Mon espace Me contacter

Math TS, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie

Fiche de révision : la fonction tangente

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction tangente du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : asymptotes, période, paramètres, tracé d'une branche, équations et inéquations.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

La tangente n'est pas une sinusoïde. Elle n'a ni amplitude ni maximum, son image est R\mathbb{R} tout entier, sa période vaut π\pi et non 2π2\pi, et des asymptotes la coupent. Tout cela vient d'un seul fait : c'est un QUOTIENT, et son dénominateur s'annule.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
  2. 2La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
  3. 3La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
  4. 4Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 TS
  5. 5L'aire d'un triangle par la trigonométrieSecondaire 4 TS
  6. 6Les paramètres des fonctions
  7. 7Le cercle trigonométrique
  8. 8Les fonctions sinus et cosinus

L'essentiel

Un quotient, donc des asymptotes

  • • DÉFINITION : tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. Tout le reste en découle.
  • • DOMAINE : R\mathbb{R} privé de π2+kπ\dfrac{\pi}{2}+k\pi, là où le cosinus s'annule. Ce sont exactement les ASYMPTOTES VERTICALES, une tous les π\pi.
  • • IMAGE : R\mathbb{R} tout entier. Entre deux asymptotes, la courbe monte de moins l'infini à plus l'infini, donc elle prend TOUTE valeur réelle.
  • • ZÉROS : ceux du numérateur, soit x=kπx=k\pi pour la tangente de base.
-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345pointillés = asymptotes
Une asymptote tous les π\pi, et non tous les 2π2\pi : c'est ce qui rend la période de la tangente deux fois plus courte que celle d'une sinusoïde de même paramètre.

Les quatre paramètres, dont un qui trompe

  • • FORME CANONIQUE : f(x)=atan⁡(b(x−h))+kf(x)=a\tan\big(b(x-h)\big)+k. Le POINT D'INFLEXION est (h ;k)(h\,;k).
  • • PÉRIODE =π∣b∣=\dfrac{\pi}{|b|}, et non 2π∣b∣\dfrac{2\pi}{|b|}. C'est la faute la plus fréquente du chapitre.
  • • aa N'EST PAS UNE AMPLITUDE : c'est un étirement vertical, qui change la PENTE au point d'inflexion. L'image reste R\mathbb{R} quoi qu'on fasse.
  • • TRACER UNE BRANCHE : le point d'inflexion, plus les deux points situés à un quart de période de part et d'autre, où la fonction vaut k±∣a∣k\pm|a|, entre les deux asymptotes.

Équations et inéquations

  • • UNE ÉQUATION a UNE solution par période. Sur un intervalle de longueur 2π2\pi, tan⁡(bx)=c\tan(bx)=c en a donc 2∣b∣2|b|.
  • • La calculatrice ne rend que la solution de ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ : les autres s'obtiennent en ajoutant des multiples de la PÉRIODE.
  • • UNE INÉQUATION se découpe aux ASYMPTOTES. Sur chaque branche la fonction est croissante, donc l'ensemble solution y est un seul intervalle.
  • • On ne vérifie JAMAIS qu'une valeur cible est atteignable : l'image étant R\mathbb{R}, elle l'est toujours.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer la période avec 2π2\pi

toute la question, et un tracé deux fois trop large

Ce qu'il ne faut pas écrire

La période de tan⁡(4x)\tan(4x) vaut 2π4\dfrac{2\pi}{4}

Ce qu'il faut écrire

π4\dfrac{\pi}{4}

Pourquoi : La tangente reprend la même valeur après un DEMI-tour, pas après un tour, parce que le point diamétralement opposé a ses deux coordonnées changées de signe et que le quotient ne bouge pas. Contrôle : tan⁡(4×π4)=tan⁡π=0=tan⁡0\tan\left(4\times\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\pi=0=\tan 0.

2. Parler d'amplitude pour une tangente

1 à 2 points, et une image fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'amplitude de 5tan⁡x5\tan x vaut 55

Ce qu'il faut écrire

La tangente n'a pas d'amplitude ; a=5a=5 étire la courbe verticalement

Pourquoi : Une amplitude suppose un maximum et un minimum, que la tangente n'a pas. Contre-exemple immédiat : 5tan⁡1,5≈70,55\tan 1{,}5\approx 70{,}5, bien au-delà de 55. Le paramètre change seulement la pente au point d'inflexion.

