Exercices corrigés : l'aire d'un triangle par la trigonométrie (math TS, secondaire 4)

a) Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$, le côté $CH$ est OPPOSÉ à l'angle $A$ et $AC$ est l'hypoténuse : c'est donc le sinus. $\sin A=\dfrac{CH}{AC}$, d'où $CH=AC\sin A=6\sin 40\approx 3{,}86$ cm. Toute la formule du chapitre tient dans cette ligne : la hauteur est un côté multiplié par le sinus de l'angle.

b) La base est $AB=8$ cm et la hauteur $CH\approx 3{,}8567$ cm : $\mathcal{A}=\dfrac{8\times 3{,}8567}{2}\approx 15{,}43$ centimètres carrés. On garde toutes les décimales de la hauteur pour ce calcul, et l'on n'arrondit qu'ici.

c) En remplaçant la hauteur par $AC\sin A$ : $\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC\times\sin A}{2}$. Avec les notations usuelles, deux côtés $a$ et $b$ et l'angle $C$ qu'ils forment : $\mathcal{A}=\dfrac{a\,b\sin C}{2}$. Ce n'est donc pas une formule nouvelle, c'est la même, avec la hauteur remplacée par ce qui la fabrique.

d) $\mathcal{A}=\dfrac{8\times 6\times\sin 40}{2}=24\sin 40\approx 15{,}43$ centimètres carrés. C'est exactement le résultat de la question b), à l'arrondi près, et le calcul tient en une ligne au lieu de deux.

e) Parce que c'est le seul angle dont le sinus fabrique la HAUTEUR relative à la base choisie. Dans le triangle $AHC$, la hauteur est reliée à l'angle $A$ parce que $A$ est l'angle que forment les deux côtés $AB$ et $AC$. Employer l'angle $B$ avec les côtés $AB$ et $AC$ donnerait un nombre sans rapport avec l'aire : la formule s'écrit toujours « deux côtés et l'angle ENTRE eux ».

a) $\mathcal{A}=\dfrac{7\times 10\times\sin 35}{2}=35\sin 35\approx 20{,}08$ centimètres carrés. On multiplie d'abord les deux côtés, on divise par deux, et le sinus vient en dernier : l'ordre est libre, mais faire le sinus en premier oblige à retenir un nombre à quatre décimales.

b) $\mathcal{A}=\dfrac{12\times 5\times\sin 90}{2}=\dfrac{60\times 1}{2}=30$ centimètres carrés. Le sinus de $90$ degrés vaut $1$, donc la formule redonne exactement $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ : dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit SONT la base et la hauteur. La formule du chapitre contient donc l'ancienne comme cas particulier.

c) $\mathcal{A}=\dfrac{9\times 9\times\sin 120}{2}=40{,}5\sin 120\approx 35{,}07$ centimètres carrés. L'angle est OBTUS, et cela ne pose aucun problème : le sinus d'un angle obtus est positif, contrairement à son cosinus.

d) $\mathcal{A}=\dfrac{15\times 8\times\sin 150}{2}=60\sin 150=60\times 0{,}5=30$ centimètres carrés. Le sinus de $150$ degrés vaut exactement $0{,}5$, comme celui de $30$ degrés : c'est un résultat à connaître, et il annonce la remarque suivante.

e) Avec $60$ degrés : $40{,}5\sin 60\approx 35{,}07$ centimètres carrés, la MÊME aire qu'en c). La raison : $\sin 120=\sin 60$, et plus généralement $\sin(180-x)=\sin x$. Deux triangles de mêmes côtés et d'angles supplémentaires ont donc la même aire, bien qu'ils n'aient pas du tout la même forme. C'est cette propriété qui rendra la question de l'exercice 4 ambiguë.

a) Calculable : c'est exactement le cas de la formule. $\mathcal{A}=\dfrac{8\times 11\times\sin 65}{2}=44\sin 65\approx 39{,}88$ centimètres carrés.

b) NON calculable avec les outils de la quatrième secondaire. L'angle donné n'est pas entre les deux côtés : son sinus ne fabrique donc pas la hauteur relative à la base formée par ces côtés. Pour s'en sortir, il faudrait d'abord trouver l'angle compris, ce qui demande la loi des sinus, au programme de la cinquième secondaire. La réponse attendue est de dire pourquoi on ne peut pas, et non d'appliquer la formule au hasard.

