Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre linéaire

Fiche de révision : Les matrices et les transformations

Cette fiche ne refait pas le cours : elle traite ce qui coûte réellement des points en évaluation de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire. Le chapitre est propre à la séquence TS, il n'existe ni en Sciences naturelles ni en Culture, société et technique, et il n'a presque aucun corrigé gratuit en français.

La bonne nouvelle est que presque toutes les erreurs se voient AVANT le calcul : il suffit de lire les deux dimensions. Si les deux nombres du milieu ne coïncident pas, le produit n'existe pas ; s'ils coïncident, la dimension du résultat est déjà connue.

Le fil du chapitre

Une matrice est un tableau, mais un tableau qui ne se multiplie que d'une seule façon, la LIGNE de gauche contre la COLONNE de droite. La dimension décide de ce qui est possible avant tout calcul, et l'ordre des facteurs décide du résultat.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Systèmes d'équations : comparaison et graphiqueSecondaire 3
5La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
6La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
7Les équations et les inéquationsSecondaire 4 SN4
8Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4

Notions couvertes

Dimension d'une matrice
Matrice ligne
Matrice colonne
Matrice carrée
Matrice identité
Matrice transposée
Addition de matrices
Multiplication par un scalaire
Produit matriciel
Non-commutativité du produit
Matrice de transformation
Coordonnées homogènes

L'essentiel

La dimension décide de tout, et elle se lit avant le calcul

• Une matrice de dimension $m \times n$ a $m$ LIGNES et $n$ COLONNES, toujours dans cet ordre. L'élément $a_{ij}$ est à la ligne $i$ , colonne $j$ .
• ADDITION et SOUSTRACTION : possibles seulement entre matrices de MÊME dimension, et elles se font terme à terme.
• Multiplication par un SCALAIRE : chaque élément est multiplié, et la dimension ne change pas.
• PRODUIT $AB$ : il existe si et seulement si le nombre de COLONNES de $A$ égale le nombre de LIGNES de $B$ . On écrit $(m \times \mathbf{n})(\mathbf{n} \times p)$ : les deux nombres du milieu doivent coïncider, ils disparaissent, et il reste $m \times p$ .
• Chaque case du produit est une SOMME DE PRODUITS : la ligne $i$ de $A$ parcourue en même temps que la colonne $j$ de $B$ .

Les deux nombres du milieu, les

3

A

et de

B

, doivent coïncider pour que le produit existe ; les deux extrêmes donnent la dimension du résultat, ici

2 \times 2

Écrire les deux dimensions côte à côte AVANT de commencer coûte trois secondes et attrape la moitié des erreurs du chapitre, y compris celles qui ne se voient plus une fois le calcul lancé.

Ce que le produit n'est PAS

• Le produit n'est PAS terme à terme : chaque case est une somme de plusieurs produits, jamais un seul.
• Le produit n'est PAS commutatif : $AB \ne BA$ en général, et très souvent $BA$ n'existe même pas.
• L'addition, elle, est commutative, et le produit reste DISTRIBUTIF sur l'addition : $A(B + C) = AB + AC$ .
• La matrice IDENTITÉ $I$ , avec des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs, vérifie $AI = IA = A$ : c'est le seul cas où l'ordre ne change jamais rien.
• Un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit : le raisonnement du produit nul, valable pour les nombres, ne se transporte pas aux matrices.

Les matrices de transformation du plan

• Un POINT s'écrit en colonne $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , une FIGURE en une matrice $2 \times n$ , une colonne par sommet. Une seule multiplication transforme la figure entière.
• Réflexion d'axe des abscisses $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , d'axe des ordonnées $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , d'axe $y = x$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
• Rotation de $90^\circ$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , de $180^\circ$ $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , de $-90^\circ$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ .
• Homothétie de rapport $k$ : $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ . Les deux termes de la diagonale doivent être ÉGAUX, sinon c'est un étirement inégal, qui déforme les angles.
• COMPOSER, c'est MULTIPLIER, et la matrice de la transformation appliquée en PREMIER se place à DROITE, du côté du point qu'elle touche en premier.

