Exercices corrigés : probabilités, chances et espérance (math CST, secondaire 5)

a) Les huit secteurs sont de même taille, donc chacun a la même probabilité d'être désigné. Trois d'entre eux sont rouges, d'où $P(R)=\dfrac{3}{8}=0{,}375$. C'est une probabilité THÉORIQUE : elle se calcule à partir de la structure de l'expérience, en comptant les cas favorables sur les cas possibles, sans avoir besoin de faire tourner la roue une seule fois.

b) L'élève obtient $\dfrac{68}{200}=0{,}34$. C'est une probabilité FRÉQUENTIELLE, ou expérimentale : elle vient d'une série d'essais réels et non d'un raisonnement. Elle diffère de $0{,}375$ à cause du hasard de l'échantillon, exactement comme deux cents lancers de pièce ne donnent presque jamais cent piles exactement. Plus le nombre d'essais grandit, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique : c'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres. Une probabilité SUBJECTIVE serait d'un troisième type, fondée sur un jugement, par exemple « je pense avoir sept chances sur dix de réussir cet examen ».

c) « Rouge » et « bleu » sont INCOMPATIBLES : la roue s'arrête sur un seul secteur, donc ces deux événements ne peuvent pas se produire ensemble et $P(R \text{ et } B)=0$. Ils ne sont pas COMPLÉMENTAIRES pour autant, car il reste le jaune : $P(R)+P(B)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{8}$, qui ne fait pas $1$. « Rouge » et « non rouge », eux, sont complémentaires : ils sont incompatibles ET leurs probabilités totalisent $1$, puisque $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{8}=1$. Retenez la distinction, elle est constamment évaluée : incompatibles veut dire « jamais ensemble », complémentaires veut dire « jamais ensemble ET toujours l'un des deux ».

d) Ils sont INDÉPENDANTS. La roue ne conserve aucune trace du tour précédent : la composition des secteurs est inchangée, donc la probabilité d'obtenir du rouge au deuxième tour vaut encore $\dfrac{3}{8}$, quel que soit le premier résultat. Les tirages deviennent dépendants seulement lorsque la première épreuve modifie la seconde, ce qui est le cas d'un tirage SANS remise, où un jeton retiré ne peut plus sortir.

a) Sur $5$ cas possibles, $2$ sont favorables, donc $5-2=3$ sont défavorables. Les CHANCES POUR sont donc de $2$ contre $3$, ce qui s'écrit $2:3$, et les CHANCES CONTRE de $3$ contre $2$, soit $3:2$. Le passage de la probabilité aux chances tient en une phrase : le dénominateur des chances n'est pas le total, c'est ce qui RESTE une fois les cas favorables retirés.

b) Des chances contre de $7:3$ signifient $7$ cas défavorables pour $3$ cas favorables, donc $7+3=10$ cas au total. La probabilité de l'événement vaut $\dfrac{3}{10}=0{,}3$, et celle de son complémentaire $\dfrac{7}{10}$. On vérifie : $0{,}3+0{,}7=1$. La règle générale est que des chances de $a:b$ en faveur correspondent à la probabilité $\dfrac{a}{a+b}$.

c) « $4$ contre $1$ » désigne des chances CONTRE de $4:1$ : quatre cas défavorables pour un cas favorable, soit $5$ cas au total. La probabilité de gain vaut donc $\dfrac{1}{5}=0{,}2$. C'est le sens usuel dans un pari, et il est prudent de le préciser dans la copie : « en lisant $4$ contre $1$ comme des chances contre ». Le correcteur attend cette phrase autant que le résultat.

d) L'erreur est d'avoir gardé le TOTAL, $5$, comme second terme des chances, alors que ce second terme doit être le nombre de cas DÉFAVORABLES, $3$. Écrire $2:5$ revient à annoncer $7$ cas en tout, donc une probabilité de $\dfrac{2}{7}\approx 0{,}286$, ce qui n'est pas $0{,}4$. La conversion est fausse dans les deux sens, et c'est en général l'erreur la plus coûteuse de ce chapitre : elle rend faux tout ce qui suit dans le problème, y compris une espérance correctement calculée à partir d'une mauvaise probabilité.

