Math CST, secondaire 5 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : les figures et les solides équivalents

En mathématiques CST de cinquième secondaire, les figures et les solides équivalents ont mauvaise réputation : beaucoup de formules, beaucoup d'unités, beaucoup d'occasions de se tromper. Pourtant la méthode ne change jamais, et les points se perdent presque toujours aux trois mêmes endroits, le tiers du cône, le facteur de conversion et l'aire d'un contenant ouvert.

Cette fiche ne réexplique pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve, et le geste exact qui évite chaque perte.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

ÉQUIVALENT ne veut pas dire identique. Deux figures de même aire n'ont pas le même périmètre, deux solides de même volume n'ont pas la même aire, et c'est la FORME, pas la taille, qui décide de l'écart.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 5

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 12 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Aire et volume des solides Secondaire 3 Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Nombres réels, racines et ensembles Secondaire 3
2 Lois des exposants et notation scientifique Secondaire 3
3 Expressions algébriques et mise en évidence Secondaire 3
4 Équations et inéquations du premier degré Secondaire 3
5 Aire et volume des solides Secondaire 3

Notions couvertes

Figures équivalentes
Solides équivalents
Solides de même aire
Aire d'une figure plane
Volume d'un solide
Aire totale d'un solide
Conversion d'unités d'aire
Conversion d'unités de volume
Litre et décimètre cube
Rapport aire-volume
Solide décomposable
Effet d'un agrandissement

L'essentiel

Les trois mots, et les trois facteurs

• ÉQUIVALENTES : deux figures planes de même AIRE, deux solides de même VOLUME. Rien d'autre n'est imposé, ni la forme, ni le périmètre, ni l'aire d'un solide.
• À ne pas confondre : ISOMÉTRIQUES, c'est superposable ; SEMBLABLES, c'est la même forme à l'échelle près.
• Entre le mètre et le centimètre : $\times 100$ pour une longueur, $\times 10\,000$ pour une aire, $\times 1\,000\,000$ pour un volume. Le facteur d'une aire est le CARRÉ de celui des longueurs, celui d'un volume en est le CUBE.
• Les litres sont des volumes déguisés : $1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³, et $1$ m³ $=1000$ L.

Le schéma montre

10

colonnes de

10

cases pour tenir sur la page ; dans un vrai mètre carré il y en a

100

100

, donc

10\,000

cm².

MÉTHODE DE LA MESURE MANQUANTE, toujours la même : écrire la formule d'aire ou de volume de la figure, l'égaler à la valeur imposée, isoler l'inconnue. La racine carrée ou cubique arrive en DERNIER.

Les formules, et le tiers qu'on oublie

• AIRES : rectangle et parallélogramme $b\times h$ ; triangle $\dfrac{b\times h}{2}$ ; trapèze $\dfrac{(B+b)h}{2}$ ; losange $\dfrac{Dd}{2}$ ; disque $\pi r^{2}$ .
• VOLUMES : prisme et cylindre, aire de la base fois la hauteur ; pyramide et cône, le TIERS de cela ; sphère $\dfrac{4\pi r^{3}}{3}$ .
• AIRES TOTALES : cube $6c^{2}$ ; cylindre $2\pi r^{2}+2\pi rh$ , avec DEUX disques ; sphère $4\pi r^{2}$ . Un contenant ouvert ne compte pas son dessus, et c'est l'énoncé qui le dit, jamais la formule.
• À VOLUME ÉGAL, la sphère a la plus petite aire ; à AIRE ÉGALE, elle contient le plus grand volume. Dans le plan, à aire égale, le cercle a le plus petit périmètre.

Prisme et cylindre : aire de la base fois la hauteur. Pyramide et cône, en orange : le TIERS de cela. La sphère a sa propre formule.

Si toutes les dimensions sont multipliées par $k$ , l'aire l'est par $k^{2}$ et le volume par $k^{3}$ . Doubler ne double donc ni l'un ni l'autre.

Un solide composé se découpe

• Un solide qui n'est pas une forme connue se DÉCOUPE en solides usuels : on calcule chaque volume, puis on additionne.
• Un solide évidé se traite par différence : le volume extérieur moins celui du trou.
• Pour une aire, seules comptent les faces EXTÉRIEURES : la face commune aux deux morceaux disparaît du total.
• Garder $\pi$ en facteur jusqu'au bout évite d'additionner deux valeurs déjà arrondies.

