Exercices corrigés : les relations métriques dans le cercle (math TS, secondaire 5)

Les quatre arcs $AB$, $BC$, $CD$ et $DA$ se suivent et font le tour complet du cercle, donc leur somme vaut $360^\circ$. On isole le dernier : $\text{arc } DA = 360 - 100 - 140 - 60 = 60^\circ$. Cette addition est la première vérification à faire sur toute figure de ce chapitre, avant même de chercher un angle : si la somme des arcs annoncés dépasse $360^\circ$, c'est qu'un arc a été lu du mauvais côté. Un arc désigné par deux lettres est toujours ambigu tant qu'on n'a pas dit dans quel sens on tourne, et c'est pourquoi l'énoncé précise l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$.

Le sommet de $\angle AOB$ est le CENTRE du cercle. C'est le seul cas où l'angle est égal à l'arc, sans division : $\angle AOB = \text{arc } AB = 100^\circ$. Autrement dit, l'angle au centre ne mesure rien de plus que l'arc lui-même, il en est la définition. Retenir cette phrase évite l'erreur symétrique de celle de la question suivante : diviser par deux un angle qui n'a pas à l'être.

Les sommets $C$ et $D$ sont SUR le cercle, et les deux angles interceptent le même arc $AB$, celui qui ne contient ni $C$ ni $D$, de $100^\circ$. Un angle inscrit vaut la moitié de l'arc intercepté, donc $\angle ACB = \angle ADB = \dfrac{100}{2} = 50^\circ$. Elles sont égales parce que la mesure d'un angle inscrit ne dépend QUE de l'arc intercepté, jamais de la position du sommet sur le reste du cercle. On peut faire glisser $C$ n'importe où sur l'arc $ADB$ sans changer la mesure. C'est cette invariance qui rend le chapitre puissant : deux angles très différents à l'oeil ont la même mesure dès qu'ils regardent le même arc.

$\angle BDC$ a son sommet en $D$, sur le cercle, et ses côtés passent par $B$ et par $C$. L'arc intercepté est l'arc $BC$ qui ne contient pas $D$, soit $140^\circ$. Donc $\angle BDC = \dfrac{140}{2} = 70^\circ$. Le mot « intercepté » est le seul point délicat : c'est l'arc coincé ENTRE les deux côtés de l'angle, et jamais celui qui porte le sommet. Un élève qui prendrait l'arc $BC$ passant par $D$, soit $360-140 = 220^\circ$, trouverait $110^\circ$, et perdrait tous les points de la question suivante par propagation.

$\angle DAB$ a son sommet en $A$ et intercepte l'arc $BCD$, c'est-à-dire $\text{arc } BC + \text{arc } CD = 140 + 60 = 200^\circ$, donc $\angle DAB = 100^\circ$. $\angle BCD$ a son sommet en $C$ et intercepte l'arc $DAB$, soit $\text{arc } DA + \text{arc } AB = 60 + 100 = 160^\circ$, donc $\angle BCD = 80^\circ$. Leur somme vaut $100 + 80 = 180^\circ$ : les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle sont SUPPLÉMENTAIRES, jamais égaux. La démonstration tient en une ligne avec ce qui précède : les deux arcs interceptés se complètent pour faire le tour du cercle, donc la somme des deux angles vaut la moitié de $360^\circ$.

Les quatre arcs font le tour : $\text{arc } CB = 360 - 90 - 50 - 100 = 120^\circ$. On garde l'ordre de l'énoncé, $B$, $A$, $D$, $C$, sinon on additionne deux fois le même morceau de cercle.

Le sommet $P$ est INTÉRIEUR, donc l'angle vaut la DEMI-SOMME des deux arcs interceptés : celui que l'angle regarde et celui que regarde son opposé par le sommet. $\angle APB$ regarde l'arc $AB$ ; son opposé, $\angle CPD$, regarde l'arc $CD$. Donc $\angle APB = \dfrac{90 + 100}{2} = \dfrac{190}{2} = 95^\circ$. L'erreur classique est de n'utiliser qu'un seul arc et d'écrire $90 \div 2 = 45$ : c'est la formule de l'angle INSCRIT, valable seulement quand le sommet est SUR le cercle.

