Exercices corrigés : la résolution de triangles (math CST, secondaire 4)

a) La formule élémentaire, $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$. C'est la plus simple et c'est toujours celle qu'on emploie quand la hauteur est donnée, car elle ne demande ni sinus ni racine carrée. Attention à la correspondance : la hauteur doit être RELATIVE au côté choisi comme base, c'est-à-dire perpendiculaire à lui.

b) La formule $\dfrac{1}{2}ab\sin C$, où $C$ est l'angle compris entre les côtés $a$ et $b$. Le mot COMPRIS est la condition d'emploi : c'est l'angle que forment les deux côtés en se rencontrant. Avec un angle situé ailleurs, la formule donne un nombre, mais ce nombre n'est pas l'aire du triangle.

c) La formule de HÉRON : $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, où $s$ est le DEMI-périmètre. C'est la seule formule qui n'a besoin d'aucun angle ni d'aucune hauteur, et c'est pour cela qu'elle est si commode sur le terrain : trois mesures au ruban suffisent.

d) AUCUNE. Les trois angles donnent la FORME du triangle, pas sa TAILLE : une infinité de triangles semblables partagent les mêmes angles, et leurs aires sont toutes différentes. Il faut au moins une LONGUEUR pour que l'aire soit déterminée. C'est la même limite que celle du chapitre sur la similitude, et la réponse attendue est « l'aire n'est pas déterminée », qui est une réponse complète.

e) Aucune des trois directement : il faut d'abord trouver un élément de plus. Avec un angle et le côté qui lui est OPPOSÉ, on peut employer la loi des sinus pour obtenir un deuxième angle, puis le troisième, et l'on se ramène alors au cas b). C'est la situation la plus fréquente dans les problèmes de terrain, et elle demande donc deux étapes au lieu d'une. Le réflexe à prendre : avant de chercher l'aire, on regarde si les données remplissent exactement la condition d'une formule ; sinon, on complète le triangle d'abord.

a) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 9\times 7\times\sin 52^\circ =31{,}5\times 0{,}78801\approx 24{,}82$ cm$^{2}$. Le demi-produit des côtés vaut $31{,}5$, et le sinus le réduit un peu : l'aire est donc forcément inférieure à $31{,}5$, ce qui donne un contrôle immédiat.

b) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 12\times 15\times\sin 110^\circ =90\times 0{,}93969\approx 84{,}57$ m$^{2}$. L'angle est OBTUS, et la formule fonctionne quand même : le sinus d'un angle obtus est positif, puisqu'un sinus ne devient négatif qu'au-delà de $180^\circ$, ce qui n'arrive jamais dans un triangle. Remarquez que $\sin 110^\circ=\sin 70^\circ$ : deux angles supplémentaires ont le même sinus, et c'est précisément ce qui rend la loi des sinus prudente sur les angles.

c) $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 10\times 6\times\sin 30^\circ=30\times 0{,}5=15$ cm$^{2}$. Un résultat exact, parce que $\sin 30^\circ$ vaut exactement $\dfrac{1}{2}$. C'est l'une des trois valeurs à connaître de tête, avec $\sin 45^\circ\approx 0{,}707$ et $\sin 90^\circ=1$.

d) NON, pas directement. La formule exige l'angle COMPRIS entre les deux côtés donnés, et ici l'angle de $30^\circ$ est OPPOSÉ à l'un d'eux. Appliquer quand même la formule donnerait $15$ cm$^{2}$, le même nombre qu'en c), alors qu'il s'agit d'un triangle complètement différent : le calcul serait faux sans avoir l'air faux, ce qui est le pire des cas. Il faut d'abord trouver l'angle compris, ce que permet la loi des sinus.