a) La colonne des totaux donne $120$ élèves qui pratiquent un sport, donc $P(S)=\dfrac{120}{200}=0{,}6$. La ligne des totaux donne $70$ élèves qui jouent d'un instrument, donc $P(I)=\dfrac{70}{200}=0{,}35$. On lit toujours les probabilités simples dans les MARGES du tableau, jamais à l'intérieur : les cases intérieures sont des intersections.

b) Première façon, par la formule : $P(S \text{ ou } I) = P(S)+P(I)-P(S \text{ et } I) = 0{,}6+0{,}35-\dfrac{45}{200} = 0{,}6+0{,}35-0{,}225 = 0{,}725$. On retire l'intersection parce que les $45$ élèves qui font les deux ont été comptés une fois dans $120$ et une fois dans $70$. Deuxième façon, par dénombrement direct : les élèves concernés sont ceux des trois cases $45$, $75$ et $25$, soit $145$ élèves, d'où $\dfrac{145}{200}=0{,}725$. Les deux méthodes concordent, et faire les deux est la meilleure façon de ne pas oublier la soustraction.

c) Ils sont COMPATIBLES, car $45$ élèves pratiquent les deux activités : l'intersection n'est pas vide, $P(S \text{ et } I)=0{,}225 \neq 0$. Ils ne sont donc pas incompatibles. Le critère est toujours le même et il se lit dans une seule case : une intersection nulle rend les événements incompatibles, une intersection non nulle les rend compatibles.

d) Il faut comparer $P(S)\times P(I)$ à $P(S \text{ et } I)$. Le produit vaut $0{,}6\times 0{,}35=0{,}21$, alors que l'intersection vaut $0{,}225$. Comme $0{,}21 \neq 0{,}225$, les deux événements sont DÉPENDANTS : jouer d'un instrument est un peu plus fréquent chez les sportifs que dans l'école entière. Notez que compatibilité et indépendance sont deux questions distinctes, malgré leurs noms voisins : la première demande si les deux événements peuvent se produire ensemble, la seconde si l'un modifie la probabilité de l'autre.

a) « Sachant qu'il pratique un sport » restreint l'univers aux $120$ sportifs. Parmi eux, $45$ jouent d'un instrument, donc $P(I \mid S)=\dfrac{45}{120}=0{,}375$. On peut aussi appliquer la formule $P(I \mid S)=\dfrac{P(I \text{ et } S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}225}{0{,}6}=0{,}375$ : les deux chemins donnent le même nombre, et sur un tableau à double entrée le comptage direct est plus rapide et moins risqué.

b) Cette fois la condition restreint l'univers aux $70$ musiciens, parmi lesquels $45$ pratiquent un sport, donc $P(S \mid I)=\dfrac{45}{70}\approx 0{,}6429$. Par la formule : $\dfrac{0{,}225}{0{,}35}\approx 0{,}6429$.

c) Parce que le NUMÉRATEUR est le même, les $45$ élèves qui font les deux, mais le DÉNOMINATEUR change : on rapporte ces $45$ élèves à $120$ dans un cas et à $70$ dans l'autre. Une probabilité conditionnelle est toujours une part rapportée au sous-groupe nommé après le mot « sachant », et changer ce sous-groupe change la réponse. $P(I \mid S)$ et $P(S \mid I)$ ne sont donc jamais égales sauf coïncidence, et les confondre est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

d) Les non-sportifs sont $80$, et $25$ d'entre eux jouent d'un instrument, d'où $P(I \mid \text{non } S)=\dfrac{25}{80}=0{,}3125$. On compare les trois nombres : $0{,}3125$ chez les non-sportifs, $0{,}35$ dans l'école entière, $0{,}375$ chez les sportifs. Pratiquer un sport va donc de pair avec une pratique musicale un peu plus fréquente, ce qui confirme la dépendance trouvée à l'exercice précédent. Attention à la conclusion : ces nombres établissent un LIEN, ils ne démontrent pas que le sport pousse à faire de la musique, et une réponse qui l'affirmerait serait fausse.

a) Les billes étant tirées au hasard dans un sac de $20$, chaque bille a la même probabilité. On obtient $P(\text{vert})=\dfrac{2}{20}=0{,}10$, $P(\text{bleu})=\dfrac{5}{20}=0{,}25$ et $P(\text{blanc})=\dfrac{13}{20}=0{,}65$. Leur somme vaut $0{,}10+0{,}25+0{,}65=1$, ce qui est obligatoire : les trois issues couvrent tous les cas possibles et s'excluent deux à deux. Cette vérification prend cinq secondes et détecte presque toutes les erreurs de lecture d'énoncé.