Une matrice $2 \times 2$ envoie toujours l'origine sur l'origine : $a \times 0 + b \times 0 = 0$ . Une translation, elle, la déplace, donc elle ne peut PAS s'écrire comme un produit $2 \times 2$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner deux matrices de dimensions différentes

2 points, et une matrice inventée qui contamine la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ est $2 \times 3$ , $B$ est $3 \times 2$ , elles ont six éléments chacune, donc $A + B$ existe. »

Ce qu'il faut écrire

« L'addition exige la MÊME dimension, pas le même nombre d'éléments : $A + B$ n'existe pas. »

Pourquoi : Ce n'est pas le nombre de cases qui compte, c'est leur disposition : il faut savoir quel élément ajouter à quel autre, et cela suppose la même forme. Le contrôle est immédiat, on compare les deux couples de dimensions avant d'écrire quoi que ce soit.

2. Multiplier terme à terme

4 points, toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque case est une SOMME de produits : $\begin{pmatrix} 2 \times 5 + (-1) \times (-2) & 2 \times 0 + (-1) \times 1 \\ 4 \times 5 + 3 \times (-2) & 4 \times 0 + 3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 14 & 3 \end{pmatrix}$ . »

Pourquoi : Le produit terme à terme est ce que fait l'ADDITION, pas la multiplication. Un contrôle qui l'attrape tout de suite : pour deux matrices $2 \times 2$ , chaque case doit coûter DEUX multiplications et une addition. Si votre brouillon ne contient que quatre multiplications au total, vous avez fait un produit terme à terme.

3. Inverser l'ordre d'un produit

toute la question, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $MN$ et $NM$ sont deux écritures du même produit, je calcule celui qui m'arrange. »

Ce qu'il faut écrire

« $MN = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 14 & 3 \end{pmatrix}$ alors que $NM = \begin{pmatrix} 10 & -5 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ : ce ne sont pas les mêmes matrices. »

Pourquoi : Le produit matriciel n'est pas commutatif, même entre deux matrices carrées de même ordre où les deux produits existent. Les seules exceptions courantes sont l'identité, une matrice scalaire, et deux rotations de même centre. Quand une exception s'applique, il faut le DIRE et dire pourquoi, sinon le correcteur lit une confusion.

4. Calculer un produit qui n'existe pas

3 points, plus une interprétation absurde du résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $C$ est $3 \times 1$ et $Q$ est $2 \times 3$ , je calcule $CQ$ pour obtenir les coûts. »

Ce qu'il faut écrire

« $C$ a $1$ colonne et $Q$ a $2$ lignes : $1 \ne 2$ , donc $CQ$ n'existe pas. C'est $QC$ qu'il faut écrire, et le résultat est $2 \times 1$ . »

Pourquoi : Dans un problème concret, l'un des deux ordres a un sens et l'autre n'en a aucun ; la dimension le signale avant tout calcul. Le contrôle de sens est aussi utile que celui de dimension : deux usines et un total par usine, cela fait une matrice à deux lignes et une colonne.

5. Les deux indices échangés

1 à 2 points, et une case fausse dans tout un tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_{31}$ est l'élément de la première ligne et de la troisième colonne. »

Ce qu'il faut écrire

« $a_{31}$ est à la TROISIÈME ligne et à la PREMIÈRE colonne : le premier indice compte les lignes. »

Pourquoi : Le premier indice compte les lignes, exactement comme le premier nombre d'une dimension. Le moyen mnémotechnique tient en deux mots, lignes puis colonnes, et il sert aussi bien à lire une dimension qu'à lire un élément. Dans une matrice non carrée, l'erreur donne parfois un indice qui n'existe pas, ce qui la révèle.

6. La matrice de la réflexion prise pour celle de la rotation

2 points, et tous les sommets de la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La rotation de $90^\circ$ de centre $O$ a pour matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cette matrice est celle de la RÉFLEXION d'axe $y = x$ . La rotation de $90^\circ$ est $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . »

Pourquoi : Un seul signe sépare les deux matrices, et il change la nature de la transformation. Le test qui tranche en deux secondes : le point $(1\,;1)$ est sur l'axe $y = x$ , donc la réflexion le laisse en place, alors que la rotation doit l'envoyer en $(-1\,;1)$ . Appliquez toujours votre matrice à ce point avant de traiter la figure.

