Math CST, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie

Fiche de révision : la loi des cosinus

Q: Quand faut-il utiliser la loi des cosinus plutot que la loi des sinus ?

La loi des cosinus sert quand aucun couple complet n'est connu, c'est-à-dire quand on n'a jamais ensemble un angle et le côté qui lui fait face. Deux cas seulement : deux côtés avec l'angle compris entre eux, ou les trois côtés. Dès qu'un angle est donné avec son côté opposé, la loi des sinus est plus rapide et moins risquée.

Q: Pourquoi mon cosinus est-il négatif ?

Parce que l'angle cherché est obtus, c'est-à-dire plus grand que 90 degrés. Entre 0 et 180 degrés, le cosinus est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus. Ce n'est donc pas une erreur de calcul : c'est l'information la plus utile que le calcul vous donne.

Q: Comment savoir si un triangle est acutangle ou obtusangle sans calculer les angles ?

On repère le plus grand côté, on compare son carré à la somme des carrés des deux autres. Si les deux quantités sont égales, le triangle est rectangle. Si le carré du grand côté est plus grand, le triangle est obtusangle. S'il est plus petit, le triangle est acutangle. Trois carrés suffisent, sans calculatrice.

Q: Ma calculatrice affiche une erreur quand je prends l'arc cosinus, pourquoi ?

Parce que le nombre que vous lui donnez sort de l'intervalle allant de moins un à un, et qu'aucun angle n'a un tel cosinus. Cela veut dire que le triangle décrit n'existe pas : vérifiez l'inégalité triangulaire, le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres. Sinon, une donnée a été mal recopiée.

Q: Est-ce que la loi des cosinus marche dans un triangle rectangle ?

Oui, toujours, et elle redonne exactement le théorème de Pythagore. Avec un angle droit, le cosinus vaut zéro, le dernier terme disparaît et il reste le carré du grand côté égal à la somme des deux autres carrés. En pratique on utilise Pythagore, qui est plus court, mais les deux donnent le même résultat.

Le chapitre de trigonométrie de la cinquième secondaire en mathématiques CST tient en une seule formule, et c'est ce qui le rend dangereux : on croit l'avoir apprise en trois minutes, puis on perd des points sur l'ordre des opérations, sur le côté qu'on soustrait ou sur un cosinus négatif qu'on prend pour une erreur.

Cette fiche ne réexplique pas le cours, vous l'avez déjà. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve, et le geste exact qui évite chaque perte.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

La loi des cosinus est l'outil du triangle qui n'a PAS de couple complet, un angle avec le côté qui lui fait face. Et le signe du cosinus dit tout : positif l'angle est aigu, nul il est droit, négatif il est obtus, hors de $[-1\,;1]$ le triangle n'existe pas.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 5

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La résolution de triangles Secondaire 4 CST Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Nombres réels, racines et ensembles Secondaire 3
2 Figures et solides semblables : k, k², k³ Secondaire 3
3 Théorème de Pythagore et réciproque Secondaire 3
4 La similitude et l'isométrie des triangles Secondaire 4 CST
5 Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Secondaire 4 CST
6 La résolution de triangles Secondaire 4 CST

L'essentiel

La formule, et la seule chose qu'il faut y lire

• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ . L'angle $A$ est COMPRIS entre les côtés $b$ et $c$ , et le côté $a$ lui fait FACE. Un angle et son côté opposé portent toujours la même lettre, l'un en majuscule, l'autre en minuscule.
• Retournée, elle donne l'angle : $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ . Le côté SOUSTRAIT au numérateur est celui qui fait face à l'angle cherché, les deux autres encadrent l'angle et se retrouvent au dénominateur.
• C'est un Pythagore corrigé. Si $A=90^\circ$ , alors $\cos A=0$ , le dernier terme disparaît et il reste $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ .

L'angle

A

et le côté

a

se font face ;

b

c

sont les deux côtés qui encadrent

A

. C'est cette lecture, et elle seule, qui remplit la formule.

Écrire la formule AVEC les lettres de votre figure, pas avec $a$ , $b$ , $c$ , évite la moitié des erreurs : sur un triangle $PQR$ , on écrit $p^{2}=q^{2}+r^{2}-2qr\cos P$ .

