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Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : la fonction réciproque

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction réciproque du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : échange des coordonnées, test de la droite horizontale, restriction, vérification par composition.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une réciproque échange tout : les coordonnées, le domaine, l'image, et jusqu'aux paramètres hh et kk. Ce qu'elle n'échange pas, c'est le droit d'exister : il faut que chaque image ne vienne que d'un seul antécédent, sinon on restreint.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
  2. 2La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
  3. 3La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
  4. 4Les paramètres des fonctions
  5. 5Les opérations sur les fonctions

L'essentiel

Échanger, c'est tout ce que fait une réciproque

  • • Chaque couple (a ;b)(a\,;b) de ff devient un couple (b ;a)(b\,;a) de f−1f^{-1}. Sur une table, cela revient à relire les deux colonnes dans l'autre sens.
  • • Graphiquement, c'est la RÉFLEXION par rapport à la droite y=xy=x : le milieu du segment qui joint deux points correspondants est sur cette droite, et le segment lui est perpendiculaire.
  • • f−1f^{-1} N'EST PAS 1f\dfrac{1}{f}. L'exposant −1-1 placé sur le NOM de la fonction désigne la réciproque ; placé sur une valeur, il désigne l'inverse.
  • • MÉTHODE : écrire y=f(x)y=f(x), échanger xx et yy, isoler yy. On remonte les opérations dans l'ordre INVERSE, en remplaçant chacune par son contraire.
-2-112345678-2-112345678ronds : fcarrés : la réciproque
Les deux lignes brisées se répondent de part et d'autre de la diagonale : chaque rond a son carré, coordonnées échangées.

Exister comme fonction : le test de la droite horizontale

  • • La réciproque existe TOUJOURS comme relation. Elle n'est une FONCTION que si chaque image de départ ne vient que d'un seul antécédent.
  • • Le test : si une droite HORIZONTALE coupe la courbe en deux points, la réciproque n'est pas une fonction. Une fonction strictement monotone passe le test.
  • • Sinon, on RESTREINT : la parabole donne deux branches, et le contexte décide laquelle. La restriction doit être écrite, sinon la réponse est fausse.
  • • Certaines fonctions sont leur PROPRE réciproque, comme cx\dfrac{c}{x} : leur courbe est symétrique par rapport à y=xy=x, donc la réflexion la laisse inchangée.

Ce qui s'échange, et comment on vérifie

  • • DOMAINE et IMAGE s'échangent : le domaine de f−1f^{-1} est l'image de ff. C'est la propriété la plus rentable du chapitre, elle répond sans calculer la règle.
  • • Les paramètres hh et kk s'échangent aussi : un décalage horizontal devient vertical. La réflexion sur y=xy=x échange les deux directions.
  • • Les couples réciproques usuels : le carré restreint et la racine carrée, l'exponentielle et le logarithme, deux fonctions rationnelles dont hh et kk sont permutés.
  • • VÉRIFIER, C'EST COMPOSER : f ⁣(f−1(x))=xf\!\left(f^{-1}(x)\right)=x et f−1 ⁣(f(x))=xf^{-1}\!\left(f(x)\right)=x. Un seul nombre ne prouve rien, mais il suffit à réfuter.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire f−1f^{-1} comme un inverse

toute la question, et la confusion est durable

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour f(x)=2x+1f(x)=2x+1, f−1(3)=17f^{-1}(3)=\dfrac{1}{7}

Ce qu'il faut écrire

f−1(3)=1f^{-1}(3)=1, puisque f(1)=3f(1)=3

Pourquoi : L'exposant −1-1 sur le NOM d'une fonction est une notation de réciproque, pas une puissance. L'inverse de f(x)f(x) s'écrit 1f(x)\dfrac{1}{f(x)} et vaut ici 17\dfrac{1}{7} : les deux résultats n'ont rien à voir. Le test : f−1f^{-1} défait ce que ff fait, donc f ⁣(f−1(3))f\!\left(f^{-1}(3)\right) doit redonner 33.

2. Donner la réciproque d'une parabole sans restriction

la moitié de la question, et parfois toute si le contexte imposait l'autre branche

Ce qu'il ne faut pas écrire

La réciproque de y=(x−4)2y=(x-4)^{2} est y=x+4y=\sqrt{x}+4

Ce qu'il faut écrire

Sur [4 ;+∞[[4\,;+\infty[ oui ; sur ]−∞ ;4]]-\infty\,;4], c'est y=4−xy=4-\sqrt{x}

-5-4-3-2-112345-2-112345678y = 3 coupe en deux pointssommet en x = 1
Une seule horizontale à deux intersections suffit : la réciproque ne peut pas être une fonction tant que le domaine n'est pas coupé au sommet.

