}+10x+21=(x+5)^{2}-25+21=(x+5)^{2}-4$. Sommet $(-5\,;-4)$, minimum, image $[-4\,;+\infty[$, axe $x=-5$. On pouvait aussi trouver l'abscisse par $h=-\dfrac{b}{2a}=-5$, puis $k=p(-5)=25-50+21=-4$ : c'est souvent plus rapide que la complétion quand $a=1$.

Les deux ont le même sommet, donc le même axe et la même abscisse d'extremum. Mais avec $a=2>0$, l'extremum est un minimum et l'image est $[-3\,;+\infty[$ ; avec $a=-2<0$, c'est un maximum et l'image est $]-\infty\,;-3]$. Les deux images ne se rencontrent qu'en un seul point, $-3$. Le signe de $a$ décide donc de tout ce qui concerne l'image, et la valeur absolue de $a$ n'y change rien du tout.

Forme canonique : $y=a(x-4)^{2}-5$. Le point $(6\,;3)$ donne $3=a\times 4-5$, donc $4a=8$ et $a=2$. La règle est $y=2(x-4)^{2}-5$. Vérification : $y(6)=2\times 4-5=3$.

Forme factorisée : $y=a(x+2)(x-6)$. L'ordonnée à l'origine donne $-12=a\times 2\times(-6)=-12a$, donc $a=1$. La règle est $y=(x+2)(x-6)$, c'est-à-dire $y=x^{2}-4x-12$ en forme générale. Contrôle du sommet : abscisse $\dfrac{-2+6}{2}=2$, ordonnée $y(2)=4\times(-4)=-16$.

Trois points sans structure particulière : forme générale $y=ax^{2}+bx+c$. Le premier point donne $c=1$ directement. Les deux autres donnent $a+b+1=-2$ et $4a+2b+1=-3$, soit $a+b=-3$ et $4a+2b=-4$, c'est-à-dire $2a+b=-2$. En soustrayant : $a=1$, puis $b=-4$. La règle est $y=x^{2}-4x+1$. Vérification sur le troisième point : $4-8+1=-3$.

« Sommet sur l'axe des $x$ » signifie $k=0$, donc le sommet est $(3\,;0)$ et la forme est $y=a(x-3)^{2}$. Le point $(5\,;-8)$ donne $-8=a\times 4$, donc $a=-2$ : $y=-2(x-3)^{2}$. La parabole a un zéro DOUBLE en $3$, ce qui se lit aussi sur la forme factorisée $-2(x-3)(x-3)$. Une information de position vaut une équation : ici « sur l'axe des $x$ » en remplaçait une.

$2(x-3)^{2}-8=0$ donne $(x-3)^{2}=4$, donc $|x-3|=2$ et $x=5$ ou $x=1$. La valeur absolue n'est pas un détour : c'est elle qui garantit qu'on n'oublie pas la seconde solution. Contrôle par la symétrie : le milieu de $1$ et $5$ vaut $3$, l'abscisse du sommet.

$2(x-3)^{2}-8=10$ donne $(x-3)^{2}=9$, donc $|x-3|=3$ et $x=6$ ou $x=0$. Vérification : $f(0)=2\times 9-8=10$. Les deux solutions sont encore symétriques par rapport à $3$.

$f(x)\le 0$ : la parabole s'ouvre vers le haut, donc elle est négative ENTRE ses zéros, soit $[1\,;5]$, bornes comprises puisque l'inégalité est large. $f(x)>10$ : elle est au-dessus de $10$ à l'EXTÉRIEUR des deux solutions trouvées en b), soit $]-\infty\,;0[\ \cup\ ]6\,;+\infty[$. La règle tient en une phrase : avec $a>0$, on est entre les solutions quand on veut « plus petit », en dehors quand on veut « plus grand ».

L'équation $f(x)=k$ revient à $(x-3)^{2}=\dfrac{k+8}{2}$. Un carré est positif ou nul : il y a exactement une solution quand $\dfrac{k+8}{2}=0$, donc $k=-8$, la valeur du sommet ; aucune solution quand $\dfrac{k+8}{2}<0$, donc $k<-8$ ; et deux solutions quand $k>-8$. Autrement dit, la réponse se lit sur l'IMAGE de la fonction, qui est $[-8\,;+\infty[$.

Le sommet est $(2\,;1)$ et $a=1>0$ : sur $[2\,;+\infty[$ la fonction est strictement croissante, son image est $[1\,;+\infty[$. La restriction part exactement du sommet, ce qui est toujours le bon endroit pour couper.

