Math TS, secondaire 5 à Montréal • Géométrie analytique

Fiche de révision : Les transformations géométriques

Q: Comment savoir si une règle est une rotation ou une réflexion ?

Testez un point simple. La rotation de 90 degrés autour de l'origine échange les coordonnées et change le signe de la première, la réflexion d'axe y égale x les échange sans changer de signe. Le point de coordonnées 3 et 3 tranche : il est sur l'axe, donc la réflexion le laisse en place alors que la rotation l'envoie à gauche de l'axe des ordonnées.

Q: Par combien une homothétie multiplie-t-elle l'aire d'une figure ?

Par le carré du rapport, jamais par le rapport lui-même. Un rapport de 3 multiplie les longueurs par 3 et les aires par 9. La raison est qu'une aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par le rapport. Pour les volumes, c'est le cube. Et pour remonter d'un rapport d'aires vers un rapport de longueurs, on prend la racine carrée.

Q: Dans une composition, quelle transformation applique-t-on en premier ?

Celle qui est écrite le plus à droite, donc la plus proche du point, exactement comme dans une composition de fonctions. Dans t rond r, on applique r d'abord, puis t. L'ordre change le résultat dans presque tous les cas : deux translations commutent, deux rotations de même centre aussi, mais une rotation et une translation, non.

Q: Comment faire une rotation autour d'un point qui n'est pas l'origine ?

En trois temps. On soustrait les coordonnées du centre à celles du point, ce qui ramène le centre à l'origine. On applique la règle de rotation habituelle au résultat. Puis on rajoute les coordonnées du centre. Oublier ce troisième temps est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle donne une image très éloignée de la bonne.

Q: Est-ce qu'un rapport d'homothétie négatif retourne la figure comme un miroir ?

Non. Un rapport négatif place l'image de l'autre côté du centre, ce qui revient à composer avec un demi-tour, et un demi-tour est une rotation. L'orientation est donc conservée. Seule une réflexion renverse l'orientation. Pour les mesures, seul le module du rapport compte pour les longueurs, et son carré pour les aires.

Cette fiche ne refait pas le cours : elle traite ce qui coûte réellement des points en évaluation de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire. Le chapitre appartient en propre à la séquence TS, il n'existe ni en Sciences naturelles ni en Culture, société et technique.

Deux erreurs suffisent à expliquer la majorité des points perdus : confondre la rotation de $90^\circ$ avec la réflexion d'axe $y = x$ , qui ne diffèrent que par un signe moins, et appliquer le rapport d'une homothétie à une aire, alors que les aires suivent son CARRÉ. Les deux sont dessinées ci-dessous.

Le fil du chapitre

Une transformation se décrit par une RÈGLE sur les coordonnées, et cette règle dit tout : ce qui est conservé, ce qui est multiplié, et dans quel ordre composer. Retenir cinq règles vaut mieux que retenir cinquante dessins.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
3Aire et volume des solidesSecondaire 3
4Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
5La similitude et l'isométrie des trianglesSecondaire 4 SN4
6Les logarithmes et le changement de baseSecondaire 4 TS
7La factorisationSecondaire 4 TS
8Les équations et les inéquationsSecondaire 4 TS
9Les systèmes d'équationsSecondaire 4 TS
10La géométrie analytiqueSecondaire 4 TS

L'essentiel

Les cinq règles, et rien d'autre à retenir

• TRANSLATION $t_{(a\,;b)}$ : $(x\,;y) \mapsto (x+a\,;y+b)$ . On ajoute, jamais on ne multiplie.
• RÉFLEXIONS : d'axe des abscisses, $(x\,;-y)$ ; d'axe des ordonnées, $(-x\,;y)$ ; d'axe $y = x$ , $(y\,;x)$ ; d'axe $y = -x$ , $(-y\,;-x)$ .
• ROTATIONS de centre $O$ , sens antihoraire positif : $90^\circ$ donne $(-y\,;x)$ , $180^\circ$ donne $(-x\,;-y)$ , $-90^\circ$ donne $(y\,;-x)$ .
• HOMOTHÉTIE de centre $O$ et de rapport $k$ : $(kx\,;ky)$ .
• CENTRE QUELCONQUE, en trois temps : on soustrait le centre, on applique la règle de centre $O$ , on rajoute le centre. Aucune formule nouvelle.

