Math CST, secondaire 5 à Montréal • Probabilités

Fiche de révision : Probabilités, chances et espérance

Cette fiche ne refait pas le cours sur les probabilités : elle traite ce qui coûte réellement des points en évaluation de mathématique CST de cinquième secondaire. Les calculs y tiennent en trois lignes, et pourtant c'est l'un des chapitres où l'on perd le plus : presque chaque question repose sur une distinction de vocabulaire, et une seule confusion rend fausse toute la suite du problème.

Lisez-la avant de faire la série d'exercices du même chapitre, puis relisez le mémo la veille de l'évaluation.

Le fil du chapitre

Une probabilité répond à « quelle proportion », une espérance à « combien à la longue », et les chances ne sont ni l'une ni l'autre : elles comparent le favorable au DÉFAVORABLE. Trois questions, trois dénominateurs.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 5

Notions couvertes

Probabilité théorique
Probabilité fréquentielle
Événements incompatibles
Événements complémentaires
Événements indépendants
Chances pour et chances contre
Probabilité conditionnelle
Tableau à double entrée
Arbre pondéré
Tirage sans remise
Espérance mathématique
Jeu équitable

L'essentiel

Probabilité, chances : deux façons de compter, deux dénominateurs

• Une PROBABILITÉ compare les cas favorables aux cas POSSIBLES : $P=\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ , et elle vit entre $0$ et $1$ .
• Des CHANCES POUR comparent les cas favorables aux cas DÉFAVORABLES, et s'écrivent $a:b$ . Des chances CONTRE inversent les deux termes.
• Passage dans un sens : une probabilité $\dfrac{a}{n}$ donne des chances pour de $a:(n-a)$ . Passage dans l'autre : des chances pour de $a:b$ donnent la probabilité $\dfrac{a}{a+b}$ .
• Un pari annoncé « $4$ contre $1$ » désigne des chances CONTRE : quatre cas défavorables pour un favorable, donc une probabilité de $\dfrac{1}{5}$ .

Sur cinq cas, deux sont favorables : la probabilité les rapporte aux cinq cases, les chances les rapportent aux trois cases restantes. Même situation, deux écritures qui n'ont pas le même dénominateur.

Préciser dans la copie « je lis $4$ contre $1$ comme des chances contre » vaut un demi-point et évite qu'un correcteur prenne une lecture différente de la vôtre.

Le vocabulaire des événements, mot par mot

• INCOMPATIBLES : ils ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A \text{ et } B)=0$ .
• COMPLÉMENTAIRES : incompatibles ET l'un des deux se produit toujours, donc $P(A)+P(B)=1$ . Tout couple complémentaire est incompatible, la réciproque est fausse.
• COMPATIBLES : ils peuvent se produire ensemble, et alors $P(A \text{ ou } B)=P(A)+P(B)-P(A \text{ et } B)$ .
• INDÉPENDANTS : l'un ne change pas la probabilité de l'autre, ce qui se teste par $P(A \text{ et } B)=P(A)\times P(B)$ . Un tirage SANS remise n'est jamais indépendant.

Compatibilité et indépendance sont deux questions différentes malgré leurs noms voisins : la première demande si les deux peuvent arriver ensemble, la seconde si l'un renseigne sur l'autre.

Conditionnelle, espérance, équité

• CONDITIONNELLE : $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \text{ et } B)}{P(B)}$ . Ce qui suit la barre est la CONDITION, donc le dénominateur : on ne compte plus sur tout le monde, mais sur le sous-groupe nommé.
• Sur un tableau à double entrée, une conditionnelle se lit encore plus vite : le numérateur est la case commune, le dénominateur est le total de la ligne ou de la colonne nommée après « sachant ».
• ESPÉRANCE : $E=\sum x_i\times p_i$ , la moyenne des gains pondérée par leurs probabilités. Elle décrit ce qui arrive à la LONGUE, jamais en une partie.
• Un jeu est ÉQUITABLE lorsque l'espérance du gain NET est nulle, prix de la partie compris. Espérance négative : le joueur perd en moyenne ; positive : l'organisateur perd.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire les chances avec le total au lieu des cas défavorables

