Exercices corrigés : la loi des cosinus (math CST, secondaire 5)

$a^{2}=10^{2}+13^{2}-2\times 10\times 13\times\cos 55^\circ=269-260\times 0{,}57358\approx 269-149{,}13=119{,}87$, donc $a\approx 10{,}95$. Piège : calculer $269-260=9$ puis multiplier par le cosinus ; le produit $2bc\cos A$ passe avant la soustraction.

$a^{2}=4{,}6^{2}+7{,}2^{2}-2\times 4{,}6\times 7{,}2\times\cos 38^\circ=21{,}16+51{,}84-66{,}24\times 0{,}78801\approx 73-52{,}20=20{,}80$, donc $a\approx 4{,}56$. Piège : oublier la racine et répondre $20{,}80$.

Angle obtus : $\cos 130^\circ\approx-0{,}64279$ est NÉGATIF. $a^{2}=6^{2}+11^{2}-132\times(-0{,}64279)\approx 157+84{,}85=241{,}85$, donc $a\approx 15{,}55$. Le moins de la formule et le moins du cosinus donnent un PLUS : le côté opposé à un angle obtus dépasse les deux autres. Piège : écrire $157-84{,}85$ et trouver $8{,}49$.

$\cos 90^\circ=0$, le dernier terme disparaît : $a^{2}=144+256=400$ et $a=20$. C'est le théorème de Pythagore, cas particulier de la loi des cosinus.

L'angle connu est en $B$, compris entre $a$ et $c$ : la formule s'écrit $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$. Donc $b^{2}=81+196-252\times 0{,}32557\approx 277-82{,}04=194{,}96$ et $b\approx 13{,}96$. Piège : recopier $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ par habitude alors que l'inconnue est $b$.

Le côté $12$ fait face à l'angle cherché, il est retranché : $\cos C=\frac{8^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times 8\times 10}=\frac{64+100-144}{160}=\frac{20}{160}=0{,}125$, donc $C\approx 82{,}8^\circ$. Le plus grand angle est aigu : le triangle est acutangle.

$\cos=\frac{5^{2}+7^{2}-10^{2}}{2\times 5\times 7}=\frac{74-100}{70}=-\frac{26}{70}\approx-0{,}37143$, donc l'angle vaut environ $111{,}8^\circ$. Le cosinus négatif signale l'angle obtus, ce n'est pas une erreur de calcul.

Le côté $13$ est retranché, $14$ et $15$ vont au dénominateur : $\cos=\frac{14^{2}+15^{2}-13^{2}}{2\times 14\times 15}=\frac{196+225-169}{420}=\frac{252}{420}=0{,}6$, donc l'angle vaut environ $53{,}1^\circ$, le plus petit des trois, face au plus petit côté. Piège : retrancher $15^{2}$ par habitude, ce qui donne l'angle opposé au côté de $15$, $67{,}4^\circ$.

L'angle compris entre les deux côtés de $9$ fait face à la base de $14$ : $\cos=\frac{9^{2}+9^{2}-14^{2}}{2\times 9\times 9}=\frac{-34}{162}\approx-0{,}20988$, donc l'angle au sommet vaut environ $102{,}1^\circ$. Les deux angles à la base valent alors $\frac{180^\circ-102{,}1^\circ}{2}\approx 38{,}9^\circ$ chacun.

$\cos A=\frac{16^{2}+20^{2}-11^{2}}{2\times 16\times 20}=\frac{535}{640}\approx 0{,}83594$, donc $A\approx 33{,}3^\circ$. $\cos B=\frac{11^{2}+20^{2}-16^{2}}{2\times 11\times 20}=\frac{265}{440}\approx 0{,}60227$, donc $B\approx 53{,}0^\circ$. Enfin $C=180^\circ-33{,}29^\circ-52{,}97^\circ\approx 93{,}7^\circ$, obtus et opposé au plus grand côté, comme il se doit. Vérification directe : $\cos C=\frac{11^{2}+16^{2}-20^{2}}{2\times 11\times 16}=-\frac{23}{352}\approx-0{,}06534$ redonne $93{,}7^\circ$. Piège : soustraire de $180^\circ$ des angles déjà arrondis à l'unité, ce qui décale $C$.