Un cylindre de rayon

2

et de hauteur

5

coiffé d'un cône de hauteur

1{,}5

V=20\pi+2\pi=22\pi

. Le disque commun n'entre pas dans l'aire extérieure.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Convertir une aire avec le facteur des longueurs

toute la question, et l'erreur se propage à tous les calculs suivants

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $96$ m² $=9600$ cm², puisque $1$ m vaut $100$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« $96$ m² $=96\times 10\,000=960\,000$ cm², puisqu'un mètre carré est un carré de $100$ cm de côté. »

Convertir les LONGUEURS d'abord :

1200

cm sur

800

cm donne

960\,000

cm², soit

96\times 10\,000

, et non

96\times 100

Pourquoi : Une aire se convertit avec le CARRÉ du facteur des longueurs, un volume avec son cube. En cas de doute, on convertit les longueurs d'abord et on multiplie ensuite : $1200$ cm sur $800$ cm redonne bien $960\,000$ cm².

2. Oublier le tiers du cône ou de la pyramide

toute la question, et un résultat trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cône de rayon $20$ et de hauteur $143{,}24$ contient $\pi\times 400\times 143{,}24\approx 180\,000$ cm³. »

Ce qu'il faut écrire

« Un cône vaut le TIERS du cylindre de même base et de même hauteur : $60\,000$ cm³. »

Le cône, en orange, tient dans le cylindre de même base et de même hauteur, avec beaucoup de place autour : il n'en occupe que le tiers.

Pourquoi : Un cône est visiblement plus petit que le cylindre qui l'enferme, et une pyramide plus petite que son prisme. Le contrôle est immédiat : si votre cône dépasse son cylindre, le tiers a sauté.

3. Croire que deux figures équivalentes ont le même périmètre

1 à 2 points, et une décision fausse dans un problème de coût

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux terrains ont $240$ m², donc la même clôture. »

Ce qu'il faut écrire

« Le carré de $15{,}49$ m demande $61{,}97$ m de clôture, le rectangle de $30$ m sur $8$ m en demande $76$ . »

Trois figures de

84

unités d'aire : le rectangle a un périmètre de

38

, le carré de

36{,}66

et le disque de

32{,}49

. Même aire, trois périmètres.

Pourquoi : L'équivalence ne porte que sur l'aire. Plus une figure est ALLONGÉE, plus son périmètre est grand à aire égale ; le minimum revient au cercle.

4. Compter six faces pour un contenant ouvert

2 points, et une facture surévaluée de près de 50 pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La piscine de $8$ m sur $4$ m et $1{,}5$ m demande $2(32+12+6)=100$ m² de membrane. »

Ce qu'il faut écrire

« Le fond et les quatre murs seulement : $32+24+12=68$ m². »

Le dessus de la piscine, en rouge, n'existe pas : le fond et les quatre murs, en bleu pour ceux qu'on voit, donnent

68

m².

Pourquoi : La formule d'aire totale suppose un solide fermé. Une piscine, un bac, une boîte sans couvercle ou un tube ouvert aux deux bouts comptent moins de faces : il faut relire l'énoncé avant d'appliquer la formule.

5. Croire que doubler les dimensions double le volume

toute la question, et souvent la dernière, celle qui rapporte le plus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cube de $2$ cm a un volume deux fois plus grand que celui de $1$ cm, soit $2$ cm³. »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{3}=8$ : son volume vaut $8$ cm³, et son aire $24$ cm², soit $4$ fois plus. »

Le cube d'arête

2

cm se découpe en

2\times 2\times 2=8

cubes d'arête

1

cm : doubler l'arête multiplie le volume par

8

Pourquoi : Un volume a trois dimensions et une aire en a deux. Multiplier les longueurs par $k$ multiplie l'aire par $k^{2}$ et le volume par $k^{3}$ . C'est ce qui explique qu'un tas de neige de rayon double demande quatre fois plus de camions, pas deux.