7. La translation écrite comme une matrice deux sur deux

3 points, et une figure entière au mauvais endroit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La translation de vecteur $(3\,;-1)$ a pour matrice $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cette matrice donne $(3x\,;-y)$ , un étirement. La translation s'écrit comme une ADDITION : $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ . »

La rotation fait pivoter le carré sans bouger

O

, la translation emmène le carré ET son coin : seule la seconde déplace l'origine, donc seule la seconde échappe aux matrices

2 \times 2

Pourquoi : Une matrice $2 \times 2$ envoie toujours l'origine sur l'origine, quels que soient ses quatre coefficients, alors qu'une translation la déplace. C'est une démonstration en une ligne, et elle vaut le point de justification. En coordonnées homogènes, avec une troisième coordonnée égale à $1$ , la translation redevient un produit, mais par une matrice $3 \times 3$ .

8. La transformation appliquée en premier placée à gauche

3 points quand les deux matrices ne commutent pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On tourne d'abord, puis on agrandit, donc la matrice globale est $R \times H$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La matrice de la transformation appliquée en PREMIER se place à DROITE : la matrice globale est $H \times R$ . »

Pourquoi : La matrice de droite est celle qui touche le point en premier, exactement comme dans $f(g(x))$ où $g$ agit d'abord. L'erreur reste invisible quand l'une des deux est scalaire, puisque tout commute avec un nombre, et c'est justement ce qui la rend dangereuse : elle passe inaperçue sur un exercice facile et coûte tout sur le suivant.

Quelle méthode choisir

L'opération est-elle possible, et de quelle dimension est le résultat ?

Les deux dimensions, écrites côte à côte avant tout calcul

Si on additionne ou on soustrait, et les deux dimensions sont identiques → possible, terme à terme, résultat de la même dimension

Exemple : $2 \times 2$ plus $2 \times 2$ donne $2 \times 2$

aucune autre condition, et l'ordre est indifférent
Si on additionne et les deux dimensions diffèrent → IMPOSSIBLE, même si le nombre d'éléments coïncide

Exemple : $2 \times 3$ plus $3 \times 2$ n'existe pas

l'écrire quand même est une matrice inventée, jamais du hors-sujet toléré
Si on multiplie par un nombre → toujours possible, chaque élément est multiplié

Exemple : $1{,}2 \times$ une matrice $2 \times 3$ donne une matrice $2 \times 3$

c'est le seul cas sans condition de dimension
Si on multiplie deux matrices et les nombres du milieu coïncident → possible, résultat donné par les deux nombres extrêmes

Exemple : $(2 \times 3)(3 \times 1)$ donne $2 \times 1$

chaque case coûte autant de multiplications que le nombre du milieu
Si on multiplie deux matrices et les nombres du milieu diffèrent → IMPOSSIBLE dans cet ordre : essayer l'autre ordre

Exemple : $(3 \times 1)(2 \times 3)$ n'existe pas, mais $(2 \times 3)(3 \times 1)$ oui

dans un problème concret, un seul des deux ordres a un sens

Le nombre du milieu sert deux fois : il autorise le produit, et il dit combien de multiplications coûte chaque case du résultat. C'est la meilleure vérification du chapitre.

Quelle matrice pour quelle transformation ?

La transformation demandée, appliquée à la colonne des coordonnées

Si réflexion d'axe des abscisses ou des ordonnées → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Exemple : l'axe des abscisses est $y = 0$ , donc c'est $y$ qui change de signe

un point de l'axe doit rester fixe : c'est le test
Si réflexion d'axe $y = x$ → $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Exemple : $(3\,;2)$ devient $(2\,;3)$

aucun signe moins, c'est ce qui la distingue de la rotation
Si rotation de centre $O$ → $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ pour $90^\circ$ , $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ pour $180^\circ$ , $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ pour $-90^\circ$

Exemple : $(3\,;2)$ devient $(-2\,;3)$ par la rotation de $90^\circ$

le signe moins est en haut à droite pour le sens antihoraire
Si homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ → $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$

