Exercices corrigés : les matrices et les matrices de transformation (math TS, secondaire 5)

On lit toujours LIGNES puis COLONNES. La matrice $A$ a $2$ lignes et $3$ colonnes, elle est donc de dimension $2 \times 3$. La matrice $B$ a $3$ lignes et $2$ colonnes, elle est $3 \times 2$. La matrice $C$ a $2$ lignes et $2$ colonnes, elle est $2 \times 2$, on dit qu'elle est CARRÉE d'ordre $2$. L'ordre lignes puis colonnes n'est pas une convention arbitraire à retenir bêtement : c'est lui qui rendra lisible la condition du produit, à la question e).

La notation $a_{ij}$ désigne l'élément de la ligne $i$ et de la colonne $j$, dans cet ordre. Donc $a_{12}$ est à la première ligne, deuxième colonne : $a_{12} = -1$. Ensuite $a_{23}$ est à la deuxième ligne, troisième colonne : $a_{23} = -2$. Enfin $b_{31}$ est à la troisième ligne, première colonne de $B$ : $b_{31} = 6$. L'erreur qui coûte le plus est d'inverser les deux indices ; on retient que le premier indice compte les lignes, comme le premier nombre d'une dimension.

$C$ est la matrice IDENTITÉ d'ordre $2$, notée $I$ ou $I_2$ : elle a des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ partout ailleurs. Dans un produit, elle ne change rien : $A \times I = A$ et $I \times A = A$ dès que les dimensions le permettent. C'est l'analogue matriciel du nombre $1$ pour la multiplication ordinaire.

La TRANSPOSÉE échange les lignes et les colonnes : la première ligne de $A$ devient la première colonne, et ainsi de suite. On obtient $A^{t} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 5 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$, de dimension $3 \times 2$. La transposition retourne toujours la dimension : une matrice $2 \times 3$ donne une matrice $3 \times 2$.

$A + B$ est IMPOSSIBLE : l'addition exige la même dimension, or $A$ est $2 \times 3$ et $B$ est $3 \times 2$. Le fait qu'elles aient toutes deux six éléments ne change rien, ce n'est pas le nombre d'éléments qui compte mais leur disposition. $A + A$ est possible et donne une matrice $2 \times 3$. $A \times B$ est possible : $A$ est $2 \times 3$, $B$ est $3 \times 2$, et le nombre de COLONNES de la première, $3$, égale le nombre de LIGNES de la seconde, $3$ ; le résultat est $2 \times 2$. $B \times A$ est possible aussi : $3 \times 2$ par $2 \times 3$, les deux nombres du milieu valent $2$, et le résultat est $3 \times 3$. On écrit la règle sous forme visuelle : $(2 \times \mathbf{3})(\mathbf{3} \times 2)$ donne $2 \times 2$, les deux nombres du milieu doivent coïncider et disparaissent, les deux extrêmes donnent la dimension du produit.

On additionne les éléments qui occupent la même place : $M + N = \begin{pmatrix} 2+5 & -1+0 \\ 4+(-2) & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. L'addition n'est définie que parce que les deux matrices sont toutes deux $2 \times 2$ ; le résultat garde cette dimension.

On soustrait de même : $M - N = \begin{pmatrix} 2-5 & -1-0 \\ 4-(-2) & 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$. Le seul piège est le double signe en position $(2\,;1)$ : $4 - (-2) = 6$, et non $2$.

Multiplier par un nombre, ce qu'on appelle multiplier par un SCALAIRE, revient à multiplier CHAQUE élément : $3M = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}$. Attention à ne pas confondre avec le déterminant ou avec un produit de matrices : ici le facteur $3$ touche les quatre cases, pas une ligne ni une colonne.

On combine : $3M = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}$ et $2N = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$, donc $3M - 2N = \begin{pmatrix} 6-10 & -3-0 \\ 12-(-4) & 9-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ 16 & 7 \end{pmatrix}$. On calcule chaque produit AVANT de soustraire, exactement comme avec des nombres.

On isole $X$ comme dans une équation ordinaire, parce que l'addition matricielle se comporte comme l'addition des nombres : $X = N - M = \begin{pmatrix} 5-2 & 0-(-1) \\ -2-4 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}$. Vérification indispensable : $M + X = \begin{pmatrix} 2+3 & -1+1 \\ 4-6 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = N$. Cette liberté de manipulation ne vaudra PLUS pour les produits, qui ne sont pas commutatifs : on ne pourra pas y diviser des deux côtés sans précaution.

$A$ est $2 \times 3$ et $B$ est $3 \times 2$ : les deux nombres du milieu valent $3$, le produit existe et il est $2 \times 2$. On calcule case par case. Ligne $1$ de $A$ contre colonne $1$ de $B$ : $2 \times 1 + (-1) \times (-3) + 3 \times 5 = 2 + 3 + 15 = 20$. Ligne $1$ contre colonne $2$ : $2 \times 2 + (-1) \times 0 + 3 \times (-1) = 4 + 0 - 3 = 1$. Ligne $2$ contre colonne $1$ : $0 \times 1 + 4 \times (-3) + 1 \times 5 = 0 - 12 + 5 = -7$. Ligne $2$ contre colonne $2$ : $0 \times 2 + 4 \times 0 + 1 \times (-1) = -1$. Donc $AB = \begin{pmatrix} 20 & 1 \\ -7 & -1 \end{pmatrix}$.