c) Calculable, après une ligne de calcul : le troisième angle vaut $180-48-71=61$ degrés, et c'est justement lui que les deux côtés donnés encadrent. Donc $\mathcal{A}=\dfrac{9\times 12\times\sin 61}{2}=54\sin 61\approx 47{,}23$ centimètres carrés. La somme des angles est l'outil qui débloque ce cas, et elle est gratuite.

d) Pas avec CETTE formule, faute d'angle. Mais l'aire reste accessible par le chapitre précédent : on trace une hauteur, on pose Pythagore dans les deux triangles rectangles obtenus, et l'on trouve $h\approx 5{,}22$ cm sur la base de $7$ cm, d'où une aire d'environ $14{,}70$ centimètres carrés. La formule de Héron, qui donnerait ce résultat d'un coup, est au programme de la cinquième secondaire.

e) Trois combinaisons fonctionnent. DEUX CÔTÉS ET L'ANGLE COMPRIS : la formule s'applique directement. DEUX ANGLES ET LES DEUX CÔTÉS qui encadrent le troisième : on complète à $180$ degrés, puis on applique. UNE BASE ET SA HAUTEUR : on emploie la formule élémentaire. Tout le reste, en particulier deux côtés et un angle non compris, attend la cinquième secondaire.

a) On écrit la formule avec l'inconnue : $24=\dfrac{8\times b\times\sin 30}{2}=\dfrac{8b\times 0{,}5}{2}=2b$. Donc $b=12$ cm. Le sinus de $30$ degrés valant exactement $0{,}5$, le calcul se fait de tête, et c'est le genre de valeur que les énoncés choisissent exprès.

b) $50=\dfrac{10\times 14\times\sin C}{2}=70\sin C$, donc $\sin C=\dfrac{50}{70}\approx 0{,}7143$. On s'arrête ici pour cette question : le sinus est un nombre compris entre $0$ et $1$, ce qui est bien le cas, donc le triangle existe. Si l'on avait trouvé un nombre supérieur à $1$, il aurait fallu conclure qu'aucun triangle ne convient.

c) La touche inverse donne $C=\arcsin(0{,}7143)\approx 45{,}58$ degrés. Mais le supplément convient aussi, puisque $\sin(180-x)=\sin x$ : $180-45{,}58=134{,}42$ degrés. Les deux angles donnent exactement la même aire, avec deux triangles de formes très différentes, l'un aigu et l'autre obtus.

d) Un triangle isocèle rectangle a ses deux côtés égaux autour de l'angle droit, donc $60=\dfrac{a\times a\times\sin 90}{2}=\dfrac{a^{2}}{2}$. Donc $a^{2}=120$ et $a=\sqrt{120}\approx 10{,}95$ cm. On garde la racine positive, une longueur ne pouvant pas être négative. Contrôle : $\dfrac{10{,}954^{2}}{2}=60$.

e) Parce que la fonction sinus prend la même valeur en un angle et en son supplément : connaître le sinus ne suffit donc pas à identifier l'angle. On garde LES DEUX, en les écrivant toutes les deux, sauf si l'énoncé ou la figure tranche, par exemple en précisant que le triangle est acutangle, ou en montrant un angle visiblement obtus. Omettre la seconde réponse coûte la moitié des points de la question.

a) Base et hauteur, le chemin le plus court : $\mathcal{A}=\dfrac{14\times 6}{2}=42$ centimètres carrés. Quand la hauteur est donnée, on ne sort pas la calculatrice trigonométrique.

b) Deux côtés et l'angle compris : $\mathcal{A}=\dfrac{9\times 13\times\sin 28}{2}=58{,}5\sin 28\approx 27{,}46$ centimètres carrés.

c) Trois côtés et aucun angle : on construit la hauteur sur la base de $7$ cm. En posant $BH=x$ : $x^{2}+h^{2}=25$ et $(7-x)^{2}+h^{2}=36$. La soustraction donne $49-14x=11$, donc $x\approx 2{,}714$ cm, puis $h\approx 4{,}199$ cm. L'aire vaut $\dfrac{7\times 4{,}199}{2}\approx 14{,}70$ centimètres carrés. C'est plus long, mais c'est le seul chemin disponible au niveau.

d) Aucun chemin praticable en quatrième secondaire : l'angle n'est pas compris entre les deux côtés donnés, et l'on n'a ni hauteur ni troisième côté. Il faudrait la loi des sinus pour trouver un autre angle, et elle est au programme de la cinquième secondaire. La réponse attendue est de dire cela, clairement.

