Math TS, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des relations métriques et de la trigonométrie du triangle rectangle, au programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Dans un triangle rectangle, deux données suffisent à tout obtenir : le travail consiste à choisir l'outil qui emploie ce qu'on a, et à n'arrondir qu'à la dernière ligne.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La similitude et l'isométrie des triangles Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
3Aire et volume des solidesSecondaire 3
4Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
5La similitude et l'isométrie des triangles

Notions couvertes

Relations métriques
Hauteur issue de l'angle droit
Projection sur l'hypoténuse
Théorème de Pythagore
Rapports trigonométriques
Sinus, cosinus, tangente
Angles complémentaires
Pente en pour cent
Arrondis et précision
Découpage en triangles rectangles

L'essentiel

Les quatre relations métriques

• Avec $ABC$ rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de l'angle droit : $AH^{2}=BH\times CH$ , $AB^{2}=BH\times BC$ , $AC^{2}=CH\times BC$ et $AB\times AC=BC\times AH$ .
• UN CÔTÉ AU CARRÉ prend SON morceau et l'hypoténuse ENTIÈRE. La HAUTEUR au carré prend les DEUX morceaux. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
• LA QUATRIÈME RELATION est l'aire calculée deux fois : avec les deux côtés de l'angle droit, ou avec l'hypoténuse et sa hauteur. Elle donne la hauteur en une ligne.
• ELLES VIENNENT TOUTES des trois triangles semblables fabriqués par la hauteur, vus au chapitre précédent : une proportion, un produit croisé, et la relation apparaît.
• LES DEUX MORCEAUX S'ADDITIONNENT pour redonner l'hypoténuse : $BH+CH=BC$ . C'est le contrôle gratuit à faire après chaque calcul.

AH^{2}=4\times 9=36

AB^{2}=4\times 13=52

AC^{2}=9\times 13=117

: la hauteur prend les deux morceaux, chaque côté prend le sien et l'hypoténuse entière.

Les trois rapports, et à quoi ils servent

• $\sin=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ , $\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\tan=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .
• OPPOSÉ ET ADJACENT DÉPENDENT DE L'ANGLE regardé ; l'hypoténuse, elle, ne change jamais, c'est le côté face à l'angle droit, et c'est le plus long.
• SINUS ET COSINUS sont donc toujours compris entre $0$ et $1$ . La TANGENTE, qui ne fait pas intervenir l'hypoténuse, peut prendre n'importe quelle valeur positive.
• LES DEUX ANGLES AIGUS SONT COMPLÉMENTAIRES : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre, et leurs tangentes sont inverses l'une de l'autre.
• UNE PENTE EN POUR CENT EST UNE TANGENTE : une pente de $2$ pour cent, c'est $\tan\theta=0{,}02$ , soit $2$ centimètres de descente par mètre horizontal.
• POUR REMONTER À L'ANGLE, on emploie les touches inverses, et la calculatrice doit être en DEGRÉS : un résultat absurde vient neuf fois sur dix de ce réglage.

Choisir l'outil, et garder la précision

• DEUX DONNÉES SUFFISENT, dont au moins une longueur. Le reste s'enchaîne : angles complémentaires, rapport trigonométrique, Pythagore, relations métriques.
• ON CHOISIT L'OUTIL QUI EMPLOIE LES DONNÉES DE L'ÉNONCÉ, jamais un résultat déjà arrondi : cela évite de propager l'erreur.
• SANS ANGLE DROIT, RIEN NE S'APPLIQUE. Dans un triangle quelconque, on trace une hauteur, on pose Pythagore dans chacun des deux triangles rectangles obtenus, et l'on soustrait les deux égalités pour trouver le pied.
• LA LOI DES SINUS ET CELLE DES COSINUS, qui feraient ce travail d'un coup, sont au programme de la cinquième secondaire, pas de la quatrième.
• LES FIGURES USUELLES se découpent : diagonale du rectangle, hauteur du trapèze et du triangle isocèle, demi-diagonales du losange, qui se coupent à angle droit.
• ON N'ARRONDIT QU'À LA DERNIÈRE LIGNE, en gardant toutes les décimales en mémoire.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer un côté par une relation métrique

toute la question, et une figure incohérente

Ce qu'il ne faut pas écrire

$AB^{2}=BH\times CH=4\times 9=36$ , donc $AB=6$

Ce qu'il faut écrire

$AB^{2}=BH\times BC=4\times 13=52$ , donc $AB\approx 7{,}21$

Pourquoi : Le produit des deux MORCEAUX donne le carré de la HAUTEUR, pas celui d'un côté. Un côté de l'angle droit prend son propre morceau et l'hypoténuse ENTIÈRE. Contrôle immédiat : un côté de l'angle droit doit être plus long que la hauteur, puisque celle-ci est le plus court chemin du sommet à l'hypoténuse.