$\angle BPC$ regarde l'arc $BC$, et son opposé $\angle APD$ regarde l'arc $AD$ : $\angle BPC = \dfrac{120 + 50}{2} = \dfrac{170}{2} = 85^\circ$. La somme vaut $95 + 85 = 180^\circ$, ce qui était prévisible sans calcul : $\angle APB$ et $\angle BPC$ sont adjacents supplémentaires, leurs côtés extérieurs formant la droite $AC$. C'est la vérification à faire systématiquement quand on calcule deux angles autour d'un point intérieur : si la somme ne tombe pas sur $180^\circ$, c'est qu'un arc a été attribué au mauvais angle.

$\angle ADB$ a son sommet $D$ SUR le cercle et intercepte l'arc $AB$, donc $\angle ADB = \dfrac{90}{2} = 45^\circ$. L'écart avec les $95^\circ$ de $\angle APB$ est de $50^\circ$, exactement la moitié de l'arc $CD$. Ce n'est pas un hasard : en avançant du cercle vers l'intérieur, le sommet « voit plus grand », et le supplément qu'il gagne est précisément la moitié de l'arc situé dans son dos. Un angle intérieur est donc toujours plus grand que l'angle inscrit qui regarde le même arc.

Quand $P$ atteint $C$, il cesse d'être intérieur : il devient un point du cercle. L'arc $CD$ que regardait l'angle opposé se réduit alors à zéro et la demi-somme redevient une demi-arc : $\angle ACB = \dfrac{90}{2} = 45^\circ$. L'angle passe donc continûment de $95^\circ$ à $45^\circ$ pendant que $P$ glisse de sa position à $C$. Cette expérience de pensée résume tout le chapitre : ce n'est pas la figure qui décide de la formule, c'est la POSITION DU SOMMET, au centre, sur le cercle, dedans ou dehors.

Les quatre arcs $AB$, $BD$, $DC$ et $CA$ se suivent autour du cercle : $\text{arc } BD = 360 - 70 - 60 - 70 = 160^\circ$. On remarque que l'arc $BD$, celui des points LOINTAINS, est le plus grand, et l'arc $AC$, celui des points PROCHES, le plus petit. C'est toujours le cas depuis un point extérieur, et cela donne un contrôle immédiat de vraisemblance.

Le sommet $E$ est EXTÉRIEUR, donc l'angle vaut la DEMI-DIFFÉRENCE des deux arcs interceptés, le grand moins le petit : $\angle AEC = \dfrac{160 - 60}{2} = \dfrac{100}{2} = 50^\circ$. L'ordre de la soustraction n'est pas une convention à retenir par coeur : un angle est positif, donc c'est forcément l'arc lointain moins l'arc proche. Si le calcul donne un nombre négatif, c'est que les deux arcs ont été échangés.

$\angle BAD$ a son sommet en $A$, sur le cercle, et intercepte l'arc $BD$ qui ne contient pas $A$, soit $160^\circ$ : $\angle BAD = 80^\circ$. $\angle ADC$ a son sommet en $D$ et intercepte l'arc $AC$ qui ne contient pas $D$, soit $60^\circ$ : $\angle ADC = 30^\circ$. On retrouve ici la règle de l'angle inscrit, inchangée : c'est la même figure qui sert aux trois règles, et seule la lettre du sommet dit laquelle appliquer.

Le triangle $EAD$ a pour sommets $E$, $A$ et $D$. En $E$, l'angle est $\angle AED = \angle AEC = 50^\circ$, puisque $C$ et $D$ sont sur la même sécante. En $D$, l'angle est $\angle ADE = \angle ADC = 30^\circ$, pour la même raison. En $A$, l'angle du triangle est le SUPPLÉMENTAIRE de $\angle BAD$, parce que $E$, $A$ et $B$ sont alignés dans cet ordre : $\angle EAD = 180 - 80 = 100^\circ$. La somme vaut $50 + 100 + 30 = 180^\circ$, ce qui valide les trois calculs d'un coup. Cette vérification par un triangle est la meilleure du chapitre : elle relie des angles obtenus par trois règles différentes.