Le même point

P(3\,;2)

vu par les deux règles : la rotation l'envoie à GAUCHE de l'axe des ordonnées, en

(-2\,;3)

, la réflexion le laisse à droite, en

(2\,;3)

Le test qui départage la rotation de $90^\circ$ et la réflexion d'axe $y = x$ en deux secondes : le point $(3\,;3)$ est sur l'axe, donc la réflexion le laisse en place, alors que la rotation l'envoie en $(-3\,;3)$ .

Ce qui est conservé, ce qui est multiplié

• Une ISOMÉTRIE, c'est-à-dire une translation, une rotation ou une réflexion, conserve les longueurs, les angles et les aires.
• Une SIMILITUDE de rapport $k$ multiplie les longueurs par $|k|$ , les aires par $k^2$ , les volumes par $|k|^3$ , et laisse les angles inchangés.
• Une RÉFLEXION renverse l'orientation. Une translation, une rotation et une homothétie la conservent, MÊME si le rapport est négatif.
• Un rapport négatif ne renverse pas l'orientation : il place l'image de l'autre côté du centre, ce qui revient à composer avec un demi-tour.
• Une matrice ou une règle sans terme constant laisse toujours l'origine fixe ; seule une translation la déplace.

Composer et défaire

• Dans $t \circ r$ , on applique $r$ D'ABORD : la transformation la plus proche du point est celle qui agit en premier, comme dans $f(g(x))$ .
• La composition n'est PAS commutative en général. Deux translations commutent toujours, deux rotations de même centre aussi.
• Deux réflexions d'axes PARALLÈLES distants de $d$ donnent une translation de $2d$ , perpendiculaire aux axes.
• Deux réflexions d'axes SÉCANTS faisant un angle $\alpha$ donnent une rotation de $2\alpha$ , de centre leur point d'intersection.
• RÉCIPROQUES : $t_{(a\,;b)}^{-1} = t_{(-a\,;-b)}$ , la rotation de $\theta$ se défait par celle de $-\theta$ , l'homothétie de rapport $k$ par celle de rapport $\dfrac{1}{k}$ , et une réflexion est sa propre réciproque. Celle d'une composée RENVERSE l'ordre.

L'image des chaussures et des chaussettes : pour défaire, on enlève d'abord ce qu'on a mis en dernier. C'est exactement $(t \circ r)^{-1} = r^{-1} \circ t^{-1}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. La rotation de 90 degrés écrite comme la réflexion d'axe $y = x$

2 points, et tous les sommets suivants par propagation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La rotation de $90^\circ$ échange les coordonnées : $(3\,;2)$ devient $(2\,;3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La rotation de $90^\circ$ échange les coordonnées ET change le signe de la première : $(3\,;2)$ devient $(-2\,;3)$ . »

Pourquoi : La règle $(y\,;x)$ est celle de la RÉFLEXION d'axe $y = x$ , pas de la rotation. Le point $(3\,;3)$ tranche en deux secondes : il est sur l'axe, donc la réflexion le laisse en place, alors que la rotation doit l'envoyer en $(-3\,;3)$ . Les deux images sont d'ailleurs symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui rend l'erreur invisible sur un dessin fait à main levée.

2. Le rapport d'une homothétie appliqué à une aire

3 points, et un coût faux dans tout problème de matériau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'homothétie a pour rapport $3$ , donc l'aire passe de $8$ à $24$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les longueurs sont multipliées par $3$ , donc les aires par $3^2 = 9$ : l'aire passe de $8$ à $72$ . »

Le carré image a des côtés trois fois plus longs, et il contient exactement NEUF copies du carré de départ : le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs.

Pourquoi : Une aire est un produit de deux longueurs, chacune apportant son facteur $|k|$ : le produit reçoit donc $k^2$ . C'est l'erreur la plus chère du chapitre parce qu'elle survit au contrôle de vraisemblance : $24$ n'a rien d'absurde, il est simplement faux. Pour remonter d'un rapport d'aires à un rapport de longueurs, on prend la racine carrée.