Pourquoi : La parabole échoue au test de la droite horizontale : (3 ;1)(3\,;1) et (5 ;1)(5\,;1) sont tous deux sur la courbe. La formule proposée ne retrouve jamais le premier. Il faut nommer la restriction, et le contexte décide : une longueur impose la branche positive.

3. Confondre le domaine de ff et celui de f−1f^{-1}

1 à 2 points, à chaque question de domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

f(x)=x−3+2f(x)=\sqrt{x-3}+2 a pour domaine [3 ;+∞[[3\,;+\infty[, donc f−1f^{-1} aussi

Ce qu'il faut écrire

Le domaine de f−1f^{-1} est [2 ;+∞[[2\,;+\infty[, l'IMAGE de ff

Pourquoi : La réciproque échange les deux ensembles. Le contrôle : la règle trouvée doit refuser exactement les valeurs que ff ne prend jamais. Ici f−1(x)=(x−2)2+3f^{-1}(x)=(x-2)^{2}+3 n'a de sens, comme réciproque, que pour x≥2x\ge 2.

4. Remonter les opérations sans les inverser

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

La réciproque de m(x)=2x+1m(x)=2x+1 est n(x)=x2+1n(x)=\dfrac{x}{2}+1

Ce qu'il faut écrire

m−1(x)=x−12m^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}

Pourquoi : Test en x=0x=0 : m(0)=1m(0)=1, puis n(1)=1,5n(1)=1{,}5, et non 00. Il faut à la fois inverser l'ORDRE et remplacer chaque opération par son CONTRAIRE : ici on retire 11 d'abord, on divise par 22 ensuite. Diviser avant de soustraire divise aussi la constante.

5. Écrire une réciproque valable sur tout R\mathbb{R} pour le carré

1 à 2 points, et une composée mal interprétée

Ce qu'il ne faut pas écrire

v(x)=x2v(x)=x^{2} et w(x)=xw(x)=\sqrt{x} sont réciproques sur R\mathbb{R}

Ce qu'il faut écrire

Elles le sont sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ seulement

Pourquoi : Test en x=−3x=-3 : v(−3)=9v(-3)=9 puis w(9)=3w(9)=3, et non −3-3. Sur les négatifs, la composée rend la valeur absolue. Préciser le domaine sur lequel deux fonctions sont réciproques fait partie de la réponse, ce n'est pas un détail.

6. Choisir une branche sans regarder le contexte

1 point, et une réponse physiquement absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le côté de la tôle vaut ±A+25π\pm\sqrt{A+25\pi} »

Ce qu'il faut écrire

c=A+25πc=\sqrt{A+25\pi}, la racine positive, puisqu'un côté est positif

Pourquoi : Une longueur, une masse, un débit, un temps sont positifs : la branche se choisit d'après la grandeur mesurée, et le choix s'écrit en une phrase. Donner les deux solutions sans trancher montre qu'on n'a pas lu l'énoncé.

7. Oublier que la restriction vient parfois du matériel

toute la question, y compris la plage d'étalonnage

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour un débitmètre où Δp=0,8Q2\Delta p=0{,}8Q^{2}, la réciproque est Q=±Δp0,8Q=\pm\sqrt{\dfrac{\Delta p}{0{,}8}}

Ce qu'il faut écrire

Q=Δp0,8Q=\sqrt{\dfrac{\Delta p}{0{,}8}}, sur [0 ;500][0\,;500] kilopascals

Pourquoi : Le débit est positif, ce qui élimine une branche, et l'appareil a une plage de mesure, ce qui borne le domaine de la réciproque. Les deux restrictions viennent du contexte et non de l'algèbre, et une réponse hors plage n'a aucune valeur.