Si l'arc lointain et l'arc proche devenaient égaux, la demi-différence vaudrait $0^\circ$ : les deux sécantes seraient PARALLÈLES et ne se couperaient plus. Le point $E$ n'existerait plus, il serait parti à l'infini. On retient le fait utile au passage : deux cordes parallèles d'un cercle interceptent toujours deux arcs de même mesure, ce qui sert souvent à résoudre une figure en une ligne.

Le rayon aboutissant au point de contact est PERPENDICULAIRE à la tangente : $OT_1 \perp ET_1$, donc le triangle $OT_1E$ est rectangle en $T_1$. Pythagore donne alors $ET_1^{\,2} = OE^2 - OT_1^{\,2} = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$, donc $ET_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ cm. On garde la forme exacte $3\sqrt{3}$ tant qu'un calcul suit : arrondir ici coûterait des points à la question e).

Les deux triangles rectangles $OT_1E$ et $OT_2E$ ont le même rayon $OT_1 = OT_2 = 3$ et la même hypoténuse $OE = 6$ : ils sont isométriques, donc $ET_1 = ET_2 = 3\sqrt{3}$. Les deux segments de tangente issus d'un même point extérieur sont toujours égaux. Pour l'angle, dans le triangle rectangle $OT_1E$ on a $\sin(\angle T_1EO) = \dfrac{OT_1}{OE} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$, donc $\angle T_1EO = 30^\circ$ et, par symétrie, $\angle T_1ET_2 = 60^\circ$. Par les arcs : $\angle T_1OE = 60^\circ$ puisque le triangle est rectangle et que ses angles font $30$, $60$ et $90$, donc $T_1$ est à $120^\circ$ et $T_2$ à $240^\circ$ de $N$. L'arc proche $T_1MT_2$ vaut $120^\circ$, l'arc lointain $T_1NT_2$ vaut $240^\circ$, et la demi-différence donne $\dfrac{240 - 120}{2} = 60^\circ$. Les deux méthodes concordent.

La droite $EN$ est l'axe de symétrie de la figure, donc elle coupe l'angle $\angle T_1ET_2$ en deux : $\angle T_1EN = 30^\circ$. Par la demi-différence, on retrouve la même chose : la sécante $EN$ et la tangente $ET_1$ interceptent l'arc lointain $T_1N$, de $120^\circ$, et l'arc proche $T_1M$, de $60^\circ$, d'où $\dfrac{120 - 60}{2} = 30^\circ$. Noter que la règle du sommet extérieur s'applique telle quelle à une tangente : celle-ci compte pour une sécante dont les deux points de contact sont confondus en $T_1$.

L'angle formé par une tangente et une corde vaut la MOITIÉ de l'arc intercepté, exactement comme un angle inscrit. La corde $T_1M$ intercepte l'arc $T_1M$ de $60^\circ$, donc $\angle ET_1M = 30^\circ$. La corde $T_1N$ intercepte l'arc $T_1N$ de $120^\circ$, donc $\angle ET_1N = 60^\circ$. Leur somme vaut $30 + 60 = 90^\circ$, et c'est bien $\angle MT_1N$ : cet angle est inscrit dans un demi-cercle, puisque $MN$ est un diamètre, donc il est droit. Trois règles distinctes, un seul résultat cohérent.

$EM = OE - r = 6 - 3 = 3$ cm et $EN = OE + r = 6 + 3 = 9$ cm, donc $EM \times EN = 27$. Or $ET_1^{\,2} = (3\sqrt{3})^2 = 27$. L'égalité est vérifiée. Ce produit constant, égal à $OE^2 - r^2$, s'appelle la puissance du point $E$ : il ne dépend pas de la sécante choisie, et c'est lui qui fait fonctionner toutes les relations métriques de la partie suivante.