2 points, et toute question qui repart de là

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La probabilité vaut $\dfrac{2}{5}$ , donc les chances pour sont de $2$ contre $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $5$ cas, $2$ sont favorables et $3$ sont défavorables : les chances pour sont de $2$ contre $3$ , et les chances contre de $3$ contre $2$ . »

Pourquoi : Le second terme des chances est ce qui RESTE, pas le total. La conversion fausse se repère aussitôt : $2:5$ correspondrait à $7$ cas et à la probabilité $\dfrac{2}{7}$ , ce qui n'est pas $0{,}4$ .

2. Prendre deux événements incompatibles pour des complémentaires

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Rouge et bleu ne peuvent pas sortir ensemble, donc $P(\text{bleu})=1-P(\text{rouge})$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Rouge et bleu sont incompatibles, mais pas complémentaires : il reste le jaune. Ici $P(\text{rouge})+P(\text{bleu})=\dfrac{6}{8}$ , et le complémentaire de rouge est « non rouge », de probabilité $\dfrac{5}{8}$ . »

Pourquoi : Le passage au complémentaire est une méthode très rentable, mais elle exige que les deux événements couvrent TOUS les cas. Une troisième issue oubliée suffit à la rendre fausse.

3. Croire qu'une espérance se gagne en une partie

1 point d'interprétation, souvent la question de conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'espérance vaut $2$ dollars, donc je gagnerai $2$ dollars en jouant. »

Ce qu'il faut écrire

« L'espérance vaut $2$ dollars : sur un grand nombre de parties, le gain moyen tend vers $2$ dollars. En une partie, on gagne $10$ dollars, $4$ dollars ou rien, jamais $2$ . »

Pourquoi : L'espérance est une moyenne pondérée, et une moyenne n'est presque jamais une valeur réalisable. La question « que peut-on prévoir » attend un raisonnement sur le grand nombre, pas une prédiction.

4. Oublier le prix de la partie dans l'espérance

toute la question d'équité, 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'espérance des lots vaut $2$ dollars, elle est positive, donc le jeu est avantageux pour le joueur. »

Ce qu'il faut écrire

« L'espérance des lots vaut $2$ dollars, mais la partie coûte $3$ dollars : l'espérance du gain NET vaut $2-3=-1$ dollar. Le jeu n'est pas équitable et le joueur perd en moyenne $1$ dollar par partie. »

Pourquoi : L'équité se juge toujours sur le gain NET. On peut aussi calculer directement sur les gains nets, $-3$ pour une partie perdue, ce qui évite l'oubli.

5. Inverser les deux sens d'une probabilité conditionnelle

toute la question, 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $45$ élèves sur $70$ font du sport et de la musique, donc $P(\text{instrument} \mid \text{sport})=\dfrac{45}{70}\approx 0{,}64$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sachant qu'il fait du sport, l'univers se réduit aux $120$ sportifs : $P(\text{instrument} \mid \text{sport})=\dfrac{45}{120}=0{,}375$ . La fraction $\dfrac{45}{70}$ répond à l'autre question, $P(\text{sport} \mid \text{instrument})$ . »

Les mêmes

45

élèves, deux groupes de référence : rapportés à la colonne des

120

sportifs ils donnent

0{,}375

, rapportés à la bande des

70

musiciens ils donnent

0{,}64

Pourquoi : Le numérateur est le même dans les deux cas, seul le dénominateur change. Ce qui suit le mot « sachant » désigne le groupe sur lequel on compte, donc le dénominateur.

6. Garder le même dénominateur dans un tirage sans remise

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(\text{deux rouges})=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{5}{8}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le premier jeton n'est pas remis : il reste $7$ jetons dont $4$ rouges, donc $P(\text{deux rouges})=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{5}{14}\approx 0{,}357$ . »

Pourquoi : Sans remise, le second tirage se fait dans un sac appauvri : le numérateur ET le dénominateur baissent. Les expressions « sans remise », « successivement sans remettre » et « simultanément » veulent toutes dire la même chose.