Exemple : $k = 2$ double toutes les coordonnées

les deux termes doivent être égaux, sinon les angles sont déformés
Si translation de vecteur $(a\,;b)$ → AUCUNE matrice $2 \times 2$ : c'est une ADDITION de matrices colonnes

Exemple : $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

une matrice $2 \times 2$ laisse l'origine fixe, une translation non
Si une suite de plusieurs transformations → MULTIPLIER les matrices, la première appliquée à DROITE

Exemple : tourner puis agrandir donne $H \times R$

une translation dans la suite s'ajoute, elle ne se multiplie pas

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Poser et calculer un produit matriciel

Quand l'utiliser : Toute question qui demande $AB$ , y compris déguisée en tableau de coûts

1 Écrire les deux dimensions côte à côte et vérifier que les nombres du milieu coïncident.
2 Annoncer la dimension du résultat AVANT de calculer, en une phrase.
3 Calculer case par case, en écrivant la somme de produits en entier au moins pour la première case.
4 Contrôler qu'aucune case n'a été oubliée, en comparant le nombre de cases écrites à la dimension annoncée.
5 Recalculer une case au hasard, de préférence la dernière, avant de conclure.

Phrase de conclusion

« $Q$ est $2 \times 3$ et $C$ est $3 \times 1$ : le produit $QC$ existe et il est de dimension $2 \times 1$ . Première case : $120 \times 12 + 80 \times 18 + 50 \times 25 = 4130$ . »

Le piège : Se lancer dans les calculs sans annoncer la dimension. Quand le résultat est faux, le correcteur ne voit aucune trace de méthode et retire tout, alors que la phrase de dimension est presque toujours barémée à part.

Transformer une figure entière par une matrice

Quand l'utiliser : Un polygone est donné par ses sommets et une ou plusieurs transformations sont demandées

1 Écrire la figure en une matrice $2 \times n$ , une colonne par sommet, et le dire.
2 Écrire la matrice de chaque transformation, puis leur produit en plaçant à DROITE celle qu'on applique en premier.
3 Multiplier la matrice globale par la matrice de la figure, une seule fois.
4 Relire les colonnes du résultat comme des sommets et les nommer.
5 Contrôler une longueur et l'aire : une isométrie les conserve, une homothétie de rapport $k$ multiplie l'aire par $k^2$ .

Phrase de conclusion

« La figure s'écrit $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ . On applique d'abord la rotation, donc la matrice globale est $HR = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ , et l'image a pour sommets $(-2\,;2)$ , $(-2\,;8)$ , $(-4\,;8)$ et $(-4\,;2)$ . »

Le piège : Transformer les sommets un par un dans un coin de la copie. Ce n'est pas faux, mais on perd le point de méthode et on multiplie les occasions d'erreur ; la matrice de la figure est justement ce que la question veut voir écrit.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La dimension annoncée est celle obtenue

Comptez les lignes et les colonnes de votre résultat et comparez à la dimension que vous aviez annoncée avant de calculer.

Vous aviez annoncé $2 \times 1$ et vous avez écrit quatre nombres : une colonne de trop a été fabriquée, ou vous avez calculé l'autre produit.
Chaque case coûte le bon nombre de multiplications

Le nombre du milieu des deux dimensions dit combien de produits entrent dans chaque case. Comptez-les sur votre brouillon.

$(2 \times 3)(3 \times 2)$ : chaque case doit contenir TROIS produits additionnés. Deux produits par case signalent une ligne ou une colonne tronquée.
Le test de l'origine et du point $(1\,;1)$

Appliquez votre matrice de transformation à $(0\,;0)$ , qui doit rester fixe, puis à $(1\,;1)$ , qui départage la rotation de la réflexion d'axe $y = x$ .

$(1\,;1)$ reste en $(1\,;1)$ : c'est la réflexion. Il part en $(-1\,;1)$ : c'est la rotation. Il part ailleurs : la matrice est fausse.
Une case recalculée au hasard

Reprenez une case, de préférence la dernière, et refaites-la en lisant la ligne et la colonne dans l'autre sens. Vous devez retrouver le même nombre.