Quelle méthode choisir

Comment trouver et écrire une réciproque

Une fonction ff dont on demande la réciproque

  • Si ff est STRICTEMENT MONOTONE sur son domaine → La réciproque est une fonction : isoler, puis donner domaine et image échangés

    Exemple : f(x)=3x−12f(x)=3x-12 donne f−1(x)=x+123f^{-1}(x)=\dfrac{x+12}{3}

  • Si Une horizontale coupe la courbe DEUX fois → Restreindre à une branche, puis isoler en choisissant le signe de la racine

    Exemple : f(x)=(x−1)2−1f(x)=(x-1)^{2}-1 sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[ donne 1+x+11+\sqrt{x+1}

  • Si La fonction est du type cx\dfrac{c}{x} → Elle est sa propre réciproque : rien à calculer, mais il faut le justifier

    Exemple : u(x)=3xu(x)=\dfrac{3}{x} vérifie u ⁣(u(x))=xu\!\left(u(x)\right)=x

  • Si Le contexte impose un SIGNE ou une PLAGE → Garder la branche physique et borner le domaine par la plage de l'appareil

    Exemple : Q=Δp0,8Q=\sqrt{\dfrac{\Delta p}{0{,}8}} sur [0 ;500][0\,;500] kPa

Dans tous les cas, la dernière ligne est la même : composer dans les deux sens et vérifier qu'on retombe sur la variable.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche d'une réciproque

Quand l'utiliser : Chaque fois que l'énoncé demande la réciproque, la fonction inverse ou la règle qui remonte d'une sortie à une entrée

  1. 1 Vérifier que la fonction passe le test de la droite horizontale, ou annoncer la restriction.
  2. 2 Écrire y=f(x)y=f(x), puis échanger xx et yy.
  3. 3 Isoler yy en remontant les opérations dans l'ordre inverse, chacune remplacée par son contraire.
  4. 4 Choisir le signe de la racine quand il y en a une, en justifiant par la restriction.
  5. 5 Donner le domaine de la réciproque, qui est l'image de la fonction de départ.
  6. 6 Vérifier par composition, dans les deux sens.

Phrase de conclusion

« ff est restreinte à [3 ;+∞[[3\,;+\infty[, donc elle est strictement croissante. De y=2(x−3)2+1y=2(x-3)^{2}+1 : (x−3)2=y−12(x-3)^{2}=\dfrac{y-1}{2}, et comme x≥3x\ge 3, x=3+y−12x=3+\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}. Donc f−1(x)=3+x−12f^{-1}(x)=3+\sqrt{\dfrac{x-1}{2}}, de domaine [1 ;+∞[[1\,;+\infty[. Contrôle : f(6)=19f(6)=19 et f−1(19)=6f^{-1}(19)=6. »

Le piège : Écrire la racine sans justifier son signe. Sur une branche gauche, c'est la racine NÉGATIVE qu'il faut, et le correcteur attend la phrase « comme x≥3x\ge 3 » ou son contraire.

Barème : 1 point pour la restriction annoncée, 2 points pour l'isolation, 1 point pour le signe justifié, 1 point pour le domaine, 1 point pour la vérification. Une règle juste sans domaine plafonne aux deux tiers.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

La réciproque d'une quadratique translatée, et sa lecture

Soit f(x)=2(x−3)2+1f(x)=2(x-3)^{2}+1, restreinte à [3 ;+∞[[3\,;+\infty[. Déterminez sa réciproque, son domaine et son image, dites ce que deviennent hh et kk, et vérifiez.

-1123456789101112-1123456789101112les deux courbes se répondent
La branche restreinte et sa réciproque sont symétriques par rapport à la diagonale. Le sommet (3 ;1)(3\,;1) devient le point de départ (1 ;3)(1\,;3) : hh et kk ont échangé leurs places.

Étape 1

Sur [3 ;+∞[[3\,;+\infty[, ff est strictement croissante : elle passe le test de la droite horizontale.

Pourquoi

La restriction part du sommet, donc elle ne garde qu'une branche. Sans elle, f(2)=f(4)=3f(2)=f(4)=3 et la réciproque ne serait pas une fonction. Cette première ligne vaut un point.

Étape 2

Domaine [3 ;+∞[[3\,;+\infty[, image [1 ;+∞[[1\,;+\infty[, puisque le sommet est (3 ;1)(3\,;1) et a=2>0a=2>0.

Pourquoi

L'image se lit sur le sommet et le signe de aa, sans calcul. Elle sera le domaine de la réciproque, donc cette ligne sert deux fois.

Étape 3

2(x−3)2=y−12(x-3)^{2}=y-1, donc (x−3)2=y−12(x-3)^{2}=\dfrac{y-1}{2}, puis x−3=y−12x-3=\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}.

Pourquoi

On prend la racine POSITIVE parce que la restriction impose x≥3x\ge 3, donc x−3≥0x-3\ge 0. Ce choix se justifie en une phrase, et c'est là que la branche gauche donnerait l'autre signe.