De $y=(x-2)^{2}+1$, on isole : $(x-2)^{2}=y-1$, puis $x-2=\sqrt{y-1}$, racine POSITIVE puisque $x\ge 2$. Donc $x=2+\sqrt{y-1}$, et en échangeant les noms, $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1}$. Son domaine est $[1\,;+\infty[$, l'image de $f$, et son image $[2\,;+\infty[$. On reconnaît une fonction racine carrée de paramètres $h=1$ et $k=2$ : les deux valeurs de $f$ ont échangé leurs rôles.

Sur $]-\infty\,;2]$, on a $x-2\le 0$, donc $x-2=-\sqrt{y-1}$ et $f^{-1}(x)=2-\sqrt{x-1}$. Même domaine, $[1\,;+\infty[$, mais image $]-\infty\,;2]$. Les deux réciproques sont les deux moitiés de la même parabole couchée, et le contexte d'un problème décide laquelle garder.

Premier sens : $f^{-1}\!\left(f(x)\right)=2+\sqrt{(x-2)^{2}+1-1}=2+\sqrt{(x-2)^{2}}=2+|x-2|$, qui vaut $2+(x-2)=x$ POUR $x\ge 2$, c'est-à-dire sur la restriction. Second sens : $f\!\left(f^{-1}(x)\right)=\left(2+\sqrt{x-1}-2\right)^{2}+1=x-1+1=x$ pour $x\ge 1$. Les deux composées redonnent la variable, la réciproque est vérifiée. La valeur absolue qui apparaît au premier calcul n'est pas un accident : c'est elle qui rappelle que la restriction est indispensable.

Forme canonique $y=a(x+1)^{2}-4$. Le point $(1\,;0)$ donne $0=a\times 4-4$, donc $a=1$. La règle est $y=(x+1)^{2}-4$. Vérification : le sommet est bien à $-4$, et la parabole a la forme de la parabole de base.

L'axe de symétrie est $x=-1$. Le zéro connu, $1$, est à $2$ unités à droite de l'axe : le second est donc à $2$ unités à gauche, en $x=-3$. Aucun calcul n'est nécessaire, et la vérification tient en une ligne : $(-3+1)^{2}-4=4-4=0$.

L'ordonnée à l'origine est $y(0)=1-4=-3$, donc le point $(0\,;-3)$. Son symétrique par rapport à l'axe $x=-1$ est à la même distance de l'autre côté : $(-2\,;-3)$. Vérification : $(-2+1)^{2}-4=1-4=-3$. Ces deux points, avec le sommet et les deux zéros, suffisent à tracer une parabole propre.

La courbe $y=-(x+1)^{2}-4$ a le MÊME sommet, $(-1\,;-4)$, mais $a=-1$ : elle s'ouvre vers le bas, donc elle est entièrement sous le sommet. Son image est $]-\infty\,;-4]$, elle ne monte jamais jusqu'à l'axe des $x$ et n'a donc AUCUN zéro. Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'horizontale $y=-4$, et elles ne se rencontrent qu'au sommet.

Pour $f$ : $h=-\dfrac{-4}{2}=2$ et $k=f(2)=4-8+7=3$, sommet $(2\,;3)$, minimum car $a=1>0$. Pour $g$ : $h=-\dfrac{8}{2\times(-1)}=4$ et $k=g(4)=-16+32-9=7$, sommet $(4\,;7)$, maximum car $a=-1<0$.

On égale : $x^{2}-4x+7=-x^{2}+8x-9$, donc $2x^{2}-12x+16=0$, soit $x^{2}-6x+8=0$ et $(x-2)(x-4)=0$ : $x=2$ ou $x=4$. Les ordonnées : $f(2)=3$ et $f(4)=16-16+7=7$. Les points d'intersection sont $(2\,;3)$ et $(4\,;7)$, et ce sont exactement les deux sommets, ce qui n'arrive pas souvent et mérite d'être remarqué.

$f(x)<g(x)$ équivaut à $f(x)-g(x)<0$, soit $2x^{2}-12x+16<0$, donc $x^{2}-6x+8<0$ et $(x-2)(x-4)<0$. Cette parabole s'ouvre vers le haut, elle est négative ENTRE ses zéros : la solution est $]2\,;4[$. Contrôle en $x=3$ : $f(3)=4$ et $g(3)=6$, donc $f<g$, conforme.

