Math CST, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la résolution de triangles (math CST, secondaire 4)

En séquence CST, la résolution de triangles sert à mesurer un terrain, une distance au large, une surface à couvrir. La loi des cosinus n'y est pas : elle attend la CST 5. Ce chapitre-ci tient sur la loi des sinus, la formule de Héron et les trois façons de calculer une aire.

Gardez une question devant chaque énoncé : de quoi est-ce que je dispose, exactement ? Deux côtés et l'angle entre eux, trois côtés, ou un angle et le côté d'en face. Chacune de ces trois réponses ouvre une formule et une seule, et employer la mauvaise donne un nombre qui ressemble à une réponse sans en être une.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Ce sont les DONNÉES qui choisissent la formule : deux côtés et l'angle COMPRIS appellent le demi-produit par le sinus, trois côtés appellent Héron, un angle et son côté OPPOSÉ ouvrent la loi des sinus.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Nombres réels, racines et ensembles Secondaire 3
2 Aire et volume des solides Secondaire 3
3 Figures et solides semblables : k, k², k³ Secondaire 3
4 Théorème de Pythagore et réciproque Secondaire 3
5 La similitude et l'isométrie des triangles
6 Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

L'essentiel

La loi des sinus : des COUPLES, un angle et son côté opposé

• $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ . Chaque côté est apparié à l'angle qui lui est OPPOSÉ, jamais à celui qui le touche.
• Pour démarrer, il faut un COUPLE COMPLET : un angle ET le côté opposé à cet angle. Avec trois côtés et aucun angle, la loi ne donne rien.
• Quand deux angles sont donnés, on calcule le troisième par soustraction à $180^\circ$ AVANT tout le reste : cela ouvre un rapport de plus, souvent celui dont on a besoin.
• On repart toujours du couple EXACT de l'énoncé, jamais d'une longueur qu'on vient d'arrondir : c'est ainsi qu'on évite d'empiler deux approximations.

Chaque côté porte la couleur de l'angle qui lui fait FACE :

a=15

43^\circ

en bleu,

b

68^\circ

en orange,

c

69^\circ

en vert. Les côtés grandissent dans l'ordre des angles.

Contrôle gratuit et systématique : le plus grand côté est opposé au plus grand angle, et le plus petit au plus petit. Deux listes rangées dans le même ordre.

Trois formules d'aire, et leur condition d'emploi

• Avec une hauteur : $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ , la plus simple, à condition que la hauteur soit RELATIVE au côté choisi comme base.
• Avec deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux : $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ . Le mot compris est la condition : l'angle doit être celui que forment les deux côtés.
• Avec les trois côtés : HÉRON, $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ où $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ est le DEMI-périmètre.
• Avec les trois angles seulement : AUCUNE. Les angles donnent la forme, pas la taille, et l'aire n'est pas déterminée.

Le même pignon par trois chemins :

\dfrac{9{,}6\times 3{,}6}{2}

, Héron avec

s=10{,}8

, et

\dfrac{1}{2}\times 6\times 6\times\sin 106{,}26^\circ

donnent tous

17{,}28

^{2}

Les trois formules décrivent la même grandeur : quand plusieurs s'appliquent, les faire toutes est la meilleure vérification qu'une copie puisse offrir.

Le sinus dans un triangle : toujours positif

• Le sinus d'un angle de triangle est POSITIF, obtus compris : il ne devient négatif qu'au-delà de $180^\circ$ , ce qui n'arrive jamais. La formule d'aire marche donc partout.
• Deux angles supplémentaires ont le MÊME sinus : $\sin 110^\circ=\sin 70^\circ$ . C'est ce qui rend la loi des sinus prudente quand on cherche un ANGLE.
• La règle qui écarte toute ambiguïté : on cherche l'angle opposé au PLUS PETIT côté connu. Il est nécessairement le plus petit du triangle, donc aigu, donc la calculatrice a raison.
• Autre garde-fou : un triangle n'a qu'UN SEUL angle obtus. S'il est déjà donné, tous les autres sont aigus et aucune ambiguïté n'est possible.

Les angles de

70^\circ

110^\circ

placent leurs points du demi-cercle à la MÊME hauteur :

\sin 70^\circ=\sin 110^\circ\approx 0{,}940

, positive de

0^\circ

180^\circ

À deux côtés fixés, l'aire est maximale quand l'angle vaut $90^\circ$ , et elle varie très peu autour de cette valeur : douze degrés d'écart ne coûtent que deux pour cent.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Que peut-on calculer, selon les données ?