3. Composer dans le mauvais ordre

toute la question, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $t \circ r$ appliquée à $P(2\,;1)$ : je translate d'abord, $(5\,;1)$ , puis je tourne, $(-1\,;5)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Dans $t \circ r$ , $r$ agit D'ABORD : $(2\,;1)$ devient $(-1\,;2)$ , puis la translation donne $(2\,;2)$ . »

Le même point de départ, deux ordres, deux arrivées très éloignées :

(2\,;2)

pour

r

puis

t

, et

(-1\,;5)

pour

t

puis

r

Pourquoi : L'ordre se lit de droite à gauche, comme dans $f(g(x))$ : la transformation la plus proche du point est celle qui agit en premier. Les deux résultats, $(2\,;2)$ et $(-1\,;5)$ , sont distants de $5$ unités : ce n'est pas une nuance. Un contre-exemple imparable et gratuit : sur l'origine, $t \circ r$ donne $(3\,;0)$ et $r \circ t$ donne $(0\,;3)$ .

4. Une rotation de centre quelconque sans le troisième temps

3 points, et une image visiblement hors de la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Rotation de $90^\circ$ de centre $C(1\,;1)$ appliquée à $P(5\,;2)$ : $P - C = (4\,;1)$ , je tourne, j'obtiens $(-1\,;4)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« ... puis je REMETS le centre : $(-1+1\,;4+1) = (0\,;5)$ . L'image est $P'(0\,;5)$ . »

Pourquoi : Les trois temps sont indissociables : soustraire le centre, appliquer la règle de centre $O$ , rajouter le centre. S'arrêter au deuxième donne l'image dans un repère déplacé, pas dans celui de l'énoncé. Le contrôle qui l'attrape : la distance au centre doit être conservée, or $CP = \sqrt{17}$ et la distance de $C$ à $(-1\,;4)$ vaut $\sqrt{13}$ , donc la réponse est fausse.

5. La réciproque d'une composée écrite dans le même ordre

2 points, et un point d'arrivée faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour défaire $t \circ r$ , j'applique $r^{-1}$ puis $t^{-1}$ , c'est-à-dire une rotation de $-90^\circ$ puis une translation de $(-3\,;0)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La réciproque RENVERSE l'ordre : $(t \circ r)^{-1} = r^{-1} \circ t^{-1}$ , donc la translation de $(-3\,;0)$ D'ABORD, puis la rotation de $-90^\circ$ . »

Pourquoi : Vérification sur l'image $(2\,;2)$ trouvée plus haut : la bonne séquence donne $(-1\,;2)$ puis $(2\,;1)$ , c'est-à-dire $P$ . La mauvaise donne $(2\,;-2)$ puis $(-1\,;-2)$ , qui n'est pas $P$ . Une réciproque se contrôle toujours de la même façon : on l'applique à l'image et on doit retomber sur le point de départ, sinon elle est fausse.

6. La réflexion d'axe des abscisses qui change la mauvaise coordonnée

2 points par figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Réflexion d'axe des abscisses : $(5\,;2)$ devient $(-5\,;2)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'axe des abscisses est la droite $y = 0$ , donc c'est l'ORDONNÉE qui change de signe : $(5\,;2)$ devient $(5\,;-2)$ . »

Pourquoi : Le test qui départage : un point DE l'axe doit rester à sa place. Le point $(5\,;0)$ est sur l'axe des abscisses ; la bonne règle le laisse en $(5\,;0)$ , la mauvaise l'envoie en $(-5\,;0)$ , ce qui est impossible pour une réflexion d'axe qui le contient. Faire ce test sur un point simple coûte cinq secondes et protège toute la question.

7. Un rapport négatif pris pour un renversement d'orientation

2 points de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rapport vaut $-2$ , donc la figure image est retournée comme dans un miroir. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport négatif place l'image de l'AUTRE CÔTÉ du centre, ce qui revient à composer avec un demi-tour. L'orientation est conservée ; seule une réflexion la renverse. »

Pourquoi : Un demi-tour est une rotation, et une rotation conserve l'orientation. Le cas limite le montre : l'homothétie de rapport $-1$ EST la rotation de $180^\circ$ , et personne ne dirait qu'une rotation retourne une figure comme un miroir. Pour les mesures, seul le module compte : longueurs $\times |k| = 2$ , aires $\times k^2 = 4$ .

8. La réciproque d'une translation avec les composantes échangées

1 point, mais la figure entière se retrouve ailleurs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La réciproque de $t_{(3\,;0)}$ est $t_{(0\,;3)}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La réciproque de $t_{(a\,;b)}$ est $t_{(-a\,;-b)}$ , donc ici $t_{(-3\,;0)}$ . »

Pourquoi : Pour défaire un déplacement on refait le chemin en sens inverse, on n'échange pas les directions. La vérification est immédiate : la composée des deux doit ramener l'origine sur l'origine. Avec la règle fausse, $(0\,;0)$ part en $(3\,;0)$ puis arrive en $(3\,;3)$ , ce qui n'est pas l'origine.

