Math TS, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie

Fiche de révision : les identités trigonométriques

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des identités et des équations trigonométriques du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : identités de base, formules d'addition, angle double, démonstrations et résolution par factorisation.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une identité n'est pas une équation. Une équation pose une question, « pour quels angles ? », et elle se RÉSOUT ; une identité affirme une égalité vraie partout où elle a un sens, et elle se DÉMONTRE. Confondre les deux est l'erreur qui coûte le plus cher au chapitre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
2Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
3La factorisationSecondaire 4 TS
4La similitude et l'isométrie des trianglesSecondaire 4 TS
5Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS
6L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS
7La complétion du carré et la formule quadratique
8Le cercle trigonométrique

L'essentiel

Les trois identités de base

• PYTHAGORICIENNE : $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ , vraie pour TOUT réel. Ses deux formes dérivées, $\sin^{2}=1-\cos^{2}$ et $\cos^{2}=1-\sin^{2}$ , servent bien plus souvent que l'originale.
• QUOTIENT : $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , avec $\cos\theta\ne 0$ . Une identité s'énonce toujours avec son domaine de validité.
• TROISIÈME, à déduire en une ligne : $1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ . Elle revient constamment dans les simplifications.
• La pythagoricienne n'est que PYTHAGORE sur le cercle de rayon $1$ : les deux cathètes mesurent $|\cos\theta|$ et $|\sin\theta|$ , l'hypoténuse vaut $1$ .

Le triangle rectangle du point image a pour hypoténuse le RAYON, donc

1

. Pythagore y donne directement l'identité pythagoricienne, sans rien d'autre à apprendre.

Addition, angle double, angle moitié

• ADDITION : $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$ et $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ . Le signe du cosinus est INVERSÉ.
• ANGLE DOUBLE : $\sin 2a=2\sin a\cos a$ , et $\cos 2a$ sous trois formes, $\cos^{2}a-\sin^{2}a$ , $2\cos^{2}a-1$ et $1-2\sin^{2}a$ .
• On choisit la forme de $\cos 2a$ qui ne contient QUE le rapport dont on dispose : c'est tout l'art du chapitre.
• ANGLE MOITIÉ : c'est l'angle double lu à l'envers, $\cos a=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos 2a}{2}}$ , le signe venant du quadrant.

Démontrer et résoudre, deux gestes différents

• DÉMONTRER : on part du membre le plus COMPLIQUÉ et on le transforme jusqu'à l'autre. Jamais de passage d'un terme d'un membre à l'autre, jamais de multiplication en croix.
• Si l'on tient à travailler des deux côtés, la seule forme acceptée est de les transformer SÉPARÉMENT jusqu'à une même troisième expression, en deux colonnes.
• RÉSOUDRE : on uniformise l'ARGUMENT, on ramène à un seul rapport, puis on FACTORISE. Un produit est nul quand un facteur est nul.
• ON NE DIVISE JAMAIS par un facteur trigonométrique : cela perd toutes les solutions qui l'annulent.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Diviser une équation par un facteur trigonométrique

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin 2x=\sin x$ donne $2\cos x=1$ après simplification par $\sin x$

Ce qu'il faut écrire

$\sin x(2\cos x-1)=0$ , donc quatre solutions et non deux

La courbe de la différence coupe l'axe QUATRE fois sur un tour. Les deux zéros que la division fait disparaître sont ceux de

0

et de

\pi

, aux extrémités.

Pourquoi : Diviser par $\sin x$ revient à supposer $\sin x\ne 0$ , ce qui élimine d'office $x=0$ et $x=\pi$ , qui sont pourtant solutions. On FACTORISE toujours, et chaque facteur donne ses solutions.

2. Prendre une racine carrée sans regarder le quadrant

toute la question, signes compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin\theta=0{,}6$ donne $\cos\theta=0{,}8$

Ce qu'il faut écrire

$\cos\theta=\pm 0{,}8$ , et c'est le quadrant qui tranche

Pourquoi : La pythagoricienne donne un CARRÉ, donc deux racines opposées. Sans indication de quadrant, on donne les deux valeurs en disant à quel quadrant chacune correspond ; avec une indication, on choisit et on le JUSTIFIE.

