Math CST, secondaire 5 à Montréal • Géométrie
En mathématiques CST de cinquième secondaire, les figures et les solides équivalents ont mauvaise réputation : beaucoup de formules, beaucoup d'unités, beaucoup d'occasions de se tromper. Pourtant la méthode ne change jamais, et les points se perdent presque toujours aux trois mêmes endroits, le tiers du cône, le facteur de conversion et l'aire d'un contenant ouvert.
Cette fiche ne réexplique pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve, et le geste exact qui évite chaque perte.
Le fil du chapitre
ÉQUIVALENT ne veut pas dire identique. Deux figures de même aire n'ont pas le même périmètre, deux solides de même volume n'ont pas la même aire, et c'est la FORME, pas la taille, qui décide de l'écart.
MÉTHODE DE LA MESURE MANQUANTE, toujours la même : écrire la formule d'aire ou de volume de la figure, l'égaler à la valeur imposée, isoler l'inconnue. La racine carrée ou cubique arrive en DERNIER.
Si toutes les dimensions sont multipliées par , l'aire l'est par et le volume par . Doubler ne double donc ni l'un ni l'autre.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« m² cm², puisque m vaut cm. »
Ce qu'il faut écrire
« m² cm², puisqu'un mètre carré est un carré de cm de côté. »
Pourquoi : Une aire se convertit avec le CARRÉ du facteur des longueurs, un volume avec son cube. En cas de doute, on convertit les longueurs d'abord et on multiplie ensuite : cm sur cm redonne bien cm².
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le cône de rayon et de hauteur contient cm³. »
Ce qu'il faut écrire
« Un cône vaut le TIERS du cylindre de même base et de même hauteur : cm³. »
Pourquoi : Un cône est visiblement plus petit que le cylindre qui l'enferme, et une pyramide plus petite que son prisme. Le contrôle est immédiat : si votre cône dépasse son cylindre, le tiers a sauté.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux terrains ont m², donc la même clôture. »
Ce qu'il faut écrire
« Le carré de m demande m de clôture, le rectangle de m sur m en demande . »
Pourquoi : L'équivalence ne porte que sur l'aire. Plus une figure est ALLONGÉE, plus son périmètre est grand à aire égale ; le minimum revient au cercle.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La piscine de m sur m et m demande m² de membrane. »
Ce qu'il faut écrire
« Le fond et les quatre murs seulement : m². »
Pourquoi : La formule d'aire totale suppose un solide fermé. Une piscine, un bac, une boîte sans couvercle ou un tube ouvert aux deux bouts comptent moins de faces : il faut relire l'énoncé avant d'appliquer la formule.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le cube de cm a un volume deux fois plus grand que celui de cm, soit cm³. »
Ce qu'il faut écrire
« : son volume vaut cm³, et son aire cm², soit fois plus. »
Pourquoi : Un volume a trois dimensions et une aire en a deux. Multiplier les longueurs par multiplie l'aire par et le volume par . C'est ce qui explique qu'un tas de neige de rayon double demande quatre fois plus de camions, pas deux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'aquarium fait cm³, donc L. »
Ce qu'il faut écrire
« L cm³, donc l'aquarium contient L. »
Pourquoi : Un litre est un décimètre cube, et un décimètre vaut cm, donc cm³. Le contrôle de vraisemblance suffit : L, ce serait m³, c'est-à-dire une piscine.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le rayon vaut cm, donc le volume vaut cm³. »
Ce qu'il faut écrire
« Je garde le rayon non arrondi en mémoire : le volume vaut cm³. »
Pourquoi : Un arrondi au centième se voit triplé quand on élève au cube. La règle : on arrondit UNE fois, à la dernière ligne, et on garde en facteur aussi longtemps que possible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Ces deux solides ont le même volume, donc il faut la même quantité de métal pour les fabriquer. »
Ce qu'il faut écrire
« Même volume ne dit rien de l'aire : le cylindre demande cm² et le prisme cm² pour les mêmes cm³. »
Pourquoi : L'équivalence impose UNE grandeur, pas les deux. C'est justement l'intérêt du chapitre pour un fabricant : à contenu égal, la forme décide de la matière achetée, et la sphère est toujours la plus économe.
On repère d'abord CE QUI EST ÉGAL entre les deux objets, puis ce que la question demande. Les deux réponses ne viennent jamais de la même formule.
Si Deux figures planes de même aire, une mesure manquante → écrire la formule d'aire de la figure, l'égaler à l'aire imposée, isoler
Exemple : triangle de base équivalent à : donne
la racine carrée n'arrive qu'en dernier, après la division
Si Deux solides de même volume, une mesure manquante → égaler les deux volumes, simplifier par quand il est des deux côtés
Exemple : cylindre de rayon contenant cm³ :
vérifier si le solide est un cône ou une pyramide, où le tiers change tout
Si Deux solides de MÊME AIRE, on compare les volumes → calculer chaque volume séparément, puis classer
Exemple : à cm² d'aire, la sphère contient cm³ et le cube cm³
la sphère gagne toujours, et le classement est la réponse attendue
Si La question parle de matériau, de peinture ou d'emballage → c'est une AIRE totale qu'il faut, pas un volume, et il faut compter les faces réellement présentes
Exemple : une piscine ouverte : le fond et quatre murs, donc m² et non
matériau et contenu sont deux questions différentes dans le même énoncé
Si Le solide n'est pas une forme connue → le DÉCOMPOSER en solides usuels, calculer chaque morceau, additionner à la fin
Exemple : un silo est un cylindre plus un cône : m³
garder en facteur évite d'additionner deux valeurs déjà arrondies
Si la question parle de litres, de remplissage ou de transvasement, c'est un VOLUME. Si elle parle de peinture, de tôle, de carton ou de membrane, c'est une AIRE.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un solide complet et un second solide dont il manque une dimension, en disant que les deux contiennent la même chose.