e) Le facteur $\dfrac{1}{2}\times 10\times 6=30$ est fixé, donc l'aire est maximale quand $\sin C$ est maximal. Or le sinus atteint son maximum, $1$, pour $C=90^\circ$. L'aire maximale vaut donc $30\times 1=30$ cm$^{2}$, et elle est atteinte quand les deux côtés sont PERPENDICULAIRES. Ce résultat a une lecture géométrique simple : avec deux côtés de longueurs fixées, c'est en les écartant à l'angle droit qu'on enferme le plus de surface. Au-delà de $90^\circ$, l'aire redescend, et elle tend vers zéro quand le triangle s'aplatit, que ce soit vers $0^\circ$ ou vers $180^\circ$.

a) Le demi-périmètre vaut $s=\dfrac{13+14+15}{2}=\dfrac{42}{2}=21$ cm. Puis $\mathcal{A}=\sqrt{21\times(21-13)\times(21-14)\times(21-15)}=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$ cm$^{2}$. Le résultat est entier, comme presque toujours dans les exercices de ce chapitre : les trois côtés sont choisis pour cela, et une racine qui ne tombe pas juste doit inviter à relire le calcul du demi-périmètre.

b) Les trois côtés sont exactement QUATRE fois ceux de la question a). Le demi-périmètre vaut $s=\dfrac{52+56+60}{2}=84$ m, et $\mathcal{A}=\sqrt{84\times 32\times 28\times 24}=\sqrt{1\,806\,336}=1344$ m$^{2}$. Or $1344=84\times 16$ : l'aire a été multipliée par $16$, c'est-à-dire par $4^{2}$. On retrouve la règle des figures semblables, le rapport des aires valant le carré du rapport des longueurs. C'est une vérification gratuite, et elle confirme les deux calculs d'un coup.

c) Avec $p=42$ au lieu de $s=21$, il calculerait $\sqrt{42\times(42-13)\times(42-14)\times(42-15)}=\sqrt{42\times 29\times 28\times 27}=\sqrt{920\,808}\approx 959{,}59$ cm$^{2}$. L'aire annoncée serait donc plus de onze fois trop grande. Le contrôle qui l'attrape : l'aire d'un triangle est toujours inférieure à celle du rectangle qui l'entoure, ici moins de $15\times 14=210$ cm$^{2}$. Un résultat de $959$ cm$^{2}$ est impossible avant même d'être vérifié.

d) $s=\dfrac{6+8+10}{2}=12$ cm, donc $\mathcal{A}=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}=\sqrt{576}=24$ cm$^{2}$. Vérification par une autre méthode : $6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2}$, donc le triangle est RECTANGLE, et son aire vaut $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm$^{2}$. Les deux méthodes concordent. C'est un contrôle qu'on peut souvent s'offrir : quand les trois côtés vérifient Pythagore, la formule élémentaire confirme Héron en une ligne.

e) Ces trois longueurs ne forment AUCUN triangle : $3+4=7$, ce qui est inférieur à $8$, donc les deux petits côtés ne se rejoignent pas. La formule le signale toute seule : $s=\dfrac{3+4+8}{2}=7{,}5$, et le facteur $(s-c)=7{,}5-8=-0{,}5$ est NÉGATIF. Le produit sous la racine devient négatif, et la racine carrée n'existe pas. C'est une propriété utile de Héron : elle refuse d'elle-même les triangles impossibles, et un radicande négatif est donc une réponse, pas une panne de calculatrice.

a) La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$, donc $\widehat{C}=180-43-68=69^\circ$. C'est toujours la première chose à faire quand deux angles sont donnés : le troisième ne coûte qu'une soustraction et il ouvre un rapport de plus.

b) Le couple complet est $\left(\widehat{A}\,;a\right)$, avec $43^\circ$ et $15$ cm. On l'apparie au couple incomplet $\left(\widehat{B}\,;b\right)$ : $\dfrac{b}{\sin 68^\circ}=\dfrac{15}{\sin 43^\circ}$, donc $b=\dfrac{15\times\sin 68^\circ}{\sin 43^\circ}\approx 20{,}39$ cm. L'inconnue est au NUMÉRATEUR, donc on multiplie : c'est le cas le plus simple de la loi des sinus, et celui qu'on rencontre presque toujours en CST.

