Math TS, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction racine carrée

Q: Pourquoi faut-il mettre le coefficient en évidence sous le radical ?

Parce que le point de départ se lit sur la forme factorisée du radicande, et sur elle seule. Tant que le contenu est écrit comme une somme, le nombre visible n'est pas le paramètre cherché, et le domaine annoncé est faux. Un test avec un nombre situé entre les deux valeurs candidates suffit à s'en convaincre.

Q: Comment distinguer les deux réflexions d'une racine carrée ?

Par le domaine. Le coefficient placé devant le radical retourne la courbe vers le bas mais laisse le domaine intact ; celui placé à l'intérieur retourne le domaine et fait partir la courbe de l'autre côté. Regarder de quel côté la fonction existe tranche immédiatement, sans aucun tracé.

Q: Pourquoi une inéquation avec une racine carrée donne-t-elle un intervalle borné des deux côtés ?

Parce que la solution doit appartenir au domaine, qui est déjà borné d'un côté. La résolution algébrique fournit une borne, et le domaine en fournit une autre. Oublier la seconde donne une réponse qui contient des nombres pour lesquels la fonction n'existe même pas.

Q: Qu'est-ce qu'une racine étrangère, et comment l'éviter ?

C'est une valeur qui vérifie l'équation obtenue après élévation au carré, mais pas l'équation de départ. Elle apparaît parce que l'élévation au carré efface les signes. On l'évite en remplaçant chaque solution trouvée dans l'énoncé initial, jamais dans l'équation transformée.

Q: Pourquoi la réciproque d'une racine carrée ne demande-t-elle pas de restriction ?

Parce qu'une racine carrée est strictement croissante ou strictement décroissante sur tout son domaine : elle ne prend jamais deux fois la même valeur, donc aucune droite horizontale ne la coupe deux fois. La parabole, elle, descend puis remonte, et c'est cela qui oblige à couper au sommet dans l'autre sens.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction racine carrée du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : forme canonique, point de départ, domaine et image, équations et inéquations, réciproque.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une racine carrée est une DEMI-COURBE. Tout se lit sur son point de départ et sur deux signes : celui de $a$ dit si elle monte ou descend, celui de $b$ dit si elle part vers la droite ou vers la gauche.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
4Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
5Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
6La factorisationSecondaire 4 TS
7La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
8La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
9La complétion du carré et la formule quadratique
10Les fonctions quadratiques

L'essentiel

Le point de départ et les deux signes

• Forme canonique : $f(x)=a\sqrt{b(x-h)}+k$ . Le point $(h\,;k)$ est le POINT DE DÉPART, et il appartient à la courbe : c'est là que le radical s'annule.
• Le signe de $b$ donne le CÔTÉ : positif, domaine $[h\,;+\infty[$ ; négatif, $]-\infty\,;h]$ .
• Le signe de $a$ donne le SENS : positif, image $[k\,;+\infty[$ ; négatif, $]-\infty\,;k]$ . Les crochets sont FERMÉS, le point de départ étant atteint.
• La valeur absolue de $a$ ne change ni le domaine ni l'image : elle ne change que la raideur de la montée.

Quatre branches, un seul point de départ : le signe de

b

choisit le côté (droite si

b>0

), celui de

a

choisit le sens (monte si

a>0

). Les quatre combinaisons existent.

Mettre le paramètre en évidence

• Un radicande écrit $bx+c$ ne se lit pas : il faut faire apparaître $b(x-h)$ . Dans $\sqrt{3x-12}$ , le radicande s'écrit $3(x-4)$ , donc le domaine commence à $4$ , jamais à $12$ .
• Un facteur POSITIF peut aussi sortir du radical, en prenant sa racine : $\sqrt{9(x-2)}=3\sqrt{x-2}$ . Un $b$ devient alors un $a$ .
• Un facteur NÉGATIF se met en évidence sans sortir : $\sqrt{2-x}=\sqrt{-(x-2)}$ , donc $b=-1$ et $h=2$ .
• Le contrôle après toute mise en évidence : évaluer les deux écritures en deux points, dont un qui rend le radical entier.