Quelle méthode choisir

Quelle transformation, à partir d'un point et de son image ?

La façon dont les coordonnées ont changé, contrôlée sur DEUX points

Si la DIFFÉRENCE entre le point et son image est la même pour les deux points → TRANSLATION de vecteur cette différence

Exemple : $(2\,;1) \mapsto (5\,;-2)$ et $(5\,;3) \mapsto (8\,;0)$ : vecteur $(3\,;-3)$

on ajoute la même chose partout, y compris à l'origine
Si le QUOTIENT est le même sur les deux coordonnées et pour les deux points → HOMOTHÉTIE de centre $O$ et de rapport ce quotient

Exemple : $(2\,;1) \mapsto (6\,;3)$ et $(5\,;3) \mapsto (15\,;9)$ : rapport $3$

contrôle supplémentaire : $O$ , le point et son image sont alignés
Si les coordonnées sont échangées, sans changement de signe → RÉFLEXION d'axe $y = x$

Exemple : $(2\,;1) \mapsto (1\,;2)$

tout point de la droite $y = x$ reste à sa place
Si les coordonnées sont échangées ET la première change de signe → ROTATION de $90^\circ$ de centre $O$

Exemple : $(2\,;1) \mapsto (-1\,;2)$

avec le signe sur la seconde à la place, c'est la rotation de $-90^\circ$
Si les deux coordonnées changent de signe, sans échange → DEMI-TOUR de centre $O$ , autrement dit l'homothétie de rapport $-1$

Exemple : $(2\,;1) \mapsto (-2\,;-1)$

les deux lectures sont correctes, ce n'est pas une ambiguïté de l'énoncé
Si l'origine ne reste pas sur place et les longueurs sont conservées → il y a forcément une TRANSLATION dans la composée

Exemple : $(0\,;0) \mapsto (3\,;-1)$

aucune rotation ni réflexion de centre ou d'axe passant par $O$ ne déplace $O$

Toujours contrôler sur DEUX points. Une seule paire laisse plusieurs règles possibles, et c'est ainsi qu'on confond une rotation avec une réflexion.

Par quoi la grandeur demandée est-elle multipliée ?

La nature de la grandeur, et le rapport $k$ de la similitude

Si la question porte sur une longueur, un périmètre, un rayon → multiplier par $|k|$

Exemple : $k = 2{,}5$ : un périmètre de $12$ devient $30$

on prend la valeur absolue, une longueur ne peut pas être négative
Si la question porte sur une aire, une surface à peindre, une quantité de tissu → multiplier par $k^2$

Exemple : $k = 2{,}5$ : une aire de $6$ devient $37{,}5$

le carré efface le signe, donc $k = -2$ et $k = 2$ donnent le même facteur
Si la question porte sur un volume, une contenance, une masse → multiplier par $|k|^3$

Exemple : $k = 2$ : un volume de $5$ devient $40$

trois longueurs multipliées, donc trois facteurs
Si la question porte sur un angle → ne rien multiplier : les angles sont conservés

Exemple : un triangle rectangle reste rectangle

c'est vrai pour les quatre transformations du chapitre
Si on connaît le rapport des AIRES et on cherche celui des longueurs → prendre la RACINE CARRÉE

Exemple : tripler une aire demande $k = \sqrt{3} \approx 1{,}73$

et non $k = 3$ , qui multiplierait l'aire par $9$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer une transformation de centre quelconque

Quand l'utiliser : Le centre de la rotation ou de l'homothétie n'est pas l'origine

1 Écrire les coordonnées du centre $C$ et du point $P$ séparément.
2 Premier temps : calculer $P - C$ , ce qui ramène le centre à l'origine.
3 Deuxième temps : appliquer la règle de centre $O$ à ce résultat, et à lui seul.
4 Troisième temps : rajouter $C$ au résultat. Ne jamais s'arrêter avant.
5 Contrôler que la distance au centre est conservée pour une rotation, ou multipliée par $|k|$ pour une homothétie.