e) La règle : si la HAUTEUR est donnée, on prend la formule élémentaire ; si un ANGLE COMPRIS est donné avec ses deux côtés, on prend le demi-produit par le sinus ; s'il n'y a que des côtés, on FABRIQUE une hauteur par Pythagore. Et si l'angle donné n'est pas compris, on dit que le problème dépasse les outils du niveau plutôt que d'appliquer une formule au hasard.

a) Dans le triangle $ABC$, on connaît les deux côtés $AB$ et $BC$ et l'angle $B$ qu'ils forment : la formule s'applique directement. $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{7\times 9\times\sin 96{,}4}{2}=31{,}5\sin 96{,}4\approx 31{,}31$ mètres carrés. L'angle obtus ne change rien, son sinus étant positif.

b) Même travail dans le triangle $ACD$, avec $AD$, $DC$ et l'angle $D$ : $\mathcal{A}_{ACD}=\dfrac{6\times 8\times\sin 117{,}3}{2}=24\sin 117{,}3\approx 21{,}33$ mètres carrés.

c) L'aire totale est la somme : $31{,}31+21{,}33\approx 52{,}64$ mètres carrés. On additionne les valeurs NON arrondies et l'on arrondit à la fin : ici la différence est invisible, mais l'habitude évite les écarts d'un centième que les correcteurs relèvent.

d) Parce que chaque triangle a été traité avec l'angle opposé à la diagonale : dans les deux cas, les données étaient deux côtés du quadrilatère et l'angle entre eux, et la diagonale n'est intervenue que comme frontière de découpage. C'est d'ailleurs l'intérêt de couper par là : la diagonale sépare les deux angles connus.

e) Non. Un quadrilatère de côtés donnés n'est pas rigide : il se déforme, comme un cadre articulé, et son aire change sans que les côtés changent. C'est la différence de fond avec le triangle, que trois côtés verrouillent complètement. Il faut donc toujours au moins un angle, ou une diagonale, pour fixer la forme.

a) Le triangle $ABD$ a deux côtés de $12$ cm et $7$ cm formant l'angle de $55$ degrés en $A$ : $\mathcal{A}=\dfrac{12\times 7\times\sin 55}{2}=42\sin 55\approx 34{,}40$ centimètres carrés.

b) La diagonale partage le parallélogramme en deux triangles ISOMÉTRIQUES, par le cas côté-côté-côté : ils ont la diagonale en commun et les côtés opposés sont égaux deux à deux. L'aire du parallélogramme est donc le double : $2\times 34{,}40\approx 68{,}81$ centimètres carrés.

c) En doublant la formule du triangle, le facteur $\dfrac{1}{2}$ disparaît : $\mathcal{A}=a\,b\sin\theta$. C'est une formule à connaître, et elle contient le cas du rectangle : avec $\theta=90$ degrés, $\sin 90=1$ et l'on retrouve le produit des deux côtés.

d) $12\times 7\times\sin 125=84\sin 125\approx 68{,}81$ centimètres carrés : la même aire. C'est normal, les deux angles d'un parallélogramme étant supplémentaires, $55+125=180$, et le sinus ne distingue pas un angle de son supplément. La formule marche donc avec N'IMPORTE LEQUEL des deux angles, ce qui est commode.

e) La hauteur relative à la base de $12$ cm est $h=7\sin 55\approx 5{,}734$ cm, comme à l'exercice 1. L'aire vaut alors $12\times 5{,}734\approx 68{,}81$ centimètres carrés. Même résultat, et c'est bien la preuve que $a\,b\sin\theta$ n'est rien d'autre que « base fois hauteur » avec la hauteur fabriquée par le sinus.

a) Faux. L'angle doit être COMPRIS entre les deux côtés employés, parce que c'est son sinus qui fabrique la hauteur relative à la base choisie. Avec un autre angle, le produit obtenu ne mesure rien. L'énoncé correct : deux côtés et l'angle qu'ils forment, jamais deux côtés et un angle pris ailleurs.

b) Faux. Le sinus d'un angle obtus est POSITIF : c'est le cosinus qui devient négatif entre $90$ et $180$ degrés. Mieux, $\sin(180-x)=\sin x$, donc un angle de $120$ degrés donne la même aire qu'un angle de $60$ degrés avec les mêmes côtés. L'énoncé correct : la formule vaut pour tous les angles d'un triangle, aigus comme obtus.