c) Même démarche avec $\widehat{C}=69^\circ$ : $c=\dfrac{15\times\sin 69^\circ}{\sin 43^\circ}\approx 20{,}53$ cm. On repart du couple EXACT donné par l'énoncé, $\left(43^\circ\,;15\right)$, et non du côté $b$ qu'on vient d'arrondir : c'est ainsi qu'on évite d'empiler deux arrondis.

d) Les angles rangés dans l'ordre croissant donnent $43^\circ$, $68^\circ$, $69^\circ$, et les côtés opposés $15$, $20{,}39$, $20{,}53$ cm : les deux listes sont rangées dans le même ordre. Le plus grand côté, $c\approx 20{,}53$ cm, est bien opposé au plus grand angle, $\widehat{C}=69^\circ$. La cohérence est donc vérifiée. Remarquez que $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont presque égaux, un seul degré d'écart, et que les côtés opposés le sont aussi, à quatorze centièmes près : c'est le genre de coïncidence qui confirme un calcul.

e) On dispose maintenant de deux côtés et de l'angle compris entre eux. Les côtés $a$ et $b$ se rencontrent au sommet $C$, donc $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times a\times b\times\sin C =\dfrac{1}{2}\times 15\times 20{,}39\times\sin 69^\circ\approx 142{,}79$ cm$^{2}$. Vérification par un autre couple : $\dfrac{1}{2}\times a\times c\times\sin B$ donne le même résultat à un centième près. C'est l'enchaînement typique d'un problème de CST : la loi des sinus complète le triangle, puis le demi-produit en donne l'aire.

a) On apparie le couple complet $\left(\widehat{A}\,;a\right)$ au couple incomplet $\left(\widehat{B}\,;b\right)$ : $\dfrac{\sin B}{14}=\dfrac{\sin 110^\circ}{20}$, donc $\sin B=\dfrac{14\times\sin 110^\circ}{20}\approx 0{,}6578$. Notez que l'inconnue est cette fois dans le SINUS, et non dans une longueur : on isole le sinus d'abord, et l'on cherche l'angle ensuite.

b) $\widehat{B}=\sin^{-1}(0{,}6578)\approx 41{,}13^\circ$. On emploie la fonction réciproque, calculatrice en mode degrés, comme au chapitre du triangle rectangle.

c) Parce que la somme des angles dépasserait $180^\circ$ : $110+138{,}87=248{,}87^\circ$, ce qui est impossible dans un triangle. La seconde valeur est donc écartée d'office. Il y a même une raison plus générale : un triangle ne peut avoir qu'UN SEUL angle obtus, et celui-ci est déjà pris par $\widehat{A}=110^\circ$. Tous les autres angles du triangle sont donc nécessairement aigus, et la valeur rendue par la calculatrice est la bonne.

d) $\widehat{C}=180-110-41{,}13=28{,}87^\circ$. Contrôle de cohérence : le plus petit angle, $28{,}87^\circ$, doit être opposé au plus petit côté. Comme $a=20$ est opposé à $110^\circ$ et $b=14$ à $41{,}13^\circ$, le côté $c$ doit être le plus court des trois, ce que confirmerait le calcul.

e) La règle est simple et elle évite tout le problème : quand on cherche un angle avec la loi des sinus, on cherche celui qui est OPPOSÉ AU PLUS PETIT CÔTÉ connu. Cet angle-là est nécessairement le plus petit du triangle, donc nécessairement AIGU, donc la valeur de la calculatrice est toujours la bonne. Ici, on a bien cherché $\widehat{B}$, opposé au côté de $14$ cm, plus court que le côté de $20$ cm : la règle était respectée. Les autres angles se déduisent ensuite par soustraction à $180^\circ$, ce qui ne présente jamais d'ambiguïté. C'est la façon la plus sûre de résoudre un triangle en séquence CST, et elle dispense d'examiner deux cas.