Phrase de conclusion

« $P - C = (5-1\,;2-1) = (4\,;1)$ ; la rotation de $90^\circ$ donne $(-1\,;4)$ ; en rajoutant $C$ , l'image est $P'(0\,;5)$ . On vérifie que $CP = CP' = \sqrt{17}$ . »

Le piège : Rendre la copie avec l'image du deuxième temps. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre en évaluation, et elle est invisible pour l'élève parce que le calcul intermédiaire, lui, est juste.

Justifier un rapport d'aires ou un coût

Quand l'utiliser : Un agrandissement ou une réduction, et une question de surface, de matériau ou de prix

1 Donner le rapport $k$ des LONGUEURS, en disant d'où il vient.
2 Écrire explicitement que les aires sont multipliées par $k^2$ , et le calculer.
3 Appliquer ce facteur à l'aire de départ, jamais au prix directement.
4 Multiplier ensuite par le prix unitaire, une seule fois.
5 Contrôler la vraisemblance : un agrandissement de $150$ pour cent en longueur plus que double la surface.

Phrase de conclusion

« Le rapport des longueurs vaut $k = 2{,}5$ , donc celui des aires vaut $k^2 = 6{,}25$ . L'aire passe de $6$ à $6 \times 6{,}25 = 37{,}5$ unités carrées, et le coût de $42$ à $262{,}50$ dollars. »

Le piège : Multiplier le prix par $k$ au lieu de multiplier l'aire par $k^2$ . La réponse reste plausible, donc personne ne la rattrape, et elle coûte tous les points de la question.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Un point fixe pour tester la règle

Appliquez votre règle à un point dont vous connaissez le sort : l'origine pour une rotation ou une homothétie de centre $O$ , un point de l'axe pour une réflexion.

Une réflexion d'axe des abscisses doit laisser $(5\,;0)$ en place. Si votre règle l'envoie en $(-5\,;0)$ , elle est fausse avant même le premier sommet.
Les longueurs, pour une isométrie

Mesurez un côté sur la figure de départ et le même côté sur l'image. Pour une translation, une rotation ou une réflexion, les deux doivent être égaux.

$AB = 4$ avant, $A'B' = 4$ après : la transformation peut être une isométrie. $A'B' = 5$ prouve une erreur, aucune isométrie ne fait cela.
Le rapport des aires est un CARRÉ

Divisez l'aire de l'image par celle du départ et prenez la racine carrée : vous devez retrouver exactement le rapport des longueurs.

$\dfrac{37{,}5}{6} = 6{,}25$ et $\sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ , c'est bien le rapport annoncé. Un quotient de $2{,}5$ signalerait qu'on a appliqué $k$ au lieu de $k^2$ .
La réciproque ramène au départ

Appliquez votre transformation réciproque à l'image obtenue. Vous devez retomber exactement sur le point de départ, coordonnée par coordonnée.

De $(2\,;2)$ , la translation de $(-3\,;0)$ donne $(-1\,;2)$ , puis la rotation de $-90^\circ$ donne $(2\,;1)$ : c'est bien $P$ .
Agrandissement ou réduction

Regardez le module du rapport avant de conclure : au-dessus de $1$ la figure grandit, en dessous elle rétrécit, et le signe ne dit rien de la taille.

$k = -1{,}5$ agrandit de moitié en plus et retourne l'image de l'autre côté du centre ; $k = 0{,}8$ réduit. Une image plus grande avec $|k| < 1$ est impossible.

L'exercice type décortiqué

Le panneau agrandi, des sommets jusqu'au coût

Un panneau de signalisation a la forme du triangle rectangle $ABC$ de sommets $A(2\,;1)$ , $B(6\,;1)$ et $C(6\,;4)$ , gradué en mètres. Il est rectangle en $B$ .

L'atelier doit en fabriquer une version agrandie par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2{,}5$ , puis la faire pivoter d'un quart de tour antihoraire autour de $O$ pour l'installer. La tôle coûte $7$ dollars le mètre carré.

Le panneau de départ : les deux cathètes mesurent

4

m et

3

m, l'hypoténuse

5

m. C'est cette figure, et elle seule, que l'homothétie agrandit.

Étape 1

Aire de départ : les cathètes valent $AB = 4$ et $BC = 3$ , donc l'aire vaut $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ m $^2$ . Le périmètre vaut $4 + 3 + 5 = 12$ m.

Pourquoi

On calcule les grandeurs de départ AVANT toute transformation. C'est ce qui permettra de contrôler les rapports à la fin, et le triplet $3$ , $4$ , $5$ confirme au passage que le triangle est bien rectangle.