Chaque ligne décrit ce que l'énoncé fournit. La colonne du milieu nomme l'outil, celle de droite dit ce qu'on obtient. Deux lignes ne mènent nulle part.

Données	Outil	Résultat
deux angles et un côté	loi des sinus	tout le triangle
Exemple : $43^\circ$ , $68^\circ$ et $a=15$ donnent $b\approx 20{,}39$ et $c\approx 20{,}53$ .
deux côtés et l'angle compris	$\dfrac{1}{2}ab\sin C$	l'aire
Exemple : $7{,}2$ m, $5{,}4$ m et $78^\circ$ donnent environ $19{,}02$ m $^{2}$ .
les trois côtés	Héron	l'aire
Exemple : $52$ , $56$ , $60$ donnent $s=84$ et $\mathcal{A}=1344$ m $^{2}$ .
un côté, la hauteur relative	base fois hauteur sur deux	l'aire
Exemple : $9{,}6$ m et $3{,}6$ m donnent $17{,}28$ m $^{2}$ .
les trois angles seulement	aucun	rien taille indeterminee
Exemple : Un triangle de $43^\circ$ , $68^\circ$ et $69^\circ$ peut mesurer $15$ cm ou $15$ km de côté. Même forme, autre résultat : Une seule longueur suffit à tout déterminer : ajoutez $a=15$ cm et le triangle entier se calcule. Ce qu'il faut faire : Écrire « l'aire n'est pas déterminée, il manque une longueur » : c'est une réponse complète.
deux côtés et un angle non compris	loi des sinus d'abord	deux étapes pas directement
Exemple : $10$ , $6$ et $30^\circ$ opposé au côté de $6$ : le demi-produit donnerait $15$ cm $^{2}$ , qui est l'aire d'un autre triangle. Même forme, autre résultat : Avec l'angle COMPRIS entre les deux côtés, la formule s'applique directement et donne la bonne aire. Ce qu'il faut faire : Employer la loi des sinus pour obtenir un deuxième angle, puis le troisième, et revenir alors au demi-produit.

Les deux cases rouges partagent la même cause : les données ne remplissent pas la condition d'emploi de la formule, et le calcul mené quand même donne un nombre plausible qui n'est pas la réponse.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire le demi-périmètre dans Héron

la question entière, avec un résultat onze fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $13$ , $14$ et $15$ : $s=42$ , donc $\mathcal{A}=\sqrt{42\times 29\times 28\times 27}\approx 959{,}59$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $s=\dfrac{42}{2}=21$ , donc $\mathcal{A}=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$ cm $^{2}$ . »

Hauteur

12

sur le côté de

14

: le triangle occupe la moitié du rectangle de

168

^{2}

, soit

84

^{2}

; les

959

^{2}

du calcul faux dépassent le rectangle entier.

Pourquoi : Le $s$ de Héron est le DEMI-périmètre. L'ordre de grandeur suffit à repérer l'erreur : le triangle tient dans un rectangle de $15\times 14=210$ cm $^{2}$ , donc $959$ cm $^{2}$ est impossible.

2. Employer le demi-produit avec le mauvais angle

la question entière, et l'erreur ne se voit pas dans le résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux côtés de $10$ et $6$ , un angle de $30^\circ$ opposé au côté de $6$ : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 10\times 6\times\sin 30^\circ=15$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle n'est pas COMPRIS entre les deux côtés : il faut d'abord compléter le triangle par la loi des sinus. »

L'angle de

30^\circ

, en rouge, est entre le côté de

10

et le côté INCONNU : il n'est pas compris entre les deux côtés connus, en bleu, et le demi-produit ne s'applique pas.

Pourquoi : La formule exige que les deux côtés et l'angle forment un sommet. Appliquée à l'aveugle, elle donne l'aire d'un AUTRE triangle, et ce nombre a l'air parfaitement raisonnable.

3. Apparier un côté au mauvais angle

la question entière, et les deux distances sont échangées

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AR$ se calcule avec l'angle en $A$ : $AR=\dfrac{400\times\sin 62^\circ}{\sin 71^\circ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $AR$ est OPPOSÉ à l'angle en $B$ : $AR=\dfrac{400\times\sin 47^\circ}{\sin 71^\circ}\approx 309{,}40$ m. »

AR

, en vert, fait face à l'angle de

47^\circ

B

;

BR

, en orange, fait face à l'angle de

62^\circ

A

. Un côté va avec l'angle d'EN FACE, jamais avec celui qu'il touche.

