Situations-problèmes C1 corrigées : mathématique TS, secondaire 5 (compétence 1)

Compréhension

On cherche le diamètre extérieur $D$, le diamètre du cercle de perçage et le nombre $n$ de trous : ensemble, ils désignent une seule ligne du catalogue.

Données utiles : la corde de $240$ mm et sa flèche de $40$ mm ; l'entraxe de $107$ mm entre deux trous voisins ; les $60$ mm entre un centre de trou et le bord.

Données inutiles : l'épaisseur, le diamètre des trous, la masse et les prix.

Contrainte : $n$ est ENTIER, et les trous étant également répartis, l'angle au centre entre deux trous voisins vaut $\frac{360^\circ}{n}$.

Modèles

Le diamètre perpendiculaire à la corde la coupe en deux moitiés de $120$ mm, et il est coupé, lui, en la flèche $40$ mm et le reste $D-40$. Deux cordes qui se coupent dans un cercle donnent des produits égaux.

Les deux centres de trous et le centre de la bride forment un triangle isocèle dont on connaît les trois côtés : la loi des cosinus donne l'angle au centre.

Résolution

$14\,400=40D-1\,600$, donc $D=400$ mm : le rayon extérieur vaut $200$ mm.

Les $60$ mm se mesurent sur un rayon : le cercle de perçage a pour rayon $200-60=140$ mm, pour diamètre $280$ mm.

$\cos\theta=1-\frac{11\,449}{39\,200}\approx 0{,}7079$, donc $\theta\approx 44{,}93^\circ$.

$n=\frac{360^\circ}{\theta}\approx 8{,}01$, et comme $n$ est entier, la bride avait $8$ trous.

La ligne qui réunit $400$ mm, $280$ mm et $8$ trous est la référence BF-400-8.

Validation

Avec $8$ trous, l'angle au centre vaut $45^\circ$ et l'entraxe théorique $2\times 140\times\sin 22{,}5^\circ\approx 107{,}2$ mm : le relevé de $107$ mm est arrondi au millimètre.

Les références voisines donneraient des entraxes très différents : $140$ mm avec $6$ trous, environ $72{,}5$ mm avec $12$ trous.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

La bride brisée avait un diamètre extérieur de $400$ mm et $8$ trous sur un cercle de perçage de $280$ mm : le magasinier commande la référence BF-400-8, à $438$ dollars.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle écarte l'épaisseur, la masse et le diamètre des trous, et traduit « également répartis » en un angle de $\frac{360^\circ}{n}$ avec $n$ entier.

Copie C : elle trouve le diamètre extérieur mais ne relie pas l'entraxe au nombre de trous.

Copie E : elle compare les références à vue, sans relier un relevé à une grandeur du catalogue.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : cordes sécantes pour la flèche, loi des cosinus pour l'angle au centre, calculs justes.

Copie C : un seul des deux modèles est juste, ou une erreur conceptuelle, comme retrancher $60$ mm du DIAMÈTRE au lieu du rayon.

Copie E : aucun modèle du cercle : le diamètre est « mesuré » sur un schéma qui n'est pas à l'échelle.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : chaque étape annonce ce qu'elle calcule, l'arrondi de $n$ à l'entier est justifié, la référence est nommée.

Copie C : calculs justes mais en vrac : on ne sait pas quel nombre est le rayon du cercle de perçage.

Copie E : une référence sans démarche, ou des calculs isolés sans conclusion.

Piège : retrancher $60$ mm au diamètre donne un cercle de perçage de $340$ mm et désigne BF-400-8L. La loi des cosinus avec un rayon de $170$ mm donne alors $n\approx 9{,}8$, qui n'est pas entier : la validation aurait dû arrêter la copie.

Compréhension

On cherche la part du temps où le code lu vaut au moins $200$, à comparer à $20$ pour cent ; puis, si elle est trop grande, le plus petit seuil entier qui la ramène sous $20$ pour cent (le plus petit, pour garder l'alarme sensible).

