Math CST, secondaire 5 à Montréal • Choix social
Le chapitre de la théorie du choix social est le plus court du programme de mathématiques CST de cinquième secondaire, et l'un de ceux où l'on perd le plus de points bêtement : les calculs sont des additions, mais la moitié des erreurs viennent de la lecture du tableau de préférences et de la confusion entre deux procédures qui portent presque le même nom.
Tout ce qui suit s'appuie sur un seul scrutin, celui de la série d'exercices du chapitre : électeurs, quatre candidatures , , et , et cinq bulletins types. Selon la procédure appliquée, ce scrutin élit , ou . Aucune de ces réponses n'est fausse, et c'est exactement ce que l'examen veut vous voir comprendre.
Le fil du chapitre
Les bulletins ne bougent pas d'une ligne, c'est la PROCÉDURE qui fabrique le gagnant : chaque question se traite en appliquant à la lettre la règle annoncée, jamais l'idée qu'on se fait du vainqueur légitime.
Écrire « il y a électeurs répartis en bulletins types » dès la première ligne de la copie rapporte presque toujours le premier demi-point.
Un critère se teste TOUJOURS sur le scrutin de l'énoncé : « le critère de Condorcet est violé ici, car gagne ses trois duels et la pluralité élit ».
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il y a électeurs, un par colonne, donc la majorité absolue est à voix. »
Ce qu'il faut écrire
« Il y a bulletins différents et électeurs, donc la majorité absolue exige voix. »
Pourquoi : Le tableau condense bulletins en colonnes : c'est un tableau d'effectifs, exactement comme en statistique, et l'effectif est en haut de la colonne.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« a le plus de voix avec , donc a la majorité. »
Ce qu'il faut écrire
« obtient la pluralité avec voix sur , mais la majorité absolue exigerait voix : personne ne l'atteint. »
Pourquoi : Les deux notions ne coïncident que s'il y a exactement deux candidatures. Dès qu'il y en a trois, le gagnant à la pluralité est presque toujours minoritaire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est éliminée, ses voix se partagent entre , et . »
Ce qu'il faut écrire
« Chaque bulletin passe EN ENTIER au nom suivant encore en lice : les bulletins classaient en deuxième, donc , , . »
Pourquoi : Un bulletin est un classement, pas une voix divisible. Le report se lit sur le bulletin, jamais au prorata des scores.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Un premier choix vaut points, c'est la règle de Borda. »
Ce qu'il faut écrire
« Avec candidatures, le rang vaut points : points ici parce qu'il y a quatre candidatures, mais points seulement s'il y en a trois. »
Pourquoi : Le barème dépend du nombre de candidatures, et l'examen change ce nombre d'une question à l'autre précisément pour tester ce point.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , , , . » (et on passe à la suite)
Ce qu'il faut écrire
« Chaque bulletin distribue points, donc le total vaut . Or : les quatre scores sont cohérents. »
Pourquoi : C'est la seule vérification gratuite du chapitre : elle se fait en une ligne et attrape n'importe quelle case oubliée dans le tableau.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il suffit de faire tous les duels, il y en a forcément une qui les gagne tous. »
Ce qu'il faut écrire
« Les duels peuvent former un cycle : bat par à , bat par à et bat par à . Aucune gagnante de Condorcet, c'est le paradoxe de Condorcet. »
Pourquoi : « Battre » n'est pas une relation d'ordre : elle n'est pas transitive. Trois groupes d'électeurs suffisent à fabriquer le cycle.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , or il n'y a que électeurs : j'ai dû me tromper quelque part. »
Ce qu'il faut écrire
« Le total des appuis vaut pour électeurs, ce qui est normal : un bulletin d'assentiment porte autant de coches que l'électeur le veut. Le total compte les coches, pas les électeurs. »
Pourquoi : L'assentiment est la seule procédure du chapitre où le total n'est pas le nombre d'électeurs : il vaut si chacun coche une seule case et si chacun coche les quatre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« a le plus de premiers choix, donc gagnerait aussi ses duels. »
Ce qu'il faut écrire
« perd ses trois duels, à à chaque fois, parce que les électeurs qui ne l'ont pas choisie l'ont tous classée DERNIÈRE. est le perdant de Condorcet, et la pluralité l'élit quand même. »
Pourquoi : La pluralité ne lit que la première ligne du tableau : elle ignore complètement le rejet massif d'une candidature clivante.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le gagnant est . »
Ce qu'il faut écrire
« Selon la pluralité, est élue ; selon le scrutin à deux tours et le vote par élimination, c'est ; selon Borda, Condorcet et l'assentiment, c'est . »
Pourquoi : Toute la question du chapitre est là : un scrutin n'a pas de gagnant en soi, il a un gagnant PAR procédure. Une réponse sans procédure nommée n'est pas évaluable.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« n'a que voix sur , son retrait ne peut pas changer le lauréat. »
Ce qu'il faut écrire
« Sans , les bulletins , , passent à : on obtient contre , et le prix change de main. »
Pourquoi : La pluralité ne respecte pas l'indépendance des candidatures non retenues : ajouter ou retirer un nom sans chance redistribue les premiers choix et peut renverser le résultat.