7. Additionner le long d'un chemin, multiplier entre les chemins

toute la question, et un résultat supérieur à $1$ qui devrait alerter

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(\text{un rouge et un noir})=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{7}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On MULTIPLIE le long d'un chemin, car il faut que les deux événements arrivent : $\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{7}$ . On ADDITIONNE ensuite les deux chemins possibles, rouge puis noir et noir puis rouge : $\dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{15}{28}$ . »

Pourquoi : Multiplier traduit le « et » d'un chemin, additionner traduit le « ou » entre chemins incompatibles. Une somme de probabilités qui dépasse $1$ signale toujours cette confusion.

8. Conclure qu'un jeu équitable met le joueur à l'abri

1 point d'interprétation, la dernière question du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le jeu est équitable, donc je ne peux pas perdre. »

Ce qu'il faut écrire

« Le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, le gain moyen tend vers zéro. Sur UNE partie, la probabilité de repartir avec moins que sa mise reste de $\dfrac{1}{3}$ . »

Pourquoi : L'équité porte sur la moyenne, pas sur une partie. Elle dit seulement qu'aucun des deux camps n'est avantagé à la longue, et n'empêche ni une série de pertes ni une série de gains.

9. Lire une probabilité simple dans une case intérieure du tableau

1 point, et la question d'indépendance qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $45$ élèves jouent d'un instrument, donc $P(I)=\dfrac{45}{200}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La case $45$ est une INTERSECTION, elle compte les élèves qui font les deux. Le total de la ligne donne $70$ musiciens, donc $P(I)=\dfrac{70}{200}=0{,}35$ . »

Pourquoi : Les probabilités simples se lisent dans les MARGES du tableau, les intersections à l'intérieur. Confondre les deux fausse aussi le test d'indépendance, qui compare précisément une marge à une case.

Quelle méthode choisir

Que demande exactement l'énoncé ?

La formulation de la question, et le groupe sur lequel elle porte

Si « quelle est la probabilité que... », sans condition → probabilité SIMPLE : cas favorables sur cas possibles, ou total d'une marge du tableau

Exemple : $P(S)=\dfrac{120}{200}=0{,}6$

le dénominateur est l'effectif total
Si « sachant que... », « parmi les... », « chez les... » → probabilité CONDITIONNELLE : le groupe nommé devient le dénominateur

Exemple : $P(I \mid S)=\dfrac{45}{120}=0{,}375$

sur un tableau, c'est un total de ligne ou de colonne
Si « quelles sont les chances de... », « à tant contre tant » → CHANCES : favorables contre défavorables, jamais contre le total

Exemple : probabilité $\dfrac{2}{5}$ , donc chances pour de $2:3$

préciser dans la copie si l'on lit des chances pour ou contre
Si « en moyenne », « à la longue », « sur un grand nombre de parties » → ESPÉRANCE : $E=\sum x_i p_i$ , sur les gains NETS

Exemple : $0{,}10\times 7+0{,}25\times 1+0{,}65\times(-3)=-1$ dollar

ne jamais oublier le coût de la partie dans les gains
Si « le jeu est-il équitable », « quel prix rendrait le jeu équitable » → poser l'espérance nette ÉGALE À ZÉRO et résoudre

Exemple : prix équitable $=$ espérance des lots $=2$ dollars

l'inconnue peut être le prix, un lot ou une probabilité

Si l'énoncé demande « les deux événements sont-ils indépendants », ce n'est aucune de ces branches : on compare $P(A \text{ et } B)$ au produit $P(A)\times P(B)$ , et on conclut par une phrase.

Sur un arbre : multiplier ou additionner ?