a) La clôture suit le PÉRIMÈTRE : $52+56+60=168$ m. C'est une addition, et c'est la seule question du problème qui ne demande aucune formule. On la fait en premier parce que le demi-périmètre servira juste après.

b) Le demi-périmètre vaut $s=\dfrac{168}{2}=84$ m. Puis $\mathcal{A}=\sqrt{84\times(84-52)\times(84-56)\times(84-60)}=\sqrt{84\times 32\times 28\times 24}=\sqrt{1\,806\,336}=1344$ m$^{2}$. Le résultat est entier, ce qui est un bon signe. Contrôle d'ordre de grandeur : le terrain tient dans un rectangle d'environ $60$ m sur $48$ m, soit $2880$ m$^{2}$, et l'aire d'un triangle en occupe moins de la moitié à peine : $1344$ m$^{2}$ est plausible.

c) $1344\times 4{,}25=5712$ dollars. Le gazon se compte en mètres carrés, donc il suit l'AIRE, pas le périmètre. Confondre les deux est l'erreur qui coûte le plus dans ce genre de problème, et elle se repère aux unités : un prix au mètre carré ne peut multiplier qu'une aire.

d) La clôture coûte $168\times 38=6384$ dollars. Le coût total du projet s'élève donc à $5712+6384=12\,096$ dollars. On additionne bien deux montants en dollars, chacun obtenu en multipliant une mesure par son prix unitaire : c'est le contrôle des unités qui garantit que l'addition a un sens.

e) Un terrain SEMBLABLE deux fois plus grand a des côtés multipliés par $2$, donc un périmètre multiplié par $2$ et une aire multipliée par $2^{2}=4$. La clôture coûterait donc $2\times 6384=12\,768$ dollars, et le gazon $4\times 5712=22\,848$ dollars, pour un total de $35\,616$ dollars. Le coût total est presque TRIPLÉ alors que le terrain n'est que deux fois plus grand en longueur : c'est parce que la part du gazon, qui suit le carré du rapport, prend le dessus. C'est exactement le raisonnement que le chapitre des figures semblables demande, et un problème de CST le pose presque toujours sous cette forme, en dollars.

a) Les trois angles d'un triangle totalisent $180^\circ$, donc $\widehat{R}=180-62-47=71^\circ$. C'est ce troisième angle qui rend le couple $\left(\widehat{R}\,;AB\right)$ complet, puisque le côté $AB$ de $400$ m est précisément OPPOSÉ au sommet $R$. Sans lui, aucun rapport de la loi des sinus ne serait utilisable.

b) On apparie le couple complet $\left(71^\circ\,;400\right)$ au couple $\left(\widehat{B}\,;AR\right)$, car le côté $AR$ est opposé à l'angle $\widehat{B}$ : $AR=\dfrac{400\times\sin 47^\circ}{\sin 71^\circ}\approx 309{,}40$ m. Le piège de ce genre de problème est l'appariement : $AR$ ne va PAS avec l'angle en $A$, mais avec celui d'en face. On le vérifie sur la figure avant d'écrire quoi que ce soit.

c) De même, $BR$ est opposé à l'angle $\widehat{A}=62^\circ$ : $BR=\dfrac{400\times\sin 62^\circ}{\sin 71^\circ}\approx 373{,}53$ m. Cohérence : $62^\circ$ est plus grand que $47^\circ$, donc $BR$ doit dépasser $AR$, et c'est bien le cas.

d) On dispose maintenant de deux côtés et de l'angle compris. Les côtés $AR$ et $AB$ se rencontrent en $A$, donc $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 309{,}40\times 400\times\sin 62^\circ\approx 54\,633$ m$^{2}$. On peut aussi passer par $\dfrac{1}{2}\times BR\times AB\times\sin 47^\circ$, qui donne la même valeur : deux chemins, un seul résultat, donc un calcul sûr.

e) Parce que l'imprécision des angles se répercute d'autant moins que la BASE est longue. Avec deux repères très rapprochés, les deux angles de visée seraient presque identiques, l'angle en $R$ deviendrait minuscule, et son sinus, au dénominateur, ferait exploser le résultat : une erreur d'un demi-degré changerait la distance de plusieurs dizaines de mètres. Avec $400$ m de base et un angle en $R$ de $71^\circ$, le triangle est bien ouvert et le calcul est stable. C'est le principe de toute triangulation, et la règle pratique qui en découle tient en une phrase : on choisit la base la plus longue que le terrain permette.