Données utiles : l'oscillogramme et la règle de conversion. Inutiles : la vitesse du ventilateur, la consommation et la fréquence d'échantillonnage, assez grande pour suivre le signal.

Modèles

Le signal monte de $0{,}5$ V à $4{,}5$ V et se répète toutes les $20$ ms ; il passe par sa valeur moyenne $2{,}5$ V en montant à $t=0$ : c'est une sinusoïde sans déphasage.

Amplitude $\frac{4{,}5-0{,}5}{2}=2$, axe $2{,}5$, $b=\frac{2\pi}{20}=\frac{\pi}{10}$ :

Le CAN compte des pas entiers de $\frac{5}{256}$ V : $N=\left[\frac{256\,v}{5}\right]=[51{,}2\,v]$, une fonction partie entière.

Résolution

Un entier est au plus égal à $[x]$ exactement quand il est au plus égal à $x$ : $N\ge 200 \iff 51{,}2\,v\ge 200 \iff v\ge 3{,}90625$ V.

Sur une période, $\frac{\pi t}{10}\in[0{,}7798\,;\pi-0{,}7798]$ (radians), soit $t\in[2{,}482\,;7{,}518]$ ms.

L'alarme est allumée $5{,}036$ ms sur $20$ : $25{,}2$ pour cent du temps. Le technicien a tort.

Pour $20$ pour cent, il faut $4$ ms d'alarme, centrées sur le maximum à $5$ ms : de $3$ à $7$ ms. Le seuil de tension vaut $2\sin(0{,}3\pi)+2{,}5\approx 4{,}1180$ V.

$N\ge S\iff v\ge\frac{S}{51{,}2}$ : il faut $\frac{S}{51{,}2}\ge 4{,}1180$, soit $S\ge 210{,}84$, donc $S=211$.

Validation

Avec $S=211$ : $\sin\left(\frac{\pi t}{10}\right)\ge 0{,}8105$, l'alarme est allumée $19{,}9$ pour cent du temps ; avec $S=210$, $20{,}4$ pour cent. Le seuil $211$ est bien le plus petit qui convienne.

Le code maximal vaut $[51{,}2\times 4{,}5]=[230{,}4]=230$ : le seuil $211$ est atteint à chaque période, l'alarme garde son sens.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

Avec le seuil $200$, le voyant est allumé environ $25{,}2$ pour cent du temps : le technicien a tort. Il faut programmer le seuil $211$, qui donne $19{,}9$ pour cent.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle traduit « le cinquième du temps » en une durée de $4$ ms par période et lit la règle du CAN comme une troncature.

Copie C : elle trouve la tension seuil mais compare une durée à une tension, ou oublie la seconde question.

Copie E : elle compare $200$ à $255$ sans passer par le temps.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : la sinusoïde est construite sur l'oscillogramme, la partie entière est traduite en inéquation, l'équation $\sin x=k$ donne ses deux solutions par période.

Copie C : le modèle est juste mais une seule solution est retenue, ou la calculatrice est en degrés.

Copie E : aucun modèle : des lectures approximatives sur le graphique.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : chaque étape est titrée, les deux seuils voisins $210$ et $211$ sont comparés et la décision est écrite.

Copie C : le seuil $211$ apparaît sans justification de l'arrondi vers le haut.

Copie E : une réponse sans démarche.

Piège : ne garder que la solution $0{,}7798$ de $\sin x=0{,}703125$ et compter le temps jusqu'au maximum seulement donne $12{,}6$ pour cent : la copie donne raison au technicien. Le sinus repasse sous $0{,}703125$ en $\pi-0{,}7798$.

Compréhension

On cherche la borne la plus sûre à atteindre : elle doit être hors du quai, joignable sans traverser le quai et à une distance au plus égale à l'autonomie restante.

Autonomie utilisable : $(8-1)$ pour cent de $100$ m, soit $7$ m.