On applique la formule en gardant l'angle COMPRIS : $a^{2}=7^{2}+9^{2}-2\times 7\times 9\times \cos 48^\circ$. Les carrés donnent $49+81=130$, et le double produit vaut $126$. Comme $\cos 48^\circ\approx 0{,}66913$, on obtient $a^{2}\approx 130-126\times 0{,}66913\approx 130-84{,}31=45{,}69$, donc $a\approx\sqrt{45{,}69}\approx 6{,}76$. Deux erreurs coûtent cher ici. La première est d'oublier la racine carrée et de répondre $45{,}69$ : la formule donne le CARRÉ du côté. La seconde est de calculer $130-126$ puis de multiplier par le cosinus : la soustraction vient en DERNIER, après le produit $2bc\cos A$, parce que la multiplication est prioritaire.

Même formule, avec un angle obtus : $a^{2}=5^{2}+8^{2}-2\times 5\times 8\times\cos 124^\circ$. Les carrés donnent $89$ et le double produit vaut $80$. Or $\cos 124^\circ\approx -0{,}55919$, un nombre NÉGATIF. Le terme retranché vaut donc $80\times(-0{,}55919)\approx -44{,}74$, et soustraire un nombre négatif revient à ajouter : $a^{2}\approx 89+44{,}74=133{,}74$, donc $a\approx 11{,}56$. Le piège du chapitre est là, entier : on tape la formule dans la calculatrice en oubliant que le cosinus d'un angle obtus est négatif, on écrit $89-44{,}74$ et on trouve $6{,}65$, une valeur plus petite que $8$ alors que la figure montre clairement le contraire.

Dans le premier cas, $b+c=16$ et $c-b=2$ : le résultat $6{,}76$ est bien entre les deux. Dans le second, $b+c=13$ et $c-b=3$ : le résultat $11{,}56$ est encore entre les deux. C'est l'INÉGALITÉ TRIANGULAIRE, et elle vaut toujours : le troisième côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence. Ce double encadrement est le meilleur contrôle de vraisemblance du chapitre, et il prend trois secondes. Une réponse hors de cet intervalle est fausse à coup sûr, sans qu'on ait besoin de refaire le calcul.

Le signe du cosinus décide du sens de la correction apportée à Pythagore. Si l'angle est aigu, son cosinus est positif, le terme $2bc\cos A$ est retranché, et le côté opposé est plus COURT que ce que donnerait Pythagore. Si l'angle est obtus, son cosinus est négatif, le terme s'ajoute, et le côté opposé est plus LONG. Si l'angle est droit, le cosinus est nul, le terme disparaît, et il reste exactement $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ : le théorème de Pythagore. C'est la meilleure façon de retenir la formule, comme un Pythagore corrigé, et c'est aussi ce qui fonde le critère de l'exercice 3.

L'angle cherché fait face au côté $11$, donc $a=11$ et les deux autres côtés sont $b=6$ et $c=9$. On calcule $\cos A=\dfrac{6^{2}+9^{2}-11^{2}}{2\times 6\times 9}=\dfrac{36+81-121}{108}=\dfrac{-4}{108}\approx -0{,}03704$. Le cosinus est NÉGATIF, donc l'angle dépasse $90^\circ$ : $A\approx 92{,}12^\circ$. Le geste à ne pas rater est le placement des côtés : celui qu'on soustrait au numérateur est TOUJOURS celui qui fait face à l'angle cherché. Intervertir $6$ et $11$ donne $\cos\approx 0{,}84$ et un angle de $33^\circ$, c'est-à-dire l'angle d'un autre sommet, et la copie perd tout l'exercice.