6. Prendre le centimètre cube pour un millilitre de litre

1 point, et un ordre de grandeur absurde que le correcteur voit tout de suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aquarium fait $112\,000$ cm³, donc $112\,000$ L. »

Ce qu'il faut écrire

« $1$ L $=1000$ cm³, donc l'aquarium contient $112$ L. »

Le cube de

10

cm d'arête contient un litre ; le petit cube orange de

1

cm n'en est que le millième, un millilitre.

Pourquoi : Un litre est un décimètre cube, et un décimètre vaut $10$ cm, donc $1000$ cm³. Le contrôle de vraisemblance suffit : $112\,000$ L, ce serait $112$ m³, c'est-à-dire une piscine.

7. Arrondir avant la fin d'un calcul de volume

0,5 point par arrondi prématuré, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rayon vaut $6{,}91$ cm, donc le volume vaut $\dfrac{4\pi\times 6{,}91^{3}}{3}\approx 1382{,}05$ cm³. »

Ce qu'il faut écrire

« Je garde le rayon non arrondi en mémoire : le volume vaut $1381{,}98$ cm³. »

Pourquoi : Un arrondi au centième se voit triplé quand on élève au cube. La règle : on arrondit UNE fois, à la dernière ligne, et on garde $\pi$ en facteur aussi longtemps que possible.

8. Confondre solides équivalents et solides de même aire

2 points dans un problème de coût de matériau, et la conclusion est inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Ces deux solides ont le même volume, donc il faut la même quantité de métal pour les fabriquer. »

Ce qu'il faut écrire

« Même volume ne dit rien de l'aire : le cylindre demande $387{,}48$ cm² et le prisme $432$ cm² pour les mêmes $576$ cm³. »

Le prisme de l'exemple et le cylindre de rayon

5

contiennent tous deux

576

cm³ ; le cylindre, plus ramassé, demande moins de carton.

Pourquoi : L'équivalence impose UNE grandeur, pas les deux. C'est justement l'intérêt du chapitre pour un fabricant : à contenu égal, la forme décide de la matière achetée, et la sphère est toujours la plus économe.

Quelle méthode choisir

Quelle grandeur est imposée, et que cherche la question

On repère d'abord CE QUI EST ÉGAL entre les deux objets, puis ce que la question demande. Les deux réponses ne viennent jamais de la même formule.

Si Deux figures planes de même aire, une mesure manquante → écrire la formule d'aire de la figure, l'égaler à l'aire imposée, isoler

Exemple : triangle de base $14$ équivalent à $84$ : $\dfrac{14h}{2}=84$ donne $h=12$

la racine carrée n'arrive qu'en dernier, après la division
Si Deux solides de même volume, une mesure manquante → égaler les deux volumes, simplifier par $\pi$ quand il est des deux côtés

Exemple : cylindre de rayon $20$ contenant $60\,000$ cm³ : $h=\dfrac{60\,000}{400\pi}\approx 47{,}75$

vérifier si le solide est un cône ou une pyramide, où le tiers change tout
Si Deux solides de MÊME AIRE, on compare les volumes → calculer chaque volume séparément, puis classer

Exemple : à $600$ cm² d'aire, la sphère contient $1381{,}98$ cm³ et le cube $1000$ cm³

la sphère gagne toujours, et le classement est la réponse attendue
Si La question parle de matériau, de peinture ou d'emballage → c'est une AIRE totale qu'il faut, pas un volume, et il faut compter les faces réellement présentes

Exemple : une piscine ouverte : le fond et quatre murs, donc $68$ m² et non $100$

matériau et contenu sont deux questions différentes dans le même énoncé
Si Le solide n'est pas une forme connue → le DÉCOMPOSER en solides usuels, calculer chaque morceau, additionner à la fin

Exemple : un silo est un cylindre plus un cône : $72\pi+7{,}5\pi=79{,}5\pi$ m³

garder $\pi$ en facteur évite d'additionner deux valeurs déjà arrondies

Si la question parle de litres, de remplissage ou de transvasement, c'est un VOLUME. Si elle parle de peinture, de tôle, de carton ou de membrane, c'est une AIRE.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Trouver la mesure manquante d'un solide équivalent

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un solide complet et un second solide dont il manque une dimension, en disant que les deux contiennent la même chose.

