Math CST, secondaire 4 à Montréal • Statistique

Fiche de révision : nuage de points et corrélation (math CST, secondaire 4)

En séquence CST, la corrélation sert à décider : faut-il épandre plus d'engrais, quelle méthode de révision conseiller, jusqu'où se fier à une prévision. Le programme insiste sur trois verbes, apprécier, interpréter et comparer, et c'est là que se jouent les points.

Gardez deux réflexes pendant la révision. D'abord, regardez toujours le NUAGE avant de commenter un coefficient : il ne distingue pas l'absence de lien d'un lien courbé. Ensuite, distinguez la force et l'effet : le coefficient dit à quel point on peut se fier au modèle, la pente dit ce que le modèle prévoit.

Le fil du chapitre

Le coefficient mesure la FORCE du lien, la pente en mesure l'EFFET, et ce sont deux questions différentes : un lien fort peut avoir un petit effet, un lien faible un grand effet, et aucun des deux ne prouve une cause.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
5Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
6Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
7Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3
8La géométrie analytique

Notions couvertes

Nuage de points
Corrélation linéaire
Coefficient de corrélation
Sens et intensité d'un lien
Droite de Mayer
Point moyen global
Interpolation et extrapolation
Corrélation et causalité
Choix d'un modèle

L'essentiel

Décrire un nuage : sens, forme, intensité

• Trois mots suffisent, et l'examen les attend tous les trois. Le SENS : positif si les deux variables montent ensemble, négatif si l'une monte quand l'autre descend. La FORME : linéaire ou non. L'INTENSITÉ : du lien nul au lien parfait.
• Le coefficient $r$ résume les deux premiers : son SIGNE donne le sens, sa VALEUR ABSOLUE donne l'intensité. Il varie entre $-1$ et $1$ .
• Repères d'intensité : nulle sous $0{,}20$ , faible jusqu'à $0{,}50$ , moyenne jusqu'à $0{,}75$ , forte jusqu'à $0{,}90$ , très forte au-delà.
• Une corrélation NÉGATIVE n'est pas moins bonne qu'une positive : $-0{,}95$ décrit un lien aussi fort que $+0{,}95$ . C'est le contexte qui dit si la tendance est souhaitable.

Un nuage descendant et serré : corrélation linéaire négative et forte, d'environ

-0{,}95

. La droite de Mayer le résume, de pente

-34

ms par heure.

Rédaction attendue en une phrase : « il existe une corrélation linéaire négative et forte entre les heures de sommeil et le temps de réaction ». Les trois mots comptent.

La droite de Mayer, et sa vérification gratuite

• On range les couples par abscisse croissante, on coupe la liste en DEUX GROUPES de même effectif, et l'on calcule le point moyen de chaque groupe.
• La moyenne se fait séparément : celle des $x$ entre eux, celle des $y$ entre eux. La droite joint ensuite les deux points moyens obtenus.
• La droite de Mayer passe TOUJOURS par le point moyen GLOBAL du nuage, celui qui a pour coordonnées les moyennes de toutes les abscisses et de toutes les ordonnées.
• C'est la vérification du chapitre : elle contrôle d'un seul calcul la pente ET l'ordonnée à l'origine.

Les deux points moyens

(30\,;3)

(110\,;5{,}05)

définissent la droite, et le point moyen global

(70\,;4{,}025)

tombe exactement dessus.

Une droite RÉSUME le nuage : elle ne passe pas par tous les points, et un écart de quelques pour cent entre prévision et observation est normal.

Ce que le coefficient ne dit pas

• IL NE DIT PAS LA CAUSE. Un $r$ de $0{,}91$ entre crèmes glacées et coups de soleil vient d'une variable cachée, la chaleur. Aucune valeur de $r$ ne démontre une causalité.
• IL NE MESURE QUE LE LINÉAIRE. Un nuage en parabole peut donner $r=0{,}03$ tout en présentant un lien parfait : il faut regarder la FORME.
• IL NE DIT PAS L'EFFET. C'est la PENTE qui donne le changement par unité, en dollars par degré ou en millisecondes par heure. Une grande pente peut accompagner un nuage très dispersé.
• IL NE VALIDE PAS UNE EXTRAPOLATION. Une droite ajustée entre $0$ et $140$ ne dit rien de ce qui se passe à $1000$ , et peut y prévoir l'impossible.