Étape 2

Homothétie de centre $O$ et de rapport $2{,}5$ : la règle est $(x\,;y) \mapsto (2{,}5x\,;2{,}5y)$ , donc $A'(5\,;2{,}5)$ , $B'(15\,;2{,}5)$ et $C'(15\,;10)$ .

Pourquoi

On applique la règle à chaque sommet, jamais au dessin. Contrôle immédiat : $A'B' = 15 - 5 = 10 = 2{,}5 \times 4$ , le rapport est respecté.

Étape 3

Aire de l'image : $6 \times 2{,}5^2 = 6 \times 6{,}25 = 37{,}5$ m $^2$ . Périmètre : $12 \times 2{,}5 = 30$ m.

Pourquoi

Les aires suivent le CARRÉ du rapport, les longueurs le rapport lui-même. C'est ici que se joue la question, et c'est ici que la moitié des copies écrivent $6 \times 2{,}5 = 15$ .

Étape 4

Vérification directe : les cathètes de l'image mesurent $10$ m et $7{,}5$ m, donc l'aire vaut $\dfrac{10 \times 7{,}5}{2} = 37{,}5$ m $^2$ .

Pourquoi

Recalculer l'aire à partir des sommets image, sans passer par le rapport, est la seule vérification qui prouve le facteur $k^2$ . Elle coûte dix secondes et elle vaut souvent un point.

Étape 5

Rotation de $90^\circ$ de centre $O$ : la règle $(x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$ donne $A''(-2{,}5\,;5)$ , $B''(-2{,}5\,;15)$ et $C''(-10\,;15)$ .

Pourquoi

Une rotation est une isométrie : elle ne change ni l'aire, ni le périmètre, ni les angles. Le panneau installé mesure toujours $37{,}5$ m $^2$ , et il est inutile de refaire le calcul.

Étape 6

Règle globale des deux transformations enchaînées : $(x\,;y) \mapsto (-2{,}5y\,;2{,}5x)$ . Sur $A(2\,;1)$ : $(-2{,}5\,;5)$ , ce qui correspond bien à $A''$ .

Pourquoi

Écrire la règle composée permet de traiter les trois sommets d'un coup et de vérifier le résultat sans repasser par l'étape intermédiaire. Ici l'ordre importe peu parce qu'une homothétie de centre $O$ commute avec toute rotation de même centre, mais il faut le DIRE, pas le supposer.

Étape 7

Coût : le panneau de départ coûte $6 \times 7 = 42$ dollars de tôle, l'agrandi coûte $37{,}5 \times 7 = 262{,}50$ dollars, soit $6{,}25$ fois plus.

Pourquoi

Le facteur de coût est celui des AIRES, jamais celui des longueurs : des dimensions $2{,}5$ fois plus grandes coûtent $6{,}25$ fois plus cher. C'est le chiffre qui surprend en atelier, et c'est celui que la question veut faire écrire.

Étape 8

Pour revenir au panneau de départ : rotation de $-90^\circ$ , PUIS homothétie de rapport $\dfrac{1}{2{,}5} = 0{,}4$ . Sur $A''(-2{,}5\,;5)$ : la rotation donne $(5\,;2{,}5)$ , l'homothétie donne $(2\,;1)$ , c'est bien $A$ .

Pourquoi

La réciproque d'une composée renverse l'ordre, et chaque transformation se défait par la sienne. Le contrôle est toujours le même : on part de l'image et on doit retomber exactement sur le point initial.

Conclusion rédigée

« L'agrandissement de rapport $2{,}5$ porte le panneau de $6$ m $^2$ à $37{,}5$ m $^2$ , soit $6{,}25$ fois plus de tôle, et son coût de $42$ à $262{,}50$ dollars. La rotation qui suit ne change aucune de ces valeurs, puisque c'est une isométrie. »