Quand deux cordes se coupent en un point intérieur, les produits des deux segments de chaque corde sont égaux : $AP \times PB = CP \times PD$. On remplace : $2 \times 6 = 3 \times PD$, donc $12 = 3 \times PD$ et $PD = 4$ cm. Attention à ce qu'on multiplie : ce sont les DEUX MORCEAUX d'une même corde, séparés par $P$, jamais un morceau par la corde entière. Un élève qui écrirait $AP \times AB$ obtiendrait $2 \times 8 = 16$ et se tromperait de relation.

Le produit commun vaut $12$ cm$^2$. Sur la première corde : $2 \times 6 = 12$. Sur la seconde : $3 \times 4 = 12$. Ce nombre s'appelle la PUISSANCE du point $P$ par rapport au cercle, et il est le même pour toutes les cordes passant par $P$ : c'est ce qui rend la question d) immédiate.

Prenons la corde qui passe par $O$, c'est-à-dire le diamètre passant par $P$. Il coupe le cercle en deux points situés à $5 - OP$ et $5 + OP$ de $P$, donc son produit vaut $(5 - OP)(5 + OP) = 25 - OP^2$. Ce produit est le même que les autres, soit $12$ : $25 - OP^2 = 12$, donc $OP^2 = 13$ et $OP = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ cm. On retient la formule sous cette forme : la puissance d'un point intérieur vaut $r^2 - OP^2$, et elle est POSITIVE tant que le point est dedans.

La puissance ne dépend pas de la corde choisie, donc le produit vaut encore $12$ : l'autre segment mesure $\dfrac{12}{2{,}5} = 4{,}8$ cm. La corde entière mesure alors $2{,}5 + 4{,}8 = 7{,}3$ cm. Aucune construction n'est nécessaire, et c'est tout l'intérêt de la notion de puissance : une seule constante résume l'ensemble des cordes passant par un point.

Les deux segments ont un produit fixe, $12$, donc leur somme, qui est la longueur de la corde, est minimale quand ils sont ÉGAUX : chacun vaut $\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm et la corde mesure $4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. Géométriquement, cette corde est celle qui est perpendiculaire à $OP$ en $P$, la seule dont $P$ soit le milieu ; on peut le vérifier autrement : sa demi-longueur vaut $\sqrt{r^2 - OP^2} = \sqrt{25 - 13} = \sqrt{12}$, ce qui redonne bien $2\sqrt{3}$. À l'opposé, la plus longue corde passant par $P$ est le diamètre, de $10$ cm, dont les segments valent $2$ et $8$.

Les points $E$, $A$ et $B$ sont alignés dans cet ordre, donc $EB = EA + AB = 4 + 5 = 9$ cm. Le produit vaut $EA \times EB = 4 \times 9 = 36$ cm$^2$. C'est la puissance du point $E$ : depuis un point extérieur, on multiplie la SÉCANTE ENTIÈRE par sa PARTIE EXTÉRIEURE, c'est-à-dire $EB$ par $EA$, et jamais les deux morceaux séparés par le cercle.

La puissance est la même pour toute sécante issue de $E$ : $EC \times ED = 36$, donc $ED = \dfrac{36}{3} = 12$ cm. La corde $CD$ est la partie intérieure de cette sécante : $CD = ED - EC = 12 - 3 = 9$ cm. Contrôle de vraisemblance immédiat : une corde ne peut pas dépasser le diamètre, ici $10$ cm, et $9 \le 10$ passe. Une réponse comme $CD = 12$ aurait dû être rejetée sans autre calcul.

La tangente est le cas limite de la sécante : les deux points d'intersection se confondent en $T$, donc le produit devient $ET \times ET = ET^{\,2}$. On a donc $ET^{\,2} = 36$ et $ET = 6$ cm. C'est la relation la plus utile du chapitre, parce qu'elle donne une longueur inaccessible à partir de deux longueurs mesurables.