1 Calculer le volume du solide connu, en valeur exacte, avec $\pi$ en facteur si besoin.
2 Écrire que le second solide a le MÊME volume, et poser l'équation avec la bonne formule.
3 Simplifier, en particulier par $\pi$ quand il apparaît des deux côtés, puis isoler l'inconnue.
4 Arrondir une seule fois, à la précision demandée, et donner l'unité.
5 Vérifier l'ordre de grandeur : un solide plus large est plus court, un cône est trois fois plus haut.

Phrase de conclusion

« Le bac contient $60\times 40\times 25=60\,000$ cm³. Le cylindre équivalent de rayon $20$ cm vérifie $400\pi h=60\,000$ , donc $h\approx 47{,}75$ cm. »

Le piège : Oublier de vérifier la NATURE du second solide. Si c'est un cône, l'équation devient $\dfrac{400\pi h}{3}=60\,000$ et la hauteur est triplée.

Barème : En général $1$ point pour le volume de départ, $2$ points pour l'équation et sa résolution, $1$ point pour l'unité et l'arrondi demandé.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'unité dit la dimension

Regarder l'unité de la réponse avant de la recopier : une longueur est en cm, une aire en cm², un volume en cm³. Une aire répondue en cm³ signale une formule prise au mauvais endroit.

l'aire totale d'un cube de $10$ cm est $600$ cm² et son volume $1000$ cm³ : deux nombres, deux unités, deux questions.
Le cône tient dans son cylindre

Après tout calcul de cône ou de pyramide, comparer au prisme ou au cylindre de même base et de même hauteur : le résultat doit en être exactement le tiers.

$\dfrac{\pi\times 36\times 4{,}5}{3}\approx 169{,}65$ m³, soit le tiers de $508{,}94$ m³.
L'ordre de grandeur en litres

Convertir mentalement le volume trouvé en litres et se demander si l'objet existe. Une canette vaut environ $0{,}355$ L, une baignoire environ $150$ L, une piscine des dizaines de milliers.

$112\,000$ cm³ donne $112$ L, ce qui est un aquarium plausible ; $112\,000$ L serait une piscine.
Le classement à aire égale ou à volume égal

Quand plusieurs solides sont comparés, vérifier que la sphère est bien la plus économe en surface et la plus généreuse en volume. Un classement qui la place ailleurs contient une erreur de calcul.

à $600$ cm² d'aire : sphère $1381{,}98$ cm³, cylindre $1107{,}30$ cm³, cube $1000$ cm³.

L'exercice type décortiqué

Une boîte de jus, et le contenant équivalent le plus économe

Une boîte de jus est un prisme droit à base rectangulaire de $8$ cm sur $6$ cm, haut de $12$ cm.

Le fabricant étudie un contenant cylindrique de $5$ cm de rayon contenant exactement la même quantité de jus. Quelle hauteur doit-il avoir, et lequel des deux contenants demande le moins de carton ?

Étape 1

Volume de la boîte : $V=8\times 6\times 12=576$ cm³, soit $0{,}576$ L.

Pourquoi

C'est la grandeur qui sera CONSERVÉE : tout le problème part de là, et la conversion en litres donne l'ordre de grandeur d'une petite brique de jus.

Étape 2

Cylindre équivalent : $\pi\times 5^{2}\times h=576$ , donc $h=\dfrac{576}{25\pi}\approx 7{,}33$ cm.

Pourquoi

On écrit l'égalité des VOLUMES, pas des aires : c'est la définition de solides équivalents. Le cylindre est plus court que la boîte parce que sa base, de $78{,}54$ cm², est plus large que les $48$ cm² du prisme.

Étape 3

Aire totale du prisme : $2\times(8\times 6+8\times 12+6\times 12)=2\times 216=432$ cm².

Pourquoi

Un prisme a trois paires de faces opposées. Les compter une à une, sans le facteur $2$ , est l'erreur la plus fréquente, et elle donne exactement la moitié.

Étape 4

Aire totale du cylindre : $2\pi\times 5^{2}+2\pi\times 5\times 7{,}3339\approx 157{,}08+230{,}40\approx 387{,}48$ cm².

Pourquoi

Deux disques et une paroi enroulée, dont la longueur est la circonférence. On reprend la hauteur non arrondie, sinon l'aire est fausse au dixième.