3. Traverser une asymptote dans une inéquation

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

tan⁡x≥1\tan x\ge 1 sur [0 ;π[[0\,;\pi[ donne [π4 ;π[\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\pi\right[

Ce qu'il faut écrire

[π4 ;π2[\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[

0.511.522.533.5-5-4-3-2-112345après l'asymptote, la tangente est négative
La droite y=1y=1 ne rencontre la courbe qu'une fois avant l'asymptote. Sur la seconde branche, la fonction reste sous 11 tout du long : elle n'apporte aucune solution.

Pourquoi : La tangente n'est croissante que sur CHAQUE branche : en π2\dfrac{\pi}{2}, elle saute de plus l'infini à moins l'infini. Contre-exemple : tan⁡3π4=−1\tan\dfrac{3\pi}{4}=-1, qui n'est pas plus grand que 11 et qui appartient pourtant à l'ensemble proposé.

4. Vérifier qu'une valeur est dans l'image

du temps perdu, et parfois une réponse « aucune solution » fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« tan⁡x=100\tan x=100 est impossible, c'est trop grand »

Ce qu'il faut écrire

L'image est R\mathbb{R} : toute valeur est atteinte une fois par branche

Pourquoi : Le réflexe vient des sinusoïdes, dont l'image est bornée. Pour une tangente il est inutile : arctan⁡100≈1,5608\arctan 100\approx 1{,}5608 radian existe très bien. On garde le réflexe pour le sinus et le cosinus, et on l'abandonne ici.

5. Oublier les solutions au-delà du premier tour

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

tan⁡x=5\tan x=5 dans [0 ;2π[[0\,;2\pi[ donne x≈1,37x\approx 1{,}37

Ce qu'il faut écrire

1,371{,}37 ET 1,37+π≈4,511{,}37+\pi\approx 4{,}51

Pourquoi : La calculatrice ne rend jamais que la solution du premier quadrant ou du quatrième. Les autres s'obtiennent en ajoutant des PÉRIODES, donc des π\pi, et non des 2π2\pi : c'est une différence de plus avec les sinusoïdes.

6. Placer les asymptotes tous les 2π2\pi

toute la description du domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les asymptotes de tan⁡x\tan x sont en π2+2kπ\dfrac{\pi}{2}+2k\pi

Ce qu'il faut écrire

π2+kπ\dfrac{\pi}{2}+k\pi

Pourquoi : Le cosinus s'annule DEUX fois par tour, en π2\dfrac{\pi}{2} et en 3π2\dfrac{3\pi}{2}, donc il y a deux asymptotes par tour. Le domaine, la période et le tracé s'en déduisent, et une erreur ici les fausse tous les trois d'un coup.

7. Confondre le pourcentage d'une pente et son angle

toute la question dans un contexte technique

Ce qu'il ne faut pas écrire

Une pente de 100100 pour cent correspond à un angle de 9090 degrés

Ce qu'il faut écrire

4545 degrés ; un angle de 9090 degrés donnerait une pente infinie

Pourquoi : Le pourcentage est la TANGENTE de l'angle exprimée en centièmes, pas une fraction de l'angle droit. Une pente de cent pour cent signifie monter d'autant qu'on avance, donc tan⁡θ=1\tan\theta=1. La pente infinie correspond à la verticale, et c'est exactement l'asymptote de la fonction.

Quelle méthode choisir

Sinusoïde ou tangente, le réflexe à changer

Une question sur une fonction trigonométrique

  • Si On demande la période → 2π∣b∣\dfrac{2\pi}{|b|} pour une sinusoïde, π∣b∣\dfrac{\pi}{|b|} pour une tangente

    Exemple : Avec b=2b=2 : π\pi pour sin⁡(2x)\sin(2x), π2\dfrac{\pi}{2} pour tan⁡(2x)\tan(2x)

  • Si On demande l'image → [k−∣a∣ ;k+∣a∣][k-|a|\,;k+|a|] pour une sinusoïde, R\mathbb{R} pour une tangente

    Exemple : 3sin⁡(2x)3\sin(2x) donne [−3 ;3][-3\,;3], 3tan⁡(2x)3\tan(2x) donne R\mathbb{R}

  • Si On compte les solutions d'une équation sur un tour → 2∣b∣2|b| dans les deux cas, mais pour des raisons différentes

    Exemple : Deux par période pour la sinusoïde, une par période pour la tangente dont la période est deux fois plus courte

  • Si On résout une inéquation → Un test de point suffit pour la sinusoïde ; pour la tangente, on découpe d'abord aux asymptotes

    Exemple : tan⁡x≥1\tan x\ge 1 se traite branche par branche, jamais d'un coup

Une valeur cible hors de l'image rend une équation en sinus impossible ; pour une tangente, ce cas n'existe pas. C'est la seule vérification qu'on peut supprimer en passant d'une famille à l'autre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche d'une règle de tangente