Pourquoi : Dans la loi des sinus, un côté va toujours avec l'angle d'EN FACE. L'erreur donne $373{,}53$ m au lieu de $309{,}40$ m, soit $64$ m de trop, et rien dans le nombre ne signale la faute : il faut vérifier sur la figure.

4. Démarrer la loi des sinus sans couple complet

plusieurs minutes perdues, et souvent une copie laissée en blanc

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les trois côtés mesurent $52$ , $56$ et $60$ : j'écris la loi des sinus. »

Ce qu'il faut écrire

« Aucun angle n'est connu : il faut Héron, qui n'en demande pas. »

Trois côtés et aucun angle : chaque rapport

\dfrac{a}{\sin A}

aurait deux inconnues. Héron, qui ne demande que les côtés, donne

1344

^{2}

Pourquoi : Chaque rapport de la loi des sinus contiendrait deux inconnues, un côté et un angle. Il faut au moins un couple complet pour démarrer. Avec trois côtés et aucun angle, Héron est l'outil, et il donne ici $1344$ m $^{2}$ .

5. Lire le sinus d'un angle obtus

la question entière, abandonnée alors qu'elle était faisable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'angle vaut $110^\circ$ , donc son sinus est négatif et la formule d'aire ne s'applique pas. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin 110^\circ\approx 0{,}940$ , positif : $\dfrac{1}{2}\times 12\times 15\times\sin 110^\circ\approx 84{,}57$ m $^{2}$ . »

L'aire de deux côtés de

7{,}2

m et

5{,}4

m selon l'angle : la courbe reste au-dessus de zéro sur tout l'intervalle, et culmine à

90^\circ

Pourquoi : Le sinus reste positif de $0^\circ$ à $180^\circ$ , donc pour tout angle de triangle. C'est le COSINUS qui change de signe à $90^\circ$ , et il n'intervient pas dans ce chapitre.

6. Garder les deux solutions d'un angle

1 à 2 points, et une réponse double là où une seule est attendue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin B\approx 0{,}6578$ donne $B=41{,}13^\circ$ ou $B=138{,}87^\circ$ : il y a deux triangles. »

Ce qu'il faut écrire

« $\widehat{A}=110^\circ$ est déjà obtus, donc $138{,}87^\circ$ est impossible : $110+138{,}87=248{,}87^\circ$ . »

L'angle de

110^\circ

A

est déjà obtus : l'angle en

B

, opposé au plus petit côté

b=14

, ne peut être que l'aigu,

41{,}13^\circ

Pourquoi : Un triangle n'a qu'un angle obtus. La règle préventive supprime la question : on cherche toujours l'angle opposé au PLUS PETIT côté, qui est forcément aigu.

7. Faire suivre un coût au mauvais facteur

2 à 3 points sur la question de conclusion, la mieux notée du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un terrain deux fois plus grand coûte deux fois plus cher à engazonner. »

Ce qu'il faut écrire

« L'aire est multipliée par $2^{2}=4$ : le gazon passe de $5712$ à $22\,848$ dollars. »

Le terrain aux côtés doublés contient exactement QUATRE copies du petit : la clôture double, mais la surface à engazonner est multipliée par

2^{2}=4

Pourquoi : Le périmètre suit le rapport $k$ , l'aire suit $k^{2}$ . Le coût total passe de $12\,096$ à $35\,616$ dollars, presque le triple, parce que la part du gazon prend le dessus.

8. Appliquer Héron à des longueurs impossibles

1 point, mais surtout une occasion manquée de conclure proprement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les côtés $3$ , $4$ et $8$ donnent un radicande négatif : ma calculatrice est en panne. »

Ce qu'il faut écrire

« $3+4=7<8$ : ces longueurs ne forment aucun triangle. Le facteur $7{,}5-8=-0{,}5$ le signale. »

Les arcs de rayons

3

4

tracés depuis les extrémités du côté de

8

ne se rencontrent jamais :

3+4=7<8

, le troisième sommet n'existe pas.

Pourquoi : Héron refuse d'elle-même les triangles impossibles. Un radicande négatif est une RÉPONSE, à écrire en toutes lettres, et non un accident de calcul.

Quelle méthode choisir

Quelle formule d'aire, selon les données ?