Le signe du cosinus, lu comme une information

• $\cos A>0$ : l'angle est AIGU, le terme se retranche, et le côté opposé est plus court que ce que donnerait Pythagore.
• $\cos A<0$ : l'angle est OBTUS, le terme s'AJOUTE, et le côté opposé est plus long. Un cosinus négatif n'est jamais une erreur de calcul.
• $\cos A$ hors de $[-1\,;1]$ : aucun angle ne convient, donc le triangle décrit N'EXISTE PAS. La calculatrice affiche une erreur, et c'est une réponse, pas une panne.
• CRITÈRE DU SIGNE, avec $a$ le plus grand côté : $b^{2}+c^{2}-a^{2}$ nul donne un triangle rectangle, positif un triangle acutangle, négatif un triangle obtusangle. Aucune calculatrice n'est nécessaire.

Mêmes côtés

b

c

, seul l'angle

A

change : aigu,

a

est plus court que l'hypoténuse de Pythagore ; droit, il l'égale ; obtus, il la dépasse.

Le critère du signe est la question la plus rentable du chapitre : trois carrés, une comparaison, et la réponse est écrite.

Le parallélogramme : un angle donne les deux diagonales

• Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires : si l'un mesure $50^\circ$ , son voisin mesure $130^\circ$ .
• Chaque diagonale découpe un triangle qui contient deux côtés et l'angle compris. La diagonale qui fait face à l'angle aigu est la plus COURTE, celle qui fait face à l'angle obtus la plus longue.
• Contrôle : la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés, $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})$ , car les deux termes $2ab\cos$ s'annulent.

La diagonale

BD

, en bleu, fait face à l'angle de

50^\circ

;

AC

, en orange, fait face à l'angle de

130^\circ

et sort plus longue.

Dans un problème, l'angle du triangle est l'angle intérieur

• Un trajet qui change de direction d'un angle $d$ (la déviation) forme au point de virage un angle intérieur de $180^\circ-d$ : c'est lui, compris entre les deux trajets, qui entre dans la loi des cosinus.
• Une faible déviation donne un angle intérieur proche de $180^\circ$ , un cosinus proche de $-1$ , et une distance directe presque égale à la somme des deux trajets.
• Faites la figure et marquez l'angle AU SOMMET du triangle avant de remplacer : une déviation ou un cap se lit à l'extérieur du triangle.

La déviation de

40^\circ

, en orange, se lit dans le prolongement du premier trajet ; l'angle du triangle, en bleu, vaut

180^\circ-40^\circ=140^\circ

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. L'ordre des opérations dans $b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

toute la question, soit 3 ou 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $9^{2}+12^{2}-2\times 9\times 12=9$ , puis $9\times\cos 58^\circ=4{,}77$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2\times 9\times 12\times\cos 58^\circ=114{,}46$ , puis $225-114{,}46=110{,}54$ . »

Pourquoi : La multiplication est prioritaire sur la soustraction : le produit $2bc\cos A$ se calcule EN ENTIER avant d'être retranché. Sur la calculatrice, on tape la ligne d'un seul trait plutôt qu'en deux temps.

2. Oublier la racine carrée à la fin

1 point à coup sûr, et la suite du problème si le côté resservait

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a^{2}=110{,}54$ , donc le côté mesure $110{,}54$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« $a^{2}=110{,}54$ , donc $a=\sqrt{110{,}54}\approx 10{,}51$ cm. »

Pourquoi : La formule donne le CARRÉ du côté. Le contrôle de vraisemblance suffit à s'en apercevoir : un côté de $110$ cm dans un triangle dont les deux autres mesurent $9$ et $12$ cm est impossible, puisque $9+12=21$ .

3. Se tromper de côté à soustraire quand on cherche un angle

toute la question, et l'erreur ne se voit pas, car le résultat reste un angle plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos B=\dfrac{9^{2}+12^{2}-9^{2}}{2\times 9\times 12}$ , avec $b=9$ au numérateur et au carré. »

Ce qu'il faut écrire

« $B$ fait face à $b$ , donc $\cos B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ : on soustrait le côté OPPOSÉ et on divise par les deux autres. »

L'arc de l'angle

B

« regarde » le côté

b

, en vert : c'est lui qu'on soustrait. Les côtés

a

c

, en bleu, encadrent

B

et vont au dénominateur.

Pourquoi : La formule associe toujours un angle et le côté qui lui fait face. Une bonne habitude : entourer sur la figure le côté opposé à l'angle cherché AVANT d'écrire quoi que ce soit.