On repère le MOT de l'énoncé qui nomme la procédure, puis on en déduit ce qu'on a le droit de lire dans le tableau.
Si « plus de la moitié », « majorité absolue » → première ligne seulement, puis comparaison au seuil arrondi au-dessus
Exemple : seuil sur : , personne ne l'atteint
avec un nombre pair d'électeurs, la moitié exacte NE suffit pas
Si « le plus de voix », « majorité relative », « pluralité » → première ligne seulement, le plus grand effectif gagne, sans seuil
Exemple : devant : est élue avec
Si « on garde les deux premières et on revote » → scrutin à deux tours : chaque bulletin va à celle des deux finalistes qu'il classe le plus haut
Exemple : contre donne contre
Si « on élimine la plus faible et on recommence » → vote par élimination : reporter chaque bulletin EN ENTIER sur le nom suivant encore en lice, et refaire la somme
Exemple : sort, ses voix vont à : , ,
Si l'énoncé donne un nombre de points par rang → Borda : points au rang , tableau entier, puis vérification du total
Exemple : gagne, et
Si « deux à deux », « duels », « face à face » → Condorcet : duels, on compte pour chaque duel les électeurs qui classent l'une devant l'autre
Exemple : duels ici, les gagne tous
Si le bulletin est une liste de coches, sans rang → assentiment : additionner les appuis, sans s'inquiéter d'un total supérieur au nombre d'électeurs
Exemple : appuis, est élue
Si l'énoncé ne nomme aucune procédure mais parle d'« équité », la question porte sur un critère : il faut nommer le critère, puis exhiber la procédure qui le viole DANS CE SCRUTIN.
On regarde ce que la question reproche à la procédure.
Si une candidature a plus de la moitié des premiers choix et n'est pas élue → critère de la MAJORITÉ violé
Exemple : personne n'a voix ici, donc ce critère est respecté par les six procédures
Si une candidature gagne tous ses duels et n'est pas élue → critère de CONDORCET violé
Exemple : gagne ses trois duels, or la pluralité élit et l'élimination élit
Si une candidature perd tous ses duels et est élue → critère du PERDANT DE CONDORCET violé
Exemple : perd ses trois duels, et c'est elle que la pluralité élit
Si le retrait d'une candidature sans chance change le gagnant → indépendance des candidatures non retenues violée
Exemple : le retrait de fait passer le prix de à
Un critère respecté DANS CE SCRUTIN n'est pas un critère respecté en général : ne jamais écrire « la pluralité respecte le critère de la majorité » sans préciser « ici ».
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé parle de tours, de report de voix, de vote préférentiel, ou dit qu'on écarte la candidature la plus faible.
Phrase de conclusion
« Au troisième tour, obtient voix sur , soit : dépasse la majorité absolue et est élue. »
Le piège : Sauter la ligne de somme entre deux tours. C'est elle qui attrape le report envoyé sur une candidature déjà éliminée.
Barème : En général point par tour correctement mené, point pour la conclusion chiffrée en pourcentage.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande de justifier par le calcul un duel, ou de chercher la gagnante de Condorcet.
Phrase de conclusion
« Dans le duel contre , les colonnes de et de classent devant , les colonnes de , et font l'inverse : obtient voix et en obtient . remporte le duel. »
Le piège : Conclure à une gagnante de Condorcet après avoir fait quatre duels sur six. Tant qu'un duel n'est pas écrit, la conclusion n'est pas justifiée.
Barème : point par duel justifié, point pour la conclusion qui cite les six duels.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme redonne le nombre d'électeurs, à chaque tour
Après chaque tour d'élimination, additionner les scores affichés. Le total doit être invariablement le nombre d'électeurs de départ.
: le tour est bon. Un total de signale un groupe de bulletins oublié en route, un total de signale des voix comptées deux fois.
Le total de Borda est connu d'avance
Avant même de calculer, écrire le total attendu : nombre d'électeurs multiplié par . On compare ensuite à la somme des scores trouvés.
attendu. Une somme de dit qu'une case du tableau vaut un point de moins qu'écrit, sans qu'il soit besoin de tout refaire.
Le nombre de duels de Condorcet se compte
Avec candidatures, il y a exactement duels. On les compte sur la copie avant de conclure.
Avec quatre candidatures, duels. Une copie qui n'en montre que cinq ne peut pas affirmer qu'une candidature les gagne tous.
Seul l'assentiment a le droit de dépasser
Repérer la procédure avant de juger un total : classement ou premiers choix, la somme vaut le nombre d'électeurs ; coches, elle vaut le nombre de coches.
appuis pour électeurs est correct en assentiment. Les mêmes obtenus en pluralité seraient une erreur de comptage.
Le gagnant change, et c'est le signe que le travail est fait
Sur une question qui compare plusieurs procédures, vérifier qu'on n'a pas trouvé le même nom partout par réflexe.
Trouver aux six procédures sur ce scrutin est un signal d'alarme : la pluralité y élit , et l'élimination .