$h(x)-f(x)=\left(x^{2}+2x-1\right)-\left(x^{2}-4x+7\right)=6x-8$. Les termes en $x^{2}$ s'annulent parce que les deux coefficients dominants sont ÉGAUX : la différence est du premier degré, donc elle ne s'annule qu'une fois, en $x=\dfrac{4}{3}$. Les deux paraboles se coupent donc en un seul point, et elles sont translatées l'une de l'autre : $h$ a pour sommet $(-1\,;-2)$ et $f$ a pour sommet $(2\,;3)$, avec la même ouverture. Deux paraboles de même $a$ ne se coupent jamais deux fois.

L'abscisse du sommet vaut $h=-\dfrac{1{,}2}{2\times(-0{,}2)}=3$ mètres. La hauteur correspondante est $H(3)=-0{,}2\times 9+3{,}6+1{,}2=-1{,}8+4{,}8=3$ mètres. Comme $a<0$, c'est bien un maximum. En forme canonique, $H(d)=-0{,}2(d-3)^{2}+3$, ce qui se vérifie en $d=0$ : $-0{,}2\times 9+3=1{,}2$, la hauteur de la buse.

On résout $-0{,}2(d-3)^{2}+3=0$, donc $(d-3)^{2}=15$ et $d=3\pm\sqrt{15}$. La solution négative, $3-3{,}873=-0{,}873$, n'a pas de sens : le jet part vers l'avant. La portée est donc $3+\sqrt{15}\approx 6{,}87$ mètres. Rejeter explicitement la racine négative fait partie de la réponse.

$H(5)=-0{,}2\times 25+6+1{,}2=-5+7{,}2=2{,}2$ mètres. Le jet frappe donc le mur à $2{,}2$ mètres de hauteur, en redescendant, puisque $5$ est au-delà du sommet situé à $3$ mètres. Contrôle par la forme canonique : $-0{,}2\times 4+3=2{,}2$.

On résout $-0{,}2(d-3)^{2}+3>2{,}4$, soit $-0{,}2(d-3)^{2}>-0{,}6$, puis, en divisant par $-0{,}2$ ce qui RENVERSE le sens, $(d-3)^{2}<3$. Donc $|d-3|<\sqrt{3}$, c'est-à-dire $3-\sqrt{3}<d<3+\sqrt{3}$, soit environ $1{,}27<d<4{,}73$ mètres. Attention, le calcul rapide avec $\sqrt{6}$ serait faux : c'est bien $\dfrac{0{,}6}{0{,}2}=3$ sous le radical, et non $6$. Vérification en $d=3$ : la hauteur vaut $3$ mètres, supérieure à $2{,}4$, le milieu de l'intervalle est donc bien dans la solution.

Les deux appuis ne fléchissent pas : les zéros sont $0$ et $8$, donc $f(x)=a\,x(x-8)$. Au centre, $x=4$ et $f=12$ : $12=a\times 4\times(-4)=-16a$, donc $a=-0{,}75$. La règle est $f(x)=-0{,}75\,x(x-8)$.

En développant, $f(x)=-0{,}75x^{2}+6x$, puis $f(x)=-0{,}75\left(x^{2}-8x\right)=-0{,}75\left[(x-4)^{2}-16\right]=-0{,}75(x-4)^{2}+12$. Le sommet est $(4\,;12)$, ce qui confirme la flèche maximale annoncée, au milieu de la poutre. La forme factorisée donnait les appuis, la canonique donne la flèche : chacune répondait à une question.

$f(2)=-0{,}75\times 2\times(2-8)=-0{,}75\times(-12)=9$ millimètres. Par la forme canonique : $-0{,}75\times 4+12=-3+12=9$. Les deux chemins concordent. On remarque que l'affaissement à un quart de la portée vaut déjà les trois quarts du maximum : une poutre ne fléchit pas proportionnellement à la distance.

On résout $-0{,}75(x-4)^{2}+12>9$, soit $-0{,}75(x-4)^{2}>-3$, puis, en divisant par $-0{,}75$ ce qui renverse le sens, $(x-4)^{2}<4$. Donc $|x-4|<2$, c'est-à-dire $2<x<6$. La norme est dépassée sur $6-2=4$ mètres, soit la moitié centrale de la poutre. Vérification aux bornes : $f(2)=f(6)=9$ millimètres exactement, la limite est atteinte sans être dépassée, ce qui est cohérent avec l'inégalité stricte.