4. Un cosinus négatif pris pour une faute

le temps de refaire trois fois un calcul juste, souvent 5 minutes d'épreuve

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je trouve $\cos A=-0{,}037$ , donc je me suis trompé, je recommence. »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos A=-0{,}037$ , donc $A\approx 92{,}12^\circ$ : l'angle est obtus. »

Triangle de côtés

6

9

11

\cos A=-\dfrac{4}{108}\approx-0{,}037

. L'angle dépasse à peine l'angle droit tracé en pointillé : il est obtus, le calcul est juste.

Pourquoi : Entre $0^\circ$ et $180^\circ$ , le cosinus est positif pour un angle aigu et négatif pour un angle obtus. Comme un triangle peut parfaitement avoir un angle obtus, un cosinus négatif est attendu une fois sur trois.

5. Soustraire un nombre négatif

toute la question, et le résultat contredit visiblement la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a^{2}=5^{2}+8^{2}-80\times(-0{,}55919)=89-44{,}74=44{,}26$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a^{2}=89-80\times(-0{,}55919)=89+44{,}74=133{,}74$ , donc $a\approx 11{,}56$ . »

Face à l'angle de

124^\circ

, le côté juste, en vert, est le plus long du triangle ; le segment rouge de

6{,}65

issu de

B

n'atteint même pas

C

Pourquoi : Retrancher un nombre négatif revient à l'ajouter. C'est exactement ce qui fait qu'un angle obtus donne un côté opposé plus long : un côté de $6{,}65$ dans un triangle qui a déjà un côté de $8$ face à un angle de $124^\circ$ est impossible.

6. Ne pas vérifier que le triangle existe

la question entière, et parfois 10 minutes passées à accuser la calculatrice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le triangle a pour côtés $3$ , $4$ et $9$ : je calcule l'angle opposé à $9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $3+4=7<9$ : l'inégalité triangulaire est violée, ce triangle n'existe pas, et $\cos A\approx -2{,}33$ le confirme. »

Depuis les extrémités du côté de

9

, les arcs de rayons

3

4

ne se rencontrent pas :

3+4=7<9

, aucun troisième sommet n'est possible.

Pourquoi : Un cosinus appartient toujours à $[-1\,;1]$ . Regarder les trois nombres avant de toucher à la calculatrice coûte trois secondes : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

7. Employer la loi des cosinus quand un couple complet est déjà connu

rarement des points, mais 10 minutes et beaucoup d'erreurs de calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je connais $A$ , $a$ et $b$ , donc je pose une équation du second degré en $c$ avec la loi des cosinus. »

Ce qu'il faut écrire

« Un angle et le côté qui lui fait face sont connus : c'est la loi des sinus de la CST 4 qui donne l'angle $B$ en une ligne. »

Pourquoi : La loi des cosinus est faite pour les cas où AUCUN couple angle-côté opposé n'est complet. Dès qu'il y en a un, la loi des sinus est plus courte et plus sûre. L'arbre de décision ci-dessous tranche en une lecture.

8. Arrondir en cours de route

0,5 point par arrondi prématuré, et une réponse fausse au centième

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a\approx 10{,}5$ , donc $\cos B=\dfrac{110{,}25+144-81}{2\times 10{,}5\times 12}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je garde $a^{2}=110{,}54$ exact dans la mémoire de la calculatrice et je ne l'arrondis qu'à la toute fin. »

Pourquoi : Le carré du côté est déjà connu exactement, il est inutile de repasser par le côté arrondi. La règle générale : on arrondit une seule fois, à la dernière ligne, et on écrit la valeur intermédiaire non arrondie sur la copie.

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon ce que l'énoncé donne

On regarde ce qui est CONNU dans le triangle, et on cherche d'abord s'il existe un couple complet, c'est-à-dire un angle avec le côté qui lui fait face.

Les trois configurations. À gauche et au centre, aucun couple angle-côté opposé n'est complet : loi des cosinus. À droite, le couple est complet : loi des sinus.