3. Inverser les signes dans la formule d'addition du cosinus

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\cos(a-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Ce qu'il faut écrire

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

Pourquoi : Le signe du milieu est l'OPPOSÉ de celui des angles pour le cosinus, et le MÊME pour le sinus. Contre-exemple avec $a=b=60$ degrés : à gauche $\cos 0=1$ , à droite la version fausse donne $0{,}25-0{,}75=-0{,}5$ .

4. Démontrer une identité en multipliant en croix

toute la démonstration, même si le calcul est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

Partir de $\dfrac{\cos x}{1-\sin x}=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}$ et écrire $\cos^{2}x=(1-\sin x)(1+\sin x)$

Ce qu'il faut écrire

Partir d'un seul membre et le transformer jusqu'à l'autre

Pourquoi : Multiplier en croix part de l'égalité qu'on cherche à établir : c'est un raisonnement CIRCULAIRE. Le calcul peut être exact et la démonstration refusée. La sortie est de multiplier un seul membre par le CONJUGUÉ, ce qui donne la même simplification sans rien supposer.

5. Distribuer une fonction trigonométrique

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\cos(a+b)=\cos a+\cos b$

Ce qu'il faut écrire

$\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Pourquoi : Aucune fonction trigonométrique n'est linéaire. Contre-exemple en $a=b=60$ degrés : à gauche $-0{,}5$ , à droite $1$ . Si la distribution marchait, les formules d'addition n'existeraient pas, et c'est la meilleure façon de s'en souvenir.

6. Oublier le domaine de validité

1 point sur chaque démonstration concernée

Ce qu'il ne faut pas écrire

Écrire $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ sans condition

Ce qu'il faut écrire

Ajouter $\cos x\ne 0$ , donc $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

Pourquoi : Une identité est vraie PARTOUT OÙ SES DEUX MEMBRES EXISTENT, et il faut le dire. Dès qu'un quotient apparaît, la condition s'écrit avant la première ligne de calcul, et le correcteur la cherche.

7. Doubler le mauvais objet dans l'angle double

toute la question, et souvent une équation devenue insoluble

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sin 2x=2\sin x$

Ce qu'il faut écrire

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

Pourquoi : Contre-exemple en $x=\dfrac{\pi}{2}$ : à gauche $\sin\pi=0$ , à droite $2$ . Le facteur $\cos x$ manquait, et c'est lui qui annule l'expression. La formule vient de l'addition avec $b=a$ , et la retrouver ainsi coûte dix secondes.

Quelle méthode choisir

Quelle identité appeler, selon la forme rencontrée

Une expression ou une équation à transformer

Si On voit $1-\cos^{2}x$ ou $1-\sin^{2}x$ → Pythagoricienne, pour remplacer par un seul carré

Exemple : $\dfrac{1-\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\dfrac{\sin^{2}x}{\sin x\cos x}=\tan x$
Si On voit $1-\sin x$ ou $1-\cos x$ au DÉNOMINATEUR → Multiplier haut et bas par le CONJUGUÉ, ce qui fabrique la pythagoricienne

Exemple : $\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\times\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x}$
Si Deux arguments DIFFÉRENTS cohabitent, comme $2x$ et $x$ → Angle double, pour tout ramener au même argument

Exemple : $\cos 2x+\cos x=0$ devient $2\cos^{2}x+\cos x-1=0$
Si Tout est déjà au même argument et l'expression est un trinôme → On pose $u=\sin x$ ou $u=\cos x$ et on FACTORISE

Exemple : $2u^{2}+u-1=(2u-1)(u+1)$

Quand plusieurs branches s'appliquent, on commence toujours par UNIFORMISER l'argument : une expression où $2x$ et $x$ cohabitent ne se factorise pas, et aucune autre identité ne sert tant que ce n'est pas fait.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la démonstration d'une identité

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'un énoncé dit « démontrez que » et non « résolvez »

1 Écrire le DOMAINE de validité, dès qu'un quotient ou une tangente apparaît.
2 Annoncer le membre de départ : le plus compliqué des deux.
3 Transformer ligne par ligne, en NOMMANT l'identité utilisée à chaque étape.
4 Ne jamais faire passer un terme de l'autre côté, ni multiplier les deux membres.
5 Conclure en écrivant que l'expression obtenue est bien l'autre membre.
6 Vérifier en un point simple, pour attraper une faute de signe.