2. Choisir le rapport trigonométrique

toute la question, et un angle systématiquement trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\tan\theta=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$

Ce qu'il faut écrire

$\tan\theta=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Pourquoi : La tangente est le seul des trois rapports qui n'emploie PAS l'hypoténuse : c'est le rapport des deux côtés de l'angle droit. C'est pour cela qu'elle peut dépasser $1$ , et c'est elle qui traduit une pente. Contrôle : si votre sinus ou votre cosinus dépasse $1$ , c'est que vous avez pris la tangente ; si votre tangente ne dépasse jamais $1$ , vérifiez le dénominateur.

3. Travailler dans un triangle quelconque

toute la question, et un nombre parfaitement crédible qui ne veut rien dire

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans un triangle de côtés $7$ , $9$ et $12$ , $\sin B=\dfrac{9}{12}$

Ce qu'il faut écrire

Rien ne s'applique : ce triangle n'a pas d'angle droit, donc pas d'hypoténuse

La hauteur

AH

crée deux triangles rectangles :

BH^{2}+AH^{2}=49

CH^{2}+AH^{2}=81

. En soustrayant, on trouve

BH\approx 4{,}67

, puis tout le reste.

Pourquoi : La réciproque de Pythagore tranche en dix secondes : $7^{2}+9^{2}=130$ alors que $12^{2}=144$ , donc pas d'angle droit. Le geste correct est de tracer une hauteur pour fabriquer deux triangles rectangles, puis de travailler dans chacun. La loi des cosinus, qui ferait le calcul d'un coup, est au programme de la cinquième secondaire.

4. Arrondir pendant le calcul

1 à 2 points, et une cote fausse de plusieurs centimètres

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\tan\theta=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}43$ , donc $\theta\approx 23{,}3$ degrés

Ce qu'il faut écrire

On tape la fraction : $\theta\approx 23{,}2$ degrés

Pourquoi : L'écart d'angle n'est que de $0{,}07$ degré, mais sur une base de $50$ mètres la hauteur passe de $21{,}4286$ m à $21{,}5$ m, soit $7{,}1$ centimètres d'écart. La règle est de garder toutes les décimales en mémoire et de n'arrondir qu'à la dernière ligne, à la précision demandée.

5. Régler la calculatrice

toutes les questions trigonométriques de la copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin 30=-0{,}988$

Ce qu'il faut écrire

$\sin 30=0{,}5$ : la calculatrice était en radians

Pourquoi : Un résultat négatif pour un angle aigu est impossible : tous les rapports d'un angle entre $0$ et $90$ degrés sont positifs. Le contrôle à faire avant de commencer est $\sin 30=0{,}5$ exactement : s'il ne sort pas, le mode est faux, et rien de ce qui suit ne vaudra.

6. Situer la hauteur issue de l'angle droit

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

La hauteur issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse

Ce qu'il faut écrire

C'est la MÉDIANE issue de l'angle droit qui vaut la moitié de l'hypoténuse

Pourquoi : Contre-exemple avec le triangle de la figure : l'hypoténuse mesure $13$ et la hauteur $6$ , alors que la moitié vaudrait $6{,}5$ . Les deux ne coïncident que dans le triangle rectangle ISOCÈLE. La hauteur se calcule par l'aire ou par la relation $AH^{2}=BH\times CH$ .

7. Lire une pente

1 à 2 points, et une confusion entre deux unités

Ce qu'il ne faut pas écrire

Une pente de $2$ pour cent fait un angle de $2$ degrés

Ce qu'il faut écrire

Elle fait un angle de $\arctan(0{,}02)\approx 1{,}15$ degré

Pourquoi : Un pourcentage de pente est une TANGENTE, pas un angle : il compare une descente à une distance horizontale. La confusion passe presque inaperçue aux petites pentes, parce que l'angle en degrés et la pente en pour cent restent du même ordre, mais elle explose dès qu'on monte : une pente de $100$ pour cent fait $45$ degrés, et non $100$ .