Il faut donc la position $P$ du robot, celle de la borne mobile dans le repère de l'entrepôt, puis trois distances. La vitesse et la masse du robot sont inutiles.

Modèles

Un déplacement de longueur $\ell$ et d'orientation $\alpha$ est le vecteur $(\ell\cos\alpha\,;\ell\sin\alpha)$, et la position finale s'obtient par la relation de Chasles : $\overrightarrow{B_{1}P}$ est la somme des trois déplacements.

Le robot regarde dans la direction du déplacement 3, d'orientation $90^\circ$ : son repère est celui de l'entrepôt tourné de $90^\circ$. Les coordonnées lues par le télémètre se ramènent à l'entrepôt par la matrice de rotation de $90^\circ$, $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, puis par une translation de vecteur $\overrightarrow{OP}$.

Résolution

$\vec{d_{1}}=(10\,;0)$, $\vec{d_{2}}=(10\cos 36{,}87^\circ\,;10\sin 36{,}87^\circ)\approx(8\,;6)$, $\vec{d_{3}}=(0\,;8)$

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$, donc la borne mobile est en $M=(20+2\,;17+6)=(22\,;23)$.

$M$ a une ordonnée de $23>16$ : elle est hors du quai. Le segment $[PM]$ reste à $x\le 22<24$ : il ne traverse pas le quai.

$PM=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{40}\approx 6{,}32$ m

$PB_{2}=\sqrt{7^{2}+5^{2}}=\sqrt{74}\approx 8{,}60$ m et $PB_{3}=\sqrt{(-6)^{2}+7^{2}}=\sqrt{85}\approx 9{,}22$ m

Seule la borne mobile est à moins de $7$ m.

Validation

Une rotation conserve les longueurs : la distance $PM$ vaut bien la norme du vecteur lu par le télémètre, $\sqrt{6^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{40}$.

Sens : le robot regarde vers les $y$ croissants ; « $2$ m à droite » doit donc donner $2$ m vers les $x$ croissants, ce que donne $(2\,;6)$.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

Le robot, arrêté en $(20\,;17)$, doit rejoindre la borne mobile située en $(22\,;23)$, à environ $6{,}32$ m : il y arrive avec une marge de près de $0{,}7$ m. Les bornes fixes $B_{2}$ et $B_{3}$ sont hors de portée.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle calcule l'autonomie utilisable de $7$ m, réserve déduite, et voit que le télémètre parle dans un AUTRE repère.

Copie C : elle oublie la réserve de $1$ pour cent, ou ne vérifie pas le quai.

Copie E : elle compare des distances lues à vue sur le plan.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : Chasles et les composantes pour $P$, la matrice de rotation pour $M$, la norme pour les distances.

Copie C : $P$ est juste, mais les coordonnées du télémètre sont ajoutées sans rotation.

Copie E : aucun calcul vectoriel.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : chaque vecteur est nommé, les trois distances sont comparées à $7$ m et le trajet vers $M$ est vérifié.

Copie C : bonne borne, mais sans comparer les trois candidates.

Copie E : une borne nommée sans traces.

Piège : ajouter $(6\,;-2)$ à $P$ sans tourner donne $(26\,;15)$, dans le quai : la copie écarte la borne mobile et envoie le robot vers $B_{2}$, à $8{,}60$ m, où il ne peut pas arriver.

Compréhension

On cherche le plus grand modèle dont le contour ne rencontre pas la droite du plafond. Contraintes : centre sur $x=100$, point bas à $90+10=100$ cm.

Données inutiles : l'épaisseur du verre, la colle et les prix (on veut le plus grand, pas le moins cher).

Modèles

Le crayon reste à une somme de distances constante des deux clous : le contour est une ellipse de foyers les clous. La ficelle mesure $2a$, l'écart des clous $2c$, et $b^{2}=a^{2}-c^{2}$.

S : $a=40$, $c=24$, $b=32$ ; M : $a=50$, $c=30$, $b=40$ ; L : $a=60$, $c=36$, $b=48$.