On regarde exactement ce que l'énoncé donne : une hauteur, deux côtés et un angle, trois côtés, ou seulement des angles.

Les données en bleu choisissent la formule : une base et SA hauteur, deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux, ou les trois côtés pour Héron.

Si On a un côté et la hauteur qui lui est relative → $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$

Exemple : $\dfrac{9{,}6\times 3{,}6}{2}=17{,}28$ m $^{2}$
Si On a deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux → $\dfrac{1}{2}ab\sin C$

Exemple : $\dfrac{1}{2}\times 7{,}2\times 5{,}4\times\sin 78^\circ\approx 19{,}02$ m $^{2}$
Si On a les trois côtés et aucun angle → HÉRON, avec $s$ le demi-périmètre

Exemple : $52$ , $56$ , $60$ donnent $s=84$ et $\mathcal{A}=1344$ m $^{2}$

Avec deux côtés et un angle NON compris, aucune des trois ne s'applique : on complète d'abord le triangle par la loi des sinus, puis on revient à la deuxième branche.

La loi des sinus est-elle utilisable, et pour quoi ?

On cherche un COUPLE COMPLET dans l'énoncé, c'est-à-dire un angle et le côté qui lui est opposé. Sans lui, la loi ne démarre pas.

Un couple complet (l'angle bleu et le côté bleu qui lui fait face) plus un angle donne un côté ; plus un côté, il donne un angle ; trois côtés sans angle renvoient à Héron.

Si Un couple complet et un autre ANGLE connu → on calcule un CÔTÉ ; l'inconnue est au numérateur, donc on multiplie

Exemple : $b=\dfrac{15\times\sin 68^\circ}{\sin 43^\circ}\approx 20{,}39$ cm
Si Un couple complet et un autre CÔTÉ connu → on calcule un ANGLE ; on isole d'abord son sinus, puis la fonction réciproque

Exemple : $\sin B=\dfrac{14\times\sin 110^\circ}{20}\approx 0{,}6578$ , donc $B\approx 41{,}13^\circ$
Si Trois côtés et aucun angle → la loi des sinus ne sert à rien : on passe à Héron

Exemple : $52$ , $56$ , $60$ : chaque rapport aurait deux inconnues

Quand on cherche un angle, on choisit celui qui est opposé au PLUS PETIT côté : il est forcément aigu et la calculatrice donne directement la bonne valeur.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un triangle par la loi des sinus

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux.

1 Faire ou repérer la figure et y écrire les données, en marquant bien quel angle fait face à quel côté.
2 Si deux angles sont connus, calculer le troisième par soustraction à $180^\circ$ .
3 Identifier le COUPLE COMPLET et l'écrire : « je connais $\widehat{A}=43^\circ$ et $a=15$ cm ».
4 Écrire la proportion complète avant de calculer, puis isoler l'inconnue.
5 Vérifier la cohérence : le plus grand côté doit être opposé au plus grand angle.

Phrase de conclusion

« $\dfrac{b}{\sin 68^\circ}=\dfrac{15}{\sin 43^\circ}$ , donc $b=\dfrac{15\times\sin 68^\circ}{\sin 43^\circ}\approx 20{,}39$ cm. »

Le piège : Repartir d'un côté qu'on vient d'arrondir pour calculer le suivant. On revient toujours au couple exact donné par l'énoncé.

Barème : 1 point pour le troisième angle, 1 point pour la proportion écrite, 1 point par longueur calculée, 1 point pour la vérification de cohérence

Calculer une aire en situation d'application

Quand l'utiliser : L'énoncé parle d'un terrain, d'une voile, d'un pignon, et demande une surface, souvent suivie d'un coût.

1 Lister ce qu'on connaît et nommer la formule qui correspond, en justifiant en quelques mots.
2 Vérifier la condition d'emploi : l'angle est-il bien COMPRIS, $s$ est-il bien le demi-périmètre.
3 Calculer l'aire, puis contrôler l'ordre de grandeur contre le rectangle qui entoure la figure.
4 Multiplier par le prix unitaire en vérifiant les unités : un prix au mètre carré multiplie une aire, un prix au mètre multiplie une longueur.
5 Conclure par une phrase avec l'unité et le montant.

Phrase de conclusion

« Les trois côtés sont connus, donc Héron : $s=84$ m et $\mathcal{A}=1344$ m $^{2}$ . À $4{,}25$ dollars le mètre carré, l'engazonnement coûte $5712$ dollars. »

Le piège : Multiplier le périmètre par un prix au mètre carré, ou l'aire par un prix au mètre. Le contrôle des unités attrape l'erreur avant le calcul.