\sqrt{9x-18}=\sqrt{9(x-2)}=3\sqrt{x-2}

: les deux écritures (bleu, pointillé orange) donnent la même courbe, qui part de

x=2

Résoudre, et couper avec le domaine

• Une racine carrée est strictement MONOTONE : elle a au plus UN zéro, et elle ne prend jamais deux fois la même valeur.
• On isole le radical, on élève au carré, puis on VÉRIFIE dans l'équation de départ : l'élévation au carré fabrique des racines étrangères.
• Une inéquation se coupe toujours avec le DOMAINE. La solution de $f(x)<m$ ne descend jamais en dessous de $h$ quand $b>0$ .
• La RÉCIPROQUE ne demande aucune restriction, la monotonie étant stricte : c'est une demi-parabole, de domaine l'image de la racine.

La racine

\sqrt{x-1}+2

monte sans jamais redescendre :

y=4

la coupe une fois, en

x=5

(bleu) ;

y=1

, sous le point de départ

(1\,;2)

, jamais (orange).

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le domaine sans mettre le paramètre en évidence

toute la question, domaine, image et tracé compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le domaine de $\sqrt{3x-12}$ commence à $12$

Ce qu'il faut écrire

$3x-12=3(x-4)$ , donc il commence à $4$

\sqrt{3x-12}=\sqrt{3(x-4)}

: la courbe part de

x=4

(vert). À

x=12

(rouge), elle est déjà à la hauteur

\sqrt{24}\approx 4{,}9

Pourquoi : Le contrôle tient en un nombre : à $x=5$ , le radicande vaut $3$ , qui est positif, donc la fonction existe bien avant $12$ . La mise en évidence est un geste obligatoire, pas une présentation.

2. Confondre les deux réflexions

toute la question, domaine compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=-\sqrt{x}$ et $y=\sqrt{-x}$ ont le même graphique »

Ce qu'il faut écrire

L'une descend vers la droite, l'autre monte vers la gauche

À partir de

y=\sqrt{x}

(pointillé) :

-\sqrt{x}

(bleu) est retournée par l'axe des

x

, elle DESCEND vers la droite ;

\sqrt{-x}

(orange) est retournée par l'axe des

y

, elle MONTE vers la gauche.

Pourquoi : Le point $(-4\,;2)$ appartient à la seconde et pas à la première, où le radical n'existe même pas. Le DOMAINE est le test décisif : $a$ ne le change jamais, $b$ le retourne.

3. Oublier la borne du domaine dans une inéquation

1 à 2 points, et une réponse qui contient des nombres où la fonction n'existe pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2\sqrt{x+3}-6<4$ donne $x<22$ , donc $]-\infty\,;22[$

Ce qu'il faut écrire

$[-3\,;22[$

2\sqrt{x+3}-6<4

: la courbe est sous la droite

y=4

x=-3

, son départ, jusqu'à

x=22

. Solution

[-3\,;22[

(vert) ; avant

-3

(rouge), la fonction n'existe pas.

Pourquoi : La fonction n'existe pas avant $-3$ : aucune valeur de cet intervalle ne peut être solution. Toute solution d'inéquation se coupe avec le domaine, et le crochet est FERMÉ en $-3$ parce que la fonction y existe.

4. Garder une racine étrangère

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{x+3}=-1$ donne $x+3=1$ , donc $x=-2$

Ce qu'il faut écrire

Aucune solution : une racine carrée n'est jamais négative

\sqrt{x+3}

ne descend jamais sous l'axe : la droite

y=-1

(rouge) ne la rencontre pas. Le

x=-2

trouvé en élevant au carré donne

\sqrt{1}=1

, pas

-1

: il est étranger.

Pourquoi : L'élévation au carré efface le signe et fabrique une solution. Vérification dans l'équation de DÉPART : $\sqrt{-2+3}=1$ , et non $-1$ . On revient toujours à l'énoncé initial, jamais à l'équation transformée.

5. Écrire $\sqrt{x^{2}}=x$

1 à 2 points, et une réciproque mal justifiée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$

Ce qu'il faut écrire

$\sqrt{x^{2}}=|x|$ , donc $\sqrt{(-5)^{2}}=5$

y=\sqrt{x^{2}}

est la courbe en V de

|x|

(vert). Elle se confond avec

y=x

pour

x\ge 0

seulement ; à gauche,

x

(rouge) est négatif et une racine ne l'est jamais.