Le centre est en $(100\,;100+b)$ ; le plafond, qui part de $130$ cm et monte de $0{,}75$ par centimètre, est la droite $y=0{,}75x+130$.

Le miroir touche le plafond si le système ellipse et droite a au moins une solution : on substitue, et le discriminant décide.

Résolution

On pose $u=x-100$. Modèle L, centre $(100\,;148)$ : $y-148=0{,}75u+57$.

On multiplie par $8\,294\,400$ : $4\,329u^{2}+307\,800u+3\,402\,000=0$.

$\Delta=307\,800^{2}-4\times 4\,329\times 3\,402\,000\approx 3{,}58\times 10^{10}>0$ : deux points de contact, en $x\approx 42{,}6$ et $x\approx 86{,}3$. Le modèle L traverse le plafond.

Modèle M, centre $(100\,;140)$ : $y-140=0{,}75u+65$.

$\frac{u^{2}}{2\,500}+\frac{(0{,}75u+65)^{2}}{1\,600}=1$, soit $3\,006{,}25u^{2}+243\,750u+6\,562\,500=0$.

$\Delta=243\,750^{2}-4\times 3\,006{,}25\times 6\,562\,500\approx -1{,}95\times 10^{10}<0$ : aucun point commun, le modèle M passe sous le plafond.

Validation

Contrôle en un point : en $x=60$, le plafond est à $175$ cm. Le bord du modèle L y est à $148+48\sqrt{1-\frac{40^{2}}{60^{2}}}\approx 183{,}8$ cm, au-dessus : il touche bien. Celui du modèle M est à $140+40\sqrt{1-\frac{40^{2}}{50^{2}}}=164$ cm, $11$ cm sous le plafond.

Le modèle S, plus petit et plus bas que M, passe a fortiori.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

La cliente doit commander le modèle M, un ovale de $100$ cm de large sur $80$ cm de haut : le modèle L toucherait le plafond en pente sur la gauche du miroir.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle fixe le centre en $(100\,;100+b)$ et comprend que « ne toucher en aucun point » se vérifie sur toute la pente, pas seulement au-dessus du centre.

Copie C : elle ne vérifie que la hauteur du sommet du miroir sous le plafond, à la verticale du centre.

Copie E : elle confond les dimensions du miroir avec l'écart des clous.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : lien ficelle, $2a$ et foyers, $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, système semi-linéaire résolu par substitution et discriminant.

Copie C : les ellipses sont justes mais le système est mal posé (centre oublié, pente de la droite fausse).

Copie E : aucune équation d'ellipse.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : équations écrites pour chaque modèle testé, signe du discriminant interprété, modèle nommé.

Copie C : bon modèle, mais un seul discriminant calculé sans conclure sur l'autre modèle.

Copie E : un modèle choisi sans calcul.

Piège : comparer le sommet du modèle L ($196$ cm) au plafond à la verticale du centre ($205$ cm) fait conclure que L passe. Or la pente descend vers la gauche plus vite que le bord du miroir : le contact a lieu sur le côté.

Compréhension

On cherche la hauteur minimale $h$ du moyeu qui donne une vitesse moyenne d'au moins $5$ m/s, puis le mât le moins cher, standard ou sur mesure, d'au moins cette hauteur.

Données inutiles : le prix de l'éolienne (il est le même dans tous les cas) et le diamètre du rotor.

Modèles

« Même gain chaque fois que la hauteur est multipliée par un même nombre » : c'est une fonction logarithmique, $v(h)=a\log h+b$.

Les prix standards sont multipliés par un même nombre tous les $6$ m : $\frac{3\,240}{2\,400}=\frac{4\,374}{3\,240}=\frac{5\,904{,}90}{4\,374}=1{,}35$. C'est une fonction exponentielle, $P(h)=2\,400\times 1{,}35^{\frac{h-12}{6}}$.