Étape 4

f−1(x)=3+x−12f^{-1}(x)=3+\sqrt{\dfrac{x-1}{2}}, de domaine [1 ;+∞[[1\,;+\infty[ et d'image [3 ;+∞[[3\,;+\infty[.

Pourquoi

Domaine et image sont bien ceux de ff, échangés. Le contrôle est immédiat et il ne demande aucun calcul supplémentaire.

Étape 5

Le 33 était le hh de ff ; il est devenu le kk de f−1f^{-1}. Le 11 était le kk ; il est passé sous le radical, comme hh.

Pourquoi

C'est la conséquence directe de la réflexion par rapport à y=xy=x : elle échange l'horizontale et la verticale, donc elle échange les deux décalages. Ce contrôle attrape une constante déplacée au mauvais endroit.

Étape 6

f(6)=2×9+1=19f(6)=2\times 9+1=19 et f−1(19)=3+9=6f^{-1}(19)=3+\sqrt{9}=6.

Pourquoi

La composée redonne le point de départ. En toute rigueur on vérifie aussi avec des lettres, mais ce contrôle numérique attrape déjà toutes les erreurs de signe et de constante.

Conclusion rédigée

f−1(x)=3+x−12f^{-1}(x)=3+\sqrt{\dfrac{x-1}{2}}, de domaine [1 ;+∞[[1\,;+\infty[ et d'image [3 ;+∞[[3\,;+\infty[ ; hh et kk ont échangé leurs rôles.

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier la restriction et écrire x−3=±y−12x-3=\pm\sqrt{\dfrac{y-1}{2}} comme réponse finale. Avec le signe plus ou moins, ce n'est plus une fonction, et la question perd son sens.

À savoir par cœur

  • • Une réciproque échange les coordonnées : (a ;b)(a\,;b) devient (b ;a)(b\,;a).
  • • Graphiquement, c'est la réflexion par rapport à y=xy=x.
  • • f−1f^{-1} n'est pas 1f\dfrac{1}{f}.
  • • Ordre inverse ET opérations inversées : retirer, puis diviser.
  • • Test de la droite horizontale : deux intersections, il faut restreindre.
  • • La restriction s'écrit, et le contexte choisit la branche.
  • • Domaine de f−1f^{-1} = image de ff.
  • • hh et kk s'échangent eux aussi.
  • • cx\dfrac{c}{x} est sa propre réciproque.
  • • Vérifier, c'est composer dans les deux sens.

Questions fréquentes

Que signifie exactement l'exposant moins un placé sur le nom d'une fonction ?

Il désigne la fonction réciproque, c'est-à-dire celle qui défait ce que la fonction fait. Ce n'est pas une puissance : l'inverse d'une valeur s'écrit avec une barre de fraction et donne un résultat sans rapport. Le contrôle est simple : appliquer la fonction au résultat de la réciproque doit redonner le nombre de départ, ce qui n'arrive jamais avec l'inverse.

Toute fonction a-t-elle une réciproque ?

Toute fonction a une relation réciproque, obtenue en échangeant les coordonnées de chaque point. Mais cette relation n'est une fonction que si aucune valeur de sortie ne provient de deux entrées différentes. Une parabole complète échoue à ce critère, et il faut alors restreindre son domaine à une seule branche pour que la réciproque existe comme fonction.

Comment savoir quelle branche garder quand on restreint ?

Le contexte décide. Une longueur, une masse, un débit ou un temps sont positifs, donc on garde la branche qui produit des valeurs positives. Quand il n'y a pas de contexte, l'énoncé donne la restriction, et la réponse doit la rappeler : les deux branches donnent deux réciproques différentes, toutes deux correctes sur leur propre domaine.

Pourquoi le domaine de la réciproque est-il l'image de la fonction ?

Parce que la réciproque part des sorties pour retrouver les entrées. Elle ne peut donc accepter que des valeurs que la fonction produit réellement : une valeur jamais atteinte n'a aucun antécédent à renvoyer. Cette propriété donne le domaine de la réciproque sans qu'on ait besoin de calculer sa règle, et elle sert de contrôle quand on l'a calculée.

Comment vérifier qu'on a trouvé la bonne réciproque ?

En composant les deux fonctions dans les deux sens : le résultat doit être la variable elle-même, à chaque fois. Un calcul avec un seul nombre ne prouve rien, parce que deux fonctions différentes peuvent coïncider en un point, mais il suffit pour réfuter : si un seul nombre ne revient pas à sa place, la réciproque proposée est fausse.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction réciproque

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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