Avant de commenter un coefficient, on regarde le nuage. Le nombre seul ne distingue pas l'absence de lien de la présence d'un lien non linéaire.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Comment lire un coefficient de corrélation ?

On lit le coefficient en deux temps : d'abord son signe, qui donne le sens, puis sa valeur absolue, qui donne l'intensité. Les deux dernières lignes rappellent ce qu'il ne dit jamais.

Valeur de $r$	Lecture	Ce qu'on écrit
$0{,}86$	positif, fort	corrélation linéaire positive et forte
Exemple : Heures d'étude et note : $5$ h donnent $59$ points, $20$ h en donnent $104$ , soit $+3$ points par heure.
$-0{,}41$	négatif, faible	corrélation linéaire négative et faible
Exemple : Âge et prix d'un véhicule : $-900$ dollars par an en moyenne, mais deux autos de $6$ ans valent $9000$ et $15000$ dollars.
$0{,}05$	nulle	aucune corrélation linéaire
Exemple : Pointure et revenu : $r=0{,}05$ , et la droite de Mayer a une pente de $80$ dollars par pointure, sans aucune valeur.
$-0{,}95$	négatif, très fort	corrélation linéaire négative très forte
Exemple : Sommeil et temps de réaction : $-34$ ms par heure, et les points serrent la droite.
$0{,}91$	positif, très fort	donc l'un cause l'autre conclusion interdite
Exemple : Crèmes glacées et coups de soleil : $120$ ventes et $14$ cas à $30$ degrés, $30$ ventes et $3$ cas à $12$ degrés. Même forme, autre résultat : La lecture correcte s'arrête à « les deux varient ensemble » : le coefficient serait le même si l'on inversait les deux variables. Ce qu'il faut faire : Remplacer tout verbe de cause par « varient ensemble » ou « sont associés », et nommer la variable cachée quand on la devine.
$0{,}00$	nulle	donc aucun lien du tout lecture incomplete
Exemple : Le nuage $(-2\,;4)$ , $(-1\,;1)$ , $(0\,;0)$ , $(1\,;1)$ , $(2\,;4)$ donne $r=0$ pour un lien parfait, $y=x^{2}$ . Même forme, autre résultat : Comparez avec la pointure et le revenu, où le nuage est vraiment sans forme : même coefficient, situations opposées. Ce qu'il faut faire : Regarder le nuage AVANT de conclure, et écrire « pas de lien LINÉAIRE » plutôt que « pas de lien ».

Les deux cases rouges ont la même cause : on a commenté le NOMBRE sans regarder le NUAGE. C'est la règle de travail de tout le chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à une cause

2 à 3 points, et c'est la question d'interprétation la mieux notée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=0{,}91$ entre les ventes de crème glacée et les coups de soleil : la crème glacée cause les coups de soleil. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux quantités varient ensemble, entraînées par une variable cachée, la chaleur. »

Pourquoi : Le coefficient mesure un lien STATISTIQUE, jamais une cause. Aucune valeur, si proche de $1$ soit-elle, ne changera cela : la causalité ne se démontre pas avec un nuage de points.

2. Lire un coefficient proche de zéro

la question entière, avec une conclusion contredite par la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=0{,}03$ , donc il n'y a aucun lien entre les deux variables. »

Ce qu'il faut écrire

« Il n'y a pas de lien LINÉAIRE ; le nuage montre pourtant une parabole nette. »

Pourquoi : $r$ ne mesure que l'alignement. Un lien courbé, même parfait, lui échappe complètement. C'est pour cela qu'on regarde toujours le nuage avant de commenter.

3. Comparer deux distributions

2 à 3 points, et la comparaison demandée est ratée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Ma pente vaut $120$ contre $45$ , donc mon lien est plus fort. »

Ce qu'il faut écrire

« La pente mesure l'EFFET. Le lien est plus fort là où $r=0{,}88$ , pas là où $r=0{,}52$ . »

Pourquoi : Un nuage à forte pente peut être très dispersé, et un nuage presque plat parfaitement aligné. Les deux nombres répondent à deux questions : le coefficient dit la fiabilité, la pente dit l'ampleur.