Étape 5

Comparaison : $432-387{,}48=44{,}52$ cm² d'économie, soit environ $10$ pour cent de carton en moins pour le cylindre.

Pourquoi

Les deux contenants sont équivalents, donc le client reçoit la même quantité de jus : seule l'aire distingue les deux, et c'est elle que le fabricant paie.

Étape 6

Un cube équivalent aurait une arête de $\sqrt[3]{576}\approx 8{,}32$ cm et une aire de $415{,}37$ cm² ; une sphère équivalente, un rayon de $5{,}16$ cm et une aire de $334{,}78$ cm².

Pourquoi

Le classement confirme la règle du chapitre : à volume égal, plus le solide est ramassé, plus son aire est petite, et la sphère gagne toujours. Elle n'est simplement pas empilable sur une tablette d'épicerie.

Conclusion rédigée

« Le cylindre équivalent mesure environ $7{,}33$ cm de haut et demande $387{,}48$ cm² de carton contre $432$ cm² pour la boîte, soit $44{,}52$ cm² de moins pour la même quantité de jus. »

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique ici est de comparer les deux contenants par leur VOLUME, et de conclure qu'ils se valent. C'est vrai, et c'est précisément l'hypothèse de départ : la question porte sur l'aire, la seule grandeur que l'équivalence n'impose pas.

À savoir par cœur

• Équivalentes : même aire pour des figures, même volume pour des solides. Rien d'autre.
• Longueur $\times 100$ , aire $\times 10\,000$ , volume $\times 1\,000\,000$ , du mètre au centimètre.
• $1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³, et $1$ m³ $=1000$ L.
• Cône et pyramide : le TIERS du cylindre ou du prisme de même base et de même hauteur.
• Aire totale d'un cylindre : $2\pi r^{2}+2\pi rh$ , avec deux disques.
• Mesure manquante : formule, égalité, isolation, et la racine en dernier.
• Dimensions $\times k$ : aire $\times k^{2}$ , volume $\times k^{3}$ .
• À aire égale, la sphère contient le plus ; à volume égal, elle a la plus petite aire.
• Un contenant ouvert ne compte pas toutes ses faces : c'est l'énoncé qui décide.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre équivalent, isométrique et semblable ?

Équivalent veut dire de même aire pour deux figures, ou de même volume pour deux solides, sans aucune condition sur la forme. Isométrique veut dire superposable, donc identique en tout point. Semblable veut dire de même forme mais à une échelle différente. Deux figures équivalentes peuvent n'avoir ni la même forme ni le même périmètre.

Pourquoi un mètre carré vaut-il dix mille centimètres carrés ?

Parce qu'un mètre carré est un carré d'un mètre de côté, c'est-à-dire de cent centimètres de côté. Son aire vaut donc cent fois cent, soit dix mille centimètres carrés. Le facteur d'une aire est le carré de celui des longueurs, et celui d'un volume en est le cube, ce qui donne un million pour le mètre cube.

Comment trouver la hauteur d'un cylindre qui contient la même chose qu'une boîte ?

On calcule d'abord le volume de la boîte, puis on écrit que le cylindre a le même volume. L'équation devient pi fois le rayon au carré fois la hauteur égale ce volume, et on isole la hauteur en divisant. On arrondit seulement à la fin, et on vérifie que le résultat est vraisemblable.

Deux solides de même volume ont-ils la même aire ?

Non, presque jamais. L'équivalence n'impose que le volume. À volume égal, un solide allongé a une grande surface et un solide ramassé une petite : pour 576 centimètres cubes, une boîte demande 432 centimètres carrés de carton et un cylindre seulement 387. C'est la sphère qui a toujours la plus petite aire.

Pourquoi la glace concassée fond-elle plus vite qu'un gros glaçon ?

Parce que la fonte se fait par la surface, et que découper un solide en petits morceaux augmente beaucoup la surface totale sans changer le volume. Un cube de quatre centimètres a 96 centimètres carrés de surface ; les 64 petits cubes d'un centimètre qu'il donne en ont 384, soit quatre fois plus, pour la même quantité de glace.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les figures et les solides équivalents

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

12 exercices corrigés
120 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/cst5-figures-solides-equivalents. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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