b) L'espérance est la moyenne des gains PONDÉRÉE par leurs probabilités : $E = 0{,}10\times 10 + 0{,}25\times 4 + 0{,}65\times 0 = 1+1+0 = 2$ dollars. Autrement dit, une partie rapporte en moyenne $2$ dollars de lots. Remarquez que ce nombre n'est jamais gagné par personne : aucun joueur ne repart avec $2$ dollars, on gagne $10$, $4$ ou rien. L'espérance décrit ce qui se passe À LA LONGUE, pas ce qui arrive à une partie.

c) La partie coûte $3$ dollars, quel que soit le résultat. L'espérance du gain net vaut donc $E_{\text{net}} = 2-3 = -1$ dollar. On peut aussi la calculer directement sur les gains nets : $0{,}10\times 7 + 0{,}25\times 1 + 0{,}65\times(-3) = 0{,}7+0{,}25-1{,}95 = -1$ dollar. Le jeu n'est donc PAS équitable : un jeu équitable est un jeu dont l'espérance du gain net est nulle. Ici elle est négative, ce qui signifie que le kiosque gagne en moyenne $1$ dollar par partie jouée.

d) On peut prévoir le résultat GLOBAL : sur $100$ parties, le joueur perdra en moyenne $100\times 1 = 100$ dollars, et cette prévision est fiable parce que les écarts d'une partie à l'autre se compensent en grand nombre. On ne peut RIEN prévoir d'une partie en particulier : il est parfaitement possible de tirer une bille verte au premier essai et de repartir avec $7$ dollars de gain net. L'espérance ne dit pas ce qui va arriver, elle dit vers quoi tend la moyenne quand on répète l'expérience, et c'est exactement ce qui rend le modèle utile au kiosque et dangereux pour le joueur.

a) L'espérance des lots vaut $2$ dollars, calculée à l'exercice précédent et inchangée ici. Le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle, donc lorsque le prix de la partie égale l'espérance des lots : le prix équitable est de $2$ dollars. On vérifie : $0{,}10\times(10-2)+0{,}25\times(4-2)+0{,}65\times(0-2) = 0{,}8+0{,}5-1{,}3 = 0$.

b) On écrit l'équation de l'équité avec le lot vert inconnu : $0{,}10x + 0{,}25\times 4 + 0{,}65\times 0 = 3$, soit $0{,}10x + 1 = 3$, donc $0{,}10x = 2$ et $x = 20$ dollars. Le lot des billes vertes devrait donc doubler, passant de $10$ à $20$ dollars. La vérification est indispensable : $0{,}10\times 20 + 0{,}25\times 4 = 2+1 = 3$ dollars, ce qui égale bien le prix de la partie.

c) Un profit moyen de $0{,}50$ dollar pour le kiosque signifie une espérance de gain net de $-0{,}50$ dollar pour le joueur. Comme l'espérance des lots vaut $2$ dollars, le prix doit valoir $2+0{,}50 = 2{,}50$ dollars. Sur $500$ parties, le profit espéré est de $500\times 0{,}50 = 250$ dollars. Notez au passage que le prix actuel de $3$ dollars procure au kiosque $1$ dollar par partie, soit le double de l'objectif : baisser le prix à $2{,}50$ dollars réduirait sa marge, mais attirerait sans doute plus de joueurs, et le nombre de parties compte autant que la marge.

d) C'est faux, et la confusion est classique. Un jeu équitable a une espérance NULLE, ce qui signifie que la moyenne des gains nets tend vers zéro quand le nombre de parties devient grand ; cela ne dit rien d'une partie particulière. En jouant une seule fois au jeu équitable à $2$ dollars, le client perd $2$ dollars avec une probabilité de $0{,}65$, ce qui est de loin l'issue la plus probable. L'équité ne protège pas le joueur, elle garantit seulement qu'aucun des deux camps n'est avantagé à la longue.