4. Extrapoler loin

2 points, et la question de commentaire est souvent notée sur 3

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec $1000$ kg/ha d'engrais, la droite prévoit $27{,}8$ t/ha de rendement. »

Ce qu'il faut écrire

« Le calcul est juste, la conclusion est abusive : on extrapole sept fois au-delà de la plus forte dose observée. »

Pourquoi : La droite n'a été validée qu'entre $0$ et $140$ kg/ha. Au-delà, on prolonge dans une zone où personne n'a mesuré, et la réalité y plafonne puis décroît.

5. Attendre que la droite passe par les points

1 point, et surtout du temps perdu à refaire un calcul correct

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite prévoit $3{,}77$ mais on a mesuré $3{,}9$ : ma droite est fausse. »

Ce qu'il faut écrire

« Un écart de $0{,}13$ tonne, soit $3\,\%$ , est normal : la droite RÉSUME le nuage. »

Pourquoi : La droite de Mayer passe par les deux points moyens et par le point moyen global, et par eux seuls en général. Un ajustement parfait sur tous les points signalerait plutôt des données inventées.

6. Mélanger les deux moyennes d'un groupe

la droite entière, donc toutes les questions qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le point moyen du premier groupe est la moyenne des huit nombres du groupe. »

Ce qu'il faut écrire

« On fait la moyenne des $x$ ENTRE EUX, puis celle des $y$ entre eux : $P_{1}(30\,;3{,}0)$ . »

Pourquoi : Un point moyen est un COUPLE, pas un nombre. Mélanger les abscisses et les ordonnées mêlerait des kilogrammes et des tonnes, et le contrôle des unités suffit à l'écarter.

7. Garder un modèle qui prévoit l'impossible

la question entière, et souvent la conclusion du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite prévoit $-48$ minutes pour huit boyaux, donc c'est très rapide. »

Ce qu'il faut écrire

« Un temps négatif est impossible : le modèle linéaire est inadapté, le nuage est courbé. »

Le nuage s'aplatit alors que la droite continue de descendre : à huit boyaux elle passe sous zéro, ce qu'aucun temps ne peut faire.

Pourquoi : Le coefficient valait pourtant $-0{,}85$ , ce qui paraissait fort. La bonne lecture est la variation INVERSE : $x\times y=240$ pour toutes les données, donc $y=\dfrac{240}{x}$ , qui donne $30$ minutes pour huit boyaux.

8. Interpréter une ordonnée à l'origine

1 point, et une phrase qui affaiblit toute la conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $b=557{,}25$ : c'est le temps de réaction d'un élève qui ne dort pas. »

Ce qu'il faut écrire

« $b$ n'est pas interprétable ici : zéro heure de sommeil est hors de toute situation observée. »

Pourquoi : L'ordonnée à l'origine n'a de sens que si $x=0$ appartient au domaine réel de la situation. Pour l'engrais, $b=2{,}23$ t/ha se lit très bien, car un champ sans engrais existe ; pour le sommeil, non.

Quelle méthode choisir

Que conclure d'un coefficient ?

On regarde d'abord le NUAGE, ensuite le nombre. Le coefficient seul ne permet jamais de conclure.

Si Le nuage est linéaire et $|r|$ est grand → corrélation linéaire forte : la droite est un bon modèle, les prévisions sont fiables

Exemple : $r=-0{,}95$ entre sommeil et temps de réaction : les points serrent la droite
Si Le nuage est linéaire et $|r|$ est petit → lien faible : la tendance existe mais explique peu, la prévision est floue

Exemple : $r=-0{,}41$ entre l'âge d'un véhicule et son prix : d'autres facteurs pèsent
Si Le nuage est COURBÉ, quelle que soit la valeur de $r$ → le modèle linéaire ne convient pas : on choisit un autre modèle

Exemple : $r=-0{,}85$ pour les boyaux, et pourtant la droite prévoit un temps négatif

Quelle que soit la branche, on n'écrit JAMAIS que l'une des variables cause l'autre : aucun nuage de points ne démontre une causalité.