L'angle fait maintenant face au côté $6$, donc on soustrait $6^{2}$ et les deux autres côtés, $9$ et $11$, passent au dénominateur : $\cos B=\dfrac{9^{2}+11^{2}-6^{2}}{2\times 9\times 11}=\dfrac{81+121-36}{198}=\dfrac{166}{198}\approx 0{,}83838$. Le cosinus est positif, l'angle est aigu : $B\approx 33{,}03^\circ$. Remarquez que le dénominateur change à chaque angle, puisqu'il est le double produit des deux côtés qui ENCADRENT l'angle cherché.

Première façon, par la somme des angles : $180-92{,}12-33{,}03=54{,}85^\circ$. Seconde façon, par la loi des cosinus appliquée au côté $9$ : $\cos C=\dfrac{6^{2}+11^{2}-9^{2}}{2\times 6\times 11}=\dfrac{36+121-81}{132}=\dfrac{76}{132}\approx 0{,}57576$, d'où $C\approx 54{,}85^\circ$. Les deux méthodes concordent, et la somme vaut bien $92{,}12+33{,}03+54{,}85=180{,}00^\circ$. La seconde façon est plus longue mais plus sûre : la soustraction à $180^\circ$ propage l'erreur commise sur les deux premiers angles, alors que la loi des cosinus repart des données de l'énoncé, qui, elles, sont exactes.

Oui : le plus grand angle, $92{,}12^\circ$, fait face au plus grand côté, $11$ cm, et le plus petit angle, $33{,}03^\circ$, fait face au plus petit côté, $6$ cm. Ce contrôle fonctionne toujours, et la formule dit pourquoi. Dans $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, seul le côté opposé $a$ apparaît avec un signe moins : plus $a$ grandit, plus le numérateur diminue, donc plus le cosinus diminue. Or un cosinus qui diminue correspond à un angle qui AUGMENTE, entre $0^\circ$ et $180^\circ$. Grand côté et grand angle vont donc ensemble, nécessairement.

Le plus grand côté est $15$, donc $a^{2}=225$. Les deux autres donnent $b^{2}+c^{2}=81+144=225$. Les deux quantités sont ÉGALES. C'est exactement la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle est RECTANGLE, et son plus grand angle, celui qui fait face à $15$, mesure $90^\circ$. Aucune calculatrice n'est nécessaire, et c'est tout l'intérêt du critère.

Pour $6$, $9$, $11$ : $a^{2}=121$ et $b^{2}+c^{2}=36+81=117$. Ici $121>117$, le plus grand côté dépasse ce que donnerait Pythagore. Pour $7$, $8$, $10$ : $a^{2}=100$ et $b^{2}+c^{2}=49+64=113$. Cette fois $100<113$. Notez que dans les trois cas, il faut d'abord REPÉRER le plus grand côté : comparer $9^{2}$ à $12^{2}+15^{2}$ n'apprendrait rien, puisque cette inégalité est vraie pour tout triangle.

La règle est la suivante, avec $a$ le plus grand côté. Si $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, le triangle est RECTANGLE. Si $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, il est ACUTANGLE, c'est-à-dire que ses trois angles sont aigus : c'est le cas de $7$, $8$, $10$. Si $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$, il est OBTUSANGLE : c'est le cas de $6$, $9$, $11$, qu'on avait trouvé à $92{,}12^\circ$ à l'exercice 2. Le triangle $9$, $12$, $15$, lui, est rectangle. Un triangle n'a jamais deux angles obtus, donc classer le plus grand angle classe le triangle entier.

La justification tient en une ligne de la loi des cosinus. En isolant, $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, et le dénominateur $2bc$ est toujours POSITIF puisque ce sont des longueurs. Le signe du cosinus est donc exactement celui du numérateur $b^{2}+c^{2}-a^{2}$. Or un angle compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$ est aigu quand son cosinus est positif, droit quand il est nul, obtus quand il est négatif : la règle est démontrée. Vérification sur $7$, $8$, $10$ : $\cos A=\dfrac{113-100}{2\times 7\times 8}=\dfrac{13}{112}\approx 0{,}11607$, donc $A\approx 83{,}33^\circ$, un angle bien aigu, comme annoncé.