Pourquoi : Une racine carrée est toujours positive ou nulle, par définition. C'est cette valeur absolue qui apparaît quand on compose une racine avec sa réciproque, et c'est elle qui rappelle qu'une restriction était en jeu du côté de la parabole.

6. Imposer une restriction à la réciproque d'une racine

1 point, et une confusion durable entre les deux familles

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La réciproque de $\sqrt{x-1}+3$ demande une restriction, comme pour la parabole »

Ce qu'il faut écrire

Aucune restriction : $f^{-1}(x)=(x-3)^{2}+1$ sur $[3\,;+\infty[$ , qui est l'image de $f$

Le point de départ

(1\,;3)

de la racine devient le sommet

(3\,;1)

de la demi-parabole :

h

k

ont échangé leurs places.

Pourquoi : Une racine carrée est strictement monotone sur tout son domaine : aucune horizontale ne la coupe deux fois. La restriction n'est nécessaire que dans l'autre sens, pour la parabole, qui descend puis remonte. Le domaine de la réciproque n'est pas une restriction, c'est l'image.

7. Croire qu'une racine carrée peut repasser par une valeur

1 point, et une lecture graphique fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec un $a$ assez grand, la courbe remonte et repasse par la même ordonnée »

Ce qu'il faut écrire

Jamais : elle est strictement monotone, quel que soit $|a|$

Pourquoi : La valeur absolue de $a$ ne change que la vitesse, pas le sens. Une courbe qui partirait de l'ordonnée $2$ et y reviendrait ne serait pas une racine carrée. C'est aussi ce qui garantit qu'il y a au plus un zéro.

Quelle méthode choisir

Les quatre orientations, selon les deux signes

Une fonction $a\sqrt{b(x-h)}+k$ , paramètres lus

Si $a>0$ et $b>0$ → Part vers la droite en montant ; domaine $[h\,;+\infty[$ , image $[k\,;+\infty[$

Exemple : $3\sqrt{x-4}+1$ , départ $(4\,;1)$
Si $a<0$ et $b>0$ → Part vers la droite en descendant ; domaine $[h\,;+\infty[$ , image $]-\infty\,;k]$

Exemple : $-2\sqrt{x+5}+3$ , départ $(-5\,;3)$
Si $a>0$ et $b<0$ → Part vers la gauche en montant ; domaine $]-\infty\,;h]$ , image $[k\,;+\infty[$

Exemple : $\sqrt{-(x-6)}-2$ , départ $(6\,;-2)$
Si $a<0$ et $b<0$ → Part vers la gauche en descendant ; domaine $]-\infty\,;h]$ , image $]-\infty\,;k]$

Exemple : $-\sqrt{2-x}+4$ , départ $(2\,;4)$

Le domaine ne dépend que de $b$ et de $h$ ; l'image ne dépend que de $a$ et de $k$ . Les deux se lisent séparément, et les mélanger donne deux réponses fausses au lieu d'une.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche de la règle

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on donne un point de départ, un sens et un point de la courbe

1 Lire $h$ et $k$ sur le point de départ, sans calcul.
2 Fixer $b=1$ ou $b=-1$ selon le côté vers lequel la courbe part, et le dire.
3 Remplacer les coordonnées du second point dans la règle.
4 Isoler $a$ , en calculant d'abord la valeur du radical.
5 Vérifier la règle sur le point donné, puis annoncer domaine et image.

Phrase de conclusion

« Le départ $(-2\,;4)$ donne $h=-2$ et $k=4$ . La courbe part vers la gauche, donc $b=-1$ : $y=a\sqrt{-(x+2)}+4$ . Le point $(-11\,;-2)$ donne $-2=a\sqrt{9}+4$ , donc $3a=-6$ et $a=-2$ . Règle : $y=-2\sqrt{-(x+2)}+4$ , de domaine $]-\infty\,;-2]$ et d'image $]-\infty\,;4]$ . »

Le piège : Choisir $b$ au hasard puis laisser $a$ absorber l'erreur. Le signe de $b$ se lit sur le CÔTÉ, avant tout calcul, et une erreur à cet endroit rend le radical négatif au point de contrôle.

Barème : 1 point pour $h$ et $k$ , 1 point pour le signe de $b$ justifié, 2 points pour le calcul de $a$ , 1 point pour le domaine et l'image. Une règle juste sans justification du signe plafonne aux deux tiers.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester un nombre du côté supposé du domaine

On prend un nombre clairement du côté annoncé et l'on vérifie que le radicande est positif. C'est le contrôle du signe de $b$ .