Peut-on se fier à cette prévision ?

Deux questions se posent dans l'ordre : la valeur demandée est-elle dans la plage observée, et le coefficient est-il assez fort ?

Si La valeur est DANS la plage observée → INTERPOLATION : la prévision est fiable si le coefficient est fort

Exemple : $50$ kg/ha entre $0$ et $140$ : $3{,}51$ t/ha, prévision solide
Si La valeur est juste AU-DELÀ de la plage → extrapolation proche : acceptable, à présenter comme une estimation

Exemple : $10$ heures de sommeil quand on a observé jusqu'à $9$ : $217$ ms environ
Si La valeur est LOIN au-delà → extrapolation abusive : on refuse de conclure et l'on dit pourquoi

Exemple : $1000$ kg/ha quand on a observé jusqu'à $140$ : $27{,}8$ t/ha, sans valeur

Signal d'alarme imparable : une prévision impossible, temps négatif, effectif fractionnaire, rendement démesuré, prouve à elle seule que le modèle est sorti de sa plage.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Construire et écrire une droite de Mayer

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau de couples et demande une droite de régression ou une prévision.

1 Ranger les couples par abscisse croissante, puis couper la liste en deux groupes de même effectif.
2 Calculer les deux points moyens, en moyennant les $x$ entre eux et les $y$ entre eux, et les écrire comme des COUPLES.
3 Calculer la pente comme quotient des différences entre les deux points moyens, et l'interpréter avec son unité.
4 Substituer l'un des deux points moyens pour obtenir $b$ , puis écrire l'équation complète.
5 Vérifier que la droite passe par le point moyen GLOBAL du nuage.

Phrase de conclusion

« $P_{1}(30\,;3{,}0)$ et $P_{2}(110\,;5{,}05)$ donnent $m=\dfrac{2{,}05}{80}=0{,}0256$ t/ha par kg/ha et $b=2{,}23$ , donc $y=0{,}0256x+2{,}23$ . Le point moyen global $(70\,;4{,}025)$ vérifie l'équation. »

Le piège : Oublier d'interpréter la pente. En séquence CST, la phrase qui donne son sens et son unité vaut souvent autant de points que le calcul.

Barème : 1 point par point moyen, 1 point pour la pente, 1 point pour l'équation, 1 point pour la vérification par le point moyen global

Rédiger une conclusion sur une corrélation

Quand l'utiliser : L'énoncé demande d'interpréter, de comparer deux études ou de conseiller une décision.

1 Nommer le SENS et l'INTENSITÉ du lien, avec le mot LINÉAIRE : « corrélation linéaire positive et forte ».
2 Donner ce que la pente prévoit par unité, avec son unité.
3 Dire jusqu'où la prévision est valable, en nommant la plage des données observées.
4 Ajouter la réserve sur la causalité quand la question invite à conclure sur une cause.
5 Terminer par une phrase de décision, prudente et appuyée sur les deux nombres.

Phrase de conclusion

« La méthode A donne une relation plus fiable, $r=0{,}79$ contre $0{,}34$ , et reste plus avantageuse jusqu'à environ $6{,}5$ heures de révision ; la comparaison ne prouve toutefois pas qu'une méthode CAUSE de meilleures notes. »

Le piège : Conclure à partir de la seule pente. Une méthode peut promettre davantage par heure et rester la moins fiable des deux.

Barème : 1 point pour le sens et l'intensité, 1 point pour l'effet chiffré, 1 point pour la réserve sur la validité ou la causalité

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le point moyen global est sur la droite

Calculez la moyenne de tous les $x$ et celle de tous les $y$ , puis substituez dans votre équation. Vous devez retomber exactement sur la seconde moyenne.

$0{,}025625\times 70+2{,}23125=4{,}025$ , qui est bien la moyenne des rendements.
Le signe de la pente contre le nuage

Regardez si le nuage monte ou descend, et vérifiez que le signe de votre pente dit la même chose. Une erreur de signe se voit en une seconde.