On applique la formule : $\cos A=\dfrac{3^{2}+4^{2}-9^{2}}{2\times 3\times 4}=\dfrac{9+16-81}{24}=\dfrac{-56}{24}\approx -2{,}33$. La calculatrice refuse d'en prendre l'arc cosinus, et elle a raison : le cosinus d'un angle est toujours compris entre $-1$ et $1$, sans exception. Une valeur hors de cet intervalle n'est pas un cosinus, donc l'angle n'existe pas, donc le triangle n'existe pas. Le message d'erreur n'est pas une panne, c'est une réponse. La bonne rédaction consiste à l'écrire : « $\cos A\approx -2{,}33$, or un cosinus appartient à $[-1\,;1]$ : il n'existe aucun triangle de côtés $3$, $4$ et $9$. »

La condition est l'INÉGALITÉ TRIANGULAIRE : chaque côté doit être plus petit que la somme des deux autres. Il suffit en pratique de la tester sur le plus grand côté, puisque les deux autres inégalités sont alors automatiques. Ici, $3+4=7$ et $7<9$ : la condition est violée. Concrètement, deux bâtons de $3$ cm et $4$ cm mis bout à bout n'atteignent que $7$ cm, ils ne peuvent pas rejoindre les extrémités d'un bâton de $9$ cm. On aurait donc pu conclure AVANT tout calcul, et c'est le réflexe à prendre : on regarde les trois nombres avant de toucher à la calculatrice.

Le troisième côté doit être strictement plus petit que $3+4=7$ et strictement plus grand que $4-3=1$ : il appartient à l'intervalle $]1\,;7[$. Les deux bornes correspondent à des cas limites bien concrets. Si le côté valait exactement $7$, l'angle entre les côtés de $3$ et $4$ vaudrait $180^\circ$ : les trois points seraient alignés, le triangle serait aplati. S'il valait exactement $1$, l'angle vaudrait $0^\circ$ et les deux côtés seraient repliés l'un sur l'autre. Entre les deux, l'angle balaie tout l'intervalle $]0^\circ\,;180^\circ[$, et le troisième côté grandit de façon continue avec lui.

Pour un troisième côté de $5$ cm : $\cos A=\dfrac{3^{2}+4^{2}-5^{2}}{2\times 3\times 4}=\dfrac{9+16-25}{24}=\dfrac{0}{24}=0$, donc $A=90^\circ$. On retrouve le triangle rectangle $3$, $4$, $5$, et le critère de l'exercice 3 le confirme. Pour $6$ cm : $\cos A=\dfrac{9+16-36}{24}=\dfrac{-11}{24}\approx -0{,}45833$, donc $A\approx 117{,}28^\circ$, un angle obtus. Allonger le troisième côté ouvre l'angle compris, exactement comme l'annonçait l'exercice 1 : le côté opposé grandit avec l'angle qui lui fait face.

Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont SUPPLÉMENTAIRES, parce que les côtés opposés sont parallèles et qu'une sécante y forme des angles internes du même côté. L'angle en $B$ mesure donc $180-62=118^\circ$. C'est le point de bascule de l'exercice : les deux diagonales ne font pas face au même angle, et c'est pour cela qu'elles n'ont pas la même longueur. La courte fait face à l'angle aigu, la longue à l'angle obtus.

Dans le triangle $ABD$, on connaît $AB=8$, $AD=5$ et l'angle compris $A=62^\circ$. La diagonale $BD$ fait face à cet angle : $BD^{2}=8^{2}+5^{2}-2\times 8\times 5\times\cos 62^\circ=89-80\times 0{,}46947\approx 89-37{,}56=51{,}44$, donc $BD\approx 7{,}17$ cm. Le cosinus est positif, le terme se retranche, et la diagonale est plus courte que l'hypoténuse qu'on aurait avec un angle droit, $\sqrt{89}\approx 9{,}43$ cm.