Phrase de conclusion
« Le bac contient cm³. Le cylindre équivalent de rayon cm vérifie , donc cm. »
Le piège : Oublier de vérifier la NATURE du second solide. Si c'est un cône, l'équation devient et la hauteur est triplée.
Barème : En général point pour le volume de départ, points pour l'équation et sa résolution, point pour l'unité et l'arrondi demandé.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'unité dit la dimension
Regarder l'unité de la réponse avant de la recopier : une longueur est en cm, une aire en cm², un volume en cm³. Une aire répondue en cm³ signale une formule prise au mauvais endroit.
l'aire totale d'un cube de cm est cm² et son volume cm³ : deux nombres, deux unités, deux questions.
Le cône tient dans son cylindre
Après tout calcul de cône ou de pyramide, comparer au prisme ou au cylindre de même base et de même hauteur : le résultat doit en être exactement le tiers.
m³, soit le tiers de m³.
L'ordre de grandeur en litres
Convertir mentalement le volume trouvé en litres et se demander si l'objet existe. Une canette vaut environ L, une baignoire environ L, une piscine des dizaines de milliers.
cm³ donne L, ce qui est un aquarium plausible ; L serait une piscine.
Le classement à aire égale ou à volume égal
Quand plusieurs solides sont comparés, vérifier que la sphère est bien la plus économe en surface et la plus généreuse en volume. Un classement qui la place ailleurs contient une erreur de calcul.
à cm² d'aire : sphère cm³, cylindre cm³, cube cm³.
Une boîte de jus est un prisme droit à base rectangulaire de cm sur cm, haut de cm.
Le fabricant étudie un contenant cylindrique de cm de rayon contenant exactement la même quantité de jus. Quelle hauteur doit-il avoir, et lequel des deux contenants demande le moins de carton ?
Étape 1
Volume de la boîte : cm³, soit L.
Pourquoi
C'est la grandeur qui sera CONSERVÉE : tout le problème part de là, et la conversion en litres donne l'ordre de grandeur d'une petite brique de jus.
Étape 2
Cylindre équivalent : , donc cm.
Pourquoi
On écrit l'égalité des VOLUMES, pas des aires : c'est la définition de solides équivalents. Le cylindre est plus court que la boîte parce que sa base, de cm², est plus large que les cm² du prisme.
Étape 3
Aire totale du prisme : cm².
Pourquoi
Un prisme a trois paires de faces opposées. Les compter une à une, sans le facteur , est l'erreur la plus fréquente, et elle donne exactement la moitié.
Étape 4
Aire totale du cylindre : cm².
Pourquoi
Deux disques et une paroi enroulée, dont la longueur est la circonférence. On reprend la hauteur non arrondie, sinon l'aire est fausse au dixième.
Étape 5
Comparaison : cm² d'économie, soit environ pour cent de carton en moins pour le cylindre.
Pourquoi
Les deux contenants sont équivalents, donc le client reçoit la même quantité de jus : seule l'aire distingue les deux, et c'est elle que le fabricant paie.
Étape 6
Un cube équivalent aurait une arête de cm et une aire de cm² ; une sphère équivalente, un rayon de cm et une aire de cm².
Pourquoi
Le classement confirme la règle du chapitre : à volume égal, plus le solide est ramassé, plus son aire est petite, et la sphère gagne toujours. Elle n'est simplement pas empilable sur une tablette d'épicerie.
Conclusion rédigée
« Le cylindre équivalent mesure environ cm de haut et demande cm² de carton contre cm² pour la boîte, soit cm² de moins pour la même quantité de jus. »
L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique ici est de comparer les deux contenants par leur VOLUME, et de conclure qu'ils se valent. C'est vrai, et c'est précisément l'hypothèse de départ : la question porte sur l'aire, la seule grandeur que l'équivalence n'impose pas.
Équivalent veut dire de même aire pour deux figures, ou de même volume pour deux solides, sans aucune condition sur la forme. Isométrique veut dire superposable, donc identique en tout point. Semblable veut dire de même forme mais à une échelle différente. Deux figures équivalentes peuvent n'avoir ni la même forme ni le même périmètre.
Parce qu'un mètre carré est un carré d'un mètre de côté, c'est-à-dire de cent centimètres de côté. Son aire vaut donc cent fois cent, soit dix mille centimètres carrés. Le facteur d'une aire est le carré de celui des longueurs, et celui d'un volume en est le cube, ce qui donne un million pour le mètre cube.
On calcule d'abord le volume de la boîte, puis on écrit que le cylindre a le même volume. L'équation devient pi fois le rayon au carré fois la hauteur égale ce volume, et on isole la hauteur en divisant. On arrondit seulement à la fin, et on vérifie que le résultat est vraisemblable.
Non, presque jamais. L'équivalence n'impose que le volume. À volume égal, un solide allongé a une grande surface et un solide ramassé une petite : pour 576 centimètres cubes, une boîte demande 432 centimètres carrés de carton et un cylindre seulement 387. C'est la sphère qui a toujours la plus petite aire.
Parce que la fonte se fait par la surface, et que découper un solide en petits morceaux augmente beaucoup la surface totale sans changer le volume. Un cube de quatre centimètres a 96 centimètres carrés de surface ; les 64 petits cubes d'un centimètre qu'il donne en ont 384, soit quatre fois plus, pour la même quantité de glace.