Le nuage du sommeil descend, donc la pente doit être négative : $-34$ ms par heure.
La prévision est-elle possible ?

Relisez le résultat et demandez-vous s'il a un sens physique : un temps, une masse et un effectif ne sont jamais négatifs.

$-48$ minutes pour huit boyaux : le modèle linéaire est à rejeter, pas le calcul à refaire.
Dans la plage, ou en dehors ?

Comparez la valeur demandée à la plus petite et à la plus grande abscisse observées. Au-delà, annoncez qu'il s'agit d'une extrapolation.

$200$ kg/ha dépasse les $140$ observés : la prévision de $7{,}35$ t/ha doit être présentée comme fragile.
Le mot cause n'apparaît pas

Relisez votre conclusion et cherchez les mots cause, provoque, entraîne. S'ils y sont, remplacez-les par varient ensemble ou sont associés.

« Les ventes de crème glacée et les coups de soleil varient ensemble », et non « la crème glacée provoque des coups de soleil ».

L'exercice type décortiqué

Une étude complète : l'engrais et le rendement

Un producteur relève le rendement obtenu pour huit doses d'engrais, de $0$ à $140$ kg/ha : $2{,}1$ ; $2{,}8$ ; $3{,}2$ ; $3{,}9$ ; $4{,}3$ ; $4{,}9$ ; $5{,}2$ ; $5{,}8$ t/ha.

Construisez la droite de Mayer, prévoyez le rendement pour $50$ kg/ha, et dites si le producteur a intérêt à épandre $1000$ kg/ha.

Étape 1

Premier groupe, abscisses $0$ à $60$ : $P_{1}(30\,;3{,}0)$ . Second groupe, abscisses $80$ à $140$ : $P_{2}(110\,;5{,}05)$ .

Pourquoi

On coupe en deux groupes de MÊME effectif, et l'on moyenne les $x$ entre eux puis les $y$ entre eux. Un point moyen est un couple, jamais un nombre : mélanger les deux mêlerait des kilogrammes et des tonnes.

Étape 2

$m=\dfrac{5{,}05-3{,}0}{110-30}=\dfrac{2{,}05}{80}=0{,}0256$ t/ha par kg/ha.

Pourquoi

L'unité se lit dans le quotient et elle porte l'interprétation : chaque kilogramme d'engrais rapporte environ $26$ kilogrammes de grain. Donner la pente sans cette phrase coûte un point en CST.

Étape 3

$3{,}0=0{,}025625\times 30+b$ donne $b=2{,}23$ , donc $y=0{,}0256x+2{,}23$ .

Pourquoi

Ici $b$ EST interprétable : sans engrais, le rendement serait d'environ $2{,}23$ t/ha, ce que la première donnée, $2{,}1$ , confirme à peu près. Ce n'est pas toujours le cas, et il faut le vérifier avant d'interpréter.

Étape 4

Vérification : moyenne globale $(70\,;4{,}025)$ , et $0{,}025625\times 70+2{,}23125=4{,}025$ .

Pourquoi

La droite de Mayer passe toujours par le point moyen global. Cette égalité valide d'un coup la pente et l'ordonnée à l'origine, et c'est la seule vérification qui contrôle les deux ensemble.

Étape 5

Prévision à $50$ kg/ha : $0{,}0256\times 50+2{,}23=3{,}51$ t/ha.

Pourquoi

La valeur $50$ est comprise entre $0$ et $140$ : c'est une INTERPOLATION, donc une prévision fiable. On le dit, parce que la question suivante va porter sur le cas contraire.

Étape 6

Prévision à $1000$ kg/ha : $27{,}83$ t/ha, à rejeter.

Pourquoi

On extrapole sept fois au-delà de la plus forte dose observée, et l'on annonce un rendement près de cinq fois supérieur au meilleur mesuré. Le calcul est juste, la conclusion est abusive : le modèle n'a jamais été validé dans cette zone, et l'on sait qu'un excès d'engrais finit par nuire.