Phrase de conclusion

« Domaine : $\cos x\ne 0$ . Je pars du membre de droite, le plus compliqué. $1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ , donc $\dfrac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}=2\times\dfrac{\sin x}{\cos x}\times\cos^{2}x=2\sin x\cos x=\sin 2x$ , qui est bien le membre de gauche. Contrôle en $x=\dfrac{\pi}{4}$ : les deux membres valent $1$ . »

Le piège : Écrire l'égalité à démontrer en tête de chaque ligne. Une démonstration correcte transforme UNE expression, elle n'enchaîne pas des égalités entre les deux membres.

Barème : 1 point pour le domaine, 1 point pour le membre de départ annoncé, 4 points pour les transformations justifiées, 1 point pour la conclusion, 1 point pour la vérification, 2 points pour la rigueur d'ensemble. Une multiplication en croix annule la note de la démonstration.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester l'identité en un point simple

Un seul angle bien choisi ne démontre rien, mais il RÉFUTE. On prend $0$ , $\dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{\pi}{2}$ , selon ce qui rend les deux membres calculables.

$\cos(-x)=-\cos x$ tombe en $x=0$ : $1$ contre $-1$ .
La pythagoricienne sur le résultat

Après avoir trouvé un sinus et un cosinus, on vérifie que la somme de leurs carrés vaut $1$ . Le contrôle attrape une erreur de valeur ou de signe.

$\left(\dfrac{24}{25}\right)^{2}+\left(\dfrac{7}{25}\right)^{2}=1$ .
Le signe contre le quadrant

Chaque rapport trouvé doit avoir le signe du quadrant annoncé. Une tangente positive au deuxième quadrant est impossible.

Deuxième quadrant : sinus positif, cosinus négatif, tangente négative.
Compter les solutions d'une équation factorisée

Chaque facteur apporte ses solutions. On additionne, et on vérifie qu'aucun facteur n'a été jeté en cours de route.

$\sin x(2\cos x-1)=0$ : deux plus deux, donc quatre solutions sur un tour.

L'exercice type décortiqué

Deux haut-parleurs déphasés, où une identité sert vraiment

Deux haut-parleurs identiques émettent le même son pur, le second avec un déphasage $\varphi$ . La pression reçue est $p(t)=\sin(\omega t)+\sin(\omega t+\varphi)$ , chaque haut-parleur seul donnant une amplitude de $1$ . Trouvez l'amplitude de la somme, puis le déphasage qui éteint le son et celui qui ne change rien au volume.

Les deux sinusoïdes de même amplitude

1

, décalées d'un sixième de tour, donnent une somme d'amplitude

\sqrt{3}

et non

2

: c'est le déphasage qui mange la différence.

Étape 1

Formule d'addition : $\sin(\omega t+\varphi)=\sin(\omega t)\cos\varphi+\cos(\omega t)\sin\varphi$ .

Pourquoi

Le déphasage est une CONSTANTE, donc son cosinus et son sinus sont des nombres. C'est ce qui permet de séparer la dépendance en temps de la dépendance en déphasage.

Étape 2

En regroupant : $p(t)=\sin(\omega t)(1+\cos\varphi)+\cos(\omega t)\sin\varphi$ .

Pourquoi

La somme est maintenant de la forme $a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)$ , avec $a$ et $b$ constants : c'est une sinusoïde de même fréquence, et son amplitude vaut $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ .

Étape 3

$A^{2}=(1+\cos\varphi)^{2}+\sin^{2}\varphi=1+2\cos\varphi+\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=2+2\cos\varphi$ .

Pourquoi

Les deux carrés valent $1$ par la PYTHAGORICIENNE : c'est l'étape où l'identité sert, et sans elle l'expression resterait illisible.

Étape 4

Pour $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$ : $A=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}\approx 1{,}732$ .

Pourquoi

Moins que le double, alors que les deux haut-parleurs fonctionnent. Le déphasage coûte déjà du volume, sans rien couper.

Étape 5

Pour $\varphi=\pi$ : $A=\sqrt{2-2}=0$ . Extinction complète.