Barème : 1 point pour la formule nommée, 2 points pour l'aire, 1 point pour le coût avec ses unités

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le plus grand côté face au plus grand angle

Rangez les angles dans l'ordre croissant, puis les côtés opposés : les deux listes doivent être dans le même ordre.

$43^\circ$ , $68^\circ$ , $69^\circ$ pour $15$ , $20{,}39$ , $20{,}53$ cm : cohérent.
Le demi-périmètre, pas le périmètre

Dans Héron, relisez la valeur de $s$ : elle doit être supérieure à chacun des trois côtés, et inférieure à leur somme. Sinon, vous avez oublié de diviser par deux.

Pour $13$ , $14$ , $15$ : $s=21$ dépasse bien $15$ et reste sous $42$ . Avec $s=42$ , les trois soustractions seraient toutes énormes.
L'angle est-il bien compris ?

Avant d'écrire $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ , vérifiez sur la figure que les deux côtés se rencontrent au sommet de l'angle employé.

Le mât et la bôme se rencontrent, donc l'angle de $78^\circ$ entre eux convient. Un angle opposé à l'un des deux ne conviendrait pas.
L'ordre de grandeur de l'aire

Comparez votre aire à celle du rectangle qui entoure le triangle : elle doit être nettement inférieure, souvent proche de la moitié.

$1344$ m $^{2}$ pour un terrain tenant dans $60$ m sur $48$ m, soit $2880$ m $^{2}$ : plausible.
Une seule valeur d'angle

Si votre calcul d'angle laisse deux possibilités, additionnez chacune aux angles déjà connus : celle qui fait dépasser $180^\circ$ est à rejeter.

$110+138{,}87=248{,}87^\circ$ : impossible, donc $\widehat{B}=41{,}13^\circ$ .

L'exercice type décortiqué

Un problème complet : la distance à un rocher

Depuis une plage rectiligne, on plante deux repères $A$ et $B$ distants de $400$ m. Le rocher $R$ est vu depuis $A$ sous un angle de $62^\circ$ avec la plage, et depuis $B$ sous un angle de $47^\circ$ .

Calculez les distances $AR$ et $BR$ , puis l'aire du triangle $ABR$ .

Les deux repères sur la plage, à

400

m l'un de l'autre, et les deux angles de visée : le troisième angle, en

R

, se calcule avant tout le reste.

Étape 1

$\widehat{R}=180-62-47=71^\circ$ .

Pourquoi

C'est ce troisième angle qui rend le couple $\left(\widehat{R}\,;AB\right)$ complet, puisque le côté $AB$ de $400$ m est opposé au sommet $R$ . Sans lui, aucun rapport n'est utilisable, et c'est toujours par là qu'on commence.

Étape 2

$\dfrac{AR}{\sin 47^\circ}=\dfrac{400}{\sin 71^\circ}$ , donc $AR=\dfrac{400\times\sin 47^\circ}{\sin 71^\circ}\approx 309{,}40$ m.

Pourquoi

$AR$ est opposé à l'angle en $B$ , pas à celui en $A$ : c'est l'appariement qui fait toute la difficulté de ces problèmes. On le vérifie sur la figure avant d'écrire la proportion.

Étape 3

$BR=\dfrac{400\times\sin 62^\circ}{\sin 71^\circ}\approx 373{,}53$ m.

Pourquoi

On repart du couple exact de l'énoncé, $\left(71^\circ\,;400\right)$ , et non de $AR$ qu'on vient d'arrondir. Cohérence : $62^\circ>47^\circ$ , donc $BR$ doit dépasser $AR$ , ce qui est le cas.

Étape 4

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times AR\times AB\times\sin 62^\circ \approx 54\,636$ m $^{2}$ .

Pourquoi

Les côtés $AR$ et $AB$ se rencontrent en $A$ , donc l'angle de $62^\circ$ est bien COMPRIS entre eux. C'est la condition d'emploi de la formule, et elle se vérifie sur la figure.

Étape 5

Contrôle : $\dfrac{1}{2}\times BR\times AB\times\sin 47^\circ$ donne la même aire.

Pourquoi

Deux chemins, un seul résultat : le calcul est sûr. Cette vérification ne coûte qu'une ligne et elle valide du même coup les deux distances trouvées aux étapes précédentes.