Conclusion rédigée

La droite de Mayer est $y=0{,}0256x+2{,}23$ , elle prévoit $3{,}51$ t/ha pour $50$ kg/ha, et sa prévision de $27{,}83$ t/ha à $1000$ kg/ha doit être rejetée : elle sort largement de la plage des données observées.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que l'engrais CAUSE le rendement à partir du seul nuage. Le lien est ici plausible et documenté par ailleurs, mais ce ne sont pas ces huit points qui le démontrent : un nuage établit une association, jamais une cause.

À savoir par cœur

• Un nuage se décrit en trois mots : le SENS, la FORME, l'INTENSITÉ. Les trois sont attendus.
• $r$ va de $-1$ à $1$ : le signe donne le sens, la valeur absolue donne l'intensité.
• Repères : nulle sous $0{,}20$ , faible jusqu'à $0{,}50$ , moyenne jusqu'à $0{,}75$ , forte jusqu'à $0{,}90$ .
• Corrélation n'est pas causalité : une variable cachée peut faire monter les deux ensemble.
• $r$ ne mesure que le LINÉAIRE : un nuage courbé peut donner un coefficient proche de zéro.
• Mayer : deux groupes de même effectif, deux points moyens, et la droite qui les joint.
• La droite de Mayer passe TOUJOURS par le point moyen global : c'est la vérification gratuite.
• Le coefficient dit la FIABILITÉ du modèle, la pente dit l'EFFET par unité. Deux questions distinctes.
• Interpoler, c'est prévoir dans la plage observée ; extrapoler, c'est en sortir, et le risque grandit avec la distance.
• Une prévision impossible, temps négatif ou rendement démesuré, prouve que le modèle est sorti de sa plage.

Questions fréquentes

Que signifie un coefficient de corrélation de 0,86 ?

Le signe est positif, donc les deux variables augmentent ensemble. La valeur absolue, 0,86, se situe dans la zone forte, entre 0,75 et 0,90 : les points sont bien groupés autour d'une droite. La rédaction attendue est qu'il existe une corrélation linéaire positive et forte entre les deux variables. Le mot linéaire compte autant que les deux autres.

Une corrélation forte prouve-t-elle qu'une variable cause l'autre ?

Non, jamais. Le coefficient mesure un lien statistique : les deux quantités varient ensemble, c'est tout. Une variable cachée peut expliquer les deux, comme la chaleur derrière les ventes de crème glacée et les coups de soleil. On écrit donc que les deux varient ensemble, et on évite les mots cause, provoque ou entraîne dans la conclusion.

Comment construire une droite de Mayer ?

On range les couples par abscisse croissante, on coupe la liste en deux groupes de même effectif, et on calcule le point moyen de chaque groupe en moyennant les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles. La droite joint ces deux points. Pour vérifier, on calcule le point moyen global du nuage : la droite doit passer exactement par lui.

Quelle est la différence entre interpoler et extrapoler ?

Interpoler, c'est prévoir une valeur située à l'intérieur de la plage des données observées ; la prévision est alors fiable, puisque la droite y a été ajustée sur de vraies mesures. Extrapoler, c'est sortir de cette plage : on prolonge la droite là où personne n'a mesuré. Un pas au-delà reste acceptable comme estimation, mais une extrapolation lointaine ne vaut rien.

Un coefficient proche de zéro veut-il dire qu'il n'y a aucun lien ?

Non. Il veut dire qu'il n'y a pas de lien linéaire. Un nuage en forme de parabole, où les points montent puis redescendent, peut donner un coefficient de 0,03 alors que le lien est total et parfaitement prévisible. C'est pourquoi on regarde toujours la forme du nuage avant de commenter le nombre : le coefficient ne distingue pas l'absence de lien d'un lien courbé.

La pente et le coefficient mesurent-ils la même chose ?

Non, et c'est la confusion la plus fréquente. Le coefficient mesure la force du lien, c'est-à-dire à quel point les points serrent la droite, donc la fiabilité d'une prévision. La pente mesure l'effet : de combien la seconde variable change quand la première augmente d'une unité. Un lien faible peut avoir un grand effet, et un lien fort un petit effet.

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Exercices corrigés : Nuage de points, corrélation et régression

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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