Pourquoi

Les deux ondes s'annulent exactement. C'est ce qui arrive quand on inverse les deux fils d'un haut-parleur : le son disparaît au lieu de doubler, et c'est la panne la plus déroutante d'une installation.

Étape 6

Même volume qu'un seul : $\sqrt{2+2\cos\varphi}=1$ donne $\cos\varphi=-\dfrac{1}{2}$ , donc $\varphi=\dfrac{2\pi}{3}$ , soit $120$ degrés.

Pourquoi

Contrôle par une autre écriture : $A=2\left|\cos\dfrac{\varphi}{2}\right|$ , qui vaut $1$ quand $\dfrac{\varphi}{2}=\dfrac{\pi}{3}$ . Deux chemins, le même résultat.

Conclusion rédigée

$A=\sqrt{2+2\cos\varphi}$ : environ $1{,}732$ à $60$ degrés de déphasage, zéro à $180$ degrés, et exactement $1$ , le volume d'un seul haut-parleur, à $120$ degrés.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que deux haut-parleurs font toujours deux fois plus de bruit qu'un seul. C'est vrai au déphasage nul seulement, et faux partout ailleurs.

À savoir par cœur

• $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ , vraie pour tout réel.
• $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , si $\cos\theta\ne 0$ .
• $1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ , à déduire en une ligne.
• Une racine carrée donne deux signes : le quadrant tranche.
• $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$ .
• $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ : signe INVERSÉ.
• $\sin 2a=2\sin a\cos a$ , jamais $2\sin a$ .
• $\cos 2a$ a trois formes : on prend celle qui n'a que le rapport connu.
• Démontrer : un seul membre, jamais de multiplication en croix.
• Résoudre : uniformiser l'argument, puis FACTORISER, jamais diviser.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une identité et une équation ?

Une équation pose une question et attend un ensemble de solutions : elle n'est vraie que pour certaines valeurs. Une identité affirme une égalité vraie partout où ses deux membres existent, et on ne la résout pas, on la démontre. Le vocabulaire de l'énoncé tranche : « résolvez » appelle un ensemble de solutions, « démontrez que » appelle une transformation justifiée. Traiter l'une comme l'autre coûte la question entière, même si les calculs sont exacts.

Pourquoi ne faut-il jamais diviser une équation trigonométrique ?

Parce que le facteur par lequel on divise peut valoir zéro, et toutes les valeurs qui l'annulent sont alors perdues alors qu'elles étaient solutions. La bonne manoeuvre est de tout ramener d'un même côté et de factoriser : chaque facteur donne ensuite ses propres solutions, et aucune ne disparaît. C'est exactement la même règle qu'en algèbre ordinaire, mais elle est plus coûteuse ici parce qu'un facteur trigonométrique s'annule souvent.

Comment retenir les formules d'addition sans les confondre ?

Il suffit de retenir deux choses. Pour le sinus, les deux termes mélangent un sinus et un cosinus, et le signe du milieu est le même que celui des angles. Pour le cosinus, les deux termes sont homogènes, deux cosinus puis deux sinus, et le signe du milieu est l'opposé de celui des angles. Un test rapide avec deux angles égaux à soixante degrés vérifie la formule en dix secondes si le doute revient.

Peut-on démontrer une identité en travaillant sur les deux membres ?

Oui, mais à une condition stricte : on transforme chaque membre séparément, sans jamais faire passer quoi que ce soit de l'un à l'autre, jusqu'à obtenir une même troisième expression. Ce qui est interdit, c'est de multiplier ou de simplifier les deux côtés comme dans une équation, car cela suppose acquise l'égalité qu'on cherche à établir. Le plus sûr reste de partir du membre le plus compliqué et de le transformer jusqu'à l'autre.

À quoi servent les identités en dehors des exercices ?

Elles servent partout où deux phénomènes périodiques se combinent. Deux sources sonores de même fréquence, deux tensions alternatives décalées, deux vibrations d'une machine : la somme est encore une oscillation de même fréquence, et c'est une identité qui permet de calculer son amplitude. C'est ainsi qu'on explique qu'un branchement inversé éteigne un son au lieu de le doubler, ce qu'aucun raisonnement intuitif ne prévoit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les identités trigonométriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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