Pour $\sqrt{-(x-4)}$ , tester $x=0$ : le radicande vaut $4$ , donc le domaine s'ouvre bien à gauche.
Revenir à l'équation de départ

Après toute élévation au carré, on remplace la solution dans l'énoncé initial. C'est le seul contrôle qui détecte une racine étrangère.

Pour $2\sqrt{x+3}-6=0$ , la solution $x=6$ redonne $2\times 3-6=0$ .
Vérifier une mise en évidence sur deux points

Les deux écritures doivent coïncider en deux nombres, dont un qui rend le radical entier.

$\sqrt{9x-18}$ et $3\sqrt{x-2}$ donnent $6$ en $x=6$ et $9$ en $x=11$ .
Contrôler l'échange du point de départ et du sommet

Dans la réciproque, le point de départ devient le sommet, coordonnées échangées. Un écart signale une erreur de constante.

$\sqrt{x-1}+3$ part de $(1\,;3)$ ; sa réciproque $(x-3)^{2}+1$ a pour sommet $(3\,;1)$ .

L'exercice type décortiqué

Étudier $y=-3\sqrt{-2x+8}+5$ de bout en bout

Donnez la forme canonique, le point de départ, le domaine, l'image, le zéro et la réciproque de $y=-3\sqrt{-2x+8}+5$ .

Étape 1

$-2x+8=-2(x-4)$ , donc $y=-3\sqrt{-2(x-4)}+5$ : $a=-3$ , $b=-2$ , $h=4$ , $k=5$ .

Pourquoi

La mise en évidence est le premier geste. Sans elle, on lirait $h=8$ et tout le reste serait faux. On peut aussi écrire $\sqrt{-2(x-4)}=\sqrt{2}\sqrt{-(x-4)}$ et absorber le facteur dans $a$ , ce qui donne $-3\sqrt{2}\sqrt{4-x}+5$ .

Étape 2

Point de départ $(4\,;5)$ .

Pourquoi

Il se lit sur $h$ et $k$ , et il appartient à la courbe : le radical y est nul. C'est le seul point à placer avant de tracer.

Étape 3

Domaine : $b<0$ , donc $]-\infty\,;4]$ . Contrôle : en $x=0$ , le radicande vaut $8$ , positif.

Pourquoi

Le domaine ne dépend que du signe de $b$ et de $h$ . Le test numérique confirme le côté en cinq secondes, et il évite l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Étape 4

Image : $a<0$ , donc $]-\infty\,;5]$ .

Pourquoi

L'image ne dépend que du signe de $a$ et de $k$ . Le crochet est FERMÉ en $5$ , puisque le point de départ est atteint : c'est la différence avec une exponentielle.

Étape 5

Zéro : $3\sqrt{-2(x-4)}=5$ donne $\sqrt{-2(x-4)}=\dfrac{5}{3}$ , puis $-2(x-4)=\dfrac{25}{9}$ et $x=4-\dfrac{25}{18}\approx 2{,}611$ .

Pourquoi

On isole le radical AVANT d'élever au carré. Vérification : le zéro doit appartenir au domaine, ce qui est le cas puisque $2{,}611<4$ . Une racine carrée a au plus un zéro, donc il n'y a rien d'autre à chercher.

Étape 6

Réciproque : $\sqrt{-2(x-4)}=\dfrac{5-y}{3}$ , donc $-2(x-4)=\dfrac{(5-y)^{2}}{9}$ et $x=4-\dfrac{(5-y)^{2}}{18}$ . Donc $f^{-1}(x)=4-\dfrac{(x-5)^{2}}{18}$ , de domaine $]-\infty\,;5]$ .

Pourquoi

L'élévation au carré exige $5-y\ge 0$ , c'est-à-dire $y\le 5$ , ce qui est exactement l'image de $f$ . Aucune restriction supplémentaire n'est nécessaire, la racine étant strictement monotone. Contrôle : $f(4)=5$ et $f^{-1}(5)=4$ .