La position des probabilités que l'on veut combiner

Si les événements se suivent sur un MÊME chemin → on MULTIPLIE, car il faut que tous se produisent

Exemple : $\dfrac{4}{10}\times\dfrac{3}{9}=\dfrac{2}{15}$ pour deux jetons gagnants

c'est le « et » de l'énoncé
Si plusieurs chemins DIFFÉRENTS répondent à la question → on ADDITIONNE les résultats de ces chemins

Exemple : exactement un gagnant : $\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{8}{15}$

c'est le « ou », et les chemins sont toujours incompatibles entre eux
Si le tirage se fait AVEC remise → le deuxième étage porte les MÊMES probabilités que le premier

Exemple : $\dfrac{5}{8}\times\dfrac{5}{8}$

les tirages sont alors indépendants
Si le tirage se fait SANS remise, ou les deux jetons sont pris simultanément → le deuxième étage a un dénominateur diminué de $1$ , et un numérateur qui dépend du premier tirage

Exemple : $\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}$

les tirages sont dépendants, et le deuxième étage porte des conditionnelles

Quel que soit le cas, la somme de TOUS les chemins de l'arbre doit valoir $1$ : c'est la vérification à faire avant de répondre à la moindre question.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une espérance et conclure sur l'équité

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit un jeu payant et demande s'il est équitable, ou ce qu'il rapporte à la longue

1 Dresser la liste des issues, avec pour chacune sa probabilité, et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
2 Écrire le gain NET de chaque issue, prix de la partie déduit, et le dire explicitement.
3 Calculer $E=\sum x_i p_i$ en gardant les termes visibles avant de sommer.
4 Comparer $E$ à zéro et conclure sur l'équité, en une phrase.
5 Traduire le résultat en langage courant : ce que perd ou gagne le joueur par partie, puis sur un grand nombre de parties.

Phrase de conclusion

« L'espérance du gain net vaut $0{,}10\times 7+0{,}25\times 1+0{,}65\times(-3)=-1$ dollar. Elle n'est pas nulle, donc le jeu n'est pas équitable : le joueur perd en moyenne $1$ dollar par partie, soit environ $100$ dollars sur $100$ parties. »

Le piège : Calculer l'espérance sur les gains bruts et conclure quand même. Le prix de la partie doit apparaître dans les gains ou être retiré à la fin, mais il doit apparaître.

Barème : 1 point pour les probabilités et leur somme, 1 point pour les gains nets, 1 point pour le calcul, 1 point pour la conclusion rédigée.

Justifier une probabilité conditionnelle

Quand l'utiliser : L'énoncé contient « sachant que », « parmi les » ou « chez les »

1 Nommer les deux événements par une lettre, et écrire la probabilité demandée avec la barre.
2 Dire explicitement quel groupe devient l'univers de référence, et donner son effectif.
3 Compter dans ce groupe les individus qui vérifient l'autre caractère.
4 Donner le quotient, puis la valeur décimale arrondie au centième ou au millième.
5 Interpréter en une phrase, en nommant le groupe : « parmi les sportifs, environ $37{,}5\,\%$ jouent d'un instrument ».

Phrase de conclusion

« Sachant que l'élève pratique un sport, l'univers se réduit aux $120$ sportifs. Parmi eux, $45$ jouent d'un instrument, donc $P(I \mid S)=\dfrac{45}{120}=0{,}375$ : parmi les sportifs, $37{,}5\,\%$ jouent d'un instrument. »

Le piège : Donner le nombre sans nommer le groupe. Une conditionnelle interprétée sans son groupe de référence est comptée fausse, parce qu'elle ne se distingue plus de l'autre sens.

Barème : 1 point pour l'univers réduit, 1 point pour le quotient, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des probabilités vaut $1$

Additionnez les probabilités de toutes les issues, ou de tous les chemins de l'arbre. Le total doit valoir exactement $1$ .

Quatre chemins qui totalisent $\dfrac{54}{56}$ : une branche a été mal remplie, presque toujours au deuxième étage d'un tirage sans remise.
Chaque probabilité vit entre $0$ et $1$

Relisez chaque valeur calculée : une probabilité négative ou supérieure à $1$ est impossible, sans exception.