Dans le triangle $ABC$, on connaît $AB=8$, $BC=5$ et l'angle compris $B=118^\circ$, calculé en a). Donc $AC^{2}=8^{2}+5^{2}-2\times 8\times 5\times\cos 118^\circ=89-80\times (-0{,}46947)\approx 89+37{,}56=126{,}56$, et $AC\approx 11{,}25$ cm. Les deux calculs partent des mêmes longueurs et ne diffèrent que par le signe du cosinus, puisque $\cos 118^\circ=-\cos 62^\circ$. Retenez cette symétrie : dans un parallélogramme, les deux diagonales se calculent d'un coup, l'une en retranchant, l'autre en ajoutant le même nombre.

On additionne les carrés : $BD^{2}+AC^{2}\approx 51{,}44+126{,}56=178$. Du côté des quatre côtés : $2\times(8^{2}+5^{2})=2\times 89=178$. L'égalité est exacte, et elle l'est toujours, précisément parce que le terme $\pm 80\cos 62^\circ$ apparaît une fois avec chaque signe et disparaît dans la somme. C'est la loi du parallélogramme, et c'est une vérification redoutable en examen. Si l'angle valait $90^\circ$, le terme serait nul dès le départ : les deux diagonales mesureraient toutes les deux $\sqrt{89}\approx 9{,}43$ cm, et le parallélogramme serait un rectangle, figure dont on sait bien que les diagonales sont isométriques.

La base, le coude et la pince forment un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle compris : c'est exactement la configuration de la loi des cosinus. On pose $p$ la portée : $p^{2}=3{,}2^{2}+2{,}4^{2}-2\times 3{,}2\times 2{,}4\times\cos 105^\circ$. Les carrés donnent $10{,}24+5{,}76=16$, et le double produit vaut $15{,}36$. Comme $\cos 105^\circ\approx -0{,}25882$, le terme s'ajoute : $p^{2}\approx 16+3{,}98=19{,}98$, donc $p\approx 4{,}47$ m. Contrôle de vraisemblance immédiat : la portée doit être comprise entre $3{,}2-2{,}4=0{,}8$ m et $3{,}2+2{,}4=5{,}6$ m, et $4{,}47$ y est bien.

Cette fois c'est l'angle qui est inconnu et la longueur qui est imposée. On retourne la formule : $\cos\theta=\dfrac{3{,}2^{2}+2{,}4^{2}-5^{2}}{2\times 3{,}2\times 2{,}4}=\dfrac{16-25}{15{,}36}=\dfrac{-9}{15{,}36}\approx -0{,}58594$. L'arc cosinus donne $\theta\approx 125{,}87^\circ$. Le résultat est cohérent avec la question a) : pour allonger la portée de $4{,}47$ m à $5$ m, il a fallu OUVRIR le coude, de $105^\circ$ à près de $126^\circ$. C'est la même idée qu'à l'exercice 4 : le côté opposé grandit quand l'angle qui lui fait face s'ouvre.

Quand l'angle tend vers $0^\circ$, le bras se replie sur lui-même et la portée tend vers $3{,}2-2{,}4=0{,}8$ m. Quand l'angle tend vers $180^\circ$, les deux segments s'alignent et la portée tend vers $3{,}2+2{,}4=5{,}6$ m. La portée varie donc dans l'intervalle $]0{,}8\,;5{,}6[$ m. On peut le retrouver par la formule sans passer par la figure : $\cos\theta$ balaie $]-1\,;1[$, donc $p^{2}=16-15{,}36\cos\theta$ balaie $]0{,}64\,;31{,}36[$, et $\sqrt{0{,}64}=0{,}8$ tandis que $\sqrt{31{,}36}=5{,}6$. Les deux bornes sont exclues : un bras totalement replié ou totalement déplié n'a plus de triangle.