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'une branche de tangente est donnée par sa courbe

  1. 1 Repérer les DEUX asymptotes qui encadrent la branche : leur écart est la période.
  2. 2 En déduire ∣b∣=πpeˊriode|b|=\dfrac{\pi}{\text{période}}, avec un π\pi et non un 2π2\pi.
  3. 3 Lire le POINT D'INFLEXION, au milieu de la branche : ses coordonnées sont (h ;k)(h\,;k).
  4. 4 Lire un point situé à un quart de période du centre : son ordonnée vaut k+∣a∣k+|a| ou k−∣a∣k-|a|.
  5. 5 Déterminer le signe de aa selon que la branche monte ou descend.
  6. 6 Vérifier la règle en un troisième point, de préférence symétrique du précédent.

Phrase de conclusion

« Les asymptotes sont en x=1x=1 et x=5x=5, donc la période vaut 44 et b=π4b=\dfrac{\pi}{4}. Le point d'inflexion est (3 ;2)(3\,;2), donc h=3h=3 et k=2k=2. La courbe passe par (4 ;5)(4\,;5), situé à un quart de période, donc k+∣a∣=5k+|a|=5 et a=3a=3 puisque la branche monte. Règle : y=3tan⁡(π4(x−3))+2y=3\tan\left(\dfrac{\pi}{4}(x-3)\right)+2. Contrôle en (2 ;−1)(2\,;-1), symétrique de (4 ;5)(4\,;5) par rapport au point d'inflexion. »

Le piège : Prendre l'écart entre deux asymptotes pour une DEMI-période, par analogie avec les sinusoïdes. Deux asymptotes consécutives encadrent une période ENTIÈRE.

Barème : 2 points pour la période et bb, 2 points pour le point d'inflexion, 2 points pour aa et son signe, 2 points pour la vérification, 2 points pour la cohérence de la rédaction. Une règle non vérifiée plafonne aux trois quarts.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une benne basculante, où la tangente n'est pas linéaire

Une benne de camion bascule autour d'un axe. Sa longueur utile est de 3,203{,}20 m, et un vérin soulève l'avant d'une hauteur HH. L'angle vérifie tan⁡θ=H3,20\tan\theta=\dfrac{H}{3{,}20}. Trouvez l'angle pour H=1,50H=1{,}50 m, la course nécessaire pour 5050 degrés, puis comparez le gain d'angle obtenu en montant de 1,501{,}50 à 2,002{,}00 m et de 3,003{,}00 à 3,503{,}50 m.

102030405060123456hauteur en m selon l'angle en degrés
La courbe se REDRESSE vers la droite. Les deux paires de points marquent la même course de 5050 cm, mais l'écart horizontal, c'est-à-dire l'angle gagné, se resserre.

Étape 1

tan⁡θ=1,503,20=0,46875\tan\theta=\dfrac{1{,}50}{3{,}20}=0{,}46875, donc θ=arctan⁡0,46875≈25,11\theta=\arctan 0{,}46875\approx 25{,}11 degrés.

Pourquoi

On isole la tangente puis on applique l'arc tangente. La calculatrice rend ici la bonne valeur du premier coup, l'angle étant forcément aigu dans ce contexte.

Étape 2

Pour 5050 degrés : H=3,20×tan⁡50∘≈3,81H=3{,}20\times\tan 50^{\circ}\approx 3{,}81 m, soit 381381 cm.

Pourquoi

On multiplie cette fois, la hauteur étant l'inconnue. Le résultat dépasse la longueur de la benne, ce qui est normal au-delà de 4545 degrés : la tangente y est supérieure à 11.

Étape 3

De 1,501{,}50 à 2,002{,}00 m : 32,01−25,11≈6,8932{,}01-25{,}11\approx 6{,}89 degrés gagnés.

Pourquoi

Deux arcs tangentes, puis une soustraction. Il faut garder les valeurs non arrondies en mémoire, sans quoi la différence perd un dixième de degré.

Étape 4

De 3,003{,}00 à 3,503{,}50 m : 47,56−43,15≈4,4147{,}56-43{,}15\approx 4{,}41 degrés gagnés.

Pourquoi

Même course de 5050 cm, et pourtant un gain nettement plus faible. La comparaison est le coeur de la question, pas les deux angles pris isolément.

Étape 5

Conclusion : le gain d'angle DIMINUE à mesure que la benne monte.

Pourquoi

La relation entre la hauteur et l'angle est un arc tangente, qui s'aplatit quand son argument grandit. Elle n'est donc pas linéaire, et c'est précisément le comportement que le chapitre étudie.