a) Parce que le premier jeton n'est pas remis : après le premier tirage il ne reste que $7$ jetons dans le sac, et sa composition dépend de ce qui est sorti. Si le premier jeton est rouge, il reste $4$ rouges et $3$ noirs, d'où $\dfrac{4}{7}$ et $\dfrac{3}{7}$ ; s'il est noir, il reste $5$ rouges et $2$ noirs, d'où $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{2}{7}$. Les deux tirages sont donc DÉPENDANTS, et les probabilités du deuxième étage sont précisément des probabilités conditionnelles.

b) On multiplie le long du chemin, ce qui est la règle de lecture d'un arbre : $P(RR) = \dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}3571$. Multiplier le long d'un chemin traduit un « et » : il faut que le premier soit rouge ET que le second le soit aussi.

c) Exactement un rouge correspond à DEUX chemins, rouge puis noir et noir puis rouge, et on additionne parce qu'il s'agit d'un « ou » entre deux chemins incompatibles : $P = \dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56} = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28} \approx 0{,}5357$. Enfin $P(NN)=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{56}$. La somme des quatre chemins vaut $\dfrac{20+15+15+6}{56}=\dfrac{56}{56}=1$, ce qui valide l'arbre entier. Cette vérification est la meilleure du chapitre : si le total ne fait pas $1$, une branche a été mal remplie.

d) Elle AUGMENTE. Avec remise, le sac retrouve ses $8$ jetons, donc $P(RR)=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{64}\approx 0{,}3906$, contre $0{,}3571$ sans remise. L'explication tient au deuxième facteur : sans remise il vaut $\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571$, avec remise $\dfrac{5}{8}=0{,}625$. Retirer un jeton rouge appauvrit le sac en rouges et rend le second rouge moins probable. Le réflexe à prendre est de relire l'énoncé pour y chercher « sans remise » ou « simultanément », qui veulent dire la même chose, avant d'écrire la moindre fraction.

1) FAUX. Le second terme des chances est le nombre de cas DÉFAVORABLES, pas le total. Avec $3$ cas favorables sur $7$ possibles, il y a $7-3=4$ cas défavorables. Énoncé correct : les chances pour sont de $3$ contre $4$, et les chances contre de $4$ contre $3$. Le contrôle à faire dans les deux sens est simple, des chances de $a:b$ donnent la probabilité $\dfrac{a}{a+b}$, et ici $\dfrac{3}{3+4}=\dfrac{3}{7}$ : on retombe bien sur l'énoncé.

2) FAUX. Incompatibles signifie seulement qu'ils ne peuvent pas se produire ensemble. Sur la roue de l'exercice 1, « rouge » et « bleu » sont incompatibles, et pourtant leurs probabilités totalisent $\dfrac{6}{8}$ et non $1$, parce qu'il reste le jaune. Énoncé correct : deux événements sont complémentaires lorsqu'ils sont incompatibles ET que la somme de leurs probabilités vaut $1$, autrement dit lorsque l'un est exactement le contraire de l'autre.

3) FAUX, et c'est le contresens le plus répandu sur l'espérance. Dans le jeu de l'exercice 5, aucun joueur ne gagne jamais $2$ dollars : on gagne $10$, $4$ ou rien. Énoncé correct : l'espérance est la moyenne des gains pondérée par leurs probabilités, et elle décrit ce vers quoi tend le gain MOYEN quand on répète un grand nombre de parties. Sur une partie, elle ne prédit rien.

4) FAUX. Les deux fractions ont le même numérateur, $P(A \text{ et } B)$, mais des dénominateurs différents, $P(B)$ pour la première et $P(A)$ pour la seconde. Avec le tableau des exercices 3 et 4 : $P(I \mid S)=0{,}375$ alors que $P(S \mid I)\approx 0{,}6429$. Énoncé correct : $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \text{ et } B)}{P(B)}$, et cette valeur diffère en général de $P(B \mid A)$. Ce que l'on écrit après la barre est la condition, donc le dénominateur.