Un résultat de $\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{7}\approx 1{,}05$ signale qu'on a additionné là où il fallait multiplier.
L'espérance est encadrée par les gains extrêmes

Comparez votre espérance au plus petit et au plus grand gain possible : elle doit se situer strictement entre les deux.

Une espérance de $12$ dollars alors que le plus gros lot vaut $10$ dollars : une probabilité a été utilisée comme un effectif.
Une conditionnelle a un dénominateur plus petit que le total

Vérifiez que le dénominateur de votre conditionnelle est bien l'effectif d'un sous-groupe, donc strictement inférieur à l'effectif total.

Un dénominateur de $200$ dans une question qui commence par « sachant que » : la condition n'a pas été prise en compte.
Les chances se relisent en refaisant le chemin inverse

Des chances pour de $a:b$ doivent redonner la probabilité $\dfrac{a}{a+b}$ de l'énoncé. Faites le calcul à l'envers en cinq secondes.

Des chances de $2:5$ redonnent $\dfrac{2}{7}\approx 0{,}29$ et non $0{,}4$ : la conversion est fausse.

L'exercice type décortiqué

Un jeu de kiosque : espérance et équité, avec un tirage sans remise

Un sac contient $10$ jetons : $4$ gagnants et $6$ perdants. Une partie coûte $4$ dollars et consiste à tirer DEUX jetons, l'un après l'autre, sans remettre le premier.

Chaque jeton gagnant tiré rapporte $5$ dollars.

Le jeu est-il équitable ?

Le deuxième étage porte des dénominateurs de

9

et non de

10

: le premier jeton n'est pas remis, donc les deux tirages sont dépendants.

Étape 1

Premier étage : $P(\text{gagnant})=\dfrac{4}{10}$ et $P(\text{perdant})=\dfrac{6}{10}$ .

Pourquoi

On part toujours de la composition initiale du sac. Écrire les deux probabilités, même celle qui semble inutile, garantit que leur somme vaut $1$ .

Étape 2

Deuxième étage après un gagnant : il reste $9$ jetons dont $3$ gagnants, d'où $\dfrac{3}{9}$ et $\dfrac{6}{9}$ . Après un perdant : $\dfrac{4}{9}$ et $\dfrac{5}{9}$ .

Pourquoi

C'est ici que se joue la moitié des points : sans remise, le dénominateur descend à $9$ et le numérateur dépend de ce qui vient de sortir. Ces valeurs sont des probabilités conditionnelles.

Étape 3

Deux gagnants : $\dfrac{4}{10}\times\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}$ . Aucun gagnant : $\dfrac{6}{10}\times\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}$ .

Pourquoi

On multiplie le long d'un chemin, ce qui traduit le « et » : il faut que le premier tirage ET le second donnent le résultat voulu.

Étape 4

Exactement un gagnant : $\dfrac{4}{10}\times\dfrac{6}{9}+\dfrac{6}{10}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}$ .

Pourquoi

Deux chemins différents répondent à la question, gagnant puis perdant et perdant puis gagnant : on les additionne, car ils sont incompatibles.

Étape 5

Vérification : $\dfrac{12+48+30}{90}=\dfrac{90}{90}=1$ .

Pourquoi

Le contrôle le plus rentable du chapitre. Si le total ne fait pas $1$ , une branche est fausse et tout ce qui suit le sera aussi.

Étape 6

Gains bruts : $10$ dollars pour deux gagnants, $5$ dollars pour un seul, $0$ sinon. Espérance des lots : $\dfrac{12}{90}\times 10+\dfrac{48}{90}\times 5+\dfrac{30}{90}\times 0=\dfrac{120+240}{90}=4$ dollars.

Pourquoi

On pondère chaque gain par la probabilité de l'obtenir. Garder les fractions sur $90$ jusqu'au bout évite les arrondis et rend la simplification finale évidente.