Conclusion rédigée

$y=-3\sqrt{-2(x-4)}+5$ , départ $(4\,;5)$ , domaine $]-\infty\,;4]$ , image $]-\infty\,;5]$ , zéro en $x\approx 2{,}611$ , et $f^{-1}(x)=4-\dfrac{(x-5)^{2}}{18}$ sur $]-\infty\,;5]$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Lire $h=8$ sur $-2x+8$ sans mettre $-2$ en évidence, ce qui déplace le point de départ de quatre unités et fausse le domaine, l'image et le zéro d'un seul coup.

À savoir par cœur

• Forme canonique : $a\sqrt{b(x-h)}+k$ , départ $(h\,;k)$ , sur la courbe.
• Le signe de $b$ donne le côté, celui de $a$ donne le sens.
• $|a|$ ne change ni le domaine ni l'image.
• On met $b$ en évidence AVANT de lire $h$ .
• Un facteur positif sort du radical en prenant sa racine.
• Au plus un zéro : la fonction est strictement monotone.
• Après élévation au carré, on revient à l'équation de départ.
• Une inéquation se coupe avec le domaine.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , jamais $x$ .
• La réciproque est une demi-parabole, sans restriction à imposer.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il mettre le coefficient en évidence sous le radical ?

Parce que le point de départ se lit sur la forme factorisée du radicande, et sur elle seule. Tant que le contenu est écrit comme une somme, le nombre visible n'est pas le paramètre cherché, et le domaine annoncé est faux. Un test avec un nombre situé entre les deux valeurs candidates suffit à s'en convaincre.

Comment distinguer les deux réflexions d'une racine carrée ?

Par le domaine. Le coefficient placé devant le radical retourne la courbe vers le bas mais laisse le domaine intact ; celui placé à l'intérieur retourne le domaine et fait partir la courbe de l'autre côté. Regarder de quel côté la fonction existe tranche immédiatement, sans aucun tracé.

Pourquoi une inéquation avec une racine carrée donne-t-elle un intervalle borné des deux côtés ?

Parce que la solution doit appartenir au domaine, qui est déjà borné d'un côté. La résolution algébrique fournit une borne, et le domaine en fournit une autre. Oublier la seconde donne une réponse qui contient des nombres pour lesquels la fonction n'existe même pas.

Qu'est-ce qu'une racine étrangère, et comment l'éviter ?

C'est une valeur qui vérifie l'équation obtenue après élévation au carré, mais pas l'équation de départ. Elle apparaît parce que l'élévation au carré efface les signes. On l'évite en remplaçant chaque solution trouvée dans l'énoncé initial, jamais dans l'équation transformée.

Pourquoi la réciproque d'une racine carrée ne demande-t-elle pas de restriction ?

Parce qu'une racine carrée est strictement croissante ou strictement décroissante sur tout son domaine : elle ne prend jamais deux fois la même valeur, donc aucune droite horizontale ne la coupe deux fois. La parabole, elle, descend puis remonte, et c'est cela qui oblige à couper au sommet dans l'autre sens.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction racine carrée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/ts5-racine-carree. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : la fonction racine carrée

L'essentiel

Le point de départ et les deux signes

Mettre le paramètre en évidence

Résoudre, et couper avec le domaine

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire le domaine sans mettre le paramètre en évidence

2. Confondre les deux réflexions

3. Oublier la borne du domaine dans une inéquation

4. Garder une racine étrangère

5. Écrire x2=x\sqrt{x^{2}}=xx2​=x

6. Imposer une restriction à la réciproque d'une racine

7. Croire qu'une racine carrée peut repasser par une valeur

Quelle méthode choisir

Les quatre orientations, selon les deux signes

La rédaction attendue

Rédiger la recherche de la règle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étudier y=−3−2x+8+5y=-3\sqrt{-2x+8}+5y=−3−2x+8​+5 de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il mettre le coefficient en évidence sous le radical ?

Comment distinguer les deux réflexions d'une racine carrée ?

Pourquoi une inéquation avec une racine carrée donne-t-elle un intervalle borné des deux côtés ?

Qu'est-ce qu'une racine étrangère, et comment l'éviter ?

Pourquoi la réciproque d'une racine carrée ne demande-t-elle pas de restriction ?

Exercices corrigés : La fonction racine carrée

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5. Écrire $\sqrt{x^{2}}=x$

Étudier $y=-3\sqrt{-2x+8}+5$ de bout en bout