Si Le triangle est rectangle et on connaît deux de ses éléments → Pythagore pour un côté, sinus, cosinus ou tangente pour un angle

Exemple : hypoténuse $20$ et angle $35^\circ$ : le côté adjacent vaut $20\cos 35^\circ$

la loi des cosinus marcherait aussi, mais elle est trois fois plus longue
Si Deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux → loi des cosinus, dans le sens direct, pour le troisième côté

Exemple : $b=9$ , $c=12$ , $A=58^\circ$ donne $a^{2}=110{,}54$

c'est le seul outil qui fonctionne : aucun couple angle-côté opposé n'est complet
Si Les trois côtés → loi des cosinus retournée, pour un angle

Exemple : $6$ , $9$ , $11$ donne $\cos A=\dfrac{-4}{108}$ et $A\approx 92{,}12^\circ$

commencer par le plus grand angle, c'est le seul qui peut être obtus
Si Un angle et le côté qui lui fait face, plus une donnée → loi des sinus, vue en CST 4

Exemple : $A=40^\circ$ , $a=12$ et $B=75^\circ$ donne $b$ en une ligne

la loi des cosinus n'est pas fausse ici, elle est seulement inutile
Si On doit seulement CLASSER le triangle, sans mesure d'angle → critère du signe de $b^{2}+c^{2}-a^{2}$ , avec $a$ le plus grand côté

Exemple : $7$ , $8$ , $10$ : $113>100$ , donc acutangle, sans calculatrice

calculer les trois angles pour répondre coûte cinq minutes pour rien

Une figure sans indication de mesure ne dit rien : c'est la LISTE des données de l'énoncé qui décide, jamais l'allure du dessin.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un côté avec deux côtés et l'angle compris

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux longueurs et l'angle qui les sépare, et demande la troisième longueur. C'est la question la plus fréquente de l'épreuve.

1 Nommer : écrire quel côté est cherché et quel angle lui fait face, avec les lettres de la figure.
2 Poser la formule complète, non simplifiée, avec les valeurs de l'énoncé.
3 Calculer d'abord la somme des carrés, puis le produit $2bc\cos A$ EN ENTIER, puis la différence.
4 Prendre la racine carrée et arrondir une seule fois, à la précision demandée.
5 Vérifier l'encadrement par l'inégalité triangulaire et conclure par une phrase avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Le côté $a$ fait face à l'angle $A=58^\circ$ , donc $a^{2}=9^{2}+12^{2}-2\times 9\times 12\times\cos 58^\circ\approx 110{,}54$ , d'où $a\approx 10{,}51$ cm, valeur bien comprise entre $3$ cm et $21$ cm. »

Le piège : Sauter l'étape de nommage. C'est elle qui empêche de soustraire le mauvais carré, et elle rapporte souvent le point de démarche même quand le calcul se termine mal.

Barème : En général $1$ point pour la formule posée, $2$ points pour le calcul, $1$ point pour la conclusion avec l'unité et l'arrondi demandé.

Calculer un angle à partir des trois côtés

Quand l'utiliser : L'énoncé donne trois longueurs et demande un angle, ou demande si le triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle avec justification chiffrée.

1 Repérer le côté OPPOSÉ à l'angle cherché et l'entourer sur la figure.
2 Poser $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ avec les valeurs, sans calculer encore.
3 Calculer le quotient en entier, puis seulement ensuite prendre l'arc cosinus.
4 Lire le signe du cosinus et dire dans la phrase si l'angle est aigu ou obtus.
5 Vérifier que le plus grand angle fait bien face au plus grand côté.

Phrase de conclusion

« $\cos A=\dfrac{6^{2}+9^{2}-11^{2}}{2\times 6\times 9}=\dfrac{-4}{108}\approx -0{,}037$ : le cosinus est négatif, donc l'angle est obtus, et $A\approx 92{,}12^\circ$ . »

Le piège : Prendre l'arc cosinus du numérateur, avant la division. La calculatrice ne proteste pas toujours, et l'angle obtenu est faux sans être absurde.

Barème : En général $1$ point pour la formule retournée correctement, $2$ points pour le calcul, $1$ point pour la nature de l'angle justifiée par le signe.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'encadrement en trois secondes

Tout côté d'un triangle est compris entre la DIFFÉRENCE et la SOMME des deux autres. On compare la réponse à ces deux nombres avant de la recopier.