Le rayon $OT$ est perpendiculaire à la tangente en $T$, donc le triangle $OTE$ est rectangle en $T$ : $OE^2 = OT^2 + ET^{\,2} = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$, d'où $OE = \sqrt{61} \approx 7{,}81$ cm. On retrouve au passage la formule générale : la puissance d'un point extérieur vaut $OE^2 - r^2 = 61 - 25 = 36$, ce qui confirme les questions a) à c) d'un seul coup. Pour un point intérieur, c'était $r^2 - OP^2$ ; c'est la même quantité au signe près, et c'est pourquoi la même famille de relations sert des deux côtés du cercle.

Son calcul donne $EA \times AB = 4 \times 5 = 20$, alors que $ET^{\,2} = 36$. Les deux nombres diffèrent, l'égalité est donc fausse. Ce qu'il a pris, $AB$, est la corde, c'est-à-dire la partie INTÉRIEURE de la sécante ; ce qu'il fallait prendre, $EB$, est la sécante entière depuis $E$. La différence entre les deux est exactement $EA$, et l'erreur coûte tout le problème puisqu'elle se propage à $ED$ et à $CD$. Le réflexe qui protège : depuis un point extérieur, les deux facteurs partent tous les deux de $E$.

Les triangles $OMA$ et $OMB$ sont rectangles en $M$, ils ont le côté $OM$ en commun et leurs hypoténuses $OA$ et $OB$ sont deux rayons, donc égales. Ils sont isométriques par le cas hypoténuse-côté, d'où $MA = MB$ : la perpendiculaire abaissée du centre sur une corde la coupe toujours en son MILIEU. Donc $MA = \dfrac{24}{2} = 12$ cm, et Pythagore dans $OMA$ donne $OM^2 = OA^2 - MA^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$, soit $OM = 5$ cm. On reconnaît le triplet $5$, $12$, $13$.

La flèche est le morceau de rayon compris entre la corde et l'arc, mesuré sur la perpendiculaire : $MS = OS - OM = 13 - 5 = 8$ cm. Attention, $OS$ est un RAYON, pas un diamètre : une confusion ici double la flèche. Le contrôle est simple, la flèche d'une corde est toujours comprise entre $0$, pour une corde qui se confond avec un diamètre, et $r$, pour une corde réduite à un point.

On ne connaît plus $r$, alors on l'appelle $r$ et on écrit le même triangle rectangle. La demi-corde vaut $12$, la distance au centre vaut $r - 8$, l'hypoténuse vaut $r$ : $r^2 = 12^2 + (r - 8)^2$. On développe : $r^2 = 144 + r^2 - 16r + 64$. Les $r^2$ se simplifient, il reste $16r = 208$, donc $r = 13$ cm. C'est la manoeuvre à connaître, celle qui sert dès qu'un arc est donné par sa portée et sa hauteur, sans centre visible : on nomme le rayon, on écrit Pythagore, et le degré $2$ disparaît de lui-même.

Pour la corde $CD$ : $KC = \dfrac{10}{2} = 5$ cm et $OK^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, donc $OK = 12$ cm. Les deux cordes étant de part et d'autre du centre, la distance entre elles est la SOMME : $OM + OK = 5 + 12 = 17$ cm. Si elles étaient du même côté, ce serait la DIFFÉRENCE : $12 - 5 = 7$ cm. Un énoncé qui ne précise pas le côté a donc deux réponses, et il faut les donner toutes les deux.

Une corde à $13$ cm du centre serait à une distance égale au rayon : le triangle rectangle donnerait une demi-corde de $\sqrt{13^2 - 13^2} = 0$. Cette corde est réduite à un point, autrement dit la droite est TANGENTE au cercle. Au-delà de $13$ cm, la droite ne rencontre plus le cercle du tout. La distance au centre classe donc les droites en trois cas : $d < r$ sécante, $d = r$ tangente, $d > r$ extérieure.