Résolution

Avec $(10\,;4{,}2)$ et $(30\,;5{,}5)$ : $a(\log 30-\log 10)=1{,}3$, donc $a=\frac{1{,}3}{\log 3}\approx 2{,}7247$, et $b=4{,}2-a\approx 1{,}4753$.

$a\log h+b\ge 5 \iff \log h\ge\frac{5-1{,}4753}{2{,}7247}\approx 1{,}2936 \iff h\ge 10^{1{,}2936}\approx 19{,}66$ m

Standard : le $18$ m ne suffit pas ($v(18)\approx 4{,}90$ m/s) ; le premier qui convient est le $24$ m, à $4\,374$ dollars.

Sur mesure : la plus petite hauteur entière est $20$ m.

$P(20)=2\,400\times 1{,}35^{\frac{8}{6}}\approx 3\,580{,}88$ dollars, plus $450$ : $4\,030{,}88$ dollars.

Le mât sur mesure de $20$ m coûte $343{,}12$ dollars de moins que le standard de $24$ m.

Validation

$v(20)\approx 5{,}02$ m/s : la garantie tient. À $19$ m, $v(19)\approx 4{,}96$ m/s : elle ne tiendrait plus, $20$ m est bien la hauteur minimale.

Le modèle de prix redonne la gamme : $P(30)=2\,400\times 1{,}35^{3}=5\,904{,}90$ dollars.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

Le propriétaire doit commander un mât sur mesure de $20$ m, à $4\,030{,}88$ dollars : le vent moyen y atteint $5{,}02$ m/s, et il économise $343{,}12$ dollars par rapport au mât standard de $24$ m.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle traduit la phrase sur la hauteur en famille logarithmique, voit que les prix ont un rapport constant et compare les deux options.

Copie C : elle trouve la hauteur minimale mais ne pense pas au mât sur mesure, ou l'inverse.

Copie E : elle choisit le mât de $30$ m « pour être sûre » sans calcul.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : règle logarithmique construite sur deux points, inéquation résolue, règle exponentielle du prix construite sur le rapport $1{,}35$ par tranche de $6$ m.

Copie C : une règle juste sur deux, ou une règle de prix linéaire entre $18$ et $24$ m.

Copie E : aucune règle : interpolation à vue.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : les deux prix sont calculés et comparés, la hauteur entière est justifiée par $v(19)$ et $v(20)$.

Copie C : bonne recommandation sans le calcul du prix sur mesure.

Copie E : une réponse sans traces.

Piège : interpoler la vitesse en ligne droite entre $10$ m et $30$ m donne $h\ge 22{,}3$ m, un mât sur mesure de $23$ m à $4\,610{,}60$ dollars, plus cher que le standard : la copie recommande le $24$ m et fait perdre $343{,}12$ dollars.

Compréhension

Trois grandeurs : la température de démarrage avec $S=300$ ; le seuil $S$ pour un démarrage au plus tard à $45$ °C et le plus tard possible ; la température de démarrage avec ce seuil.

Données inutiles : la puissance du ventilateur et la précision de la résistance.

Quand $T$ monte, $R$ baisse, donc $U$ et le code baissent : « code au plus égal à $S$ » veut dire « assez chaud ».

Modèles

Tous les $10$ °C, $R$ est multipliée par le même nombre, $\frac{5{,}987}{10}=\frac{3{,}585}{5{,}987}\approx 0{,}5987$ : $R(T)=10\times 0{,}5987^{\frac{T-25}{10}}$, une exponentielle.

$U(R)=\frac{5R}{R+10}$ est rationnelle, de la forme homographique ; la tension est la composée $U(R(T))$.

Le code est $N=[204{,}8\,U]$, car $\frac{1\,024}{5}=204{,}8$. Pour un entier $S$ : $N\le S\iff 204{,}8\,U<S+1$.

Pour remonter de $U$ à $T$, on prend les réciproques : $R=\frac{10U}{5-U}$, puis $T=25+10\,\frac{\log(R/10)}{\log 0{,}5987}$.