Impossible, et il faut le prouver. En imposant $p=6$ : $\cos\theta=\dfrac{16-36}{15{,}36}=\dfrac{-20}{15{,}36}\approx -1{,}30$, une valeur hors de $[-1\,;1]$ : aucun angle ne convient. On peut aussi conclure d'une ligne, sans la loi des cosinus : même complètement déplié, le bras ne mesure que $3{,}2+2{,}4=5{,}6$ m, et $6>5{,}6$. La réponse à donner à l'atelier ne s'arrête pas à « non » : il manque $0{,}4$ m, donc il faut soit rallonger un segment, soit rapprocher la base de $40$ cm.

Le départ, le coude et le vert forment un triangle dont on connaît deux côtés, $215$ m et $130$ m, et l'angle compris entre eux, $158^\circ$. On pose $d$ la distance directe : $d^{2}=215^{2}+130^{2}-2\times 215\times 130\times\cos 158^\circ$. Les carrés donnent $46225+16900=63125$, et le double produit vaut $55900$. Comme $\cos 158^\circ\approx -0{,}92718$, le terme s'ajoute : $d^{2}\approx 63125+51829=114954$, donc $d\approx 339{,}05$ m. L'angle au coude est très ouvert, presque plat, ce qui était prévisible : un trou coudé dévie l'allée, il ne la replie pas.

Le trajet par l'allée mesure $215+130=345$ m, contre $339{,}05$ m en ligne droite : l'écart n'est que de $5{,}95$ m, à peine $1{,}7$ pour cent. C'est le genre de résultat qui surprend et qui mérite d'être commenté en examen : un coude de $22^\circ$ par rapport à la ligne droite, c'est-à-dire $180-158$, rallonge très peu le parcours. C'est aussi ce que dit l'inégalité triangulaire : la ligne droite est plus courte, mais elle ne l'est beaucoup que si l'angle au coude est nettement fermé.

On connaît maintenant les trois côtés, donc on peut calculer n'importe quel angle. L'angle au départ fait face au côté de $130$ m : $\cos T=\dfrac{215^{2}+339{,}05^{2}-130^{2}}{2\times 215\times 339{,}05}\approx\dfrac{46225+114955-16900}{145791}\approx 0{,}98963$, donc $T\approx 8{,}26^\circ$. Vérification par la somme des angles : l'angle au vert vaut alors $180-158-8{,}26=13{,}74^\circ$, et il fait face au plus grand des deux petits côtés, ce qui est cohérent. Notez qu'on aurait pu enchaîner directement avec la loi des cosinus, sans jamais utiliser la loi des sinus, qui n'est pas au programme de cette année.

En visant le vert depuis le départ, la balle suit la ligne droite calculée en a). Elle parcourt $250$ m sur les $339{,}05$ m qui séparent le départ du vert, donc elle s'arrête à $339{,}05-250=89{,}05$ m du vert. Le calcul du c) est ce qui rend la réponse défendable : il établit que la ligne droite ne s'écarte que de $8{,}26^\circ$ de l'allée, donc que la balle coupe le coude par l'intérieur sans jamais s'éloigner beaucoup du terrain. Sans cet angle, on saurait à quelle distance du vert la balle tombe, mais pas si elle est encore en jeu, et c'est précisément la question que se pose le joueur.

FAUX. L'angle $A$ doit être celui qui est COMPRIS entre les côtés $b$ et $c$, et le côté $a$ celui qui lui fait face. La formule associe un angle et le côté opposé, toujours. Contre-exemple : dans le triangle de côtés $6$, $9$ et $11$ de l'exercice 2, écrire $11^{2}=6^{2}+9^{2}-2\times 6\times 9\cos 33^\circ$ donnerait $121=117-90{,}6$, c'est-à-dire $121=26{,}4$, ce qui est absurde. Version correcte : on repère d'abord le côté opposé à l'angle, et on ne touche pas à la calculatrice avant.