Étape 6

Contrôle : tan⁡25,11∘≈0,4688\tan 25{,}11^{\circ}\approx 0{,}4688 et tan⁡47,56∘≈1,0938=3,503,20\tan 47{,}56^{\circ}\approx 1{,}0938=\dfrac{3{,}50}{3{,}20}.

Pourquoi

On revient de l'angle vers le rapport : les deux valeurs retrouvées sont bien celles de départ. C'est le contrôle inverse, et il attrape une erreur de mode degré ou radian sur la calculatrice.

Conclusion rédigée

Environ 25,125{,}1 degrés pour 1,501{,}50 m, 381381 cm de course pour 5050 degrés, et un gain qui tombe de 6,96{,}9 à 4,44{,}4 degrés pour la même course de 5050 cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Supposer la relation proportionnelle et répondre que le gain est le même dans les deux cas. C'est le réflexe linéaire, et tout le chapitre sert à le désamorcer.

À savoir par cœur

  • • tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} : un quotient, donc des asymptotes.
  • • Asymptotes en π2+kπ\dfrac{\pi}{2}+k\pi, une tous les π\pi.
  • • Période =π∣b∣=\dfrac{\pi}{|b|}, jamais 2π∣b∣\dfrac{2\pi}{|b|}.
  • • Image =R=\mathbb{R} : toute valeur est atteinte.
  • • Zéros en kπk\pi, ceux du numérateur.
  • • Point d'inflexion (h ;k)(h\,;k) ; aa n'est PAS une amplitude.
  • • Une branche se trace avec trois points et deux asymptotes.
  • • Une équation a UNE solution par période.
  • • Une inéquation se découpe aux asymptotes.
  • • La tangente est la PENTE de la droite d'angle θ\theta.

Questions fréquentes

Pourquoi la période de la tangente vaut-elle pi et non deux pi ?

Parce qu'un demi-tour ramène au point diamétralement opposé du cercle, dont l'abscisse et l'ordonnée ont toutes deux changé de signe. Le quotient des deux, lui, ne change pas, puisque les deux signes s'annulent. La tangente reprend donc la même valeur après un demi-tour seulement, alors que le sinus et le cosinus doivent attendre un tour complet. C'est la première différence à retenir entre les deux familles.

Pourquoi la tangente a-t-elle des asymptotes ?

Parce que c'est un quotient et que son dénominateur, le cosinus, s'annule régulièrement. En ces points la division est impossible, donc la fonction n'existe pas, et la courbe s'envole de part et d'autre. Géométriquement, ces points correspondent aux angles pour lesquels la droite est verticale, et une droite verticale n'a pas de pente. L'asymptote est donc la traduction algébrique d'un fait très concret.

Le paramètre devant la tangente est-il une amplitude ?

Non, et l'appeler ainsi coûte des points. Une amplitude suppose un maximum et un minimum, que la tangente n'a pas : elle prend toutes les valeurs réelles entre deux asymptotes. Ce paramètre étire la courbe verticalement, ce qui change la pente au point d'inflexion et la rapidité avec laquelle la branche s'écarte, mais il ne borne rien du tout.

Comment résout-on une inéquation avec une tangente ?

On découpe d'abord l'intervalle d'étude aux asymptotes, puis on raisonne branche par branche. Sur chaque branche la fonction est croissante, donc une fois l'égalité résolue, l'ensemble solution y est un seul intervalle facile à identifier. Raisonner d'un seul bloc revient à supposer la fonction croissante partout, ce qui est faux : elle saute d'une valeur infiniment grande à une valeur infiniment petite à chaque asymptote.

Quel est le lien entre la tangente et le pourcentage d'une pente ?

Le pourcentage d'une pente est simplement sa tangente exprimée en centièmes. Une pente de dix pour cent signifie monter de dix mètres en cent mètres parcourus horizontalement, donc une tangente de zéro virgule dix. Le pourcentage n'est pas une fraction de l'angle droit : cent pour cent correspond à quarante-cinq degrés, pas à quatre-vingt-dix. Et aucun pourcentage fini ne correspond à la verticale, qui est justement l'asymptote.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction tangente

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
Faire les exercices
Fiche précédente Les fonctions sinus et cosinus Fiche suivante Les identités trigonométriques

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Exercices corrigés du chapitreFiche : les fonctions sinus et cosinusFiche : le cercle trigonométriqueTous les chapitres de TS 5Tuteur au secondaire à Montréal

Vous cherchez un tuteur en math Technico-sciences à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On travaille sur des exercices du niveau réel des évaluations de cinquième secondaire, en séquence Technico-sciences.

Me contacter WhatsApp
Site par Studio Squalli