Case $(2\,;2)$ de $MN$ : $4 \times 0 + 3 \times 1 = 3$ . Si le second calcul donne autre chose, une ligne a été confondue avec une colonne.
L'aire suit le carré du rapport

Après une transformation, recalculez l'aire de l'image à partir des sommets obtenus et comparez au produit de l'aire de départ par $k^2$ .

Aire de départ $3$ , rapport $2$ : l'image doit valoir $3 \times 4 = 12$ . Une image de $6$ signale que le rapport a été appliqué une seule fois.

L'exercice type décortiqué

Le logo transformé, de la matrice jusqu'à l'inverse

Le logo d'une application est le rectangle $KLMN$ de sommets $K(1\,;1)$ , $L(4\,;1)$ , $M(4\,;2)$ et $N(1\,;2)$ .

On lui applique d'abord la rotation de $90^\circ$ de centre $O$ , de matrice $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , puis l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ , de matrice $H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Le logo de départ mesure

3

sur

1

, donc son aire vaut

3

. Aucun de ses sommets n'est l'origine, ce qui permettra de vérifier que la transformation déplace bien toute la figure.

Étape 1

On écrit la figure en une matrice $2 \times 4$ , une colonne par sommet : $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Cette écriture est ce qui permet de transformer les quatre sommets d'un seul produit. C'est aussi elle que le barème attend : la traiter sommet par sommet fait perdre le point de méthode.

Étape 2

Matrice globale : la rotation agit en premier, donc elle se place à DROITE. $HR = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

La matrice de droite est celle qui touche le point en premier, exactement comme dans $f(g(x))$ . Ici $H$ est scalaire, donc $RH$ donnerait la même chose, mais il faut le DIRE au lieu de le supposer : avec une réflexion à la place de $H$ , l'ordre changerait tout.

Étape 3

$\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 & -4 \\ 2 & 8 & 8 & 2 \end{pmatrix}$ , soit $K'(-2\,;2)$ , $L'(-2\,;8)$ , $M'(-4\,;8)$ et $N'(-4\,;2)$ .

Pourquoi

Chaque colonne du résultat est un sommet image, dans le même ordre qu'au départ. Contrôle de dimension : $2 \times 2$ par $2 \times 4$ donne bien $2 \times 4$ , donc quatre sommets, pas trois ni cinq.

Étape 4

Aire de l'image : le rectangle mesure $|-2 - (-4)| = 2$ sur $|8 - 2| = 6$ , donc son aire vaut $12$ . Or l'aire de départ valait $3$ et $3 \times 2^2 = 12$ .

Pourquoi

La rotation ne change pas l'aire, l'homothétie de rapport $2$ la multiplie par $4$ . Recalculer l'aire depuis les sommets image, sans passer par le rapport, est la vérification qui prouve le facteur $k^2$ .

Étape 5

Le sommet $K(1\,;1)$ devient $K'(-2\,;2)$ : il a bougé. En revanche, appliquée à l'origine, la matrice $HR$ donne $\begin{pmatrix} 0 \times 0 + (-2) \times 0 \\ 2 \times 0 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

C'est la signature de toute matrice $2 \times 2$ : elle laisse l'origine fixe. Si l'énoncé avait exigé que le logo se retrouve à un endroit précis ne contenant pas l'origine dans sa configuration, il aurait fallu ajouter une translation, c'est-à-dire une somme et non un produit.

Étape 6

Longueurs : $KL = 3$ devient $K'L' = |8 - 2| = 6 = 2 \times 3$ , et $LM = 1$ devient $L'M' = |-4 - (-2)| = 2 = 2 \times 1$ .

Pourquoi

Les longueurs suivent le rapport, pas son carré. Vérifier deux côtés de longueurs différentes, et non deux fois le même, est ce qui prouve que la figure a été agrandie et non déformée.

Étape 7

Matrice inverse : on défait dans l'ordre inverse, donc homothétie de rapport $\dfrac{1}{2}$ et rotation de $-90^\circ$ : $\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Chaque transformation se défait par la sienne, et la composée renverse l'ordre. Le rapport $\dfrac{1}{2}$ et l'angle $-90^\circ$ sont les réciproques respectives, et leur produit avec l'aller doit donner l'identité.