Conclusion rédigée

Le rocher est à environ $309{,}40$ m du repère $A$ et $373{,}53$ m du repère $B$ , et le triangle de visée couvre environ $54\,636$ m $^{2}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Apparier $AR$ à l'angle en $A$ . On obtiendrait $373{,}53$ m au lieu de $309{,}40$ m, soit $64$ m de trop, et les deux distances seraient simplement échangées : rien dans les nombres ne signale la faute, seule la figure la montre.

À savoir par cœur

• Loi des sinus : $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ , chaque côté avec l'angle d'EN FACE.
• Pour démarrer, il faut un couple complet : un angle ET son côté opposé.
• Deux angles donnés : on calcule le troisième par $180^\circ$ moins leur somme, avant tout le reste.
• Héron : $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ avec $s$ le DEMI-périmètre. Un radicande négatif signale un triangle impossible.
• Demi-produit : $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ , l'angle devant être COMPRIS entre les deux côtés.
• Le sinus d'un angle de triangle est toujours positif, et $\sin 110^\circ=\sin 70^\circ$ .
• À deux côtés fixés, l'aire est maximale à $90^\circ$ et vaut alors la moitié du produit des côtés.
• Pour chercher un angle : celui opposé au PLUS PETIT côté, forcément aigu, donc sans ambiguïté.
• Un triangle n'a qu'un seul angle obtus : s'il est donné, tous les autres sont aigus.
• Cohérence : plus grand côté face au plus grand angle. Les longueurs suivent $k$ , les aires suivent $k^{2}$ .

Questions fréquentes

Quand utiliser la loi des sinus plutôt que la formule de Héron ?

Tout dépend des données. La loi des sinus demande un couple complet, c'est-à-dire un angle et le côté qui lui fait face, plus un troisième élément : elle sert à trouver un côté ou un angle manquant. La formule de Héron ne demande aucun angle, seulement les trois côtés, et elle ne donne que l'aire. Avec trois côtés et aucun angle, la loi des sinus ne démarre même pas.

Qu'est-ce que le demi-périmètre dans la formule de Héron ?

C'est la somme des trois côtés divisée par deux. Pour un triangle de côtés 13, 14 et 15, le périmètre vaut 42 et le demi-périmètre 21. On soustrait ensuite chaque côté de ce 21, on multiplie les quatre nombres obtenus et on prend la racine carrée. Utiliser le périmètre entier par erreur donne ici un résultat onze fois trop grand, ce qu'un simple ordre de grandeur suffit à détecter.

Pourquoi l'angle doit-il être compris entre les deux côtés pour calculer l'aire ?

Parce que la formule mesure l'ouverture entre les deux côtés à partir de leur sommet commun. Si l'angle est ailleurs, elle calcule l'aire d'un triangle différent, et le nombre obtenu paraît tout à fait raisonnable : rien ne signale l'erreur. Avec deux côtés et un angle non compris, il faut d'abord compléter le triangle avec la loi des sinus.

Le sinus d'un angle obtus est-il négatif ?

Non. Le sinus reste positif de 0 à 180 degrés, donc pour tout angle d'un triangle. C'est le cosinus qui devient négatif au-delà de 90 degrés. La formule d'aire fonctionne donc parfaitement pour un triangle obtusangle : deux côtés de 12 et 15 mètres à 110 degrés donnent environ 84,57 mètres carrés. À retenir aussi : le sinus de 110 degrés égale celui de 70 degrés.

Comment éviter les deux réponses possibles quand on cherche un angle ?

En cherchant toujours l'angle opposé au plus petit côté connu. Cet angle est nécessairement le plus petit du triangle, donc aigu, et la valeur donnée par la calculatrice est la bonne. Les autres angles se déduisent ensuite par soustraction à 180 degrés, ce qui ne présente aucune ambiguïté. Autre garde-fou : un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus.

Pourquoi un terrain deux fois plus grand ne coûte-t-il pas deux fois plus cher ?

Parce que tout ne suit pas le même facteur. La clôture suit le périmètre, donc elle double. Le gazon suit l'aire, qui est multipliée par le carré du rapport, donc par quatre. Un projet à 6384 dollars de clôture et 5712 dollars de gazon passe ainsi à 12 768 et 22 848 dollars : le total est presque triplé, parce que la part de la surface prend le dessus.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La résolution de triangles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
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La loi des cosinus Secondaire 5 CST

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/cst4-resolution-triangles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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