1) FAUX. $s$ est le DEMI-périmètre, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$. Avec le périmètre entier pour le triangle $13$-$14$-$15$, on trouverait environ $959{,}59$ cm$^{2}$ au lieu de $84$ cm$^{2}$, soit plus de onze fois trop. Énoncé correct : on divise la somme des trois côtés par deux AVANT de soustraire chaque côté.

2) FAUX. L'angle doit être COMPRIS entre les deux côtés employés. Avec deux côtés de $10$ et $6$ et un angle de $30^\circ$ opposé à l'un d'eux, la formule donnerait $15$ cm$^{2}$, qui est l'aire d'un tout autre triangle. Énoncé correct : les deux côtés et l'angle doivent former un sommet, sinon on complète d'abord le triangle par la loi des sinus.

3) FAUX. Il faut un COUPLE COMPLET pour démarrer, c'est-à-dire un angle et le côté qui lui est OPPOSÉ. Avec trois côtés et aucun angle, la loi des sinus ne donne rien : chaque rapport contiendrait deux inconnues. Énoncé correct : la loi des sinus s'emploie quand on connaît un angle et son côté opposé, plus un troisième élément.

4) FAUX sur les deux points. Le sinus d'un angle obtus est POSITIF : $\sin 110^\circ\approx 0{,}940$, et il ne devient négatif qu'au-delà de $180^\circ$, ce qui n'arrive dans aucun triangle. La formule d'aire marche donc parfaitement : deux côtés de $12$ m et $15$ m à $110^\circ$ donnent environ $84{,}57$ m$^{2}$. Énoncé correct : $\sin\theta>0$ pour tout angle d'un triangle, et $\sin 110^\circ=\sin 70^\circ$.

5) FAUX pour l'engazonnement. Doubler les longueurs double le périmètre, donc double le coût de clôture, mais QUADRUPLE l'aire, donc le coût du gazon. Un projet à $6384$ dollars de clôture et $5712$ dollars de gazon passerait à $12\,768$ et $22\,848$ dollars, soit un total presque triplé. Énoncé correct : les longueurs suivent $k$, les aires suivent $k^{2}$.

a) La hauteur d'un triangle isocèle tombe au MILIEU de la base : elle la coupe en deux segments de $\dfrac{9{,}6}{2}=4{,}8$ m. Elle forme donc un triangle rectangle avec un demi-versant. Par Pythagore : $h=\sqrt{6^{2}-4{,}8^{2}}=\sqrt{36-23{,}04}=\sqrt{12{,}96}=3{,}6$ m. La racine tombe juste, ce qui confirme les données : c'est un triangle $3$-$4$-$5$ multiplié par $1{,}2$.

b) $\mathcal{A}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}=\dfrac{9{,}6\times 3{,}6}{2}=\dfrac{34{,}56}{2}=17{,}28$ m$^{2}$. C'est la formule la plus simple des trois, et c'est celle qu'on emploie dès que la hauteur est connue ou facile à obtenir, comme ici grâce à la symétrie.

c) $s=\dfrac{9{,}6+6+6}{2}=\dfrac{21{,}6}{2}=10{,}8$ m, donc $\mathcal{A}=\sqrt{10{,}8\times(10{,}8-9{,}6)\times(10{,}8-6)\times(10{,}8-6)}=\sqrt{10{,}8\times 1{,}2\times 4{,}8\times 4{,}8}=\sqrt{298{,}5984}=17{,}28$ m$^{2}$. Le même résultat, obtenu sans jamais calculer la hauteur : c'est ce qui rend Héron précieuse quand la figure ne se prête pas au découpage.