5) FAUX : le calcul et la conclusion n'ont rien à voir. On multiplie le long d'un chemin dans TOUS les arbres, avec ou sans remise, parce que multiplier traduit un « et ». Ce qui distingue les deux cas, ce sont les probabilités du deuxième étage : sans remise elles changent selon le résultat du premier tirage, ce qui est la définition même de la dépendance. Énoncé correct : deux événements sont indépendants lorsque $P(A \text{ et } B) = P(A)\times P(B)$, c'est-à-dire lorsque la probabilité du second ne change pas selon ce qui est arrivé au premier ; un tirage sans remise ne remplit jamais cette condition.

a) Chaque lot apporte à l'espérance sa valeur multipliée par sa probabilité. Le gros lot apporte $\dfrac{1}{10\,000}\times 20\,000 = 2$ dollars ; le lot de $100$ dollars apporte $\dfrac{1}{500}\times 100 = 0{,}20$ dollar ; le lot de $10$ dollars apporte $\dfrac{1}{50}\times 10 = 0{,}20$ dollar. L'espérance de gain vaut donc $2+0{,}20+0{,}20 = 2{,}40$ dollars par billet.

b) Le billet coûte $5$ dollars dans tous les cas, donc l'espérance du gain net vaut $2{,}40-5 = -2{,}60$ dollars. Le jeu n'est pas équitable : un joueur perd en moyenne $2{,}60$ dollars par billet acheté, soit $52\,\%$ de sa mise. C'est un ordre de grandeur habituel pour une loterie, et il ne dépend ni de la chance du joueur ni du moment de l'achat.

c) Les revenus valent $200\,000\times 5 = 1\,000\,000$ dollars. Les lots versés coûtent en moyenne $200\,000\times 2{,}40 = 480\,000$ dollars. Le profit espéré est donc de $1\,000\,000-480\,000 = 520\,000$ dollars, ce qui correspond aussi à $200\,000\times 2{,}60$ dollars, la perte moyenne du joueur multipliée par le nombre de billets. Les deux calculs doivent concorder, et les faire tous les deux est une bonne vérification.

d) Oui : le gros lot apporte $2$ dollars sur les $2{,}40$ d'espérance, soit environ $83\,\%$ du total, alors qu'il ne concerne qu'un billet sur dix mille. C'est le principe de toute loterie : un lot énorme et très rare pèse plus lourd, dans l'espérance, que des petits lots fréquents. Pour rendre la loterie équitable il faudrait porter l'espérance de $2{,}40$ à $5$ dollars, par exemple en faisant passer le gros lot de $20\,000$ à $46\,000$ dollars, puisque $\dfrac{46\,000}{10\,000}+0{,}40 = 5$ dollars. On peut aussi, à lots inchangés, baisser le prix du billet à $2{,}40$ dollars.

a) On multiplie le long du chemin « malade » puis « test positif » : $P = 0{,}02\times 0{,}95 = 0{,}019$. Autrement dit, sur $1000$ personnes testées, environ $19$ sont malades et détectées.

b) Un test positif peut venir de deux chemins incompatibles, donc on additionne. Chemin des malades : $0{,}02\times 0{,}95 = 0{,}019$. Chemin des personnes saines : $0{,}98\times 0{,}06 = 0{,}0588$. Au total, $P(\text{positif}) = 0{,}019+0{,}0588 = 0{,}0778$. Sur $1000$ personnes, environ $78$ tests reviennent positifs, dont seulement $19$ correspondent à de vrais malades : les faux positifs sont trois fois plus nombreux que les vrais.

c) On demande une probabilité conditionnelle, donc on divise l'intersection par la condition : $P(\text{malade} \mid \text{positif}) = \dfrac{0{,}019}{0{,}0778} \approx 0{,}2442$, soit environ $24{,}4\,\%$. Un test positif ne signifie donc pas du tout que la personne est malade : dans trois cas sur quatre, elle ne l'est pas. C'est pourquoi un dépistage positif est toujours suivi d'un second examen, plus précis.

d) L'erreur est d'avoir échangé les deux termes de la condition. Le $95\,\%$ de l'énoncé est $P(\text{positif} \mid \text{malade})$, la probabilité d'être détecté QUAND on est malade. Le patient, lui, veut $P(\text{malade} \mid \text{positif})$, qui vaut environ $24{,}4\,\%$. Ces deux nombres portent sur les mêmes $1{,}9\,\%$ de personnes malades et détectées, mais rapportés à des groupes différents : les $2\,\%$ de malades dans un cas, les $7{,}78\,\%$ de tests positifs dans l'autre. La raison profonde du décalage est que la maladie est rare : les personnes saines sont si nombreuses que leurs $6\,\%$ de faux positifs écrasent en nombre les vrais malades détectés.