Résolution

Seuil actuel : $U<\frac{301}{204{,}8}\approx 1{,}4697$ V, donc $R<\frac{10\times 1{,}4697}{5-1{,}4697}\approx 4{,}163$ kΩ.

$T>25+10\,\frac{\log 0{,}4163}{\log 0{,}5987}\approx 42{,}1$ °C : le ventilateur démarre aujourd'hui vers $42{,}1$ °C.

À $45$ °C : $U=\frac{5\times 3{,}585}{13{,}585}\approx 1{,}3195$ V et $204{,}8\,U\approx 270{,}23$, donc $N=270$.

Le ventilateur doit tourner quand $N=270$, donc $S\ge 270$ ; plus $S$ est grand, plus il démarre tôt : on prend $S=270$.

Avec $S=270$ : $U<\frac{271}{204{,}8}\approx 1{,}3232$ V, $R<3{,}599$ kΩ, $T>44{,}9$ °C.

Validation

Avec $S=269$, le calcul donne un démarrage à $45{,}02$ °C, au-delà de la limite : $270$ est bien le plus petit seuil permis.

Le modèle redonne le tableau : $10\times 0{,}5987^{-1}\approx 16{,}70$ kΩ à $15$ °C. Et $42{,}1$ °C est bien « trop tôt » devant $45$ °C, comme le disent les musiciens.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

Aujourd'hui, le ventilateur démarre vers $42{,}1$ °C. Il faut programmer le seuil $S=270$ : il démarrera vers $44{,}9$ °C, juste avant la limite de $45$ °C.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle voit que le code BAISSE quand il fait chaud et traduit « au plus tard à $45$ °C, le plus tard possible » par le plus petit $S$ qui couvre $45$ °C.

Copie C : elle calcule le code à $45$ °C mais ne répond pas aux deux autres questions.

Copie E : elle cherche un seuil plus grand que $300$ pour retarder le démarrage.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : exponentielle construite sur le rapport constant, composée $U(R(T))$, réciproques pour remonter à $T$, partie entière traduite en inégalité stricte.

Copie C : modèles justes, mais l'inégalité $N\le S$ est traduite par $204{,}8\,U\le S$.

Copie E : une règle linéaire pour $R(T)$ lue entre deux lignes du tableau.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : chaque fonction est nommée, les seuils $269$ et $270$ sont comparés, les trois réponses sont écrites.

Copie C : le seuil est juste mais la température de démarrage n'est pas recalculée.

Copie E : des nombres sans titres ni phrase de conclusion.

Piège : croire que le code monte avec la température mène à un seuil plus grand que $300$, qui fait démarrer le ventilateur encore plus tôt. Avant tout calcul, on suit le sens de variation de chaque fonction de la chaîne.

Compréhension

On cherche les nombres $x$ de pièces A et $y$ de pièces B par semaine qui rendent le profit maximal sous trois contraintes : temps de découpe, temps d'ébavurage, commande minimale de B.

Le temps de découpe d'une pièce n'est pas donné : il faut le tirer de la longueur de son contour. Données inutiles : l'épaisseur, la pression et l'abrasif.

Modèles

Longueur d'un arc : $\ell=r\theta$, avec $\theta$ en RADIANS ; $60^\circ=\frac{\pi}{3}$ rad.

Temps compté : $\left\lceil\frac{\ell}{270}\right\rceil$, la partie entière par excès (minute entamée).

Programme linéaire : maximiser $Z=9x+7y$ sur le polygone des contraintes ; l'optimum est atteint en un sommet.

Résolution

Pièce A : deux arcs et deux côtés droits, $(300+150)\times\frac{\pi}{3}+2\times 150\approx 771{,}24$ mm, soit $\frac{771{,}24}{270}\approx 2{,}86$ min, comptées $3$ min.