d) La hauteur coupe l'angle du faîte en deux parties égales. Dans le triangle rectangle de gauche, le côté opposé au demi-angle vaut $4{,}8$ m et l'hypoténuse $6$ m, donc $\sin(\text{demi-angle})=\dfrac{4{,}8}{6}=0{,}8$, d'où demi-angle $\approx 53{,}13^\circ$. L'angle du faîte vaut donc $2\times 53{,}13=106{,}26^\circ$ : il est OBTUS, ce que la figure confirme. Les deux angles de la base valent alors $\dfrac{180-106{,}26}{2}=36{,}87^\circ$ chacun.

e) Les deux versants de $6$ m se rencontrent au faîte, donc l'angle du faîte est bien COMPRIS entre eux : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6\times\sin 106{,}26^\circ =18\times 0{,}96=17{,}28$ m$^{2}$. Trois formules, trois chemins, un seul résultat. C'est la meilleure vérification qu'un problème de ce chapitre puisse offrir, et elle vaut la peine d'être écrite sur une copie : elle montre au correcteur qu'on a compris que les trois formules décrivent la même grandeur, et non trois recettes indépendantes.

a) Les deux longueurs données forment l'angle donné, donc l'angle est COMPRIS entre elles et la formule s'applique directement : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 7{,}2\times 5{,}4\times\sin 78^\circ =19{,}44\times 0{,}97815\approx 19{,}02$ m$^{2}$. Le demi-produit vaut $19{,}44$, et le sinus le réduit à peine, puisque $78^\circ$ est proche de l'angle droit : l'aire est donc tout près de son maximum.

b) $19{,}02\times 34=646{,}68$ dollars environ. En repartant de la valeur non arrondie, $19{,}0152$ m$^{2}$, on obtient $646{,}52$ dollars : seize cents d'écart, qui viennent de l'arrondi de la question a). Sur une facture, on repart toujours de la valeur complète, et l'on n'arrondit qu'à la fin.

c) Le facteur $\dfrac{1}{2}\times 7{,}2\times 5{,}4=19{,}44$ est fixé par les deux longueurs, donc l'aire est maximale quand $\sin C$ atteint son maximum, c'est-à-dire $1$, pour $C=90^\circ$. L'aire maximale vaudrait alors $19{,}44$ m$^{2}$, avec un mât et une bôme perpendiculaires.

d) $19{,}44-19{,}02=0{,}42$ m$^{2}$ environ, soit à peine plus de deux pour cent. C'est peu, et c'est instructif : douze degrés d'écart à l'angle droit ne coûtent que deux pour cent de surface, parce que le sinus varie très lentement au voisinage de $90^\circ$. Autrement dit, un réglage approximatif de l'angle n'est pas grave près de la perpendiculaire, alors qu'il le serait beaucoup près de $0^\circ$ ou de $180^\circ$.

e) Avec une bôme de $6$ m : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 7{,}2\times 6\times\sin 78^\circ =21{,}6\times 0{,}97815\approx 21{,}13$ m$^{2}$. C'est plus que les $19{,}44$ m$^{2}$ de la voile maximale de la question c) : allonger la bôme de $60$ centimètres rapporte donc plus que redresser l'angle jusqu'à $90^\circ$. La raison est claire une fois écrite : l'angle ne pouvait faire gagner que le passage de $0{,}978$ à $1$ sur le sinus, soit deux pour cent, tandis que la bôme a gagné $\dfrac{6}{5{,}4}\approx 11{,}1\,\%$ de longueur, et l'aire avec elle. C'est le genre de comparaison qu'un problème de CST attend en conclusion : non pas seulement calculer, mais dire laquelle des deux modifications vaut la peine.