Étape 7

La partie coûte $4$ dollars, donc l'espérance du gain NET vaut $4-4=0$ dollar.

Pourquoi

L'équité se juge sur le net. On peut aussi calculer directement sur les gains nets, $6$ , $1$ et $-4$ dollars, ce qui redonne bien zéro.

Étape 8

Vérification par les gains nets : $\dfrac{12}{90}\times 6+\dfrac{48}{90}\times 1+\dfrac{30}{90}\times(-4)=\dfrac{72+48-120}{90}=0$ .

Pourquoi

Refaire le calcul par l'autre chemin est la vérification la plus sûre : les deux méthodes doivent donner exactement le même nombre.

Conclusion rédigée

L'espérance du gain net vaut $0$ dollar : le jeu est ÉQUITABLE. Ni le joueur ni le kiosque n'est avantagé sur un grand nombre de parties.

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure que le joueur ne peut pas perdre. La probabilité de repartir sans aucun lot, donc avec $4$ dollars de moins, vaut $\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}$ : l'équité porte sur la moyenne à long terme, jamais sur une partie.

À savoir par cœur

• Probabilité $=\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ . Chances pour $=$ favorables CONTRE défavorables. Des chances $a:b$ donnent la probabilité $\dfrac{a}{a+b}$ .
• INCOMPATIBLES : jamais ensemble. COMPLÉMENTAIRES : jamais ensemble ET toujours l'un des deux. Le second entraîne le premier, jamais l'inverse.
• INDÉPENDANTS si et seulement si $P(A \text{ et } B)=P(A)\times P(B)$ . Un tirage sans remise n'est jamais indépendant.
• $P(A \text{ ou } B)=P(A)+P(B)-P(A \text{ et } B)$ : on retire l'intersection, comptée deux fois.
• $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \text{ et } B)}{P(B)}$ . Ce qui suit la barre est le DÉNOMINATEUR, et $P(A \mid B)\neq P(B \mid A)$ .
• $E=\sum x_i p_i$ sur les gains NETS. Jeu ÉQUITABLE si et seulement si $E=0$ ; l'équité ne protège personne sur une partie.
• Sur un arbre : MULTIPLIER le long d'un chemin, ADDITIONNER entre les chemins, et la somme de tous les chemins vaut $1$ .

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une probabilité et des chances ?

Une probabilité compare les cas favorables au nombre total de cas, elle vit entre 0 et 1. Des chances comparent les cas favorables aux cas défavorables. Une probabilité de 2 sur 5 correspond à des chances pour de 2 contre 3, parce qu'il reste 3 cas défavorables sur les 5 possibles.

Comment calculer une espérance mathématique ?

Multipliez chaque gain par la probabilité de l'obtenir, puis additionnez tous ces produits. Utilisez les gains nets, c'est-à-dire le prix de la partie déduit. Le résultat donne le gain moyen par partie sur un grand nombre de parties, et non ce qu'on gagne en jouant une seule fois.

Quand un jeu est-il équitable ?

Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est exactement nulle, prix de la partie compris. Cela signifie qu'à la longue ni le joueur ni l'organisateur n'est avantagé. Cela ne veut pas dire qu'on ne peut pas perdre : sur une seule partie, la perte reste souvent l'issue la plus probable.

Comment lire une probabilité conditionnelle dans un tableau à double entrée ?

Repérez le groupe nommé après le mot sachant : son total devient le dénominateur. Le numérateur est la case commune aux deux caractères. Sachant qu'un élève fait du sport, on divise donc la case commune par le total de la colonne des sportifs, et non par l'effectif total.

Pourquoi les probabilités changent-elles dans un tirage sans remise ?

Parce que le premier objet n'est pas remis dans le sac : au deuxième tirage il reste un objet de moins, donc le dénominateur baisse d'une unité, et la composition dépend de ce qui vient de sortir. Les deux tirages sont alors dépendants, et le deuxième étage de l'arbre porte des probabilités conditionnelles.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités, chances et espérance

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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