Pièce B : le bord et le trou, $2\pi\times 100+2\pi\times 40\approx 879{,}65$ mm, soit $\approx 3{,}26$ min, comptées $4$ min.

Contraintes : $3x+4y\le 2\,400$ (découpe), $2x+y\le 1\,200$ (ébavurage), $y\ge 100$, $x\ge 0$.

Sommets : $(0\,;100)$, $(0\,;600)$, $(550\,;100)$ et l'intersection de $3x+4y=2\,400$ et $2x+y=1\,200$ : $y=1\,200-2x$, $3x+4\,800-8x=2\,400$, donc $x=480$ et $y=240$.

$Z(0\,;100)=700$, $Z(0\,;600)=4\,200$, $Z(550\,;100)=5\,650$, $Z(480\,;240)=6\,000$.

Validation

En $(480\,;240)$ : $3\times 480+4\times 240=2\,400$ min, la découpeuse est pleine ; $2\times 480+240=1\,200$ min, l'ébavurage aussi ; $240\ge 100$. Les deux ressources limitantes sont saturées, ce qui est attendu d'un optimum.

Les valeurs sont entières : le plan est réalisable tel quel.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

L'atelier doit produire $480$ pièces A et $240$ pièces B par semaine, pour un profit de $6\,000$ dollars.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle comprend que le temps de découpe vient du contour COMPLET, trou compris, et que la minute entamée compte.

Copie C : elle pose le programme linéaire mais avec des temps de découpe inventés ou non arrondis.

Copie E : elle compare les profits unitaires et produit seulement des pièces A.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : longueurs d'arc en radians, partie entière par excès, contraintes et sommets justes, fonction économique évaluée.

Copie C : une erreur de contour (trou ou côtés droits oubliés) dans un programme linéaire par ailleurs juste.

Copie E : l'arc calculé avec l'angle en degrés, $150\times 60$.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : variables définies, système écrit, chaque sommet calculé et testé, plan et profit conclus.

Copie C : bon optimum mais sommets non justifiés.

Copie E : un plan sans contraintes écrites.

Piège : oublier le trou de la rondelle et les côtés droits du segment donne des temps de $2$ et $3$ min, puis l'optimum $(300\,;600)$ et $6\,900$ dollars. Ce plan demande en réalité $3\,300$ minutes de découpe, bien plus que les $2\,400$ disponibles.

Compréhension

On cherche le plus petit glissement de la table, un multiple de $5$ cm entre $0$ et $40$ cm, pour que tout le panneau soit dans la zone que la buse peut atteindre.

Il faut donc décrire cette zone à partir de la limite du coude. Le débit, l'épaisseur et la masse sont inutiles.

Modèles

Dans le triangle épaule, coude, buse, deux côtés de $0{,}9$ m encadrent l'angle $\theta$ : la loi des cosinus donne la distance $d$ de l'épaule à la buse, $d^{2}=0{,}9^{2}+0{,}9^{2}-2\times 0{,}9\times 0{,}9\cos\theta=1{,}62\,(1-\cos\theta)$.

Comme $\cos\theta$ décroît de $30^\circ$ à $150^\circ$, $d$ croît. L'épaule tournant librement, la zone atteignable est la couronne entre deux cercles de centre $O$ : $d_{\min}^{2}\le x^{2}+y^{2}\le d_{\max}^{2}$.

Le glissement est une translation de vecteur $(-k\,;0)$, $k$ en mètres.

Résolution

$d_{\max}=\sqrt{1{,}62\,(1-\cos 150^\circ)}\approx 1{,}7387$ m et $d_{\min}=\sqrt{1{,}62\,(1-\cos 30^\circ)}\approx 0{,}4659$ m

Sans glissement, le sommet le plus éloigné est $C$ : $OC=\sqrt{1{,}5^{2}+1{,}1^{2}}\approx 1{,}8601>1{,}7387$. Le coin $C$ est hors de portée.