c) Faux, et c'est le piège le plus coûteux du chapitre. L'équation donne le SINUS de l'angle, et deux angles supplémentaires ont le même sinus : il y a donc toujours deux réponses, l'une aiguë et l'autre obtuse, sauf si la figure ou l'énoncé tranche. L'énoncé correct : on donne les deux angles.

d) Faux : elle s'y applique et elle s'y simplifie. Avec un angle de $90$ degrés, $\sin 90=1$, et la formule redonne $\dfrac{a\,b}{2}$, c'est-à-dire le demi-produit des deux côtés de l'angle droit, qui sont justement la base et la hauteur. La formule du chapitre contient l'ancienne comme cas particulier.

e) Faux : sans angle, la formule ne peut pas s'appliquer du tout. Avec trois côtés et aucun angle, on fabrique une hauteur par Pythagore, comme au chapitre précédent, puis on emploie la formule élémentaire. La formule de Héron, qui donnerait l'aire directement à partir des trois côtés, est au programme de la cinquième secondaire.

a) Deux côtés et l'angle compris : la formule s'applique directement. $\mathcal{A}=\dfrac{1{,}2\times 0{,}9\times\sin 68}{2}=0{,}54\sin 68\approx 0{,}5007$ mètre carré. On travaille en mètres dès le départ, pour que le volume sorte en mètres cubes et la masse en kilogrammes sans conversion.

b) L'épaisseur doit être convertie : $4$ millimètres valent $0{,}004$ mètre. Le volume est donc $V=0{,}5007\times 0{,}004=0{,}0020$ mètre cube, plus précisément $0{,}00200272$ mètre cube. C'est une plaque, donc son volume est simplement l'aire multipliée par l'épaisseur.

c) $m=\rho V=7850\times 0{,}00200272\approx 15{,}72$ kilogrammes. Contrôle d'ordre de grandeur : une plaque d'un demi-mètre carré et de $4$ mm d'épaisseur, c'est environ $2$ litres d'acier, et l'acier pèse près de $8$ kilogrammes le litre. On attendait donc une quinzaine de kilogrammes.

d) $15{,}721\times 2{,}10\approx 33{,}01$ dollars. On multiplie la masse NON arrondie par le prix, puis on arrondit au centime : partir de $15{,}72$ donnerait $33{,}01$ également ici, mais l'écart se creuse sur une commande de plusieurs centaines de pièces.

e) $\dfrac{100}{15{,}721}\approx 6{,}36$, donc $6$ goussets entiers : on ne facture pas les $0{,}36$ de gousset, et la matière restante, environ $5{,}7$ kilogrammes, part en chute. C'est la partie entière du chapitre précédent, employée ici sur une masse.

a) $\mathcal{A}=\dfrac{4{,}2\times 3{,}5\times\sin 48}{2}=7{,}35\sin 48\approx 5{,}46$ mètres carrés. Deux côtés et l'angle compris : la formule s'applique directement, sans passer par une hauteur.

b) $P=190\times 5{,}4621\approx 1038$ watts, soit un peu plus d'un kilowatt. On multiplie l'aire NON arrondie : partir de $5{,}46$ donnerait $1037$ watts, un watt d'écart qui ne change rien ici mais qui montre l'habitude à prendre.

c) L'énergie est la puissance multipliée par la durée : $E=1{,}0378\ \text{kW}\times 4{,}5\ \text{h}\approx 4{,}67$ kilowattheures. La conversion des watts en kilowatts se fait avant la multiplication, sans quoi le résultat sort en wattheures et il faut encore le diviser par mille.

d) Sur $30$ jours : $4{,}67\times 30\approx 140{,}1$ kilowattheures. À $0{,}073$ dollar le kilowattheure, cela représente $140{,}1\times 0{,}073\approx 10{,}23$ dollars d'économie mensuelle. Le chiffre paraît modeste, et il l'est : c'est le prix bas de l'électricité québécoise qui allonge le temps de retour d'un tel panneau.

e) Il faut d'abord l'aire nécessaire : $\dfrac{1500}{190}\approx 7{,}8947$ mètres carrés. On écrit ensuite la formule avec l'inconnue : $7{,}8947=\dfrac{4{,}2\times b\times\sin 48}{2}$, donc $b=\dfrac{2\times 7{,}8947}{4{,}2\sin 48}\approx 5{,}06$ mètres. Le second côté doit donc passer de $3{,}5$ à environ $5{,}06$ mètres, soit une augmentation de $45$ pour cent pour un gain de puissance de $45$ pour cent lui aussi : l'aire est proportionnelle à ce côté quand l'autre et l'angle ne bougent pas.