Étape 8

Vérification sur $L'(-2\,;8)$ : $\begin{pmatrix} 0 \times (-2) + \dfrac{1}{2} \times 8 \\ -\dfrac{1}{2} \times (-2) + 0 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ , c'est bien $L$ .

Pourquoi

Une matrice inverse ne se déclare pas, elle se vérifie : on l'applique à un sommet image et on doit retomber exactement sur le sommet de départ. Un seul sommet suffit à révéler une erreur de signe ou de rapport.

Conclusion rédigée

« La matrice globale est $HR = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Le logo, d'aire $3$ , devient le rectangle de sommets $(-2\,;2)$ , $(-2\,;8)$ , $(-4\,;8)$ et $(-4\,;2)$ , d'aire $12$ , soit $2^2$ fois plus. La matrice qui ramène au départ est $\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ . »

À savoir par cœur

• Dimension : LIGNES puis COLONNES. L'élément $a_{ij}$ est à la ligne $i$ , colonne $j$ , dans cet ordre.
• Addition et soustraction : même dimension obligatoire, terme à terme. Multiplication par un nombre : chaque élément.
• Produit : $(m \times \mathbf{n})(\mathbf{n} \times p)$ donne $m \times p$ . Les nombres du milieu doivent coïncider, et ils disent aussi combien de produits entrent dans chaque case.
• Chaque case du produit est une SOMME de produits, ligne de gauche contre colonne de droite. Jamais terme à terme.
• $AB \ne BA$ en général, et souvent $BA$ n'existe pas. $AI = IA = A$ . Le produit reste distributif sur l'addition.
• Réflexions : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Rotations : $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ .
• Homothétie de rapport $k$ : $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ , les deux termes ÉGAUX. Longueurs $\times |k|$ , aires $\times k^2$ .
• Composer, c'est multiplier, la PREMIÈRE appliquée à DROITE. Une translation ne se multiplie pas, elle s'ajoute.
• Toute matrice $2 \times 2$ laisse l'origine fixe. C'est la démonstration en une ligne que la translation n'en est pas une.

Questions fréquentes

Quand peut-on multiplier deux matrices entre elles ?

Quand le nombre de colonnes de la première égale le nombre de lignes de la seconde. On écrit les deux dimensions côte à côte : les deux nombres du milieu doivent coïncider, ils disparaissent, et les deux nombres extrêmes donnent la dimension du résultat. Une matrice 2 sur 3 multipliée par une matrice 3 sur 1 donne une matrice 2 sur 1.

Comment calcule-t-on une case d'un produit de matrices ?

On parcourt la ligne de la matrice de gauche et la colonne de la matrice de droite en même temps, on multiplie les termes deux à deux, et on additionne. Le nombre de produits à additionner est le nombre du milieu des deux dimensions. Ce n'est jamais un produit terme à terme : chaque case coûte plusieurs multiplications et une addition.

Le produit de matrices est-il commutatif ?

Non. Dans le cas général, le produit dans un ordre est différent du produit dans l'autre, et très souvent l'autre ordre n'existe même pas parce que les dimensions ne s'accordent plus. Les seules exceptions courantes sont la matrice identité, une matrice scalaire, et deux rotations de même centre. L'addition, elle, est bien commutative.

Pourquoi une translation ne s'écrit-elle pas comme une matrice 2 sur 2 ?

Parce qu'une matrice 2 sur 2 appliquée à l'origine redonne toujours l'origine, quels que soient ses quatre coefficients. Une translation, elle, déplace l'origine. Elle s'écrit donc comme une addition de matrices colonnes. En ajoutant une troisième coordonnée toujours égale à 1, ce qu'on appelle les coordonnées homogènes, elle redevient un produit par une matrice 3 sur 3.

Comment ne pas confondre la matrice de la rotation et celle de la réflexion ?

Elles ne diffèrent que par un signe. Appliquez-les au point de coordonnées 1 et 1. La réflexion d'axe y égale x le laisse en place, puisqu'il est sur l'axe. La rotation de 90 degrés l'envoie à gauche, en moins un et un. Ce test prend deux secondes et il protège tous les sommets de la figure.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les matrices et les transformations

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Les transformations géométriques

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