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon ce qu'on connaît

Un triangle rectangle, et deux mesures connues

Si On connaît DEUX CÔTÉS et l'on cherche le troisième → Pythagore, sans passer par un angle

Exemple : $\sqrt{7{,}5^{2}-2{,}4^{2}}\approx 7{,}11$
Si On connaît DEUX CÔTÉS et l'on cherche un angle → Le rapport qui emploie ces deux côtés, puis la touche inverse

Exemple : $\sin\theta=\dfrac{2{,}4}{7{,}5}$ donne $\theta\approx 18{,}66$ degrés
Si On connaît UN CÔTÉ ET UN ANGLE aigu → Le rapport qui relie ce côté à celui qu'on cherche ; l'autre angle est le complément

Exemple : $AC=8{,}4\tan 32\approx 5{,}25$
Si On connaît les DEUX MORCEAUX de l'hypoténuse → $AH^{2}=BH\times CH$ , et chaque côté par son morceau fois l'hypoténuse entière

Exemple : $AH^{2}=4\times 9=36$ et $AB^{2}=4\times 13=52$
Si On cherche la HAUTEUR issue de l'angle droit → La relation de l'aire : $AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}$

Exemple : $\dfrac{2{,}4\times 7{,}106}{7{,}5}\approx 2{,}27$
Si La question donne une PENTE en pour cent → C'est une tangente : $\tan\theta=\dfrac{\text{pente}}{100}$

Exemple : $2$ pour cent donne $\arctan(0{,}02)\approx 1{,}15$ degré
Si Le triangle n'a PAS d'angle droit → Tracer une hauteur, poser Pythagore dans les deux triangles obtenus, soustraire

Exemple : $144-24x=32$ donne le pied de la hauteur en $x\approx 4{,}67$
Si La figure est un rectangle, un losange, un trapèze ou un isocèle → Tracer la ligne qui fabrique l'angle droit : diagonale, hauteur ou demi-diagonales

Exemple : Losange de côté $10$ et de diagonale $16$ : l'autre vaut $12$

La loi des sinus, la loi des cosinus et la formule de Héron ne sont pas au programme de la TS 4. Le seul chapitre de trigonométrie qui suit est l'aire d'un triangle par la trigonométrie.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de mesure dans un triangle rectangle

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande une longueur ou un angle

1 Nommer le triangle rectangle utilisé et dire où est l'angle droit.
2 Nommer le rapport ou la relation choisie, et dire pourquoi : quelles données elle emploie.
3 Écrire l'égalité avec les valeurs, sans arrondir.
4 Isoler l'inconnue et donner la valeur arrondie à la précision demandée, avec son unité.
5 Ajouter un contrôle en une ligne : somme des morceaux, comparaison à l'hypoténuse, ou ordre de grandeur.

Phrase de conclusion

« Dans le triangle $ABH$ , rectangle en $H$ : $\cos B=\dfrac{BH}{AB}$ , les deux côtés étant connus. Donc $\cos B=\dfrac{4{,}6667}{7}\approx 0{,}6667$ et $B\approx 48{,}2$ degrés. Contrôle : l'angle est aigu et inférieur à $60$ degrés, ce que confirme un cosinus supérieur à $0{,}5$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Additionner les deux morceaux

Après avoir calculé $BH$ et $CH$ , vérifier que leur somme redonne l'hypoténuse.

$7{,}12+2{,}78=9{,}90$ , qui est bien $BC$ à l'arrondi près.
Comparer à l'hypoténuse

Aucune longueur du triangle ne peut dépasser l'hypoténuse, et la hauteur issue de l'angle droit est plus courte que les deux côtés.

Un renfort perpendiculaire de $2{,}27$ m est bien plus court que le montant de $2{,}4$ m.
Tester le mode de la calculatrice

Avant de commencer, taper le sinus de trente : il doit afficher exactement $0{,}5$ .

Si l'écran affiche $-0{,}988$ , la calculatrice est en radians.
Recouper par un second chemin

Calculer une même longueur de deux façons indépendantes, par exemple la hauteur par l'aire puis par la relation métrique.

$\dfrac{2{,}4\times 7{,}106}{7{,}5}\approx 2{,}27$ et $\sqrt{6{,}732\times 0{,}768}\approx 2{,}27$ .

L'exercice type décortiqué

L'escalier et son limon

Un escalier droit comporte $17$ contremarches de $18$ centimètres et $16$ girons de $25$ centimètres. Donnez la hauteur totale, la longueur horizontale occupée, l'angle de l'escalier avec le sol et la longueur du limon, la pièce oblique qui porte les marches.

Le grand triangle rectangle de l'escalier :

16

girons à l'horizontale,

17

contremarches à la verticale, et le limon pour hypoténuse.

Étape 1

Hauteur totale : $17\times 18=306$ centimètres, soit $3{,}06$ mètres.

Pourquoi

On compte les CONTREMARCHES pour la hauteur : il y en a toujours une de plus que de girons, puisque la dernière marche arrive au niveau de l'étage.

Étape 2

Longueur horizontale : $16\times 25=400$ centimètres, soit $4{,}00$ mètres.