Le conseil des élèves compte électeurs et quatre candidatures , , et . Les bulletins se regroupent ainsi : électeurs votent , , , ; votent , , , ; votent , , , ; votent , , , ; votent , , , .
Appliquer successivement la majorité absolue, la pluralité, le vote par élimination, la méthode de Borda et la méthode de Condorcet, puis conclure sur les critères d'équité.
Étape 1
Électeurs : . Premiers choix : , , , , et .
Pourquoi
On pose l'effectif total et la première ligne AVANT toute procédure, parce que trois des cinq procédures ne liront rien d'autre. La somme de contrôle est écrite tout de suite : elle est gratuite ici et coûteuse à retrouver plus tard.
Étape 2
Majorité absolue : le seuil est voix ; le meilleur score est , donc personne n'est élu. Pluralité : l'emporte avec voix, soit .
Pourquoi
Les deux procédures se traitent ensemble parce qu'elles lisent la même ligne, et les traiter ensemble rend visible ce que l'examen veut faire dire : gagne sans jamais convaincre les deux tiers des électeurs.
Étape 3
Vote par élimination. Tour 1 : sort avec voix, et ses bulletins classaient en deuxième, donc , , , total . Tour 2 : sort avec voix ; les bulletins et les bulletins classent tous ensuite, donc et , total .
Pourquoi
Chaque report est justifié par le bulletin cité, jamais par une répartition proportionnelle. La ligne de somme après chaque tour est ce qui prouve qu'aucun bulletin n'a été perdu, et le schéma du piège 3 montre les trois tours d'un coup d'oeil.
Étape 4
Borda, barème , , , . Total attendu : . . . . . Somme : .
Pourquoi
Le total attendu est écrit avant les quatre calculs : il transforme quatre additions risquées en un calcul auto-vérifié. Remarquer aussi que , gagnante à la pluralité, est l'avant-dernière de Borda.
Étape 5
Condorcet, duels. Contre : les électeurs qui ne l'ont pas choisie la classent tous dernière, donc , et battent par à . contre : à . contre : à . contre : à .
Pourquoi
On commence par les duels contre , tous identiques, parce qu'une colonne où est dernière donne les six réponses d'un coup. gagne ses trois duels : c'est la gagnante de Condorcet, et en est le perdant.
Étape 6
Bilan : pluralité ; scrutin à deux tours et vote par élimination ; Borda et Condorcet . Le critère de la majorité est respecté ici, faute de candidature majoritaire. Le critère de Condorcet est violé par la pluralité et par l'élimination. Le critère du perdant de Condorcet est violé par la pluralité.
Pourquoi
Chaque critère est jugé sur CE scrutin, avec la procédure fautive nommée. C'est la formulation attendue : un critère, une procédure, un fait chiffré tiré du tableau.
Conclusion rédigée
« Les mêmes bulletins élisent par la pluralité, par le vote par élimination et par Borda comme par Condorcet. Le scrutin n'a pas de gagnant en soi : il en a un par procédure, et la procédure doit donc être choisie avant le dépouillement. »
L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique sur cet exercice est de reporter les voix de sur au premier tour, sous prétexte que est deuxième au classement général. Le report se lit sur le bulletin : les électeurs de avaient mis en deuxième.
La majorité absolue exige plus de la moitié des voix : avec 100 électeurs, il faut au moins 51 voix, et il arrive que personne ne l'obtienne. La pluralité, aussi appelée majorité relative, élit simplement la candidature qui a le plus de premiers choix, sans aucun seuil : il y a donc toujours un gagnant, souvent minoritaire. Les deux notions coïncident seulement quand il n'y a que deux candidatures.
Avec n candidatures, un premier choix vaut n points, un deuxième n moins 1, et ainsi de suite jusqu'à 1 point pour le dernier rang. On multiplie chaque effectif de colonne par les points du rang, puis on additionne sur tout le tableau. Vérification obligatoire : le total des scores vaut le nombre d'électeurs multiplié par la somme 1 plus 2 plus ... plus n.
C'est la situation où les duels deux à deux forment un cycle : X bat Y, Y bat Z, et pourtant Z bat X. Aucune candidature ne gagne alors tous ses duels, donc il n'y a pas de gagnante de Condorcet. Le paradoxe montre que la relation battre n'est pas transitive : trois groupes d'électeurs aux classements décalés suffisent à le produire.
Parce qu'un bulletin d'assentiment n'est pas un classement mais une liste de coches, et que chaque électeur coche autant de noms qu'il le veut. Le total compte donc les coches, pas les électeurs. Avec 100 électeurs et quatre candidatures, ce total vaut 100 si chacun coche un seul nom, jusqu'à 400 si chacun les coche tous. Un total de 156 est parfaitement normal.
On écarte la candidature qui a le moins de premiers choix, puis chaque bulletin qui la portait en tête passe en entier au nom suivant encore en lice sur ce même bulletin. On ne partage jamais les voix entre les candidatures restantes. Après le report, on refait la somme : elle doit toujours redonner le nombre total d'électeurs.