À savoir par cœur

• Translation : $(x+a\,;y+b)$ . Réflexion d'axe des abscisses : $(x\,;-y)$ . D'axe des ordonnées : $(-x\,;y)$ . D'axe $y = x$ : $(y\,;x)$ .
• Rotation de centre $O$ : $90^\circ$ donne $(-y\,;x)$ , $180^\circ$ donne $(-x\,;-y)$ , $-90^\circ$ donne $(y\,;-x)$ . Le sens positif est l'antihoraire.
• Homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $(kx\,;ky)$ . Longueurs $\times |k|$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times |k|^3$ , angles inchangés.
• Centre quelconque : soustraire le centre, appliquer, RAJOUTER le centre. Trois temps, jamais deux.
• Dans $t \circ r$ , $r$ agit d'abord. La composition n'est pas commutative, sauf entre deux translations ou deux rotations de même centre.
• Deux réflexions d'axes parallèles distants de $d$ : translation de $2d$ . D'axes sécants d'angle $\alpha$ : rotation de $2\alpha$ .
• Seule la réflexion renverse l'orientation. Un rapport négatif ne la renverse pas, il retourne l'image de l'autre côté du centre.
• Réciproques : $t_{(-a\,;-b)}$ , rotation de $-\theta$ , homothétie de rapport $\dfrac{1}{k}$ , et la réciproque d'une composée renverse l'ordre.

Questions fréquentes

Comment savoir si une règle est une rotation ou une réflexion ?

Testez un point simple. La rotation de 90 degrés autour de l'origine échange les coordonnées et change le signe de la première, la réflexion d'axe y égale x les échange sans changer de signe. Le point de coordonnées 3 et 3 tranche : il est sur l'axe, donc la réflexion le laisse en place alors que la rotation l'envoie à gauche de l'axe des ordonnées.

Par combien une homothétie multiplie-t-elle l'aire d'une figure ?

Par le carré du rapport, jamais par le rapport lui-même. Un rapport de 3 multiplie les longueurs par 3 et les aires par 9. La raison est qu'une aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par le rapport. Pour les volumes, c'est le cube. Et pour remonter d'un rapport d'aires vers un rapport de longueurs, on prend la racine carrée.

Dans une composition, quelle transformation applique-t-on en premier ?

Celle qui est écrite le plus à droite, donc la plus proche du point, exactement comme dans une composition de fonctions. Dans t rond r, on applique r d'abord, puis t. L'ordre change le résultat dans presque tous les cas : deux translations commutent, deux rotations de même centre aussi, mais une rotation et une translation, non.

Comment faire une rotation autour d'un point qui n'est pas l'origine ?

En trois temps. On soustrait les coordonnées du centre à celles du point, ce qui ramène le centre à l'origine. On applique la règle de rotation habituelle au résultat. Puis on rajoute les coordonnées du centre. Oublier ce troisième temps est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle donne une image très éloignée de la bonne.

Est-ce qu'un rapport d'homothétie négatif retourne la figure comme un miroir ?

Non. Un rapport négatif place l'image de l'autre côté du centre, ce qui revient à composer avec un demi-tour, et un demi-tour est une rotation. L'orientation est donc conservée. Seule une réflexion renverse l'orientation. Pour les mesures, seul le module du rapport compte pour les longueurs, et son carré pour les aires.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les transformations géométriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Fiche de révision : Les transformations géométriques

L'essentiel

Les cinq règles, et rien d'autre à retenir

Ce qui est conservé, ce qui est multiplié

Composer et défaire

Les pièges qui coûtent des points

1. La rotation de 90 degrés écrite comme la réflexion d'axe y=xy = xy=x

2. Le rapport d'une homothétie appliqué à une aire

3. Composer dans le mauvais ordre

4. Une rotation de centre quelconque sans le troisième temps

5. La réciproque d'une composée écrite dans le même ordre

6. La réflexion d'axe des abscisses qui change la mauvaise coordonnée

7. Un rapport négatif pris pour un renversement d'orientation

8. La réciproque d'une translation avec les composantes échangées

Quelle méthode choisir

Quelle transformation, à partir d'un point et de son image ?

Par quoi la grandeur demandée est-elle multipliée ?

La rédaction attendue

Appliquer une transformation de centre quelconque

Justifier un rapport d'aires ou un coût

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le panneau agrandi, des sommets jusqu'au coût

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une règle est une rotation ou une réflexion ?

Par combien une homothétie multiplie-t-elle l'aire d'une figure ?

Dans une composition, quelle transformation applique-t-on en premier ?

Comment faire une rotation autour d'un point qui n'est pas l'origine ?

Est-ce qu'un rapport d'homothétie négatif retourne la figure comme un miroir ?

Exercices corrigés : Les transformations géométriques

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1. La rotation de 90 degrés écrite comme la réflexion d'axe $y = x$