Après la translation, $C'(1{,}5-k\,;1{,}1)$ : $(1{,}5-k)^{2}+1{,}21\le 1{,}7387^{2}\approx 3{,}0230$, donc $1{,}5-k\le 1{,}3465$ et $k\ge 0{,}1535$ m.

La glissière avance par crans de $5$ cm : $15$ cm ne suffisent pas ($OC'\approx 1{,}7414$ m), il faut $20$ cm ($OC'\approx 1{,}7029$ m).

Côté intérieur, avec $k=0{,}2$, le panneau va de $x=0{,}1$ à $x=1{,}3$ et de $y=0{,}5$ à $y=1{,}1$ : son point le plus proche de $O$ est $A'(0{,}1\,;0{,}5)$, à $\approx 0{,}5099$ m, au-delà de $d_{\min}$.

Validation

Contrôle par l'angle moitié : $1-\cos\theta=2\sin^{2}\frac{\theta}{2}$ donne $d=1{,}8\sin\frac{\theta}{2}$, soit $1{,}8\sin 75^\circ\approx 1{,}7387$ m : même portée.

Marges : $1{,}7387-1{,}7029\approx 3{,}6$ cm vers l'extérieur, $0{,}5099-0{,}4659\approx 4{,}4$ cm vers l'intérieur. Le glissement de $20$ cm reste dans la course de $40$ cm.

Ce contrôle relève du critère de validation : il donne lieu à une rétroaction, il ne compte pas dans la note.

Conclusion

Non, le coin $C$ est hors de portée. Il faut faire glisser la table de $20$ cm vers le robot : tout le panneau est alors entre $0{,}51$ m et $1{,}70$ m de l'épaule, dans la zone atteignable.

Grille

Cr1, compréhension. Copie A : elle voit que la limite du coude fixe une portée MAXIMALE et une portée MINIMALE, et que tout le panneau, pas seulement ses coins, doit être atteint.

Copie C : elle traite la portée maximale mais oublie la zone morte près de l'épaule.

Copie E : elle prend $1{,}8$ m, bras tendu, comme portée.

Cr2, mobilisation des savoirs. Copie A : loi des cosinus pour $d$, couronne entre deux cercles, inéquation de la translation, arrondi au cran supérieur.

Copie C : portées justes mais translation mal traduite, par exemple appliquée à $y$.

Copie E : aucune relation entre l'angle du coude et la portée.

Cr3, élaboration d'une solution. Copie A : sommet critique désigné, inéquation résolue, crans de $15$ et $20$ cm comparés, réglage énoncé.

Copie C : $k\ge 0{,}1535$ m trouvé sans conclure sur la glissière.

Copie E : un réglage annoncé sans traces.

Piège : ignorer la limite de $150^\circ$ et prendre le bras tendu, $1{,}8$ m, donne $k\ge 0{,}075$ m et un réglage de $10$ cm : avec ce réglage, $OC'\approx 1{,}7804$ m et la buse n'atteint pas le coin $C$.

Compréhension

On cherche le plus grand diamètre, en millimètres entiers, qui respecte les quatre exigences, puis la hauteur qui en découle.

« Même contenance » : les deux flacons sont des solides ÉQUIVALENTS. Données inutiles : la pompe et le prix du plastique.

Modèles

Volume de l'ancien flacon : $6\times 4\times 15=360$ cm³. Pour le cylindre, $\pi r^{2}h=360$, donc $h=\frac{360}{\pi r^{2}}$.

L'étiquette est un rectangle déroulé de longueur $2\pi r$ et de hauteur $h-4$ : $A(r)=2\pi r\left(\frac{360}{\pi r^{2}}-4\right)=\frac{720}{r}-8\pi r$, une expression rationnelle en $r$.

Résolution

Hauteur : $\frac{360}{\pi r^{2}}\le 18\iff r^{2}\ge\frac{360}{18\pi}\approx 6{,}366\iff r\ge 2{,}523$ cm, soit un diamètre d'au moins $5{,}05$ cm.