Pourquoi

On compte les GIRONS pour l'horizontale, et il y en a seize. Prendre dix-sept girons rallongerait l'escalier de vingt-cinq centimètres, une erreur classique et coûteuse en plan.

Étape 3

Angle avec le sol : $\tan\theta=\dfrac{3{,}06}{4{,}00}=0{,}765$ , donc $\theta\approx 37{,}42$ degrés.

Pourquoi

La hauteur est opposée à l'angle cherché, l'horizontale lui est adjacente : c'est donc la tangente. On reconnaît aussi une pente de $76{,}5$ pour cent, ce qui est raide, mais conforme aux escaliers d'habitation.

Étape 4

Limon : $\sqrt{3{,}06^{2}+4{,}00^{2}}=\sqrt{25{,}3636}\approx 5{,}04$ mètres.

Pourquoi

Le limon est l'hypoténuse du grand triangle rectangle formé par la hauteur et l'horizontale. On commande toujours un peu plus long, la coupe des extrémités consommant quelques centimètres.

Étape 5

Contrôle : $\dfrac{3{,}06}{\sin(37{,}42)}\approx 5{,}04$ mètres également.

Pourquoi

Deux chemins indépendants, Pythagore et le sinus, donnent la même longueur. C'est la vérification à faire avant de couper une pièce de bois de cinq mètres.

Conclusion rédigée

Hauteur $3{,}06$ m, longueur $4{,}00$ m, angle d'environ $37{,}42$ degrés et limon d'environ $5{,}04$ mètres.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de compter dix-sept girons comme dix-sept contremarches : l'escalier serait dessiné vingt-cinq centimètres trop long, et le limon commandé trop court une fois l'angle recalculé.

À savoir par cœur

• $AH^{2}=BH\times CH$ : la hauteur prend les deux morceaux.
• $AB^{2}=BH\times BC$ : un côté prend son morceau et l'hypoténuse entière.
• $AB\times AC=BC\times AH$ : l'aire calculée deux fois.
• $BH+CH=BC$ : le contrôle gratuit après chaque calcul.
• Sinus opposé sur hypoténuse, cosinus adjacent sur hypoténuse, tangente opposé sur adjacent.
• Sinus et cosinus entre $0$ et $1$ ; la tangente, elle, n'a pas de plafond.
• Les deux angles aigus sont complémentaires ; leurs tangentes sont inverses.
• Une pente en pour cent est une tangente, pas un angle.
• Sans angle droit : tracer une hauteur, Pythagore deux fois, soustraire.
• On n'arrondit qu'à la dernière ligne, et la calculatrice reste en degrés.

Questions fréquentes

Comment ne pas confondre les relations métriques ?

En retenant une seule phrase : la hauteur prend les deux morceaux, un côté prend son morceau et l'hypoténuse entière. Le contrôle est immédiat, puisque la hauteur est plus courte que les deux côtés de l'angle droit. En cas de doute complet, on retrouve les quatre relations en une minute par les triangles semblables du chapitre précédent.

Quand utiliser la trigonométrie plutôt que Pythagore ?

Pythagore relie trois longueurs et n'utilise aucun angle : il s'emploie dès que deux côtés sont connus. Les rapports trigonométriques relient deux longueurs et un angle : ils s'emploient dès qu'un angle intervient, en donnée ou en question. La règle pratique est de choisir l'outil qui emploie les valeurs de l'énoncé, et non des résultats déjà calculés.

Pourquoi le sinus ne dépasse-t-il jamais un ?

Parce que c'est le rapport d'un côté de l'angle droit à l'hypoténuse, et que l'hypoténuse est le plus long des trois côtés d'un triangle rectangle. Le numérateur est donc toujours plus petit que le dénominateur. La tangente, en revanche, compare les deux côtés de l'angle droit entre eux, et rien ne l'empêche de dépasser un.

Que faire si le triangle n'a pas d'angle droit ?

On en fabrique un en traçant une hauteur, ce qui découpe la figure en deux triangles rectangles. On écrit alors Pythagore dans chacun, et la soustraction des deux égalités élimine la hauteur et donne la position de son pied. Tout le reste suit. Les lois des sinus et des cosinus, qui feraient ce travail d'un coup, arrivent en cinquième secondaire.

Une pente de dix pour cent, c'est combien de degrés ?

Environ cinq virgule sept degrés, et non dix. Un pourcentage de pente est une tangente, c'est-à-dire un rapport entre la montée et la distance horizontale : il faut passer par la touche inverse de la tangente pour obtenir l'angle. La confusion reste discrète aux petites pentes et devient énorme aux grandes, une pente de cent pour cent valant quarante-cinq degrés.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

L'aire d'un triangle par la trigonométrie Figures et solides équivalentsSecondaire 5 TS

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