$a\approx 10{,}51$ avec $b=9$ et $c=12$ : on vérifie $3<10{,}51<21$ , c'est bon.
Le plus grand angle face au plus grand côté

Classer les trois côtés, classer les trois angles trouvés, et vérifier que les deux classements se correspondent. Une inversion signale une erreur de côté opposé.

côtés $9<10{,}51<12$ et angles $46{,}55^\circ<58^\circ<75{,}45^\circ$ : les deux ordres coïncident.
La somme des angles vaut $180^\circ$

Dès que deux angles sont calculés, le troisième se déduit par soustraction. Recalculer ce troisième angle par la loi des cosinus et comparer coûte une ligne et vérifie tout le reste.

$58+46{,}55+75{,}45=180{,}00$ , et la loi des cosinus redonne bien $75{,}45^\circ$ pour le troisième.
Le cosinus est-il dans les bornes

Avant l'arc cosinus, regarder le quotient obtenu : s'il sort de $[-1\,;1]$ , ce n'est pas la calculatrice qui a tort, c'est le triangle qui n'existe pas ou une donnée qui a été mal recopiée.

côtés $3$ , $4$ , $9$ : $\cos A\approx -2{,}33$ , donc on écrit que le triangle est impossible.
Le cas rectangle comme test de la formule

En cas de doute sur la formule, la tester mentalement avec un angle droit : elle doit redonner Pythagore. Si ce n'est pas le cas, elle est mal recopiée.

$b=6$ , $c=8$ , $A=90^\circ$ : $a^{2}=36+64-0=100$ et $a=10$ .

L'exercice type décortiqué

Un triangle résolu en entier, du côté manquant aux trois angles

Dans un triangle $ABC$ , on donne $b=AC=9$ cm, $c=AB=12$ cm et l'angle $A=58^\circ$ .

Résolvez le triangle, c'est-à-dire trouvez le côté manquant et les deux angles manquants, au centième.

Étape 1

Le côté cherché est $a$ , il fait face à l'angle $A$ , et $b$ et $c$ encadrent cet angle : la configuration est bien deux côtés et l'angle compris.

Pourquoi

Cette ligne de nommage décide de tout le reste et rapporte le point de démarche. Elle écarte aussi la loi des sinus, puisqu'aucun couple angle-côté opposé n'est complet.

Étape 2

$a^{2}=9^{2}+12^{2}-2\times 9\times 12\times\cos 58^\circ=225-216\times 0{,}52992\approx 225-114{,}46=110{,}54$ .

Pourquoi

On calcule le produit en entier avant de soustraire. Le cosinus est positif, donc le terme se retranche et le côté sera plus court que l'hypoténuse d'un triangle rectangle de mêmes côtés, $\sqrt{225}=15$ .

Étape 3

$a=\sqrt{110{,}54}\approx 10{,}51$ cm, et l'encadrement $3<10{,}51<21$ est respecté.

Pourquoi

La racine carrée est l'étape qu'on oublie une fois sur cinq. L'encadrement par la différence et la somme des deux autres côtés valide la réponse sans refaire le calcul.

Étape 4

$\cos B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\dfrac{110{,}54+144-81}{2\times 10{,}51\times 12}\approx 0{,}68774$ , donc $B\approx 46{,}55^\circ$ .

Pourquoi

On garde $a^{2}=110{,}54$ plutôt que de recarrer $10{,}51$ : la valeur exacte est déjà connue, et la reprendre arrondie fabrique une erreur au centième.

Étape 5

$C=180-58-46{,}55=75{,}45^\circ$ , et la loi des cosinus appliquée au côté $c$ redonne $75{,}45^\circ$ .

Pourquoi

Le double calcul du dernier angle est la vérification la moins chère du chapitre : la soustraction propage les erreurs précédentes, la loi des cosinus repart des données exactes de l'énoncé.

Étape 6

Contrôle final : côtés $9<10{,}51<12$ et angles $46{,}55^\circ<58^\circ<75{,}45^\circ$ , les deux classements coïncident.

Pourquoi

Le plus grand angle fait face au plus grand côté. Une inversion ici signale presque toujours un côté opposé mal repéré à l'étape précédente.

Conclusion rédigée

« Le triangle est entièrement résolu : $a\approx 10{,}51$ cm, $B\approx 46{,}55^\circ$ et $C\approx 75{,}45^\circ$ , la somme des trois angles valant bien $180^\circ$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur la plus fréquente sur cet exercice est de chercher $B$ avec la loi des cosinus en soustrayant $a^{2}$ au lieu de $b^{2}$ : on obtient alors $75{,}45^\circ$ , c'est-à-dire l'angle $C$ , et tout le reste de la copie s'en trouve décalé.