$B$ est $3 \times 2$ et $A$ est $2 \times 3$ : les nombres du milieu valent $2$, le produit existe et il est $3 \times 3$. En appliquant la même règle neuf fois, on obtient $BA = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 5 \\ -6 & 3 & -9 \\ 10 & -9 & 14 \end{pmatrix}$. Par exemple, la case $(3\,;2)$ vient de la ligne $3$ de $B$, qui est $(5\,;-1)$, contre la colonne $2$ de $A$, qui est $(-1\,;4)$ : $5 \times (-1) + (-1) \times 4 = -9$.

$AB$ est $2 \times 2$ et $BA$ est $3 \times 3$ : les deux produits n'ont même pas la même dimension, donc ils ne peuvent en aucun cas être égaux. Le produit matriciel n'est PAS commutatif, et ici l'échec est visible avant tout calcul. C'est la première grande différence avec la multiplication des nombres, et l'ordre des facteurs devra être respecté dans tout le chapitre.

Ici les deux matrices sont carrées d'ordre $2$, donc les deux produits existent et ont la même dimension. $MN = \begin{pmatrix} 2 \times 5 + (-1) \times (-2) & 2 \times 0 + (-1) \times 1 \\ 4 \times 5 + 3 \times (-2) & 4 \times 0 + 3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 14 & 3 \end{pmatrix}$. Et $NM = \begin{pmatrix} 5 \times 2 + 0 \times 4 & 5 \times (-1) + 0 \times 3 \\ -2 \times 2 + 1 \times 4 & -2 \times (-1) + 1 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -5 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$. Les deux résultats diffèrent alors que les dimensions coïncident : la non-commutativité est donc réelle, et pas seulement un accident de dimensions.

$MI = \begin{pmatrix} 2 \times 1 + (-1) \times 0 & 2 \times 0 + (-1) \times 1 \\ 4 \times 1 + 3 \times 0 & 4 \times 0 + 3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = M$, et le calcul de $IM$ donne également $M$. L'identité est donc l'un des rares cas où l'ordre ne change rien. Elle jouera le rôle de la transformation qui ne fait rien, l'application identique, dès l'exercice 4.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 3 + 0 \times 2 \\ 0 \times 3 + (-1) \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. L'abscisse est inchangée et l'ordonnée a changé de signe : c'est la RÉFLEXION d'axe des abscisses. On lit la matrice comme un tableau de règles : sa première ligne fabrique la nouvelle abscisse, sa seconde ligne la nouvelle ordonnée.

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 3 + (-1) \times 2 \\ 1 \times 3 + 0 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. La règle obtenue est $(x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$ : c'est la ROTATION de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ dans le sens antihoraire.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, c'est-à-dire $(x\,;y) \mapsto (y\,;x)$ : la RÉFLEXION d'axe $y = x$. Les matrices des questions b) et c) ne diffèrent que par un signe moins, exactement comme les deux règles qu'elles codent, et c'est la confusion la plus fréquente du chapitre. Le test qui tranche : la réflexion laisse fixe tout point de son axe, donc $(1\,;1)$ doit rester en $(1\,;1)$, alors que la rotation l'envoie en $(-1\,;1)$.

$\begin{pmatrix} 2{,}5 & 0 \\ 0 & 2{,}5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ 5 \end{pmatrix}$ : c'est l'HOMOTHÉTIE de centre $O$ et de rapport $2{,}5$. Une matrice diagonale dont les deux termes sont ÉGAUX code toujours une homothétie ; si les deux termes différaient, on obtiendrait un étirement inégal, qui n'est pas une similitude et qui déformerait les angles.

Le triangle s'écrit $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$, une colonne par sommet. Le produit vaut $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -5 \\ 1 & 5 & 5 \end{pmatrix}$, donc $A'(-2\,;1)$, $B'(-2\,;5)$ et $C'(-5\,;5)$. C'est l'intérêt principal des matrices en géométrie : une seule multiplication transforme la figure ENTIÈRE, au lieu d'appliquer la règle sommet par sommet. Un logiciel de dessin ne procède pas autrement, avec des milliers de colonnes au lieu de trois.

$SR = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. La règle correspondante est $(x\,;y) \mapsto (-y\,;-x)$ : c'est la RÉFLEXION d'axe $y = -x$. On applique donc d'abord la rotation, puis la réflexion, et le résultat global est une simple réflexion.

$RS = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dont la règle est $(x\,;y) \mapsto (y\,;x)$ : c'est la RÉFLEXION d'axe $y = x$. Les deux composées sont deux réflexions, mais d'axes PERPENDICULAIRES l'un à l'autre : intervertir l'ordre ne fait pas une petite différence, il fait basculer l'axe d'un quart de tour.

Avec $SR$ : $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Avec $RS$ : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Les deux images, $(-2\,;-3)$ et $(2\,;3)$, sont symétriques par rapport à l'origine et distantes de $2\sqrt{13} \approx 7{,}2$. La non-commutativité du produit matriciel n'est donc pas une curiosité d'algèbre : elle traduit un fait géométrique visible.

$R^2 = RR = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, dont la règle est $(x\,;y) \mapsto (-x\,;-y)$ : c'est la rotation de $180^\circ$, ce qui est cohérent puisque deux quarts de tour font un demi-tour. Alors $R^4 = (R^2)^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$ : quatre quarts de tour font un tour complet, donc l'identité.

$S^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$. Appliquer deux fois la même réflexion ramène tout point à sa place : une réflexion est sa propre RÉCIPROQUE. On en déduit une méthode générale pour inverser une composée : puisque $S^2 = I$ et $R^4 = I$, la réciproque de $SR$ est $R^{-1}S^{-1} = R^3S$, et l'on vérifie sur $(-2\,;-3)$ que l'on retombe bien sur $P(3\,;2)$.