À savoir par cœur

• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ : $A$ est COMPRIS entre $b$ et $c$ , et $a$ lui fait face.
• Retournée : $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ , on soustrait le côté OPPOSÉ.
• $\cos 90^\circ=0$ : la loi des cosinus redonne alors Pythagore.
• Cosinus positif, angle aigu ; cosinus négatif, angle obtus ; hors de $[-1\,;1]$ , pas de triangle.
• Critère du signe : $b^{2}+c^{2}-a^{2}$ nul, positif, négatif donne rectangle, acutangle, obtusangle.
• La formule donne $a^{2}$ : la racine carrée arrive en dernier.
• Un côté est toujours entre la différence et la somme des deux autres.
• Le plus grand angle fait face au plus grand côté.
• Dans un parallélogramme, les deux diagonales se calculent avec le même terme, une fois retranché et une fois ajouté.

Questions fréquentes

Quand faut-il utiliser la loi des cosinus plutot que la loi des sinus ?

La loi des cosinus sert quand aucun couple complet n'est connu, c'est-à-dire quand on n'a jamais ensemble un angle et le côté qui lui fait face. Deux cas seulement : deux côtés avec l'angle compris entre eux, ou les trois côtés. Dès qu'un angle est donné avec son côté opposé, la loi des sinus est plus rapide et moins risquée.

Pourquoi mon cosinus est-il négatif ?

Parce que l'angle cherché est obtus, c'est-à-dire plus grand que 90 degrés. Entre 0 et 180 degrés, le cosinus est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus. Ce n'est donc pas une erreur de calcul : c'est l'information la plus utile que le calcul vous donne.

Comment savoir si un triangle est acutangle ou obtusangle sans calculer les angles ?

On repère le plus grand côté, on compare son carré à la somme des carrés des deux autres. Si les deux quantités sont égales, le triangle est rectangle. Si le carré du grand côté est plus grand, le triangle est obtusangle. S'il est plus petit, le triangle est acutangle. Trois carrés suffisent, sans calculatrice.

Ma calculatrice affiche une erreur quand je prends l'arc cosinus, pourquoi ?

Parce que le nombre que vous lui donnez sort de l'intervalle allant de moins un à un, et qu'aucun angle n'a un tel cosinus. Cela veut dire que le triangle décrit n'existe pas : vérifiez l'inégalité triangulaire, le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres. Sinon, une donnée a été mal recopiée.

Est-ce que la loi des cosinus marche dans un triangle rectangle ?

Oui, toujours, et elle redonne exactement le théorème de Pythagore. Avec un angle droit, le cosinus vaut zéro, le dernier terme disparaît et il reste le carré du grand côté égal à la somme des deux autres carrés. En pratique on utilise Pythagore, qui est plus court, mais les deux donnent le même résultat.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La loi des cosinus

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

Faire les exercices

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/cst5-loi-cosinus. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : la loi des cosinus

L'essentiel

La formule, et la seule chose qu'il faut y lire

Le signe du cosinus, lu comme une information

Le parallélogramme : un angle donne les deux diagonales

Dans un problème, l'angle du triangle est l'angle intérieur

Les pièges qui coûtent des points

1. L'ordre des opérations dans b2+c2−2bccos⁡Ab^{2}+c^{2}-2bc\cos Ab2+c2−2bccosA

2. Oublier la racine carrée à la fin

3. Se tromper de côté à soustraire quand on cherche un angle

4. Un cosinus négatif pris pour une faute

5. Soustraire un nombre négatif

6. Ne pas vérifier que le triangle existe

7. Employer la loi des cosinus quand un couple complet est déjà connu

8. Arrondir en cours de route

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon ce que l'énoncé donne

La rédaction attendue

Calculer un côté avec deux côtés et l'angle compris

Calculer un angle à partir des trois côtés

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un triangle résolu en entier, du côté manquant aux trois angles

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand faut-il utiliser la loi des cosinus plutot que la loi des sinus ?

Pourquoi mon cosinus est-il négatif ?

Comment savoir si un triangle est acutangle ou obtusangle sans calculer les angles ?

Ma calculatrice affiche une erreur quand je prends l'arc cosinus, pourquoi ?

Est-ce que la loi des cosinus marche dans un triangle rectangle ?

Exercices corrigés : La loi des cosinus

Voir aussi

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1. L'ordre des opérations dans $b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$